第02講 實際問題與反比例函數(shù)（學生版）

第二十六章反比例函數(shù)26.2實際問題與反比例函數(shù)目標導航目標導航課程標準課標解讀能用反比例函數(shù)解決簡單實際問題。能夠掌握用反比例函數(shù)解決實際問題的一般步驟，從而列出方程，解決實際問題知識精講知識精講知識點實際問題與反比例函數(shù)用反比例函數(shù)解決實際問題的一般步驟：①定：審題確定出問題中的兩個變量，并用字母表示出來。②求：用待定系數(shù)法或列方程法求出函數(shù)解析式，并求出自變量的取值范圍。③解：利用反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問題、解決問題，得到數(shù)學結(jié)論。④答：寫出實際問題的答案?！疚Ⅻc撥】①待定系數(shù)法：若題目中已知是反比例函數(shù)，則設其解析式為()，然后將x，y的值代入，求出k值即可。②列方程法：若題目中不知是什么函數(shù)，通常列出關(guān)于兩個變量x，y的方程，變形即可得到函數(shù)解析式?！炯磳W即練1】某電子產(chǎn)品的售價為8000元，購買該產(chǎn)品時可分期付款：前期付款3000元，后期每個月分別付相同的數(shù)額，則每個月付款額y（元）與付款月數(shù)x（x為正整數(shù)）之間的函數(shù)關(guān)系式是（）A． B． C． D．【即學即練2】已知近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）之間成反比例函數(shù)關(guān)系，如圖所示，則眼鏡度數(shù)y與鏡片焦距x之間的函數(shù)關(guān)系式是（）A． B． C． D．能力拓展能力拓展考法實際問題與反比例函數(shù)【典例1】為了響應“綠水青山就是金山銀山”的號召，建設生態(tài)文明，某工廠自2019年1月開始限產(chǎn)進行治污改造，其月利潤y（萬元）與月份x之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數(shù)圖象的一部分，治污完成后是一次函數(shù)圖象的一部分，下列選項錯誤的是（

）A．4月份的利潤為50萬元B．治污改造完成后每月利潤比前一個月增加30萬元C．治污改造完成前后共有4個月的利潤低于100萬元D．9月份該廠利潤達到200萬元【典例2】學校的自動飲水機，開機加熱時每分鐘上升10℃，加熱到100℃，停止加熱，水溫開始下降．此時水溫（℃）與通電時間成反比例關(guān)系．當水溫降至20℃時，飲水機再自動加熱，若水溫在20℃時接通電源，水溫y與通電時間x之間的關(guān)系如圖所示，則下列說法中正確的是（

）A．水溫從20℃加熱到100℃，需要B．水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式是C．上午8點接通電源，可以保證當天9：30能喝到不超過40℃的水D．水溫不低于30℃的時間為分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．兩個物體A，B所受的壓強分別為，（都為常數(shù)）．它們所受壓力F與受力面積S的函數(shù)關(guān)系圖象分別是射線、，已知壓強，則（

）A． B． C． D．2．在壓力不變的情況下，某物體所受到的壓強P（Pa）與它的受力面積S（）之間成反比例函數(shù)關(guān)系，且當S＝0.1時，P＝1000．下列說法中，錯誤的是（

）A．P與S之間的函數(shù)表達式為B．當S＝0.4時，P＝250C．當受力面積小于時，壓強大于500PaD．該物體所受到的壓強隨著它的受力面積的增大而增大3．某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變的條件下，氣球內(nèi)氣體的壓強是氣球體積的反比例函數(shù)，其圖像經(jīng)過點A（如圖）．當氣球內(nèi)的氣壓大于144kPa時，氣球?qū)⒈?，為確保氣球不爆炸，該氣球的體積應（

）A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于4．在對物體做功一定的情況下，力F（N）與此物體在力的方向上移動的距離s（m）成反比例函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示，點在其圖象上，則當力達到10N時，物體在力的方向上移動的距離是（

）A．2.4m B．1.2m C．1m D．0.5m5．根據(jù)物理學知識，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強是它的受力面積的反比例函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖所示，當時，該物體承受的壓強p的值為_________Pa．6．研究發(fā)現(xiàn)，近視鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例函數(shù)關(guān)系，小明佩戴的400度近視鏡片的焦距為0.25米，經(jīng)過一段時間的矯正治療加之注意用眼和健康，現(xiàn)在鏡片焦距為0.5米，則小明的近視鏡度數(shù)可以調(diào)整為__________度．7．一輛汽車從甲地開往乙地，隨著汽車平均速度的變化，到達時所用的時間的變化情況如圖所示，那么行駛過程中與的函數(shù)表達式為________．8．如圖，一輛汽車勻速通過某段公路，所需時間與行駛速度的圖像為雙曲線的一段，若這段公路行駛速度不得超過，則該汽車通過這段公路最少需要_____h．9．近視鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（m）成反比例函數(shù)關(guān)系，已知400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25m．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．(2)當近視眼鏡的度數(shù)時，求近視眼鏡鏡片焦距x的值．10．某氣球內(nèi)充滿了一定量的氣體，當溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓是氣體體積的反比例函數(shù)，其圖像如圖所示．(1)求這個函數(shù)的解析式；(2)當氣體體積為時，氣壓是多少？(3)當氣球內(nèi)的氣壓大于時，氣球?qū)⒈?，為了安全起見，氣體的體積應不小于多少？題組B能力提升練1．某學校對教室采用藥薰消毒法進行消毒．現(xiàn)測得不同時刻的與的數(shù)據(jù)如表：時間分鐘含藥量毫克則下列圖象中，能表示與的函數(shù)關(guān)系的圖象可能是（

）A． B．C． D．2．為做好疫情防控工作，學校對教室進行噴霧消毒，已知噴霧階段教室內(nèi)每立方米空氣中含藥量與時間成正比例，噴霧完成后y與x成反比例（如圖所示）．當每立方米空氣中含藥量低于時，對人體方能無毒害作用，則下列說法中正確的是（

）A．每立方米空氣中含藥量從上升到需要B．每立方米空氣中含藥量下降過程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式是C．為了確保對人體無毒害作用，噴霧完成后學生才能進入教室D．每立方米空氣中含藥量不低于的持續(xù)時間為3．當今，各種造型的氣球深受小朋友喜愛．如圖1是“冰墩墩”造型的氣球，氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓p（kPa）是氣球體積V（m3）的反比例函數(shù)，其圖象如圖2所示，當氣球內(nèi)的氣壓大于200kPa時，氣球?qū)⒈?，為了安全起見，氣球的體積V的范圍為（）A．V＞0.48m3 B．V＜0.48m3 C．V≥0.48m3 D．V≤0.48m34．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于點A(﹣1，y1)、B(1，y2)、C(3，y3)三個點，則不等式ax2+bx+c＞的解集是（

）A．﹣1＜x＜0或1＜x＜3 B．x＜﹣1或1＜x＜3C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜15．密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的二氧化碳，當容器的體積V（單位：）變化時，氣體的密度（單位：）隨之變化．已知密度與體積V是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖像如圖所示．則當時，二氧化碳的密度為___________．6．如圖是函數(shù)和函數(shù)在第一象限部分的圖象，則時，使成立的x的取值范圍是_____．7．某品牌飲水機中原有水的溫度為20℃，通電開機后，飲水機自動開始加熱（此過程中，水溫y℃與開機時間x分滿足一次函數(shù)關(guān)系），當加熱到100℃時自動停止加熱，隨后水溫開始下降（此過程中水溫y℃與開機時間x分成反比例關(guān)系），當水溫降至20℃時，飲水機又自動開始加熱，……，重復上述程序（如圖所示），那么開機后50分鐘時，水的溫度是______℃．8．如圖是4個臺階的示意圖，每個臺階的高和寬分別是1和2，每個臺階凸出的角的頂點記作（為1~4的整數(shù)），函數(shù)（）的圖象為曲線．若曲線使得，這些點分布在它的兩側(cè)，每側(cè)各2個點，則的取值范圍是______．9．某科技有限公司成功研制出一種市場急需的電子產(chǎn)品，已于當年投入生產(chǎn)并進行銷售，已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)品的成本為4元/件，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：每年的年銷售量y（萬件）與銷售價格x（元/件）的關(guān)系如圖，其中段為反比例函數(shù)圖象的一部分，設公司銷售這種電子產(chǎn)品的年利潤為w（萬元）．(1)請求出y（萬件）與x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求出這種電子產(chǎn)品的年利潤w（萬元）與x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出年利潤的最大值．10．商場出售一批進價為2元的賀卡，在市場營銷中發(fā)現(xiàn)此商品日銷售單價x（元）與日銷售量y（張）之間有如下關(guān)系：x/元3456y/張20151210(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式______；(2)設經(jīng)營此賀卡的日銷售利潤為W（元），試求出W關(guān)于x的函數(shù)解析式，若物價局規(guī)定此賀卡的日銷售單價最高不能超過10元/張，請你求出當日銷售單價x定為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤，并求出最大日銷售利潤．題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖，點A的坐標是(-2,0)，點B的坐標是(0,6)，C為OB的中點，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到．若反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過的中點D，則k的值是（）A．9 B．12 C．15 D．182．已知：如圖，在平面直角坐標系中，有菱形OABC，點A的坐標為(10，0)，對角線OB、AC相交于點D，雙曲線(x>0)經(jīng)過點D，交BC的延長線于點E，且OB·AC＝160，有下列四個結(jié)論：①雙曲線的解析式為y＝(x>0)；②點E的坐標是(4，8)；③sin∠COA＝；④AC＋OB＝12．其中正確的結(jié)論有（

）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個3．如圖，∠AOB=90°，且OA、OB分別與反比例函數(shù)y=（x＞0）、y=﹣（x＜0）的圖象交于A、B兩點，則tan∠OAB的值是（）A． B． C．1 D．4．如圖，曲線C2是雙曲線C1：y=（x＞0）繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到的圖形，P是曲線C2上任意一點，點A在直線l：y=x上，且PA=PO，則△POA的面積等于（）A． B．6 C．3 D．125．如圖，點A是射線y═（x≥0）上一點，過點A作AB⊥x軸于點B，以AB為邊在其右側(cè)作正方形ABCD，過點A的雙曲線y＝交CD邊于點E，則的值為_____．6．以矩形ABCD兩條對角線的交點O為坐標原點，以平行于兩邊的方向為坐標軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，BE⊥AC，垂足為E．若雙曲線y=（x＞0）經(jīng)過點D，則OB?BE的值為___．7．如圖，在平面直角坐標系中，正方形的中心在原點O，且正方形的一組對邊與x軸平行，P(2a，a)是反比例函數(shù)y＝的圖象與正方形的邊的一個交點，則圖中陰影部分的面積是________．8．如圖是某種電子理療設備工作原理的示意圖，其開始工作時的溫度是20℃，然后按照一次函數(shù)關(guān)系一直增加到70℃，這樣有利于打通病灶部位的血液循環(huán)，在此溫度下再沿反比例函數(shù)關(guān)系緩慢下降至35℃，然后在此基礎(chǔ)上又沿著一次函數(shù)關(guān)系一直將溫度升至70℃，再在此溫度下沿著反比例函數(shù)關(guān)系緩慢下降至35℃，如此循環(huán)下去．（1）的值為________；（2）如果在分鐘內(nèi)溫度大于或等于50℃時，治療效果最好，則維持這個溫度范圍的持續(xù)時間為________分鐘．9．1896年，挪威生理學家古德貝發(fā)現(xiàn)，每個人有一條腿邁出的步子比另一條腿邁出的步子長的特點，這就導致每個人在蒙上眼睛行走時，雖然主觀上沿某一方向直線前進，但實際上走出的是一個大圓圈！這就是有趣的“瞎轉(zhuǎn)圈”現(xiàn)象．經(jīng)研究，某人蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑y(tǒng)/米是其兩腿邁出的步長之差x/厘米()的反比例函數(shù)，其圖象如下圖所示所示．請根據(jù)圖象中的信息解決下列問題：(1)求y與x之間的函數(shù)表達式；(2)當某人兩腿邁出的步長之差為0.5厘米時，他蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑為多少米？(3)若某人蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑不小于35米，則其兩腿邁出的步長之差最多是多少厘米？10．某電子科技公司研發(fā)出一套學習軟件，并對這套學習軟件在24周的銷售時間內(nèi)，做出了下面的預測：設第x周該軟件的周銷售量為T（單位：千套），當0＜x≤8時，T與x+4成反比；當8＜x≤24時．T﹣2與x成正比，并預測得到了如表中對應的數(shù)據(jù)．設第x周銷售該軟件每千套的利潤為K（單位：千元），K與x滿足如圖中的函數(shù)關(guān)系圖象：x/周824T/千套1026(1)求T與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)觀察圖象，當12≤x≤24時，K與x的函數(shù)關(guān)系式為________．(3)設第x周銷售該學習軟件所獲的周利潤總額為y（單位：千元），則：①在這24周的銷售時間內(nèi)，是否存在所獲周利潤總額不變的情況？若存在，求出這個不變的值；若不存在，請說明理由．②該公司銷售部門通過大數(shù)據(jù)模擬分析后認為，最有利于該學習軟件提供售后服務和銷售的周利潤總額的范圍是286≤y≤504，求在此范圍內(nèi)對應的周銷售量T的最小值和最大值．11．習總書記強調(diào)，實行垃圾分類，關(guān)系廣大人民群眾生活環(huán)境，關(guān)系節(jié)約使用資源，也是社會文明水平的一個重要體現(xiàn)．為改善城市生態(tài)環(huán)境，某市決定從6月1日起，在全市實行生活垃圾分類處理，某街道計劃建造垃圾初級處理點20個，解決垃圾投放問題．有A、B兩種類型垃圾處理點，其占地面積、可供使用居民樓幢數(shù)及造價見表：類型占地面積可供使用幢數(shù)造價（萬元）A15181.5B20302.1(1)已知該街道可供建造垃圾初級處理點的占地面積不超過370m2，如何分配A、B兩種類型垃圾處理點的數(shù)量，才能夠滿足該街道490幢居民樓的垃圾投放需求，且使得建造方案最省錢？(2)當建造方案最省錢時，經(jīng)測算，該街道垃圾月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可以近似的表示為：，若每個B型處理點的垃圾月處理量是A型處理點的1.2倍，該街道建造的每個A型處理點每月處理量為多少噸時，才能使該街道每噸垃圾的月處理成本最低？（精確到0.1）12．為了探索函數(shù)的圖象與性質(zhì)，我們參照學習函數(shù)的過程與方法，列表：x…12345…y…2…描點：在平面直角坐標系中，以自變量x的取值為橫坐標，以相應的函數(shù)值y為縱坐標，