第1章 二次函數(shù)（基礎、典型、易錯、壓軸）分類專項訓練（解析版）

第1章二次函數(shù)（基礎、典型、易錯、壓軸）分類專項訓練【基礎】一、單選題1．（2022·浙江杭州·九年級期末）在平面直角坐標系中，將拋物線y＝x2先向左平移3個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線表達式為（

）A．y＝（x＋3）2＋2 B．y＝（x＋3）2﹣2 C．x＝（x﹣3）2＋2 D．y＝（x﹣3）2﹣2【答案】A【分析】根據“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．【詳解】解：由“上加下減，左加右減”的原則可知，將拋物線y=x2先向左平移3個單位，再向上平移2個單位后所得拋物線的解析式為y=（x+3）2+2．故選：A．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關鍵．2．（2022·浙江·九年級專題練習）已知函數(shù)y＝ax2+bx，當x＝1時，y＝﹣1；當x＝﹣1時，y＝2，則a，b的值分別是（

）A．，﹣ B．， C．1，2 D．﹣1，2【答案】A【分析】把兩組對應值分別代入y＝ax2+bx中得到關于a、b的方程組，然后解方程組即可．【詳解】解：根據題意得：，解得，故選：A．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關鍵．3．（2022·浙江·九年級專題練習）下列函數(shù)表達式中，一定為二次函數(shù)的是（

）A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c C．h＝ D．y＝x2+【答案】C【分析】根據二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)進行分析．【詳解】解：A.是一次函數(shù)，故此選項錯誤；B.當a≠0時，是二次函數(shù)，故此選項錯誤；C.是二次函數(shù)，故此選項正確；D.含有分式，不是二次函數(shù)，故此選項錯誤；故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)定義，判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項系數(shù)不為0這個關鍵條件．4．（2022·浙江·九年級專題練習）若y與x2成正比例，且當x＝2時，y＝4，則當x＝﹣3時，y的值為（

）A．4 B．9 C．12 D．﹣5【答案】B【分析】根據題意設y＝kx2（k≠0），將x＝2，y＝4代入函數(shù)解析式，列出關于系數(shù)k的方程，借助于方程即可求得k的值，求得解析式，然后代入x＝﹣3求得即可．【詳解】解：∵y與x2成正比例，∴設y＝kx2（k≠0）．∵當x＝2時，y＝4，∴4＝4k，解得，k＝1，∴該函數(shù)解析式為：y＝x2，把x＝﹣3代入得，y＝9，故選：B．【點睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，正確設出函數(shù)關系式是解題關鍵．5．（2022·浙江·九年級專題練習）一個二次函數(shù)，當x＝0時，y＝﹣5；當x＝﹣1時，y＝﹣4；當x＝﹣2時，y＝5，則這個二次函數(shù)的關系式是（

）A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5【答案】A【分析】設二次函數(shù)的關系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由當x＝0時，y＝﹣5；當x＝﹣1時，y＝﹣4；當x＝﹣2時，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程組，解方程組確定a，b，c的值即可．【詳解】解：設二次函數(shù)的關系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），∵當x＝0時，y＝﹣5；當x＝﹣1時，y＝﹣4；當x＝﹣2時，y＝5，∴c＝﹣5①，a﹣b+c＝﹣4②，4a﹣2b+c＝5③，解由①②③組成的方程組得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，所以二次函數(shù)的關系式為：y＝4x2+3x﹣5．故選：A．【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式．設二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），通過解方程組確定a，b，c的值．6．（2022·浙江·九年級專題練習）小穎用計算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如圖所示二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象，并求得一個近似根為x＝﹣4.3，則方程的另一個近似根為（

）（精確到0.1）A．x＝4.3 B．x＝3.3 C．x＝2.3 D．x＝1.3【答案】C【分析】根據拋物線與x軸的一個交點為（﹣4.3，0），又拋物線的對稱軸為：x＝﹣1，即可求解．【詳解】解：∵拋物線與x軸的一個交點為（﹣4.3，0），又拋物線的對稱軸為：x＝﹣1，∴另一個交點坐標為：（2.3，0），則方程的另一個近似根為x＝2.3，故選：C．【點睛】本題考查了根據二次函數(shù)圖象求方程的近似根，掌握拋物線的對稱性是解題的關鍵．7．（2022·浙江·九年級專題練習）拋物線y＝(x﹣x1)(x﹣x2)+mx+n與x軸只有一個交點(x1，0)．下列式子中正確的是（

）A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m(x1﹣x2)＝n D．m(x1+x2)＝n【答案】B【分析】根據題意可得拋物線的定點坐標即為（x1，0），代入解析式即可求解．【詳解】解：∵拋物線經過（x1，0），且拋物線與x軸只有一個交點，∴拋物線頂點坐標為（x1，0），y＝（x﹣x1）2，∴x2﹣2x1x+＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+n，∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m，故選：B．【點睛】本題考查了拋物線與坐標軸交點問題，頂點式，掌握二次函數(shù)圖象的性質是解題的關鍵．8．（2022·浙江·九年級專題練習）二次函數(shù)y＝x2+bx+1與x軸有兩個不同的交點，b的值可以是（

）A．b＝﹣3 B．b＝﹣2 C．b＝﹣1 D．b＝2【答案】A【分析】根據題意，令x2+bx+1＝0，則Δ＝b2﹣4，根據二次函數(shù)圖象與x軸由兩個不同交點，則判別式大于0，解不等式即可求解．【詳解】解：令x2+bx+1＝0，則Δ＝b2﹣4，∵二次函數(shù)圖象與x軸由兩個不同交點，∴b2﹣4＞0，∴b2＞4，即b＜﹣2或b＞2．故選：A．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點問題，轉化為一元二次方程根的判別式求解是解題的關鍵．9．（2022·浙江·九年級專題練習）據省統(tǒng)計局公布的數(shù)據，合肥市2021年一月GDP總值約為6百億元人民幣，若合肥市三月GDP總值為y百億元人民幣，平均每個月GDP增長的百分率為x，則y關于x的函數(shù)表達式是（）A．y＝6(1+2x) B．y＝6(1﹣x)2C．y＝6(1+x)2 D．y＝6+6(1+x)+6(1+x)2【答案】C【分析】根據平均每個月GDP增長的百分率為x，可得二月GDP總值為6（1+x），三月GDP總值為6（1+x）2，即可解答．【詳解】解：設平均每個月GDP增長的百分率為x，由題意可得：y關于x的函數(shù)表達式是：y=6（1+x）2，故選：C．【點睛】本題考查了根據實際問題列二次函數(shù)關系式，正確理解增長率問題是解題的關鍵．10．（2022·浙江臺州·九年級期末）拋物線y＝（x?2）2＋3的頂點坐標是（

）A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）【答案】A【分析】已知解析式為頂點式，可直接根據頂點式的坐標特點，求頂點坐標．【詳解】解：y=（x-2）2+3是拋物線的頂點式，根據頂點式的坐標特點可知，頂點坐標為（2，3）．故選：A．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質，關鍵是熟記：頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+k，頂點坐標是（h，k），對稱軸是直線x=h．11．（2022·浙江·九年級專題練習）一臺機器原價100萬元，若每年的折舊率是x，兩年后這臺機器約為y萬元，則y與x的函數(shù)關系式為（

）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2【答案】D【分析】根據兩年后機器價值＝機器原價值×（1﹣折舊百分比）2可得函數(shù)解析式．【詳解】解：根據題意知y＝100（1﹣x）2，故選：D．【點睛】本題主要考查根據實際問題列二次函數(shù)關系式，根據實際問題確定二次函數(shù)關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖像要根據自變量的取值范圍來確定．12．（2022·浙江寧波·九年級專題練習）已知一元二次方程2x2+bx1＝0的一個根是1，若二次函數(shù)y＝2x2+bx1的圖象上有三個點（0，y1）、（1，y2）、（y3），則y1，y2，y3的大小關系為（

）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2【答案】C【分析】利用一元二次方程根的意義求得b值，將b值代入二次函數(shù)的解析式，求出拋物線的對稱軸，利用二次函數(shù)圖象的性質即可得出結論．【詳解】∵元二次方程2x2+bx-1=0的一個根是1，∴2+b-1=0，∴b=-1，∴二次函數(shù)y=2x2-x-1=2(x-)2-，∴拋物線y=2x2-x-1的對稱軸為直線x=，∵該拋物線開口向上，點(0，y1)、(-1，y2)．（，y3)到對稱軸的距離分別為：且<<，所以<<，故選：C．【點睛】本題主要考查了拋物線的性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，一元二次方程根的意義，利用二次函數(shù)的增減性解答是解題的關鍵．13．（2022·浙江·九年級專題練習）已知二次函數(shù)，其中、，則該函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用排除法，由得出拋物線與y軸的交點應該在y軸的負半軸上，排除A選項和D選項，根據B選項和C選項中對稱軸，得出，拋物線開口向下，排除B選項，即可得出C為正確答案．【詳解】解：對于二次函數(shù)，令，則，∴拋物線與y軸的交點坐標為∵，∴，∴拋物線與y軸的交點應該在y軸的負半軸上，∴可以排除A選項和D選項；B選項和C選項中，拋物線的對稱軸，∵，∴，∴拋物線開口向下，可以排除B選項，故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象的性質，熟練掌握二次函數(shù)圖象與三個系數(shù)之間的關系是解題的關鍵．二、填空題14．（2022·浙江·九年級專題練習）如果函數(shù)y＝（m﹣2）是二次函數(shù)，則m的值為__．【答案】﹣3【分析】根據二次函數(shù)的定義，可得m2+m﹣4＝2且m﹣2≠0，然后進行計算即可解答．【詳解】解：由題意得：m2+m﹣4＝2且m﹣2≠0，∴m＝2或﹣3且m≠2，∴m＝﹣3，故答案為：﹣3．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)定義，解題的關鍵是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．15．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個交點坐標分別為A(﹣3，6)，B(1，3)，則方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是_________．【答案】x1＝﹣3，x2＝1【分析】根據拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個交點坐標分別為A（﹣3，6），B（1，3），可得方程ax2＝bx+c的解為x1＝﹣3，x2＝1，即可求解．【詳解】解：∵拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個交點坐標分別為A（﹣3，6），B（1，3），∴方程ax2＝bx+c的解為x1＝﹣3，x2＝1，∴ax2﹣bx﹣c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，故答案為：x1＝﹣3，x2＝1．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與拋物線交點問題，理解交點的橫坐標即為方程的解是解題的關鍵．16．（2022·浙江·九年級專題練習）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，下列說法：①abc＞0；②x＜0時，y隨x的增大而增大；③ax2+bx+c＝0的解為x1＝﹣1，x?＝3；④a+b+c＝0；⑤x＜﹣1或x＞3時，ax2+bx+c＜0，其中正確的序號是_________．【答案】②③⑤【分析】根據拋物線的開口方向，對稱軸以及與軸的交點坐標，即可判斷①，根據對稱軸的位置以及開口方向即可判斷②，根據對稱軸以及拋物線與軸的交點坐標結合函數(shù)圖象即可判斷③與⑤，令即可判斷④，進而即可求解．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵拋物線與y軸交點坐標為（0，3），∴c＝3，∴abc＜0，①錯誤．由圖象可得當x＜1時，y隨x增大而增大，∴當x＜0時，y隨x增大而增大，∴②正確．∵拋物線經過點（﹣1，0），拋物線對稱軸為直線x＝1，∴拋物線經過點（3，0），∴ax2+bx+c＝0的解為x1＝﹣1，x?＝3，③正確．由圖象可得當x＝1時，y＝a+b+c＞0，∴④錯誤．∵拋物線與x軸交點坐標為（﹣1，0），（3，0），拋物線開口向下，∴當x＜﹣1或x＞3時，y＜0，∴⑤正確．故答案為：②③⑤．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握二次函數(shù)圖象的性質是解題的關鍵．17．（2022·浙江金華·九年級期末）如圖，某拱橋橋洞的形狀是拋物線，若取水平方向為x軸，拱橋的拱點O為原點建立直角坐標系，它可以近似地用函數(shù)表示（單位：m）．已知目前橋下水面寬4m，若水位下降1.5m，則水面寬為______m．【答案】8【分析】由目前橋下水面寬4m，求得對應y的值，再由水位下降1.5m，得到此時y的值，代入解析式即可求得x的值，即可求出水面的寬．【詳解】解：目前橋下水面寬4m，即x=2時，當水位下降1.5m，即此時水面的寬為8m故答案為：8．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．18．（2022·浙江·九年級專題練習）若二次函數(shù)圖象的頂點坐標為（2，﹣1），且拋物線過（0，3），則二次函數(shù)解析式是__．【答案】【分析】設出二次函數(shù)的頂點式解析式，把（0，3）代入計算即可；【詳解】解：設二次函數(shù)解析式為，把代入得：，解得：，則二次函數(shù)解析式為，故答案為：．【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質，以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．19．（2022·浙江·九年級專題練習）將拋物線y＝ax2＋bx﹣1向上平移3個單位長度后，經過點（﹣2，5），則4a﹣2b﹣1的值是___．【答案】2【分析】根據二次函數(shù)向上平移的規(guī)律得出平移后的函數(shù)解析式，再將點（-2，5）代入即可求出結果．【詳解】解：將拋物線y＝ax2+bx﹣1向上平移3個單位長度后，表達式為：y＝ax2+bx+2，∵經過點（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，則4a﹣2b﹣1＝3﹣1＝2．故答案為：2．【點睛】本題考查二次函數(shù)的平移、代數(shù)式的求值，掌握二次函數(shù)平移的規(guī)律是解題的關鍵．20．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖所示，用長為21米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為便于進出，開了3道寬為1米的門．設花圃的寬AB為x米，面積為S平方米，則S與x的之間的函數(shù)表達式為__；自變量x的取值范圍為__．【答案】

【分析】根據題意表示出長方形的長進而得出函數(shù)關系，進而結合a的最大值得出x的取值范圍．【詳解】解：設花圃的寬AB為x米，面積為S平方米，則S與x的之間的函數(shù)表達式為：；由題意可得：，解得：．故答案為：，．【點睛】本題主要考查根據實際問題列二次函數(shù)關系式，解決本題的關鍵是正確表示出長方形的長．21．（2022·浙江·九年級專題練習）n個球隊參加籃球比賽，每兩隊之間進行一場比賽，比賽的場次數(shù)m與球隊數(shù)之間的函數(shù)關系是______．【答案】【分析】n個球隊都要與除自己之外的（n-1）球隊個打一場，因此要打n（n-1）場，然而有重復一半的場次，故比賽場次為n（n-1），得出關系式．【詳解】解：m=n（n-1）=n2-n，故答案為：m=n（n-1）=n2-n．【點睛】考查函數(shù)關系式的求法，在具體的情景中，蘊含數(shù)量之間的關系，理解和發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關系是正確解答的關鍵．22．（2022·浙江臺州·九年級期末）拋物線的頂點坐標為_____．【答案】【分析】因為是二次函數(shù)的頂點式，根據頂點式可直接寫出頂點坐標．【詳解】解：拋物線解析式為，二次函數(shù)圖象的頂點坐標是．故答案為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是根據拋物線的頂點式，可確定拋物線的開口方向，頂點坐標（對稱軸），最大（最?。┲担鰷p性等．三、解答題23．（2022·浙江·九年級專題練習）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c，當x＝1時y＝3；當x＝﹣1時，y＝1，求這個二次函數(shù)的解析式．【答案】y＝x2+x+1【分析】根據題意，可得出拋物線過（1，3），（﹣1，1）兩點，將這兩點的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值．【詳解】解：將點（1，3），（﹣1，1）代入函數(shù)解析式得：，解得；故此函數(shù)的解析式為y＝x2+x+1．【點睛】本題考查的是用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，掌握求二次函數(shù)的解析式的方法是解題的關鍵．24．（2022·浙江金華·九年級期末）已知拋物線．(1)求拋物線與x軸的交點坐標．(2)求拋物線的頂點坐標．【答案】(1)、(2)【分析】（1）令，解一元二次方程，求出的值，即可求出拋物線與軸的交點坐標；（2）將拋物線一般式化成頂點式，即可求出頂點坐標．（1）解：令，，∴拋物線與軸的交點坐標為：、（2）解：∵∴拋物線的頂點坐標為：【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點坐標、將二次函數(shù)一般式化成頂點式等知識點，熟練掌握各知識點是解答本題的關鍵．25．（2022·浙江·九年級專題練習）已知y＝y(tǒng)1+y2，y1與x成正比例，y2與x2成正比例，當x＝1時，y＝6，當x＝3時，y＝8，求y關于x的解析式．【答案】【分析】根據題意設出函數(shù)關系式，把“x＝3時，y＝8；當x＝1時，y＝6”代入y與x間的函數(shù)關系式便可求出未知數(shù)的值，從而求出其解析式．【詳解】解：∵y1與x成正比例，∴y1＝k1x（k1≠0）；∵y2與x2成正比例，∴y2＝k2x2（k2≠0）；∴y＝y(tǒng)1+y2＝k1x+k2x2，∵當x＝1時，y＝6；x＝3時，y＝8，∴，解得，，∴，即y關于x的函數(shù)解析式是：．【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，設出解析式是解題的關鍵．26．（2022·浙江·九年級專題練習）在y＝ax2+bx+c中，當x＝2時y的值是﹣15，x＝1時y的值是﹣9，x＝﹣1時y的值是﹣3，求a，b、c的值．【答案】a，b、c的值分別是：﹣1、﹣3、﹣5．【分析】將點（2，﹣15）、（1，﹣9），（﹣1，﹣3）分別代入二次函數(shù)的解析式，列出關于a、b、c的三元一次方程組，然后解方程組即可．【詳解】解：根據題意，得，解得，∴a，b、c的值分別是：﹣1、﹣3、﹣5．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．解答該題時，利用了二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，二次函數(shù)圖像上的點，一定滿足該二次函數(shù)的解析式．27．（2022·浙江杭州·九年級期末）已知二次函數(shù)y＝x2，當﹣1≤x≤2時，求函數(shù)y的最小值和最大值．小王的解答過程如下：解：當x＝﹣1時，y＝1；當x＝2時，則y＝4；所以函數(shù)y的最小值為1，最大值為4小王的解答過程正確嗎？如果不正確，寫出正確的解答過程．【答案】小王的做法是錯誤的，當-1≤x≤1時，函數(shù)y的最小值是0，最大值是4【分析】根據二次函數(shù)的性質和小王的做法，可以判斷小王的做法是否正確，然后根據二次函數(shù)的性質即可解答本題．【詳解】解：小王的做法是錯誤的，正確的做法如下：∵二次函數(shù)y=x2，∴該函數(shù)圖象開口向上，該函數(shù)的對稱軸是y軸，∵-1≤x≤2，∴當x=0時取得最小值，最小值是0，當x=2時取得最大值，此時y=4，由上可得，當-1≤x≤1時，函數(shù)y的最小值是0，最大值是4．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)的最值，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質解答，注意x的取值范圍．28．（2022·浙江金華·九年級專題練習）“燃情冰雪，一起向未來”，北京冬奧會于2022年2月4日如約而至，某商家看準商機，進行冬奧會吉祥物“冰墩墩”紀念品的銷售，每個紀念品進價40元．規(guī)定銷售單價不低于44元，且不高于60元．銷售期間發(fā)現(xiàn)，當銷售單價定為44元時，每天可售出300個，由于銷售火爆，商家決定提價銷售．經市場調研發(fā)現(xiàn)，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．(1)求當每個紀念品的銷售單價是多少元時，商家每天獲利2640元；(2)將紀念品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤w元最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)當每個紀念品的銷售單價是52元時，商家每天獲利2640元(2)當紀念品的銷售單價定為57元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤w最大，最大利潤是2890元【分析】（1）設每件紀念品銷售價上漲x元，根據題意列出一元二次方程，解出方程，根據銷售單價不高于60元即可求解．（2）根據題意列出銷售利潤w與銷售單價x之間的函數(shù)關系式，根據函數(shù)的增減性即可求解．（1）解：設每件紀念品銷售價上漲x元，由題意得：（x+4）（300–10x）＝2640，整理得：x2﹣26x+144＝0，即（x–8）（x–18）=0，解得：x1＝8，x2＝18，∵銷售單價不高于60元，∴x＝8，答：當每個紀念品的銷售單價是52元時，商家每天獲利2640元．（2）根據題意得：w＝（x+4）（300–10x），＝–10x2+260x+1200＝–10（x–13）2+2890，∵–10＜0，二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為直線x=13，∴當x＝13時，w最大且最大值為2890，∵，所以，當紀念品的銷售單價定為57元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤w最大，最大利潤是2890元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用及二次函數(shù)的應用，根據題意找準等量關系，列出方程及函數(shù)關系式是解題的關鍵．【典型】一、單選題1．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面時，水面寬，則水面下降時，水面寬度增加（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據已知得出直角坐標系，進而求出二次函數(shù)解析式，再通過把y=-1代入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案．【詳解】如圖所示：建立平面直角坐標系，設橫軸x通過AB，縱軸y通過AB中點O且通過C點，則通過畫圖可得知O為原點，拋物線以y軸為對稱軸，且經過A，B兩點，OA和OB可求出為AB的一半2米，拋物線頂點C坐標為（0，2），通過以上條件可設頂點式y(tǒng)=ax2+2，其中a可通過代入A點坐標（-2，0），到拋物線解析式得出：a=-0.5，所以拋物線解析式為y=-0.5x2+2，當水面下降1米，通過拋物線在圖上的觀察可轉化為：當y=-1時，對應的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線y=-1與拋物線相交的兩點之間的距離，可以通過把y=-1代入拋物線解析式得出：-1=-0.5x2+2，解得：x=±，所以水面寬度增加到2米，比原先的寬度當然是增加了2-4．故選C．【點睛】考查了二次函數(shù)的應用，根據已知建立坐標系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問題的關鍵．2．（2021·浙江杭州·九年級期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點坐標為(1，﹣4a)，點A(4，y1)是該拋物線上一點，若點D(x2，y2)是拋物線上任意一點，有下列結論：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，則x2＞4；③若0≤x2≤4，則0≤y2≤5a；④若方程a(x+1)(x﹣3)＝﹣1有兩個實數(shù)根x1和x2，且x1＜x2，則﹣1＜x1＜x2＜3．其中正確結論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據頂點坐標得到對稱軸表達式，根據二次函數(shù)的對稱性，得到x=-2和x=4時y的值關于對稱軸對稱，即可判斷①；結合①中結論，根據函數(shù)圖像即可判斷②；首先根據對稱軸得到a和b的關系，然后根據頂點坐標得到a和c的關系，求出當x=4時，y的值即可判斷③；根據二次函數(shù)與一元二次方程的關系，得到a(x+1)(x﹣3)＝0的解，而a(x+1)(x﹣3)＝﹣1為函數(shù)y=a(x+1)(x﹣3)和直線y=-1的交點，即將函數(shù)y=a(x+1)(x﹣3)向上平移一個單位時，新函數(shù)與x軸的交點即為a(x+1)(x﹣3)＝﹣1的解，可判斷④．【詳解】①∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點坐標為∴函數(shù)的對稱軸為x＝∴根據二次函數(shù)的對稱性，當x=-2和x=4時，y的值相等∴當x=-2時，y=4a﹣2b+c＞0于是①的結論正確；②∵點A（4，y1）關于直線x＝1的對稱點為∴當y2＞y1，則x2＞4或x2＜﹣2，于是②錯誤；③當x＝4時，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3c＝5a，∴當﹣1≤x2≤4，則﹣3a≤y2≤5a，于是③錯誤；④∵方程有兩個實數(shù)根x1和x2，且x1＜x2，∴拋物線與直線y＝﹣1交點的坐標和∵拋物線時，x＝﹣1或3，即拋物線與x軸的兩個交點坐標分別為（﹣1，0）和（3，0），∴﹣1＜x1＜x2＜3，于是④正確．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，二次函數(shù)和一元二次方程，二次函數(shù)和不等式，題目綜合性較強，熟練掌握二次函數(shù)的基本知識并靈活運用是本題的關鍵．3．（2021·浙江·九年級專題練習）某汽車剎車后行駛的距離y（單位：m）與行駛的時間t（單位：s）之間近似滿足函數(shù)關系y＝at2+bt（a＜0）．如圖記錄了y與t的兩組數(shù)據，根據上述函數(shù)模型和數(shù)據，可推斷出該汽車剎車后到停下來所用的時間為（

）A．2.25s B．1.25s C．0.75s D．0.25s【答案】B【分析】直接利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，進而得出對稱軸即可得出答案．【詳解】解：將（0.5，6），（1，9）代入y=at2+bt（a＜0）得：，解得：，故拋物線解析式為：y=-6t2+15t，當（秒），此時y取到最大值，故此時汽車停下，則該汽車剎車后到停下來所用的時間為1.25秒．故選B．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應用，正確得出函數(shù)解析式是解題關鍵．4．（2021·浙江溫州·九年級期中）小紅把班級勤工助學掙得的班費500元按一年期存入銀行，已知年利率為x，一年到期后銀行將本金和利息自動按一年定期轉存，設兩年到期后，本、利和為y元，則y與x之間的函數(shù)關系式為（

）A．y=500(x+1)2 B．y=x2+500 C．y=x2+500x D．y=x2+5x【答案】A【詳解】解：一年后的本息和為500(1+x)，這也是第二年的本金，所以兩年后的本息和y=500(1+x)2.故選A.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，關鍵在于找到本息和的等量關系，要注意的是第二年的本金為第一年的本息和.二、解答題5．（2022·浙江·九年級專題練習）一個二次函數(shù)y=（k﹣1）x+2x﹣1．（1）求k值．（2）求當x=0.5時y的值？【答案】（1）k=2；（2）y=【分析】（1）根據二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)可得k2-3k+4=2，且k-1≠0，再解即可；（2）根據（1）中k的值，可得函數(shù)解析式，再利用代入法把x=0.5代入可得y的值．【詳解】解：（1）由題意得：k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，解得：k=2；（2）把k=2代入y=（k﹣1）+2x﹣1得：y=x2+2x﹣1，當x=0.5時，y=．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)以及求函數(shù)值，關鍵是掌握判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，要抓住二次項系數(shù)不為0和自變量指數(shù)為2這個關鍵條件．6．（2022·浙江·九年級專題練習）某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量m(件)與每件的銷售價x(元)滿足一次函數(shù)關系m＝162﹣3x．(1)請寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y(元)與每件銷售價x(元)之間的函數(shù)關系式．(2)商場每天銷售這種商品的銷售利潤能否達到500元？如果能，求出此時的銷售價格；如果不能，說明理由．【答案】（1）y=﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）；（2）商場每天銷售這種商品的銷售利潤不能達到500元．【分析】（1）此題可以按等量關系“每天的銷售利潤=（銷售價﹣進價）×每天的銷售量”列出函數(shù)關系式，并由售價大于進價，且銷售量大于零求得自變量的取值范圍．（2）根據（1）所得的函數(shù)關系式，利用配方法求二次函數(shù)的最值即可得出答案．【詳解】（1）由題意得：每件商品的銷售利潤為（x﹣30）元，那么m件的銷售利潤為y=m（x﹣30）．又∵m=162﹣3x，∴y=（x﹣30）（162﹣3x），即y=﹣3x2+252x﹣4860．∵x﹣30≥0，∴x≥30．又∵m≥0，∴162﹣3x≥0，即x≤54，∴30≤x≤54，∴所求關系式為y=﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．（2）由（1）得y=﹣3x2+252x﹣4860=﹣3（x﹣42）2+432，所以可得售價定為42元時獲得的利潤最大，最大銷售利潤是432元．∵500＞432，∴商場每天銷售這種商品的銷售利潤不能達到500元．【點睛】本題考查了二次函數(shù)在實際生活中的應用，解答本題的關鍵是根據等量關系：“每天的銷售利潤=（銷售價﹣進價）×每天的銷售量”列出函數(shù)關系式，另外要熟練掌握二次函數(shù)求最值的方法．7．（2021·浙江溫州·三模）在直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2bx+c的圖像交x軸于點A（﹣1，0），B（3，0）．(1)求出b和c的值．(2)二次函數(shù)圖像上一點M向上平移2m（m＞0）個單位得到M′，若M′再向左平移2m個單位，可以與拋物線上的點P重合；若M′再向右平移m個單位，可以與拋物線上的點Q重合，求出M點的坐標．【答案】(1)b＝1，c＝﹣3(2)M（，）【分析】（1）設交點式y(tǒng)＝（x+1）（x﹣3），化簡成一般式可得b，c的值；（2）用m表示出Q，M的坐標，利用縱坐標之差為2m列式即可．(1)設拋物線解析式為y＝（x+1）（x﹣3），化簡得y＝x2﹣2x﹣3，∴﹣2b＝﹣2，b＝1，c＝﹣3，(2)PQ＝3m，對稱軸x＝1，∴Q的橫坐標為1，M的橫坐標為1，∴（1）2﹣2（1）﹣3﹣[（1）2﹣2（1）﹣3]＝2m，解得m＝1或0（舍去），∴m＝1，M（，），故M點的坐標M（，）．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的交點式和一般式的互換，以及含參二次函數(shù)的平移求坐標，正確理解平移和坐標對稱是解決本題的關鍵．8．（2021·浙江·紹興市元培中學九年級階段練習）如圖，排球運動員站在點M處練習發(fā)球，將球從M點正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x（m）滿足拋物線解析式．已知球達到最高2.6m的D點時，與M點的水平距離EM為6m．（1）在圖中建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼担⑶蟪龃藭r的拋物線解析式；（2）球網BC與點M的水平距離為9m，高度為2.43m．球場的邊界距M點的水平距離為18m．該球員判斷此次發(fā)出的球能順利過網并不會出界，你認為他的判斷對嗎？請說明理由．【答案】（1）見解析，；（2）該球員的判斷不對，球會出界，見解析.【分析】（1）直角坐標系的建立要使點的坐標容易確定，因此可以以點M為坐標原點，建立平面直角坐標系，由題意即可確定點A，E，D的坐標，已知頂點D及拋物線上一點A的坐標，可設頂點式，利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）利用（1）所求解析式可求出球運行的高度和水平距離，與題中所給的球網BC的高度及球場的邊界距M點的水平距離進行大小比較即可判斷能否過網能否出界.【詳解】解：（1）如圖，以點M為坐標原點，建立平面直角坐標系，則點A，E，D的坐標分別為（0，2），（6，0），（6，2.6）設球運行的高度y（m）與運行的水平距離x（m）的拋物線解析式為y＝a（x﹣h）2+k由題意知拋物線的頂點為（6，2.6）故y＝a（x﹣6）2+2.6將點A（0，2）代入得2＝36a+2.6∴a＝﹣，故此時拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣6）2+2.6（2）該球員的判斷不對，理由如下：當x＝9時，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43∴球能過網；當y＝0時，﹣（x﹣6）2+2.6＝0解得：x1＝6+＞18，x2＝6﹣（舍）故球會出界．【點睛】本題考查了拋物線解析式的求法及在實際生活中的應用，熟練掌握拋物線解析式的求法及其在實際問題中表示的具體意義是解題的關鍵.9．（2021·浙江寧波·二模）某商店經營一種小商品，進價為40元，據市場調查，銷售價是60元時，平均每天銷售量是300件，而銷售價每降低1元，平均每天就可以多售出20件．⑴假定每件商品降價x元，商店每天銷售這種小商品的利潤是y元，請寫出y與x間的函數(shù)關系式；⑵每件小商品銷售價是多少元時，商店每天銷售這種小商品的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）y=﹣20x2+100x+6000；（2）每件小商品銷售價是2.5元時，商店每天銷售這種小商品的利潤最大，最大利潤是6125元．【分析】（1）根據總利潤=（實際售價﹣進價）×銷售量，即可得函數(shù)解析式；（2）將（1）中函數(shù)解析式配方即可得最值情況．【詳解】（1）依題意有：y=（60﹣x﹣40）（300+20x）=﹣20x2+100x+6000；（2）∵y=﹣20x2+100x+6000=﹣20（x﹣2.5）2+6125；∵a=﹣20＜0，∴當x=2.5時y取最大值，最大值是6125，即降價2.5元時利潤最大，∴每件小商品銷售價是2.5元時，商店每天銷售這種小商品的利潤最大，最大利潤是6125元．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，理解題意找到題目蘊含的相等關系列出函數(shù)解析式是解題的關鍵．【易錯】一．選擇題（共6小題）1．（2021秋?上城區(qū)期末）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A．y＝2x﹣3 B．y＝﹣ C．y＝（x﹣5）2﹣x2 D．y＝x（1﹣x）【分析】根據二次函數(shù)的定義判斷即可．【解答】解：A．y＝2x﹣3，不是二次函數(shù)，故A不符合題意；B．y＝﹣，不是二次函數(shù)，故B不符合題意；C．y＝（x﹣5）2﹣x2＝x2﹣10x+25﹣x2＝﹣10x+25，不是二次函數(shù)，故C不符合題意；D．y＝x（1﹣x）＝﹣x2+x，是二次函數(shù)，故D符合題意；故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關鍵．2．（2022?西湖區(qū)校級開學）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3，關于該函數(shù)在﹣2≤x≤2的取值范圍內，下列說法正確的是（）A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2 C．有最大值3，有最小值2 D．有最大值3，有最小值1【分析】根據題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質，可以得到該函數(shù)的對稱軸和開口方向，然后根據﹣2≤x≤2，即可得到相應的最大值和最小值，從而可以解答本題．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴該函數(shù)的對稱軸是直線x＝1，函數(shù)圖象開口向上，∴在﹣2≤x≤2的取值范圍內，當x＝﹣2時取得最大值11，當x＝1時，取得最小值2，故選：B．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)的最值，解答本題的關鍵是明確二次函數(shù)的性質，求出相應的最值．3．（2022?鄞州區(qū)模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示．下列結論：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③m為任意實數(shù)，則a+b＞am2+bm；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，則x1+x2＝2．其中正確結論的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．【解答】解：①圖象開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸在y軸右側，能得到：a＜0，c＞0，﹣＞0，b＞0，∴abc＞0，錯誤；②∵對稱軸是直線x＝1，與x軸交點在（3，0）左邊∴二次函數(shù)與x軸的另一個交點在（﹣1，0）與（0，0）之間，∴a﹣b+c＜0，∴②錯誤；③∵對稱軸是直線x＝1，圖象開口向下，∴x＝1時，函數(shù)最大值是a+b+c；∴m為任意實數(shù)，則a+b+c≥am2+bm+c，∴③錯誤；④∵﹣＝1，∴b＝﹣2a由②得a﹣b+c＜0，∴3a+c＜0，∴④正確；⑤∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，∵x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，∵x1+x2＝﹣，b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，∴⑤正確；故選：B．【點評】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉換是解題關鍵．4．（2022?柯城區(qū)二模）當1≤x≤3時，二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+3的最小值為﹣1，則a的值為（）A．2 B．±2 C．2或 D．2或【分析】將二次函數(shù)化成頂點式，再求最值．【解答】解：y＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2．拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝a．∴當a≤1時，若1≤x≤3時，y隨x的增大而增大，當x＝1時，y有最小值＝1﹣2a+3＝4﹣2a，∴4﹣2a＝﹣1，∴a＝，不合題意，舍去．當1＜a≤3時，x＝a，y有最小值3﹣a2．∴3﹣a2＝﹣1．∴a2＝4，∵1≤a≤3，∴a＝2．當a≥3時，若1≤x≤3，y隨x的增大而減小．∴當x＝3時，y有最小值＝9﹣6a+3＝12﹣6a．∴12﹣6a＝﹣1．∴a＝．∵a≥3．∴不合題意，舍去．綜上：a＝2．故選A．【點評】本題考查二次函數(shù)的最值，對a的范圍進行分類討論是求解本題的關鍵．5．（2022?義烏市校級開學）如圖，已知點A（，2），B（0，1），射線AB繞點A逆時針旋轉30°，與x軸交于點C，則過A，B，C三點的二次函數(shù)y＝ax2+bx+1中a，b的值分別為（）A．a＝2，b＝﹣ B．a＝，b＝﹣ C．a＝3，b＝﹣ D．a＝﹣，b＝【分析】作輔助線，根據平行相似可證明△BOD∽△AED，列比例式可得點C的坐標，列方程組可得結論．【解答】解：如圖，過點A作AE⊥x軸于點E，∵點A（，2），∴AE＝2，OE＝，∵B（0，1），∴OB＝1，∵OB∥AE，∴△BOD∽△AED，∴＝，∴DE＝2，∴∠ADE＝30°，∵∠DAC＝30°，∴∠CAE＝30°，∴CE＝＝＝，∴C（，0），把A（，2）和C（，0）代入二次函數(shù)y＝ax2+bx+1中得：，解得：．故選：A．【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質，此題正確構建直角三角形利用含30°角的直角三角形的性質確定點C的坐標是解本題的關鍵．6．（2022?臨安區(qū)一模）已知點P1（x1，y1），P2（x2，y2）為拋物線y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上兩點，且x1＜x2，則下列說法正確的是（）A．若x1+x2＜4，則y1＜y2 B．若x1+x2＞4，則y1＜y2 C．若a（x1+x2﹣4）＞0，則y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，則y1＞y2【分析】通過函數(shù)解析式求出拋物線的對稱軸，分類討論a＞0及a＜0時各選項求解．【解答】解：∵y＝﹣ax2+4ax+c，∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝2，P2（x2，y2）關于直線x＝2的對稱點為P（4﹣x2，y2），若x1+x2＜4，由x2+4﹣x2＝4，x1＜x2，可得x1＜4﹣x2，當拋物線開口向上時，y1＞y2，∴選項A錯誤．若x1+x2＞4，由x2+4﹣x2＝4，x1＜x2，可得4﹣x2＜x1＜x2，當拋物線開口向下時，y1＞y2，∴選項B錯誤．若a（x1+x2﹣4）＞0，當x1+x2＜4時，則a＜0，﹣a＞0，拋物線開口向上，∴y1＞y2，當x1+x2＞4時，則a＞0，﹣a＜0，拋物線開口向下，∴y1＞y2，選項C正確．若a（x1+x2﹣4）＜0，當x1+x2＜4時，a＞0，﹣a＜0，拋物線開口向下，∴y1＜y2，選項D錯誤．解法二：作差法，∵y1＝﹣a+4ax1+c，y2＝﹣ax22+4ax2+c，∴y1﹣y2＝﹣a+4ax1+c﹣（﹣ax22+4ax2+c）＝﹣a（x﹣x）+4a（x1﹣x2）＝﹣a（x1+x2）（x1﹣x2）+4a（x1﹣x2）＝﹣a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，當a（x1+x2﹣4）＞0時，則﹣a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＞0，∴y1＞y2，故選：C．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，解題關鍵是掌握二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系，通過數(shù)形結合求解．二．解答題（共8小題）7．（2022?拱墅區(qū)校級開學）在直角坐標系中，設函數(shù)y＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n是實數(shù)）．（1）當m＝1時，若該函數(shù)的圖象經過點（2，6），求函數(shù)的表達式；（2）若n＝m﹣2，且當x≤﹣3時，y隨x的增大而減小，求m的取值范圍．（3）若該函數(shù)的圖象經過（0，s），（4，t）兩點（s，t是實數(shù)）．當2≤m＜n≤3時，求證：9＜st＜16．【分析】（1）將點（2，6）代入函數(shù)解析式，求出m，n．（2）根據二次函數(shù)的增減性與對稱軸的關系求解．（3）建立關于s，t的不等式求解．【解答】解：（1）∵m＝1時，若該函數(shù)的圖象經過點（2，6），∴6＝（2﹣1）（2﹣n），∴n＝﹣4，∴y＝（x﹣1）（x+4）＝x2+3x﹣4．（2）函數(shù)y＝（x﹣m）（x﹣n）中，當y＝0時，（x﹣m）（x﹣n）＝0．∴x＝m或x＝n．∵n＝m﹣2，∴拋物線的對稱軸為：x＝＝＝m﹣1，∵當x≤﹣3時，y隨x的增大而減小，拋物線開口向上，∴對稱軸x＝m﹣1≥﹣3，∴m≥﹣2．（3）由題意得：，∴，∴st＝mn?（4﹣m）（4﹣n）＝（﹣m2+4m）（﹣n2+4n）＝[﹣（m﹣2）2+4][﹣（n﹣2）2+4]．∵2≤m＜n≤3．∴3＜﹣（m﹣2）2+4≤4，3≤﹣（n﹣2）2+4＜4，∴9＜st＜16．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質，掌握二次函數(shù)的圖象和性質是求解本題的關鍵．8．（2022?臨安區(qū)一模）設二次函數(shù)y＝x2﹣（m+1）x+m2+2m+2（m是常數(shù)）．（1）當m＝3時，求該二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標；（2）試判斷二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況；（3）設二次函數(shù)的圖象與y軸交于點（0，n），當﹣2≤m≤2時，求n的最大值．【分析】（1）將m＝3代入二次函數(shù)解析式，再把函數(shù)解析式化成頂點式即可得出結論；（2）判斷根的判別式Δ的正負即可得出結論；（3）用m表達n，利用二次函數(shù)的性質可得出n的最大值．【解答】解：（1）當m＝3時，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+17＝（x﹣2）2+13．∴該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝2，頂點坐標為（2，13）．（2）令x2﹣（m+1）x+m2+2m+2＝0，∴Δ＝（m+1）2﹣4（m2+2m+2）＝﹣3（m+1）2﹣4＜0，∴該一元二次方程無解，∴二次函數(shù)圖象與x軸無交點；（3）令x＝0，∴n＝m2+2m+2＝（m+1）2+1，∴函數(shù)的對稱軸為直線m＝﹣1，∵﹣2≤m≤2，∴當﹣2≤m＜﹣1時，n隨m的增大而減??；當﹣1＜m≤2時，n隨m的增大而增大，∴當m＝﹣2時，n＝2；當m＝﹣1時，n＝1，當m＝2時，n＝10．∴n的最大值為10．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質、一元二次方程的解以及二次函數(shù)的圖象，熟知二次函數(shù)的性質是解題基礎．9．（2022?拱墅區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣k）2+k．（1）若該函數(shù)圖象與x軸的兩個交點橫坐標分別為0和2，求函數(shù)的表達式；（2）若該函數(shù)與x軸有兩個交點，求k的取值范圍；（3）若在k≤x≤2k﹣3范圍內，該函數(shù)的最大值與最小值的差為4，求k的值．【分析】（1）根據該函數(shù)圖象與x軸的兩個交點橫坐標分別為0和2，求出對稱軸，得到k的值即可．（2）根據該函數(shù)與x軸有兩個交點，Δ≥0即可．（3）利用對稱軸判斷在哪取得最大值和最小值，作差就得到結論．【解答】解：（1）∵該函數(shù)圖象與x軸的兩個交點橫坐標分別為0和2，∴該函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝1．又∵y＝﹣（x﹣k）2+k的對稱軸是直線x＝k，∴k＝1即函數(shù)的表達式是y＝﹣（x﹣1）2+1．（2）y＝﹣（x﹣k）2+k＝﹣x2+2kx﹣k2+k．∵該函數(shù)與x軸有兩個交點，∴Δ＝b2﹣4ac＝（2k）2﹣4?（﹣1）?（k﹣k2）＝4k≥0．即：k≥0．（3）∵在k≤x≤2k﹣3范圍內，∴2k﹣3≥k．解得：k≥3．∵函數(shù)圖象開口向下且對稱軸是直線x＝k，∴x＝k時，y有最大值，y最大值＝k，x＝2k﹣3時，y有最小值，y最小值＝﹣k2+7k﹣9．∵該函數(shù)的最大值與最小值的差為4，∴k﹣（﹣k2+7k﹣9）＝4，即k2﹣6k+5＝0．解得：k1＝1（舍去），k2＝5．∴k的值是5．【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的性質，先求出k的取值范圍值是解題的關鍵．10．（2022春?拱墅區(qū)校級期末）如圖，某農戶準備圍成一個長方形養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場靠墻AB（AB＝18米），另三邊利用現(xiàn)有的36米長的籬笆圍成，若要在與墻平行的一邊開一扇2米寬的門，且籬笆沒有剩余．（1）若圍成的養(yǎng)雞場面積為120平方米，則這個養(yǎng)雞場與墻垂直的一邊和與墻平行的一邊各是多少米？（2）這個養(yǎng)雞場的面積是否有最大值？若有，求出這個最大值；若沒有，請說明理由．【分析】（1）設這個長方形養(yǎng)雞場與墻垂直的邊長是x米，用總長減去一個2倍的長加上2即可求得與墻平行的墻長；根據面積為120平方米結合矩形的面積列出方程求解即可．（2）根據（1）中所列等式，根據二次函數(shù)的性質可得出結論．【解答】解：（1）設這個長方形養(yǎng)雞場與墻垂直的邊長是x米，則與墻平行的邊長是（36﹣2x+2）．即（38﹣2x）米．根據題意得：x（38﹣2x）＝120，整理，得2x2﹣38x+120＝0，解得x1＝15，x2＝4．當x1＝15時，36﹣2x＝6＜18，符合題意．當x2＝4時，36﹣2x＝28＞18，不符合題意．答：這個長方形養(yǎng)雞場與墻垂直的邊長為15米，則與墻平行的邊長為8米．（2）存在，理由如下：根據（1）中條件可知，S＝x（38﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+，∵38﹣2x≤18，∴x≥10，∵﹣2＜0，∴當x≥10時，S隨x的增大而減小，∴當x＝10時，S的最大值為180，此時38﹣2x＝18＝18，符合題意，∴當這個長方形養(yǎng)雞場與墻垂直的邊長為10米，則與墻平行的邊長為18米時，面積的最大值為180平方米．【點評】本題考查了一元二次方程的應用及二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是根據題意表示出矩形的長和寬，難度不大．11．（2022春?西湖區(qū)校級期末）某公司分別在A、B兩城生產一批同種產品，共100件，A城生產產品的成本y（萬元）與產品數(shù)量x（件）之間的函數(shù)關系為y＝ax2+bx，當x＝10時，y＝400；當x＝20時，y＝1000．B城生產產品的每件成本為70萬元．（1）求A城生產產品的成本y（萬元）與產品數(shù)量x（件）之間的函數(shù)關系式；（2）當A、B兩城生產這批產品的總成本的和最少時，求A、B兩城各生產多少件．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出a，b的值；（2）先根據（1）的結論得出y與x之間的函數(shù)關系，從而可得出A，B兩城生產這批產品的總成本的和，再根據二次函數(shù)的性質即可得出答案．【解答】解：（1）由題意得：，解得：．∴a＝1，b＝30；∴y＝x2+30x；（2）由（1）得：y＝x2+30x，設A，B兩城生產這批產品的總成本為w，則w＝x2+30x+70（100﹣x）＝x2﹣40x+7000＝（x﹣20）2+6600，由二次函數(shù)的性質可知，當x＝20時，w取得最小值，最小值為6600萬元，此時100﹣20＝80．答：A城生產20件，B城生產80件．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)及一次函數(shù)在實際問題中的應用，理清題中的數(shù)量關系并明確一次函數(shù)和二次函數(shù)的相關性質是解題的關鍵．12．（2022?海曙區(qū)校級模擬）某城市發(fā)生疫情，第x天（1≤x≤15）新增病例y（人）如下表所示：x1234…11…y2112235…182…（1）疫情前15天的人數(shù)模型基本符合二次函數(shù)y＝ax2+bx+c．根據圖表，求出二次函數(shù)解析式．（3）由于疫情傳染性強，第15天開始新增病例人數(shù)模型發(fā)生變化，第x天（x≥15）新增病例y（人）近似滿足y＝﹣5（x﹣m）（x﹣13）．請預計第幾天新增病例清零．（3）為應對本輪疫情，按照每一確診病例需當天提供一張病床的要求，政府應該在哪一天提供的病床最多？最多應該提供多少張？【分析】（1）把x＝1，y＝2和x＝2，y＝11，x＝3，y＝22代入二次函數(shù)y＝ax2+bx+c解方程組即可；（2）令y＝﹣5（x﹣m）（x﹣13）中y＝0，解方程即可求得；（3）分別求出當當0＜x＜15時和當x＞15時，y的最大值，再進行比較可得出結論．【解答】解：（1）把（1，2），（2，11），（3，22）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得，．∴二次函數(shù)解析式為y＝x2+6x﹣5；（2）由（1）知，當x＝15時，y＝310，將（15，310）代入y＝﹣5（x﹣m）（x﹣13），解得：m＝46．∴y＝﹣5（x﹣46）（x﹣13），由題意y＝0，則﹣5（x﹣46）（x﹣13）＝0，解得：x＝46或x＝13，∵第15天開始新增病例逐漸下降，∴預計第46天新增病例清零；（3）由題意得，①當0＜x＜15時，第15天時新增確診病例最多，y＝310，②當x＞15時，y＝﹣5（x﹣46）（x﹣13）的對稱軸為直線x＝29.5，∴當x＝30和x＝29時，y取最大，此時y＝﹣5（30﹣46）（29﹣13）＝1280，∵310＜1280，∴政府應該在第30天提供的病床最多，最多應該提供1280張．【點評】本題考查了二次函數(shù)和一元二次方程的應用，理解題意是解題關鍵．13．（2022?義烏市模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形AOBC為矩形，BC＝2，∠BOC＝60°，D為BC中點．某反比例函數(shù)過點D，且與直線OC交于點E．（1）點E的坐標為（，）．（2）好奇的小明在探索一個新函數(shù)．若點P為x軸上一點，過點P作x軸的垂線交直線AC于點Q，交該反比例函數(shù)圖象于點R．若y′＝PQ+PR，點P橫坐標為x．y′關于x的圖象如圖2，其中圖象最低點F、G橫坐標分別為、﹣．①求y′與x之間的函數(shù)關系式．②寫出該函數(shù)的兩條性質．（3）已知1＜x＜4①若關于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有解，求m的取值范圍．小明思考過程如下：由x2﹣4x﹣m＝0得m＝x2﹣4x，m是關于x的二次函數(shù)，根據x的范圍可以求出m的取值范圍，請你完成解題過程．②若關于x的方程x2﹣mx+2＝0有解，求直接寫出m的取值范圍．【分析】（1）解直角三角形求出OB，然后利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式和直線OC的解析式，再聯(lián)立兩解析式求出交點坐標即可；（2）①根據函數(shù)解析式可得點R、Q的坐標，然后分情況列出y與x之間的函數(shù)關系式即可；②根據函數(shù)圖象可直接得出其性質；（3）①根據二次函數(shù)的對稱軸及開口方向，求出1＜x＜4時m＝x2﹣4x的取值范圍即可；②將問題轉化為1＜x＜4時，二次函數(shù)＝x2﹣mx+2與x軸有交點的問題，即需滿足x＝1時，y＞0或x＝4時，y＞0且x＝m時，y≤0，據此求解即可．【解答】解：（1）∵tan∠BOC＝tan60°＝，∴＝，∴OB＝2，∴C（2，2），D（2，），設反比例函數(shù)解析式為y＝，直線OC的解析式為y＝k2x，將點D（2，）代入y＝得：＝，解得：k1＝2，∴反比例函數(shù)解析式為：y＝，將點C（2，2）代入y＝k2x得：2＝2k2，解得：k2＝，∴直線OC的解析式為y＝x，聯(lián)立，解得：，，∵點E在第一象限，∴E（，）；故答案為：（，）；（2）①∵反比例函數(shù)解析式為y＝，直線OC的解析式為y＝x，點P橫坐標為x，∴R（x，），Q（x，x），∴當x＞0時，y'＝PQ+PR＝x+，當x＜0時，y'＝PQ+PR＝﹣x﹣；②由圖可知：該函數(shù)圖象關于y軸對稱；當x＜0時，y隨x的增大先減小后增大；（3）①二次函數(shù)m＝x2﹣4開口向上，對稱軸為x＝2，∴在l＜x＜4的情況下，當x＝2時，有最小值m＝﹣4，當x＝4時，m＝0，∴﹣4≤m＜0；②∵當l＜x＜4時，關于x的方程x2﹣mx+2＝0有解，∴當l＜x＜4時，二次函數(shù)y＝x2﹣mx+2與x軸有交點，∵二次函數(shù)y＝x2﹣mx+2開口向上，對稱軸為x＝＝m，∴當x＝1時，y＝x2﹣mx+2＞0，解得：m＜3，或當x＝4時，y＝x2﹣mx+2＞0，解得：m＜，且當x＝m時，y＝x2﹣mx+2≤0，解得：m≥4或m≤﹣4，綜上所述，m的取值范圍為4≤m＜．【點評】本題是反比例函數(shù)、正比例函數(shù)、二次函數(shù)的綜合題，考查了解直角三角形，待定系數(shù)法的應用，求函數(shù)圖象的交點坐標，二次函數(shù)的性質等知識，掌握數(shù)形結合思想的應用是解答本題的關鍵．14．（2022?鹿城區(qū)校級模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點為C（1，4），交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，其中點B的坐標為（3，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，過點A的直線與拋物線交于點E，交y軸于點F，其中點E的橫坐標為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為直線PQ上的一動點，則x軸上是否存在一點H，使D、G，H、F四點所圍成的四邊形周長最小？若存在，求出這個最小值及點G、H的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖3，在拋物線上是否存在一點T，過點T作x軸的垂線，垂足為點M，過點M作MN∥BD，交線段AD于點N，連接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）設拋物線的解析式為：y＝a（x﹣1）2+4，然后將點B的坐標代入函數(shù)解析式即可求得此拋物線的解析式；（2）作F關于x軸的對稱點F′（0，﹣1），連接EF′交x軸于H，交對稱軸x＝1于G，四邊形DFHG的周長即為最小，則根據題意即可求得這個最小值及點G、H的坐標；（3）首先設M的坐標為（a，0），求得BD與DM的長，由平行線分線段成比例定理，求得MN的長，然后由相似三角形對應邊成比例，即可得DM2＝BD?MN，則可得到關于a的一元二次方程，解方程即可求得答案．【解答】解：（1）設拋物線的解析式為：y＝a（x﹣1）2+4，∵點B的坐標為（3，0）．∴4a+4＝0，∴a＝﹣1，∴此拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）存在．拋物線的對稱軸方程為：x＝1，∵點E的橫坐標為2，∴y＝﹣4+4+3＝3，∴點E（2，3），∴設直線AE的解析式為：y＝kx+b，∴，∴，∴直線AE的解析式為：y＝x+1，∴點F（0，1），∵D（0，3），∴D與E關于x＝1對稱，作F關于x軸的對稱點F′（0，﹣1），連接EF′交x軸于H，交對稱軸x＝1于G，四邊形DFHG的周長即為最小，設直線EF′的解析式為：y＝mx+n，∴，解得：，∴直線EF′的解析式為：y＝2x﹣1，∴當y＝0時，2x﹣1＝0，得x＝，即H（，0），當x＝1時，y＝1，∴G（1，1）；∴DF＝2，F(xiàn)H＝F′H＝＝，DG＝＝，∴使D、G，H、F四點所圍成的四邊形周長最小值為：DF+FH+GH+DG＝2+++＝2+2；（3）存在．∵BD＝＝3，設M（c，0），∵MN∥BD，∴，即＝，∴MN＝（1+c），DM＝，要使△DNM∽△BMD，需，即DM2＝BD?MN，可得：9+c2＝3×（1+c），解得：c＝或c＝3（舍去）．當x＝時，y＝﹣（﹣1）2+4＝．∴存在，點T的坐標為（，）．【點評】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，周長最短問題，相似三角形的判定與性質，以及平行線分線段成比例定理等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用．【壓軸】一、單選題1．（2022·浙江·九年級專題練習）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點為A（1，0）和B（3，0），點P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線上不同于A，B的兩個點，記△P1AB的面積為S1，△P2AB的面積為S2，有下列結論：①當x1＞x2+2時，S1＞S2；②當x1＜2﹣x2時，S1＜S2；③當|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1時，S1＞S2；④當|x1﹣2|＞|x2+2|＞1時，S1＜S2．其中正確結論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】判定一個命題正確與否，只要舉出一個反例便可確定，因此，不妨設，結合二次函數(shù)的圖象與性質逐項判定即可得出結論．【詳解】解：不妨假設a＞0．①如圖1中，P1，P2滿足x1＞x2+2，∵P1P2AB，∴S1＝S2，故①錯誤；②當x1＝﹣2，x2＝﹣1，滿足x1＜2﹣x2，則S1＞S2，故②錯誤；③∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，∴P1，P2在x軸的上方，且P1離x軸的距離比P2離x軸的距離大，∴S1＞S2，故③正確；④如圖2中，P1，P2滿足|x1﹣2|＞|x2+2|＞1，但是S1＝S2，故④錯誤；故選：A．【點睛】本題考查拋物線與軸的交點，二次函數(shù)圖象上的點的特征等知識，解題的關鍵是學會利用圖象法解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．2．（2021·浙江溫州·九年級階段練習）如圖，二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點D與點C關于x軸對稱，點P從點A出發(fā)向點D運動，點Q在DB上，且∠PCQ＝45°，則圖中陰影部分的面積變化情況是（

）A．一直增大 B．始終不變 C．先減小后增大 D．先增大后減小【答案】C【分析】先證明四邊形是正方形，將繞點順時針旋轉，得到進而證得△，得到，當點是中點時，最短，當最短時，的面積最小，即陰影部分的面積最小，故可得到陰影部分的面積先減小后增大．【詳解】解：令，解得，，，，令，解得，，∵點D與點C關于x軸對稱，故，，，則四邊形是正方形，將繞點順時針旋轉得到，，，，，又，，△，，陰影部分的面積=的面積，當點是中點時，最短，即最短時，的面積最小，故可得到陰影部分的面積先減小后增大．故選：C．【點睛】此題主要考查二次函數(shù)與幾何綜合，解題的關鍵是熟知二次函數(shù)的圖像及正方形的性質與判定、全等三角形的判定與性質．3．（2021·浙江杭州·三模）已知平面直角坐標系中的動點，，滿足，，其中，給出下列說法：①動點可以運動到原點；②動點可以運動到第一象限；③動點在軸正半軸上；④動點在第三象限，其中正確說法的序號是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】將變形為，把代入y中，可得，當時，，即①錯誤；令時，中，，根據的范圍即可以在一象限，②正確；，由的范圍可知，當時，，即不在正半軸上，即③錯誤；，由對稱軸公式，得時有最大值，把代入：中得最大值為9，即時，，故④正確．【詳解】解：滿足，，其中，由，得，將代入，得：，當時，，即①錯誤；∵，∴當時，解得：，故當時可以在第一象限，故②正確；，∵當時，，即不在正半軸上，故③不正確；，當時，即，開口向下有最大值：，∵，∴，即，則在第三象限，故④正確；綜上②④正確．故選：C．【點睛】本題考查坐標與圖形的性質．解本題關鍵要掌握二次函數(shù)的性質，和轉化未知數(shù)的方法以及坐標內點的特點．二、填空題4．（2022·浙江溫州·九年級階段練習）如圖所示，設鐵路，B，C之間距離為12，現(xiàn)將貨物從A運往C，已知單位距離鐵路費用為2，單位距離公路費用為4，在上的點M處修筑公路至C，使運費由A到C最省，則當?shù)闹禐開_______時，運費最少為________．【答案】

【分析】由已知，我們可計算出公路上的運費和鐵路上的運費，進而得到由A到C的總運費，再利用一元二次方程根的判別式可得到答案．【詳解】解：設則，∴∴上的運費為，上的運費為∴由A到C的總費用為：∴整理得：由題意可得：方程有實數(shù)根，∴整理得：當時，則顯然所以不符合題意，舍去，∴時，所以費用的最小值為：，此時：設整理得：解得：經檢驗符合題意，∴∴∴，此時運費為：，故答案為：；【點睛】本題考查的知識點是函數(shù)最值的應用，其中根據已知條件求出函數(shù)的解析式，利用一元二次方程根的判別式是解答本題的關鍵．5．（2022·浙江溫州·模擬預測）如圖，已知點，，兩點，在拋物線上，向左或向右平移拋物線后，，的對應點分別為，，當四邊形的周長最小時，拋物線的解析式為__________．【答案】．【分析】先通過平移和軸對稱得到當B、E、三點共線時，的值最小，再通過設直線的解析式并將三點坐標代入，當時，求出a的值，最后將四邊形周長與時的周長進行比較，確定a的最終取值，即可得到平移后的拋物線的解析式．【詳解】解：∵，，，，∴，，由平移的性質可知：,∴四邊形的周長為；要使其周長最小，則應使的值最??；設拋物線平移了a個單位，當a>0時，拋物線向右平移，當a<0時，拋物線向左平移；∴，，將向左平移2個單位得到，則由平移的性質可知：，將關于x軸的對稱點記為點E，則，由軸對稱性質可知，,∴，當B、E、三點共線時，的值最小，設直線的解析式為：，∴，當時，∴∴，將E點坐標代入解析式可得：，解得：，此時，此時四邊形的周長為；當時，，，，，此時四邊形的周長為：；∵，∴當時，其周長最小，所以拋物線向右平移了個單位，所以其解析式為：；故答案為：．【點睛】本題綜合考查了平移、軸對稱、一次函數(shù)的應用、勾股定理、拋物線的解析式等內容，解決本題的關鍵是理解并確定什么情況下該四邊形的周長最短，本題所需綜合性思維較強，對學生的綜合分析和計算能力要求都較高，本題蘊含了數(shù)形結合與分類討論的思想方法等．三、解答題6．（2022·浙江杭州·模擬預測）已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(b＞0)與y軸交于點C(0，－8)，頂點D的縱坐標是－9．(1)求點D的坐標(用含b的代數(shù)式表示)；(2)若直線y＝kx－k(k≠0)與拋物線有一個交點A(x0，y0)；點(x，y)在拋物線上，當x＞x0時，y＞0；當0＜x＜x0時，y＜0．①求拋物線的解析式；②將拋物線向右平移個單位長度，再向上平移9個單位長度后，得到的新拋物線與直線y＝kx＋12交E，F(xiàn)兩點，過點E，F(xiàn)的兩條直線分別與新拋物線均只有一公共點，且這兩條直線交于點P，直線PE與PF都不與y軸平行，求證：點P在一條定直線上．【答案】(1)(2)①②見解析【分析】(1)把點C的坐標代入，可得c=-8，再由頂點D的縱坐標是－9，可得，據此即可求得；(2)①由題意可得點A的坐標為(1,0)，代入解析式，即可求得解析式；②首先根據平移的規(guī)律可求得新拋物線的解析式，設點，，由可得，再設過點E的直線為y=mx+n，可求得過點E的直線為，解得，同理可得過點F的直線為，，最后聯(lián)立即可求得．(1)解：將C(0，－8)代入解析式，得c=-8頂點D的縱坐標是－9，可得頂點D的橫坐標是點D的坐標為；(2)解：①由y=kx-k=k(x-1)可知，該直線必過點(1,0)當x＞x0時，y＞0；當0＜x＜x0時，y＜0該拋物線的開口向上，當點A的坐標為(1,0)時，滿足該條件點A的坐標為(1,0)把點A的坐標代入得解得或故該函數(shù)的解析式為；②將拋物線向右平移個單位長度，再向上平移9個單位長度后，得到的新拋物線為：設點，由得，設過點E的直線為y=mx+n得過點E的直線與新拋物線只有一公共點，可得解得，則故過點E的直線為解得同理可得過點F的直線為，聯(lián)立得：這兩條直線的交點P在定直線y=-12上．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平移的規(guī)律，二次函數(shù)與方程，一元二次方程根與系數(shù)的關系及根的判別式，綜合性質比較強，求出過點E，F(xiàn)的直線是解決本題的關鍵．7．（2022·浙江·蘭溪市實驗中學一模）已知二次函數(shù)交軸于點A，B（點A在點B左側），交軸于點，設拋物線的對稱軸為直線，且≥．(1)用含的代數(shù)式表示出點A、點B的坐標；(2)若拋物線上存在點P使得（點P與點C不重合），且這樣的點P恰好存在兩個，求此時拋物線的解析式；(3)我們將平面直角坐標系中橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點叫做整點．當點A、點B都在軸正半軸上，且內部存在2個整點（不包括邊），試寫出1個符合題意的實數(shù)的值，并直接寫出的取值規(guī)律．【答案】(1)，(2)或(3)（n為正整數(shù)），m的值可以為3．【分析】由拋物線對稱軸為直線x=m及AB=3求解．分類討拋物線開口向上，向下兩種情況．設拋物線頂點式求解．設直線AC，BC與直線y=1交點為D，E，由可得DE長度為定值，令兩整數(shù)點在線段DE上，列不等式求解．(1)∵點A，B關于對稱軸直線x=m對稱，AB=3且點A在點B左側，∴，(2)①m＞0時，由題意得拋物線開口向上，頂點坐標為，∴拋物線解析式為，把代入得，解得把代入得，解得或（舍），∴；②當m=0時，拋物線開口向下，頂點為C（0，2），∴，將代入得，解得，∴，綜上，或；(3)如圖，直線AC，BC與直線y=1交點為D，E，則DE為△ABC的中位線，∴，點D坐標為，點E坐標為，由題意得D，E兩點之間含有2個整點，設兩個整點坐標為，，則，，解得（n為正整數(shù)）．∴m的值可以為3．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，解題關鍵是掌握二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)與方程的關系，掌握三角形中位線的性質．8．（2022·浙江湖州·九年級期中）拋物線過點A（－1，0），點B（3，0），頂點為C．(1)求拋物線的表達式及點C的坐標；(2)如圖1，點P在拋物線上，連接CP并延長交