廣東省湛江市2024屆高三下學(xué)期二模考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省湛江市2024屆高三下學(xué)期二?？荚嚁?shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋獾?，故，所?故選：D.2.如圖，這是一件西周晚期的青銅器，其盛酒的部分可近似視為一個(gè)圓臺(tái)（設(shè)上、下底面的半徑分別為厘米，厘米，高為厘米），則該青銅器的容積約為（?。ǎ〢.立方厘米 B.立方厘米C.立方厘米 D.立方厘米〖答案〗D〖解析〗依題意可得該青銅器的容積約為（立方厘米）.故選：D.3.函數(shù)在上的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，所以，故在上的值域?yàn)?故選：B.4.若復(fù)數(shù)的實(shí)部為，則點(diǎn)的軌跡是（）A.直徑為2的圓 B.實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線C.直徑為1的圓 D.虛軸長(zhǎng)為2的雙曲線〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡是直徑為2的圓.故選：A.5.已知，則（）A B. C.15 D.17〖答案〗D〖解析〗令，得，又展開(kāi)式的通項(xiàng)為（且），所以，所以.故選：D6.當(dāng)，時(shí)，.這個(gè)基本不等式可以推廣為當(dāng)x，時(shí)，，其中且，.考慮取等號(hào)的條件，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)，.用這個(gè)式子估計(jì)可以這樣操作：，則.用這樣的方法，可得的近似值為（）A.3.033 B.3.035 C.3.037 D.3.039〖答案〗C〖解析〗依題意，，則.故選：C.7.已知函數(shù)，，則（）A.當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)C.當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)〖答案〗D〖解析〗兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象與的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出，的大致圖象，如圖所示.由圖可知，當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)或只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn).故選：D8.在四棱錐中，底面為矩形，底面與底面所成的角分別為，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，設(shè)，因?yàn)樵诰匦沃?，，所以，因?yàn)榈酌?，所以分別是與底面所成的角，即，所以.因?yàn)椋?，解?負(fù)根舍去)，所以故選：D.二、選擇題9.廣東省湛江市2017年到2022年常住人口變化圖如圖所示，則（）A.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為38萬(wàn)B.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口呈遞增趨勢(shì)C.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的第60百分位數(shù)為730.50萬(wàn)D.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的中位數(shù)為717.02萬(wàn)〖答案〗ACD〖解析〗由圖可知，湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為(萬(wàn)),A正確;這6年的常住人口前3年呈遞增趨勢(shì)，后三年也遞增，但后三年的常住人口低于前3年，B錯(cuò)誤.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口按照從小到大的順序排列為698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，，所以第60百分位數(shù)為730.50萬(wàn)，中位數(shù)為（萬(wàn)），C，D均正確.故選：ACD10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?不恒為零,且則（）A.B.為偶函數(shù)C.在處取得極小值D若，則〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，令，得，解得或，當(dāng)時(shí)，令，則，則，這與不恒為零矛盾，所以，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，令，則，即，即為偶函數(shù)，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，取，滿足題意，此時(shí)不是的極小值點(diǎn)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，令，得，若，則，則，則，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD.11.下列命題為真命題的是（）A.的最小值是2B.的最小值是C.的最小值是D.的最小值是〖答案〗BC〖解析〗設(shè)，易知點(diǎn)的軌跡是拋物線的上半部分，拋物線的準(zhǔn)線為直線到準(zhǔn)線的距離，為拋物線的焦點(diǎn)，對(duì)于AB，，所以的最小值為，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于CD，，所以的最小值是，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題12.若向量，，//，則______，______.〖答案〗9〖解析〗因?yàn)?/，所以，解得，所以.故〖答案〗為：；13.財(cái)富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)，是湛江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)的標(biāo)志性建筑，同時(shí)也是已建成的粵西第一高樓.為測(cè)量財(cái)富匯大廈的高度，小張選取了大廈的一個(gè)最高點(diǎn)A，點(diǎn)A在大廈底部的射影為點(diǎn)O，兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)B、C與O在同一水平面上，他測(cè)得米，，在點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為（），在點(diǎn)C處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45°，則財(cái)富匯大廈的高度______米.〖答案〗204〖解析〗設(shè)米，因?yàn)樵邳c(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為，所以，所以.因?yàn)樵邳c(diǎn)C處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45°，所以米.由余弦定理，可得，即，解得.故〖答案〗為：204.14.已知，是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若C上存在一點(diǎn)P滿足，則C的離心率的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，則，所以，則，又.所以C的離心率的取值范圍是.故〖答案〗為：四、解答題15.甲?乙兩人進(jìn)行中國(guó)象棋比賽，采用五局三勝制，假設(shè)他們沒(méi)有平局的情況，甲每局贏的概率均為，且每局的勝負(fù)相互獨(dú)立，（1）求該比賽三局定勝負(fù)的概率；（2）在甲贏第一局的前提下，設(shè)該比賽還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）該比賽三局定勝負(fù)意味著甲、乙兩人前面三局有一人連贏，則該比賽三局定勝負(fù)的概率為.（2）依題意，的可能取值為2，3，4，則，，，則的分布列為234故.16.如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）若以為直徑的球的表面積為，求二面角的余弦值.（1）證明：連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)橐詾橹睆降那虻谋砻娣e為，所以，解得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，豎直向上為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，因?yàn)?，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.17.在個(gè)數(shù)碼構(gòu)成的一個(gè)排列中，若一個(gè)較大的數(shù)碼排在一個(gè)較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構(gòu)成逆序（例如，則與構(gòu)成逆序），這個(gè)排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為，例如，，（1）計(jì)算；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)排列滿足，求，解：（1）在排列中，與5構(gòu)成逆序的有4個(gè)，與1構(gòu)成逆序的有0個(gè)，與2構(gòu)成逆序的有0個(gè)，與4構(gòu)成逆序的有1個(gè)，與3構(gòu)成逆序的有0個(gè)，所以.（2）由（1）中的方法，同理可得，又，所以，設(shè)，得，所以，解得，則，因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為5的等比數(shù)列，所以，則.（3）因?yàn)?，所以，所以，所?18.雙曲線上一點(diǎn)到左?右焦點(diǎn)的距離之差為6，（1）求雙曲線的方程，（2）已知，過(guò)點(diǎn)的直線與交于（異于）兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，試問(wèn)點(diǎn)到直線的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由，解：（1）依題意可得，解得，故雙曲線的方程為.（2）由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，則，，設(shè)，則，又，直線，直線，聯(lián)立，兩式相除，得，即，解得，所以點(diǎn)在定直線上，因?yàn)橹本€與直線之間的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離為定值，且定值為.19.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，，且，證明：.（1）解：由，得，則，，.故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，