2021屆高考數(shù)學(xué)(文)二輪高頻考點(diǎn)復(fù)習(xí)解密17-橢圓(解析版)

解密17橢圓1．（2019·全國(guó)高考真題（文））已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)F2的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為A． B． C． D．【答案】B【詳解】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．2．（2018·全國(guó)高考真題（文））已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的離心率為A． B． C． D．【答案】C【詳解】詳解：根據(jù)題意，可知，因?yàn)?，所以，即，所以橢圓的離心率為，故選C.3．（2018·全國(guó)高考真題（文））已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為A． B． C． D．【答案】D【詳解】詳解：在中，設(shè)，則，又由橢圓定義可知?jiǎng)t離心率，故選D.4．（2020·全國(guó)高考真題（文））已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過(guò)F且與x軸垂直的直線(xiàn)交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|．（1）求C1的離心率；（2）若C1的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線(xiàn)距離之和為12，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）；（2）：，：.【詳解】解：（1）因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為：,所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為，其中.不妨設(shè)在第一象限，因?yàn)闄E圓的方程為：，所以當(dāng)時(shí)，有，因此的縱坐標(biāo)分別為，；又因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的方程為，所以當(dāng)時(shí)，有，所以的縱坐標(biāo)分別為，，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的離心率為.（2）由（1）知，，故，所以的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，的準(zhǔn)線(xiàn)為.由已知得，即.所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為.5．（2020·全國(guó)高考真題（文））已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點(diǎn)．（1）求的方程；（2）若點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1），，根據(jù)離心率，解得或(舍)，的方程為：，即；（2）不妨設(shè),在x軸上方點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且，，過(guò)點(diǎn)作軸垂線(xiàn)，交點(diǎn)為，設(shè)與軸交點(diǎn)為根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖，，，又，，，根據(jù)三角形全等條件“”，可得：，，，，設(shè)點(diǎn)為，可得點(diǎn)縱坐標(biāo)為，將其代入，可得：，解得：或，點(diǎn)為或，①當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，故，，，可得：點(diǎn)為，畫(huà)出圖象，如圖,，可求得直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可得到直線(xiàn)的距離為：，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：，面積為：；②當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，故，，，可得：點(diǎn)為，畫(huà)出圖象，如圖,，可求得直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可得到直線(xiàn)的距離為：，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：，面積為：，綜上所述，面積為：.6．（2019·全國(guó)高考真題（文））已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.【答案】(1)；（2），a的取值范圍為.【詳解】（1）連結(jié)，由為等邊三角形可知：在中，，，，于是，故橢圓C的離心率為；（2）由題意可知，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)存在，當(dāng)且僅當(dāng)，，，即①②③由②③以及得，又由①知，故；由②③得，所以，從而，故；當(dāng)，時(shí)，存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn).故，a的取值范圍為.7．（2018·全國(guó)高考真題（文））已知斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)．線(xiàn)段的中點(diǎn)為．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．證明：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【詳解】詳解：（1）設(shè)，，則，．兩式相減，并由得．由題設(shè)知，，于是．由題設(shè)得，故．（2）由題意得F（1，0）．設(shè)，則．由（1）及題設(shè)得，．又點(diǎn)P在C上，所以，從而，．于是．同理．所以．故．1．（2021·北京平谷區(qū)·高三一模）已知橢圓的離心率為，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，求證：為定值．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【詳解】（1）由已知解得所以橢圓：．（2）證明：由已知斜率存在以下給出證明：由題意，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，則，由得，所以，，，，所以，即，直線(xiàn)的方程為，令得所以，令由得所以，所以=.2．（2021·山西高三一模（文））已知橢圓與的離心率相同，過(guò)的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線(xiàn)被橢圓截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(xiàn)與橢圓、的交點(diǎn)從上到下依次為、、、，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為，焦距為，將代入的方程可得，解得.由題意得，解得，因此的方程為；（2）設(shè)、、、，由，得（或），與、相交，只需當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，由韋達(dá)定理可得，所以，與的中點(diǎn)相同，所以，，即，整理可得，解得，滿(mǎn)足條件.3．（2021·內(nèi)蒙古包頭市·高三一模（文））已知橢圓：（）短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成等邊三角形，離心率和長(zhǎng)半軸的比值為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(xiàn)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線(xiàn)的方程．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）離心率和長(zhǎng)半軸的比值為，…①，短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成等邊三角形，…②，又…③，由①②③可解得：，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由題意可知：，直線(xiàn)傾斜角不為零，可設(shè)，由得：，設(shè)，，則，，，令，則，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），，此時(shí)，解得：，直線(xiàn)的方程為：，即.4．（2021·甘肅高三一模（文））已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，上、下頂點(diǎn)分別是，，離心率，短軸長(zhǎng)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，若，試求內(nèi)切圓的面積.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由題意得，又，解得，，所以橢圓的方程為.（2）由，，知的斜率為，因，故的斜率為，則直線(xiàn)的方程為，即，聯(lián)立可得：，設(shè)，，則，，則的面積，由的周長(zhǎng)，及，得內(nèi)切圓，所以的內(nèi)切圓面積為.5．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特市·高三一模（文））已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合，與分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)為上頂點(diǎn).若直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn).求證：是等腰三角形.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】解：（1）由題意得：，解得所以橢圓的方程是.（2）由已知得，，，設(shè)點(diǎn)，則有，又直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為，直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為，直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，為等腰三角形.6．（2021·河南平頂山市·（文））已知橢圓（）的離心率，過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于A，兩點(diǎn)，A在第一象限，且.（1）求橢圓的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的任一直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)、.證明：在軸上存在點(diǎn)，使得為定值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】解：（1）由得，設(shè)橢圓方程為，聯(lián)立方程組得.則，所以.所以.所以橢圓的方程為.（2）證明：當(dāng)直線(xiàn)不與軸重合時(shí)，設(shè)，聯(lián)立方程組得.設(shè)，，，則有，.于是，若為定值，則有，得，.此時(shí)；當(dāng)直線(xiàn)與軸重合時(shí)，，，也有.綜上，存在點(diǎn)，滿(mǎn)足.7．（2021·黑龍江大慶市·高三一模（文））已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓：，短軸長(zhǎng)為，橢圓左頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的方程．【答案】（1）；（2）或.【詳解】（1）由，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）法一：由題意知，直線(xiàn)斜率不為，，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，由，得，即，.又，解得，∴直線(xiàn)的方程為或.法二：由（1）知，，當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為3，所以，所以直線(xiàn)斜率存在.設(shè)直線(xiàn)斜率為，則直線(xiàn)的方程為，、，由得，所以，.∴.因?yàn)辄c(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以，即，得，∴直線(xiàn)的方程為或.8．（2021·廣西南寧市·高三一模（文））已知經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)與離心率為的橢圓交于A，B兩點(diǎn)，、是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且面積的最大值為1.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖所示，設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Р的橢圓C的切線(xiàn)與交于點(diǎn)M.記直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，證明：為定值，并求出該定值.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，所以，又，解得，所以橢圓的方程是.（2）設(shè)直線(xiàn)PM：與聯(lián)立得：，因?yàn)镻M是橢圓的切線(xiàn)，所以，即，由，得，所以，則，設(shè)，則①，因?yàn)椋寓?，將①②代入，得，因?yàn)橥?hào)，所以，因?yàn)镸在直線(xiàn)上，所以，所以，所以,.9．（2021·廣東深圳市·高三一模）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，以、為焦點(diǎn)的橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，以為直徑的圓和恰好有兩個(gè)交點(diǎn).（1）求的方程；（2）是外的一點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)、均與相切，且、的斜率之積為，記為的最小值，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由題意可得，，又因?yàn)橐詾橹睆降膱A和恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，則，，可得，因此，橢圓的方程為；（2）由題意可知，直線(xiàn)、的斜率存在且不為零，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)，聯(lián)立，消去可得，由于直線(xiàn)與橢圓相切，則，化簡(jiǎn)并整理得，整理成關(guān)于的二次方程得（易知），設(shè)直線(xiàn)、的斜率分別為、，易知、為關(guān)于的二次方程