碩士研究生招生考試試題數(shù)學(xué)二解析2010

20102010年數(shù)學(xué)（二）真題解析一、選擇題（1【答案】（.解】 顯x?=士1為7）的間斷點.由）=lim X A=哮得工=為）的可去間斷,X一X/1+C . \/l+?2由lim(jr)=lim ------------------=—m------———190 - x—1 —工 十一工十1T2一T/lIr2~ /lI 2~limf{x）=lim—--------------------=lim-------——=1,得工=0為f{x）的跳躍間斷點,工->°+ 工―°+工一1 乂 工-*。+Z十丄lim：=oo=-~1為x應(yīng)選.2）【（.【?】 （H1=_,解 由1夕2為y+pzy=_z的解,32+夕2=（.1+〃夕2為一階非齊次線性微分方程夕'+p（=qO貝Qi+夕2'+力（）（1十陽=g,1十〃（）夕〃2（2=（），即入+pq（H）=q_,所以入+〃=1;又若入％一》‘+y=的解，貝J入［『1+ ）一〃》2十/（夕］=0,整理得（一〃）=07x）H0A—11=0于是入=〃*應(yīng)選（.方法點評：本題考查線性微分方程解的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，事實上本題可以直接應(yīng)用如下性質(zhì)：設(shè)力％幾j/+（y=（），則）+^2^2++<為一階齊次線性微分方程y'+p{x}y—0的解的充分必要+…+匕=；）1 k22+ 為一階非齊次線性微分方程十py=_的解的充+k2+—1.）【答案】.f^o=aln工0,【】 設(shè)切點的橫坐標(biāo)為工0，則: a 解得a=2e應(yīng).工（）,I S）答案】D.【解乂=0；=1為反常積分［n［ 的瑕點,J。 7Tp/（1—工J F沁+\/l2(1—)J。亍 ckz?90?兀兀71n2(l—x) 1因為lim =1fo+且a=2 9 "(1)也收斂;n mV1所以 02_巫「1呼廠^?1(1-亠 .In叫又因為lim(l lim——工―廠 2廠2_ 1 -0,1皿匸譏工收斂故1如■匸上)￡應(yīng)選(且a=j<l,所以h7 方法點評：對區(qū)間有限但函數(shù)有無窮間斷點、的反常積分?jǐn)可⑿耘袛嗤ǔＳ卸x法和判別法.(1€C(a,b]且jh—的右鄰域內(nèi)無界.'b Ch定義法：對任意的e>0,若lim )dz存在，則稱反常積分|f(x)dz收斂，否則稱為Ja發(fā)散.判別法：lim一akf(x)A(H則當(dāng)0V&V1,0WA+，反常積分—a+fC.cdx收斂；當(dāng) >1,0<A<4-oo，反常積分/(7dx發(fā)散.(26C[)，=b的左鄰域內(nèi)無界.Cb—€定義法對任意的e>0lim /()cL存，則稱反常積分「yGHcL收斂否則稱為發(fā)散.判別法：設(shè)limkb—xVfCx)=A(工°°)，則當(dāng)0<bV1,O￡AV+ 時，反常積分x-^b~f(x)d>1,0<A<+o時|'bf(_z)cL發(fā)散.(5)【答案】(B).【解】方法一復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則X3z N------(y9n)=兩邊對求偏導(dǎo)得一 4 X2XX JC ；=0x 3C JC1^2F2_，)=兩邊對求偏導(dǎo)91~-----；—=09解得茫9X X> X X oy dy 2于是2字+夕吉(+2)— =，應(yīng)(E)竝 dy 02 2方法二 公式法令Q,y,z)=F77)5?91?由由G：=三碼—；9；—：9；—9得3C X 2 E‘ (+； 7i 町3z X x X 1 / / dz3： ------------------=^(+旳， =~ 可'G— 1-/ 2 y 丄肥—戶2X X于是工話+垮=寺(曲+z；(B).方法三 全微分法F工=兩邊求全微得 f4 f 0,XXfj?dv—y^jc,廠‘xdz—zdz .uk士整理； ---------------------------=0從而有x2 21 F'Idz=—=rr(yF〕zF2)dj：—訐dy,xF2 F2于是$=冷廠W）ox xr2 兀，v空=丄d±ydy 2(yF+zF)~yA9（.（】1【｛（29|WW19OW?W1（人一—9十X十夕）由若若?。﹏+°=（ 1 -根據(jù)二重積的定義得1+ 1+5/_牙若Cn+z)(?n2+j2) ,j)djdy= i+】7^應(yīng)soD方法點評：用定積分、重積分等的定義求極限是極限計算的一種重要類型，重點考查定積分定義求極限.1：li丄n /(a*)dj.【例求極限liml+'W?+齊丄Fi+【解】?92?dt(2)dt(2)二重積分的定義求極限：lim (o-,y)cLrdjy,*D其中D—{(jc,y)| Wl,OWyWl}.【答案】(A).【解】 因為向量組I可由向量組n線性表示，所以r(I)Cr(n),且r(H)Ws.(1)=廠，所以r 應(yīng)選(A).方法點評：本題考查向量組的秩的性質(zhì)，應(yīng)熟練掌握以下幾個性質(zhì)：(1)H線性表示r(IXrII；(2)任何向量組的秩不超過其所含向量的個數(shù)；(3)向量組線性無關(guān)的充分必要條件是該向量組的秩與向量個數(shù)相等；向量組線性相關(guān)的充分必要條件是向量組的秩小于向量的個數(shù)；(4)若向量組I線性表示但反之不成立(I)<(II).【答案】(D).【解】 令A(yù)X=AX(XHO),由(2+A)X=(2+A)X-0X工0=0于是入=0或A=-1.因為小吹込⑷“刪“T拓難征值如?「T 1 |應(yīng)選(D).二、填空題(9)【答】i2j+cos +C3n^-(1,,3為任意常數(shù)).【解】 特征方程3—2A2+A—2=0解得特征根A!=22,3=士，則原方程的通解為y=xT+cosx+nx(C],2?3為任意常數(shù)).(10)【】y=2."V / 彳 \ —Q了【解】 由lim—=2, lim(夕一2)=lim勺(----2cI=lim =0，工00X 工8 1 / x°° X_—1n 3》=2工.x+1?93?(11)【(11)【答案】 -2"(n-l)!.【解】方法一歸納法o3 n■出， 2 〃 22 由丿一匸L —2工嚴(yán)" ::、3'…'根據(jù)歸納法得（1一LX）） ，于是3/2(0”77-1)!.方法二 麥克勞林公式法2由ln(l+_z)=H—專???(—1)”TX+0（工"），n2r2 9n得y=ln(1一22o-----------\~n+o(工"9L n(n)/n\ o又由 =3/()+j/(0)?z+…+--------n+O(得----n! n! n5(0)=—2"?G—1)!.12【答I en-1).【】 由ds="d+2(0)d0=J2e° ,得弧長為丿廠2(0)+廠"(0)d9=麗e°d0=(n_1).0 J013【答】 3cm/.— dw【解2+2M&=〒一=3,dt dt/d/+ dw— w—等式z= 兩邊對t求導(dǎo)，得手= dz dz 12X2+5X3 cat J2+2 (12) ----, =3,yi2+2故對角線增加的速率為3cm/s.1【答】 3.【解】 方法一 +B1=\ABB1+B1|=B+E|?|曠|=E|1 1 Q=b?b+"=]=3.方法二 由A+B1=(B!B)A+ =B~(B+A_1)A,得|ABm|B+「|?|A|=骨?|B+「|3.三、解答題2(15f(x= jc2一t)ezAt=j2 J te ck9J1 12 2_2「dz2?z3e-^—23「丁=2工ie1di=0,z=—101.方法一 當(dāng)當(dāng)ze((-OOoo,-1)時,y'Q)V0當(dāng)261,0/'(工>0,當(dāng)工0,1)/■'&vo當(dāng)工(1,+),/7)>o,fl fl 2 1的極小值為于(土1)=0,極大值為/(0)= te~'dr=—(1—e_1).Jo L2方法二 f"=2 _zdr+乂$ex1因為f(±1)—>0(0)=〔1LckV09e J0所以x=—l,z=1為，+1)=0,fCO）=\e~f2df=^(1I9o 2 e/(工)的單調(diào)減區(qū)間為(一00,—1)及(0,1) 的單調(diào)增區(qū)間為(一1,0)及(1,+oo).方法點評：本題考查變積分限形式表示的函數(shù)的單調(diào)性與極值.對變積分限形式的函數(shù)，有兩個習(xí)慣步驟：一是將被積分函數(shù)中去除上下限所含的變量（如本題被積函數(shù)中去除工），二是對變化后的函數(shù)求導(dǎo)數(shù).本題求單調(diào)區(qū)間與極值都屬于基礎(chǔ)知識范疇.(16)[解】(I)0<t<1時,ln(l+z)t.則當(dāng)te(0,1)，IIn/I[ln(l<rIIn^于是JIIn/I[ln(1td/￡I1ZnIInrId/.J0n方法一 由(I得 +t)W Int|dr9即J0nt|ck9而[廣|In/|ck 1 *lnzd+) 1 1J0 7Z+1o z?+1 n+1Int 0tndt1 #”+l1 J.lnzo+TTTI)71因為lr+"In =lm~r~=lim 7+T=一丄雪嚴(yán)+ + 丄 —o+,”+l ”+2所以 n/|dt=-----/ ；從而0￡ ndD+刀了w訂行(n+1) 0由夾逼定理得limfIInZIEln(lr)]"ck=O.n->ooJ0方法二 0 |In￡|[ln(l+ ￡l2j|In￡|d￡9即0 nnn2|1|InZ|dz,J0 01 1而||Inf|dz=— Intdt=—t\nt + At=—t\nt +19J0 J0 0 J0 01由limnt=lim——=lim------=lim—)=09得 nf|ck=19—o+ + _+ '~7 —P于是0w "2注意lil2=0由夾逼定理得li”=0.njj?95?(17)【(17)【解】 dy_^y/At_0'(￡)djc dj?/ck 2+2t(2+2/)t)—2/)(2+2z2 =(l+t/&)d2 djr/dr 2+2/ 4(lz3市d?j/ 3 /曰1+/)0t)—，) 3由4(1+/侍 4(1+刀3 =4(1+/，+39于是得滿足初始條件的微分方程為丿 (1+°5°(1)=—,/'(I)=6.方法一 由-----—■~-------=3(/)一 一(/)=(1+/,(1+? 1+/⑺3(1+譏卜丘"曲+C卜幣"=0(1+/)+3/(1+/),由力(1)=6得G=9于是 =3/(11，。(上)/(1+t)dr=2+3+C?9由 (1=5。29。)=32+?— —方法二 得/帛〔3從而豊2=別+°，(1+z20Z(z)=3/(1/)Ci(l/).由°'(1)=6得Ci=于是=3/(11)9積分得/(f)=3^(1+/)df=—2+3+2?5 3由°(1二得C?9故0(2+3方法點評：本題是參數(shù)方程求導(dǎo)數(shù)與微分方程綜合問題，先求導(dǎo)數(shù)9根據(jù)所給條件得到微分方程，解微分方程，并根據(jù)初始條件求出未知函數(shù)，本題微分方程的解法二注意掌握.(18【解】 建立如圖所示的坐標(biāo)，油罐底面為橢圓方程3+^=1，a b方法一 工軸下方的半橢圓面積為7rab,，96abab6(1+cos2t)ck=abo T+Tsin血o口面積為S=S|十S2=（竽+晉必體積為—俘+ abl9故油的質(zhì)量為m=pV方法二 設(shè)油面高度上方截口面積為，t?6cost^t 2ab^:cosLdt?|+*sin2tT 7Tabn(1cos2才)dr=ab石 7油面截口面積為S=nab—ab7T 43 孚+的體積為V=Sl 孚+ abl,故油的質(zhì)量為m=pV=2兀 ^3T+Tabl.CQ\r的、 3u—3u 韭丄3“ 3r]_3u (19)【解】狂=亦?狂+石?狂=亦+斫dx乜 du 3ddu dr) ddu du?----1 _=tz—+6 ,3y 0E d3) J d3^ dr/d2U 2U 弋_ du 7, 3u 3^ d2u 3_^u 2u ,3ud：2 —? -------?-----|Fc.-? 2* d2 工d^drj dx 3rd^ dx dl 狂—走23^d吋du /u ^ d2u 可 2U 二+.辺時=°\32 dy dgdrj dy +bdr]d^ dy (?2 3y/2 W d2u 2 d2u=aTT+2ab----Hb329d^dr)2U d2u 3f d2U +d2u?33^|---2u3)d：dy ?Hd^drc— dy'dr3^ dJ )2 dydyd2u d2U=CL-Q+b)此2代入原方程得護 g2 du(5(2+12a+4)-+[_10ab+12(a+b)+8]d^drj+(5臚+12b+4)7 0,3V52+12q+4=09 —2， ￡a由題意得?562+12+40, 或?12(qb)8HO9 b=2.方法點評1變換前函數(shù)關(guān)系u-a-,3在變換 +ay,/=x+b函&—t（工v）u=E,,4=少（）,即訶為中間變量?97?____2U ____卩II __2U2,dxdy'dy2'(2)因為“=/(工，夕)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，所以云普=廠2d^) 可吐(20)【解】積分區(qū)域化為直角坐標(biāo)形式表示為D={(j,jy)IOWWIH：貝=2n9』\一$cos20d0=jjy —x2 2drdyD D(：[y丿]一乂？)2*J0 Jo=丄fdrf(一2+j2)2d(l一j2+j22Jo Join i i iri i—- [1—(1—22]dr=--------— (1—2)2dr3Jo 3 3Jox=sint 1 +「cosSd/=+-+人 丄—丄亙丄三 1 7t"I oJ0 o o *Z*T*7 T_16'方法點評：用極坐標(biāo)法計算二重積分通常具備如下兩個特征之一：(1積分區(qū)域的邊界含+/； (2)被積函數(shù)中含2-V.本題無論是積分區(qū)域還是被積函數(shù)都應(yīng)該用直角坐標(biāo)法，故先將區(qū)域及被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)形式，再使用累次積分計算.3(21)【證明】 令FQ)=/(工)一才，F(xiàn)(0)=0, F(l)=0.由微分中值定理，存在WG(°，》)MG(二9使得p(y)-()=l7)=y)-],1)—() =5)L5 )/],兩式相加得)-o)=y[7)-2-]=0,故)+7)=2+2.)+/"=2+^2y()—孑=_/"—聲顯然等式兩邊需1 r ri要的輔助函數(shù)相同，都是顯然輔助函數(shù)在0,y與y-,1上使用拉格朗日中值定理即可.(22)【解】(I)因為線性方程組AX=b存在兩個不同解，所以r(A)=r(A)<3,于是|A|=0.A 1 1A 1由IA|=0 A—1 0(A—1) (A+1)入一12=0得入一1或入1.1 A1 1 A98-1 -1 1 1 a 1 1 -1 1 /I 1 -1: 1當(dāng)入=—1時A= 0 -2 0 0 2 0 -1 0 2 0 11 1 1 0 2 0 a+丿 o 0 0 :ar(A)=r(A)<3,a=-2-1 1 1 a\ 1 1 1: 1 \ /I 1 1當(dāng)入 1,A=0 0 0 1 0 0 0 1