矩陣特征值與特征向量的性質(zhì)及應(yīng)用

PAGEPAGE4矩陣特征值與特征向量的性質(zhì)及應(yīng)用1引言矩陣特征值與特征向量在天文學(xué)﹑地震學(xué)﹑遺傳學(xué)﹑經(jīng)濟(jì)學(xué)﹑幾何學(xué)﹑振動(dòng)力學(xué)等幾十個(gè)學(xué)科都有具體的應(yīng)用．它不僅是線性代數(shù)中一個(gè)重要的基本概念，同時(shí)也是數(shù)學(xué)研究與應(yīng)用的一個(gè)重要工具．本文從6個(gè)方面對它的應(yīng)用進(jìn)行了探討，同時(shí)也給出了一些相關(guān)命題的證明．希望為廣大學(xué)者學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)提供參考．為了便于學(xué)習(xí)這部分知識(shí)，我們給出若干定義．定義設(shè)為數(shù)域上線性空間的一個(gè)線性變換，如果對于數(shù)域中的一個(gè)數(shù)，存在一個(gè)非零向量，使得，則稱為的特征值，而稱為的屬于特征值的一個(gè)特征向量．定義設(shè)，是數(shù)域上的兩個(gè)階矩陣，如果存在數(shù)域上的階可逆矩陣，使得，則稱相似與，記為～．定義設(shè)是一個(gè)數(shù)域，，矩陣的主對角上所有的元素之和叫矩陣的跡．記．定義設(shè)是數(shù)域上一個(gè)階矩陣，如果存在上一個(gè)階可逆矩陣，使得具有對角形式，就說矩陣可以對角化．定義階行列式的元素的余子式附以符號后，叫做元素的代數(shù)余子式．２有關(guān)特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)數(shù)域上的階矩陣可對角化的充要條件是有個(gè)線性無關(guān)的特征向量．性質(zhì)數(shù)域上的階矩陣可對角化的充分條件是有個(gè)不同的特征值．性質(zhì)若階矩陣與相似，則⑴；⑵=；⑶=；⑷與相似，與相似，與相似（如果可逆的話）；⑸若是數(shù)域上任一多項(xiàng)式，則∽；⑹∽；若∽，則∽；若∽，∽，則∽．性質(zhì)設(shè)階方陣=（）的幾個(gè)特征值為，，…，，則．．性質(zhì)設(shè)，，則．性質(zhì)6設(shè)，為階方陣，試證（1）（2）（3）（4）（其中為正交矩陣）．證明設(shè)，．則．（１）．（２）．（３）．．（4）由（3）易得．性質(zhì)7相似矩陣具有相同的跡．證明因?yàn)橄嗨疲瑒t存在可逆矩陣，使，因此，．所以，有相同的特征多項(xiàng)式．即相似矩陣具有相同的特征值．由矩陣跡的定義知，相似矩陣具有相同的跡．３應(yīng)用舉例3.1已知矩陣的特征值，反求矩陣的問題．例1設(shè)有特征值，求矩陣，問是否可以對角化？說明理由．分析由題意知這是已知矩陣中部分特征值來確定矩陣中的參數(shù)問題，這類問題一般用特征方程=0求解．解因?yàn)榫鶠榈奶卣髦担杂校矗?1)．(2)聯(lián)立（1）（2）解得．根據(jù)．因?yàn)榧?，又因?yàn)橛?個(gè)不同的特征值，，所以可以對角化．3.2求相似矩陣中的參數(shù)例2已知矩陣相似，其中，求參數(shù)的值．分析已知相似，可以由的特征多項(xiàng)式相同．即來確定矩陣中的參數(shù)，也可以利用．等結(jié)論．此題解法不唯一，在此只給出一種解法．解因?yàn)橄嗨疲嗨凭仃嚲哂邢嗤奶卣髦?，所以的三個(gè)特征值分別為．再利用，即解之得3.3已知矩陣特征值，求代數(shù)余子式的和例3已知3階方陣的特征值為2，－3，4，求，其中為的代數(shù)余子式．分析因?yàn)闆]有給出組成的數(shù)，給出的條件是知道的特征值，所以要從特征值的性質(zhì)入手．解因?yàn)?，所以．另一方面，其中，，為的特征值．由題設(shè)的特征值為2，－3，4．所以故為可逆矩陣，且．由題設(shè)A的特征值為2，－3，4，可推出的特征值為．可推出的3個(gè)特征值為所以3.4已知特征向量，求矩陣及特征向量所對應(yīng)的特征值例4已知＝是矩陣的一個(gè)特征向量．⑴試確定參數(shù)及特征向量所對應(yīng)的特征值．⑵問能否相似與對角矩陣？試說明理由．解由得=，得解得由于，==．所以，的特征值為．可求得，從而對應(yīng)的三重特征值-1只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故不可以對角化．3.5抽象矩陣的求解例5設(shè)為4階實(shí)矩陣，記的伴隨矩陣為，已知的特征值為．求．分析本例沒有給出構(gòu)成矩陣的數(shù)，而要求矩陣的多項(xiàng)式的行列式，教材上給的計(jì)算行列式的技巧都用不上只有從性質(zhì)（３）（４）入手找出矩陣的多項(xiàng)式的全部特征值．解由題設(shè)，知為可逆矩陣，從而也為可逆矩陣，且由及是實(shí)矩陣，是實(shí)數(shù)推出=3．從而．由性質(zhì)（４）知的特征值為可推出的特征值．為．從而的特征值為?。实奶卣髦禐?，，3.6矩陣跡的應(yīng)用例６試證明不可能有階方陣，滿足．證明由性質(zhì)（５）、（６）得．而，故對任意方陣，都有．本文在研究矩陣特征值與特征向量性質(zhì)的基礎(chǔ)上，給出了6種典型例題的解法．使看似無法入手的問題得到了解決，另外，邵麗麗在文獻(xiàn)[7]中就階矩陣高次冪的求解﹑矩陣反問題的求解以及矩陣的逆矩陣的伴隨矩陣等問題進(jìn)行了詳細(xì)的探討；歐云華在文獻(xiàn)[5]中給出了一種求解矩陣的新方法．唐鵬程、鄒本強(qiáng)、殷慶祥分別在文獻(xiàn)[4]、[6]、[8]對矩陣的特征值的性質(zhì)進(jìn)行了探討．在此不在一一介紹有興趣的讀者可以參考詳文．參考文獻(xiàn)：[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系代數(shù)小組與幾何小組代數(shù)小組編．高等代數(shù)（第三版）[M]．北京：北京高等教育出版社，2003[2]張禾瑞．高等代數(shù)（第四版）［M］．高等教育出版社，1997[3]徐仲，陸全，張凱院等．高等代數(shù)導(dǎo)教·導(dǎo)學(xué)·導(dǎo)考（第二版）[M]．西安：西北工業(yè)出版社，2004[4]唐鵬程．矩陣跡的應(yīng)用[J]．孝感學(xué)院學(xué)報(bào)，2000，4[5]歐云華．求特征根﹑特征向量的新方法[J]．長沙大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，4[6]鄒本強(qiáng)．特殊矩陣的性質(zhì)[J]．重慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，5[7]邵麗麗．矩陣特征值﹑特征向量性質(zhì)的應(yīng)用研究[J]．荷澤學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，5[8]殷慶祥．實(shí)對稱矩陣特征值的性質(zhì)與計(jì)算[J]．長春理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，4[9]W．G