江西省南昌市2024屆高三第二次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省南昌市2024屆高三第二次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知向量，則（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗由題意得，.故選：B.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，所以．

故選：B.3.已知集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗不等式解得，則；不等式解得，則.，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知，則不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，不等式可化為，所以，可得；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，所以，且，所以，所以不等式的解集是，故選：B.5.在三棱錐中，平面，，，，分別為，中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.，是異面直線， B.，是相交直線，C.，是異面直線，與不垂直 D.，是相交直線，與不垂直〖答案〗A〖解析〗顯然根據(jù)異面直線判定方法：經(jīng)過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)的直線是異面直線．下面證明與垂直：證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，分別為的中點(diǎn)，連接，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，如圖：取的中點(diǎn)，連接，，因平面，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以．故選：A．6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知知：，化簡(jiǎn)得，令，則，，所以.故選：D7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線的右支上有一點(diǎn)與雙曲線的左支交于，線段的中點(diǎn)為，且滿足，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知線段的中點(diǎn)為，且滿足，則,故為等腰三角形，又，則為正三角形，根據(jù)雙曲線定義知，設(shè)，則，在中，由余弦定理知，故選：D8.校足球社團(tuán)為學(xué)校足球比賽設(shè)計(jì)了一個(gè)獎(jiǎng)杯，如圖，獎(jiǎng)杯的設(shè)計(jì)思路是將側(cè)棱長(zhǎng)為6的正三棱錐的三個(gè)側(cè)面沿AB，BC，AC展開得到面，使得平面均與平面ABC垂直，再將球放到上面使得三個(gè)點(diǎn)在球的表面上，若獎(jiǎng)杯的總高度為，且，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖：連接、、，取、、中點(diǎn)、、，連接、、，由已知側(cè)棱長(zhǎng)為的正三棱錐，即，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，，均與平面垂直，設(shè)，，三點(diǎn)所在的圓為圓，底面的中心為，則，又因?yàn)楠?jiǎng)杯總高度為，設(shè)球半徑為，球心到圓面的距離為，則，即，如圖，易知≌，因?yàn)?，所以是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，設(shè)的外接圓半徑為，則，則在直角中，，即，解得，所以．故選：C．二、選擇題9.為了解中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別是否有關(guān)，甲、乙兩校的課題組分別隨機(jī)抽取了本校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下兩個(gè)表格:喜愛足球運(yùn)動(dòng)不喜愛足球運(yùn)動(dòng)合計(jì)男性15520女性81220合計(jì)231740甲校樣本喜愛足球運(yùn)動(dòng)不喜愛足球運(yùn)動(dòng)合計(jì)男性7030100女性4555100合計(jì)11585200乙校樣本（參考公式及數(shù)據(jù):）.0.10.010.0012.7066.63510.828則下列判斷中正確的是（）A.樣本中，甲校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例高于乙校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例B.樣本中，甲校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例高于乙校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例C.根據(jù)甲校樣本有的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)D.根據(jù)乙校樣本有的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)〖答案〗AD〖解析〗對(duì)A，甲校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例，乙校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例，即甲校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例高于乙校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例，故A正確；對(duì)B，甲校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例，乙校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例，即甲校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例低于乙校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，甲校中，所以根據(jù)甲校樣本沒有的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，乙校中，所以根據(jù)乙校樣本有的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)，故D正確；故選：AD10.已知，則下列說法中正確的是（）A.在上可能單調(diào)遞減B.若在上單調(diào)遞增，則C.是的一個(gè)對(duì)稱中心D.所有的對(duì)稱中心在同一條直線上〖答案〗BCD〖解析〗，則，對(duì)A：當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增，當(dāng)或時(shí)，不恒成立，不可能單調(diào)遞減，綜上，在上不可能單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：若在上單調(diào)遞增，則恒成立，所以，故B正確；對(duì)C：因，所以關(guān)于對(duì)稱，故C正確；因?yàn)?，，所以關(guān)于，對(duì)稱，所以所有的對(duì)稱中心在直線上，故D正確．故選：BCD．11.已知，為上一點(diǎn)，且滿足.動(dòng)點(diǎn)滿足，為線段上一點(diǎn)，滿足，則下列說法中正確的是（）A.若，則為線段BC的中點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，的面積為C.點(diǎn)到的距離之和的最大值為5D.的正切值的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)A，若，則，從而.再由知.故，這得到.所以，從而為線段BC的中點(diǎn)，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，則，又，故，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由于，故，從而，故.而，故.這表明，即，化簡(jiǎn)即為.所以，故.由于，故，從而.再由，知.當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上順次排列，且，，，時(shí)，驗(yàn)證知點(diǎn)滿足全部條件，且此時(shí)有.所以點(diǎn)到的距離之和的最大值為，故C正確；對(duì)D，一方面由于，，故，從而.所以，即.所以，所以.由，及，可知.另一方面，如上圖所示，考慮一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形，分別設(shè)的中點(diǎn)為，再分別設(shè)的中點(diǎn)為.則，，，，，.所以滿足全部條件，且此時(shí).綜上，的最大值是，故D正確.故選：ACD.三、填空題12.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，若，則_____________.〖答案〗2〖解析〗由知，故存在.再由正弦定理，即可得到.〖答案〗為：.13.一次知識(shí)競(jìng)賽中，共有五個(gè)題，參賽人每次從中抽出一個(gè)題回答（抽后不放回）.已知參賽人甲A題答對(duì)的概率為，B題答對(duì)的概率為，題答對(duì)的概率均為，則甲前3個(gè)題全答對(duì)的概率為___________.〖答案〗〖解析〗甲抽中前三題按題型概率不同有四種組合：抽中，剩余一題為三題中的任意一題，且全部答對(duì)，則概率為：；抽中，且全部答對(duì)，則概率為：；抽中A，剩余兩題為中的任意兩題，且全部答對(duì)，則概率為：；抽中B，剩余兩題為中的任意兩題，且全部答對(duì)，則概率為：.所以甲前3個(gè)題全答對(duì)的概率為.故〖答案〗為：.14.如圖，有一張較大的矩形紙片分別為AB，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，.將矩形按圖示方式折疊，使直線AB（被折起的部分）經(jīng)過P點(diǎn)，記AB上與點(diǎn)重合的點(diǎn)為，折痕為.過點(diǎn)再折一條與BC平行的折痕，并與折痕交于點(diǎn)，按上述方法多次折疊，點(diǎn)的軌跡形成曲線.曲線在點(diǎn)處的切線與AB交于點(diǎn)，則的面積的最小值為_________________.〖答案〗〖解析〗連接PQ，由題PQ與MQ關(guān)于對(duì)稱，，所以Q在以P為焦點(diǎn)、直線AB為準(zhǔn)線的拋物線上，如圖，以PO中點(diǎn)G為原點(diǎn)，過G與AB平行的直線為軸，與AB垂直的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，直線AB：，所以拋物線方程為：，即，則，由上可設(shè)，則拋物線在Q點(diǎn)處切線斜率為，所以拋物線在Q點(diǎn)處切線方程為，則令，，所以由題意，且，所以，故對(duì)恒成立，所以時(shí)單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，；時(shí)，，所以時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減，所以，則，所以的面積的最小值為，故〖答案〗為：.四、解答題15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）當(dāng)時(shí)，求;（2）若，設(shè)，求的通項(xiàng)公式.解：（1）當(dāng)時(shí)，有，即，所以為等差數(shù)列，因?yàn)椋?，所?（2）由已知，，所以，即，且，所以是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.16.一條生產(chǎn)電阻的生產(chǎn)線，生產(chǎn)正常時(shí)，生產(chǎn)的電阻阻值（單位:）服從正態(tài)分布.（1）生產(chǎn)正常時(shí)，從這條生產(chǎn)線生產(chǎn)的電阻中抽取2只，求這兩只電阻的阻值在區(qū)間和內(nèi)各一只的概率;（精確到）（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)，從服從正態(tài)分布的總體中抽取容量為的樣本，則這個(gè)樣本的平均數(shù)服從正態(tài)分布.某時(shí)刻，質(zhì)檢員從生產(chǎn)線上抽取5只電阻，測(cè)得阻值分別為：1000，1007，1012，1013，1013（單位：Ω）.你認(rèn)為這時(shí)生產(chǎn)線生產(chǎn)正常嗎？說明理由．（參考數(shù)據(jù)：若，則，，.）解：（1）電阻阻值服從正態(tài)分布所以，.所以生產(chǎn)正常時(shí)，從這條生產(chǎn)線生產(chǎn)的電阻中抽取1只，則這只電阻阻值在和在的概率分別為，.因此這兩只電阻的阻值在區(qū)間和內(nèi)各一只的概率；（1）生產(chǎn)正常時(shí)，這5個(gè)樣本的平均數(shù)服從正態(tài)分布，即，記，計(jì)算可得，而，即，因?yàn)樵谝淮螌?shí)驗(yàn)中，小概率事件發(fā)生了，因此認(rèn)為這時(shí)生產(chǎn)線生產(chǎn)不正常.17.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）過點(diǎn)作直線與橢圓交于A，B，A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，若，求直線AB的斜率.解：（1）因?yàn)榈拿娣e為，則有，解得，又因?yàn)樵跈E圓上，則，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;（2）如圖：因?yàn)闉锳C的中點(diǎn)，所以，設(shè)，設(shè)直線的方程，并與橢圓的方程進(jìn)行聯(lián)立，可得，消去得，則有，因?yàn)?，則有，則，即，，即，解得，所以直線AB的斜率為.18.已知且.（1）當(dāng)時(shí)，求證：在上單調(diào)遞增;（2）設(shè)，已知，有不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）證明：當(dāng)時(shí)，，則，令，則，兩邊取對(duì)數(shù)得.設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，所以時(shí)，即時(shí)，，所以時(shí)恒成立，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）解：法一:，即，兩邊取對(duì)數(shù)得:，即.設(shè)，則問題即為：當(dāng)時(shí)，恒成立.只需時(shí)，.，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.又因?yàn)?，則，所以時(shí)，單調(diào)遞減，所以時(shí)，，所以即.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以的圖象與軸有1個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這個(gè)交點(diǎn)為，因?yàn)?，所以；所以?dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，不等式，所以當(dāng)不等式在恒成立時(shí)，.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.法二：，即，兩邊取對(duì)數(shù)得：，即設(shè)，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.又因?yàn)?，所以，在單調(diào)遞減，由，則在恒成立，即，上式等價(jià)于，即，由在單調(diào)遞減，所以.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.如圖所示，用一個(gè)不平行于圓柱底面的平面，截該圓柱所得的截面為橢圓面，得到的幾何體稱之為“斜截圓柱”.圖一與圖二是完全相同的“斜截圓柱”，AB是底面圓的直徑，，橢圓所在平面垂直于平面ABCD，且與底面所成二面角為，圖一中，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在底面上的投影為點(diǎn)，圖二中,橢圓上的點(diǎn)在底面上的投影分別為，且均在直徑AB的同一側(cè).（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度；（2）（i）當(dāng)時(shí),若圖二中，點(diǎn)將半圓均分成7等份，求；（ii）證明:.（1）解：如圖，取CD中點(diǎn)，過作與該斜截圓柱的底面平行的平面，交DA于點(diǎn)，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，因則，，過作GH的垂線，交圓于J、K兩點(diǎn).過作交JK于點(diǎn)，又由圓M，因圓M,則,又因,故平面,因平面,故，所以為橢圓面與圓所在平面的夾角，也即橢圓面與底面所成角，所以.則為等腰直角三角形，.設(shè)，如圖作圓所在平面的俯視圖，則，由，所以