2021-2023年全國高考數(shù)學(xué)典例真題匯編（新高考模式訓(xùn)練）30

試卷第1頁，共SECTIONPAGES1頁2021-2023年全國高考數(shù)學(xué)典例真題匯編（新高考模式訓(xùn)練）30姓名：___________班級：___________一．單選題1．【2021-北京數(shù)學(xué)高考真題】某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）A. B.4 C. D.22．【2023-全國數(shù)學(xué)甲卷（文）高考真題】（）A. B.1 C. D.3．【2023-全國數(shù)學(xué)乙卷（文）高考真題】如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（）A.24 B.26 C.28 D.304．【2023-北京數(shù)學(xué)乙卷高考真題】在中，，則（）A. B. C. D.5．【2021-全國新高II卷】正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（）A. B. C. D.6．【2021-全國甲卷（理）】將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A. B. C. D.7．【2021-浙江卷】如圖已知正方體，M，N分別是，的中點(diǎn)，則（）A.直線與直線垂直，直線平面B.直線與直線平行，直線平面C.直線與直線相交，直線平面D.直線與直線異面，直線平面8．【2021-北京數(shù)學(xué)高考真題】定義：24小時內(nèi)降水在平地上積水厚度（）來判斷降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一個圓錐形容器接了24小時的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個等級（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨二．多選題9．【2021-新高考Ⅰ卷】有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中(為非零常數(shù)，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同10．【2021-全國新高II卷】如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（）A. B.C. D.11．【2021-全國新高II卷】設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（）A. B.C. D.三．填空題12．【2021-天津卷】是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_____________．13．【2022-全國甲卷數(shù)學(xué)高考真題】設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．14．【2022-全國甲卷數(shù)學(xué)高考真題】從正方體的8個頂點(diǎn)中任選4個，則這4個點(diǎn)在同一個平面的概率為________．四．解答題15．【2023-天津卷數(shù)學(xué)真題】在中，角所對的邊分別是．已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求．16．【2021-浙江卷】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.17．【2021-全國新高II卷】記是公差不為0等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．18．【2023-全國數(shù)學(xué)甲卷（文）高考真題】已知點(diǎn)，直線（為參數(shù)），為的傾斜角，與軸正半軸、軸正半軸分別交于，且．（1）求；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求的極坐標(biāo)方程．19．【2023-全國數(shù)學(xué)乙卷（文）高考真題】已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．答案第1頁，共SECTIONPAGES1頁2021-2023年全國高考數(shù)學(xué)典例真題匯編（新高考模式訓(xùn)練）30【參考答案】1．答案:A解析：根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐，其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長為1，故其表面積為，故選：A.

2．答案:C解析：故選：C.3．答案:D解析：如圖所示，在長方體中，，，點(diǎn)為所在棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為所在棱的中點(diǎn)，則三視圖所對應(yīng)的幾何體為長方體去掉長方體之后所得的幾何體，該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，其表面積為：.故選：D.4．答案:B解析：因?yàn)?，所以由正弦定理得，即，則，故，又，所以.故選：B.5．答案:D解析：作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，所以該棱臺的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺的體積.故選：D.6．答案:C解析：將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為.故選：C.7．答案:A解析：連，在正方體中，M是的中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，又N是的中點(diǎn)，所以，平面平面，所以平面.因?yàn)椴淮怪保圆淮怪眲t不垂直平面，所以選項(xiàng)B,D不正確；在正方體中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直線是異面直線，所以選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)A正確.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關(guān)系是解題的關(guān)鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個面對角線互相垂直，正方體的對角線與面的對角線是相交但不垂直或異面垂直關(guān)系.8．答案:B解析：由題意，一個半徑為的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為，高為的圓錐，所以積水厚度，屬于中雨故選：B.

9．答案:CD解析：A：且，故平均數(shù)不相同，錯誤；B：若第一組中位數(shù)為，則第二組的中位數(shù)為，顯然不相同，錯誤；C：，故方差相同，正確；D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；故選：CD10．答案:BC解析：設(shè)正方體的棱長為，對于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，直角三角形，，，故，故不成立，故A錯誤.對于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯誤.故選：BC.11．答案:ACD解析：對于A選項(xiàng)，，，所以，，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，取，，，而，則，即，B選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，，所以，，，所以，，因此，，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，故，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.12．答案:解析：.故答案為：.13．答案:解析：解：設(shè)與的夾角為，因?yàn)榕c的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．

14．答案:.解析：從正方體的個頂點(diǎn)中任取個，有個結(jié)果，這個點(diǎn)在同一個平面的有個，故所求概率．故答案為：．

15．答案:（1）（2）（3）解析：（2）根據(jù)余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出，再由平方關(guān)系求出，即可由兩角差的正弦公式求出．【小問1詳解】由正弦定理可得，，即，解得：；【小問2詳解】由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．【小問3詳解】由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，故．16．答案:（1）證明見解析；（2）．解析：（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)?，所以，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點(diǎn)，所以.由（1）得平面，所以平面的一個法向量從而直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關(guān)系的直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計(jì)算得出．17．答案:(1)；(2)7.解析：(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.18．答案:（1）（2）解析：（2）求出直線的普通方程，再根據(jù)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)互化公式即可解出．【小問1詳解】因?yàn)榕c軸，軸正半軸交于兩點(diǎn)，所以，令，，令，，所以，所以，即，解得，因?yàn)?，所以．【小?詳解】由（1）可知，直線的斜率為，且過點(diǎn)，所以直線的普通方程為：，即，由可得直線的極坐標(biāo)方程為．19．答案:（1）（2）證明見詳解解析：（2）設(shè)直線方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可.【小問1詳解】由題