上海市崇明區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市崇明區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、填空題1.若集合，或，則__________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，.故〖答案〗為：.2.不等式的解為__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所?故〖答案〗為：3.已知向量，若，則__________.〖答案〗〖解析〗已知向量，若，則，解得.故〖答案〗為：.4.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則__________．〖答案〗〖解析〗由，得.故〖答案〗為.5.若等差數(shù)列的首項(xiàng)，前5項(xiàng)和，則__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)榈炔顢?shù)列的首項(xiàng)，前5項(xiàng)和，由等差數(shù)列的求和公式，可得，解得.故〖答案〗為：.6.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則________．〖答案〗9〖解析〗依題意，設(shè)，將代入解得：，故，則.故〖答案〗為：9.7.若的二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為10，則__________．〖答案〗1〖解析〗由的通項(xiàng)公式可知二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為，則得，解得.故〖答案〗為：1.8.已知底面半徑為1的圓柱，是其上底面圓心，、是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn)，是母線．若直線與所成角的大小為，則__________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，因?yàn)椋覄t直線與所成角即為直線與所成角的大小為，可得,在直角中，可得，即.故〖答案〗：.9.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則___________．〖答案〗〖解析〗令，則由題意為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故，所以.故〖答案〗為：.10.某學(xué)習(xí)小組共有10名學(xué)生，其中至少有2名學(xué)生在同一月份的出生的概率是__________．（默認(rèn)每月天數(shù)相同，結(jié)果精確到0.001）〖答案〗0.996〖解析〗設(shè)事件“至少有2名學(xué)生在同一月份出生的”，，故〖答案〗為：0.99611.已知A、B、C是半徑為1的圓上的三個(gè)不同的點(diǎn)，且，則的最小值是__________．〖答案〗〖解析〗由正弦定理可得，所以，所以，且，則或，則或，當(dāng)時(shí)，，所以，，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，，所以，，則，則無最值；綜上所述，的最小值是，故〖答案〗為：12.已知實(shí)數(shù)滿足：，則的最大值是__________．〖答案〗6〖解析〗因?yàn)楣柿睿?，因，所以，所以，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.二、選擇題13.若，，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗對(duì)于A.，，則，成立對(duì)于B.，，；對(duì)于C.，；對(duì)于D.若，則不成立故選A.14.某單位共有A、B兩部門，1月份進(jìn)行服務(wù)滿意度問卷調(diào)查，得到兩部門服務(wù)滿意度得分的頻率分布條形圖如下.設(shè)A、B兩部門的服務(wù)滿意度得分的第75百分位數(shù)分別為，，方差分別為，，則（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗根據(jù)頻率分布條形圖可知，，即；顯然A部門得分?jǐn)?shù)據(jù)較B部門更為集中，其方差更小，即；故選：C15.設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意，在區(qū)間上總存在唯一確定的，使得，則m的最小值為A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，有，所以.在區(qū)間上總存在唯一確定的，使得，所以存在唯一確定的，使得.，所以.故選B.16.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋}：若當(dāng)時(shí)，都有，則函數(shù)是D上的奇函數(shù)．命題：若當(dāng)時(shí)，都有，則函數(shù)是D上的增函數(shù)．下列說法正確的是（）A.p、q都是真命題 B.p是真命題，q是假命題C.p是假命題，q是真命題 D.p、q都是假命題〖答案〗C〖解析〗對(duì)于命題，令函數(shù)，則，此時(shí)，當(dāng)函數(shù)不是奇函數(shù)，所以命題為假命題，對(duì)于命題，當(dāng)時(shí)，都有，即，不可能，即當(dāng)時(shí)，可得，滿足增函數(shù)的定義，所以命題為真命題.故選：C.三、解答題17.如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離．（1）證明：因?yàn)锳P=CP=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AC，且OP=．連結(jié)OB．因?yàn)锳B=BC=，，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC，，知PO⊥平面ABC．（2）解：［方法一］：【最優(yōu)解】定義法作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）易知平面，從而OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離．由題設(shè)可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以O(shè)M=，CH==．所以點(diǎn)C到平面POM的距離為．［方法二］：等積法設(shè)C到平面的距離為h，由（1）知即為P到平面的距離，且．又，在中，，則由余弦定理得，則，即，則．即點(diǎn)C到平面POM的距離為．［方法三］：向量法如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，點(diǎn)C到平面的距離為．18.在銳角三角形中，角的對(duì)邊分別為，為在方向上的投影向量，且滿足.（1）求值；（2）若，求的周長(zhǎng).解：（1）由為在方向上的投影向量，則，又，即，根據(jù)正弦定理，，在銳角中，，則，即，由，則，整理可得，解得（負(fù)值舍去）.（2）由，根據(jù)正弦定理，可得，在中，，則，所以，所以，由（1）可知，則，由，則，解得（負(fù)值舍去），根據(jù)正弦定理，可得，則，，故的周長(zhǎng).19.某疾病預(yù)防中心隨機(jī)調(diào)查了340名50歲以上的公民，研究吸煙習(xí)慣與慢性氣管炎患病的關(guān)系，調(diào)查數(shù)據(jù)如表所示．不吸煙者吸煙者總計(jì)不患慢性氣管炎者120160280患慢性氣管炎者154560總計(jì)135205340（1）是否有95%的把握認(rèn)為患慢性氣管炎與吸煙有關(guān)？（2）常用表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的優(yōu)勢(shì)，在統(tǒng)計(jì)中稱為似然比．現(xiàn)從340人中任選一人，A表示“選到的人是吸煙者”，B表示“選到的人患慢性氣管炎者”請(qǐng)利用樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)的值；（3）現(xiàn)從不患慢性氣管炎者的樣本中，按分層抽樣的方法選出7人，從這7人里再隨機(jī)選取3人，求這3人中，不吸煙者的人數(shù)X的數(shù)學(xué)期望．附：，．解：（1）假設(shè)：患慢性氣管炎與吸煙無關(guān)，根據(jù)的列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，從而否定原假設(shè)，所以有95%的把握認(rèn)為患慢性氣管炎與吸煙有關(guān).（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得：.（3）根題意，按分層抽樣，得到不吸煙者人，吸煙者人，這7人里再隨機(jī)選取3人，可得隨機(jī)變量的可能值為0，1，2，3，則，，則隨機(jī)變量的分布列為：所以，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.20.已知橢圓，為的上頂點(diǎn)，是上不同于點(diǎn)的兩點(diǎn)．（1）求橢圓的離心率；（2）若是橢圓的右焦點(diǎn)，是橢圓下頂點(diǎn)，是直線上一點(diǎn).若有一個(gè)內(nèi)角為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）作，垂足為．若直線與直線的斜率之和為，是否存在軸上的點(diǎn)，使得為定值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）由題意，，所以離心率（2）由題意，，，，所以直線的方程為：，設(shè)，顯然有或兩種情況，①當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為，其與軸的交點(diǎn)為，則，因?yàn)椋?，得：，解得（舍去）或，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則，因?yàn)?，由，得：，解得（舍去）或綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)是或（3）假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線的方程為，，由，得，由題意，，即①．，，所以，代入①，得：，所以或，即存在直線使得直線與直線的斜率之和為2直線的方程為，直線的方程為由，得：，即所以所以當(dāng)時(shí)，為定值，.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)，，則，，此時(shí)，滿足題意．所以存在定點(diǎn)，使得為定值且定值為．21.已知.（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求證：；（3）若，，數(shù)列滿足，．求證：當(dāng)時(shí)，．（1）解：當(dāng)時(shí)，，