2024年中考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)圓綜合解題模型之A型

年中考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)圓綜合解題模型之A型1．如圖，AB是⊙M的直徑，BC是⊙M的切線，切點為B，C是BC上（除B點外）的任意一點，連接CM交⊙M于點G，過點C作DC⊥BC交BG的延長線于點D，連接AG并延長交BC于點E．（1）求證：△ABE∽△BCD；（2）若MB=BE=1，求CD的長度．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB的中點，以CD為直徑作⊙O，⊙O分別與AC，BC交于點E，F(xiàn)，過點F作⊙O的切線FG，交AB于點G.（1）求證：FG⊥AB；（2）若AC＝6，BC＝8，求FG的長.3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，以CD為直徑的⊙O分別交AC，BC于點E，F(xiàn)兩點，過點F作FG⊥AB于點G.（1）試判斷FG與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AC=6，CD＝5，求FG的長.4．如圖，已知AB為半圓O的直徑，過點B作PB⊥OB，連接AP交半圓O于點C，D為BP上一點，CD是半圓O的切線．（1）求證：CD＝DP．（2）已知半圓O的直徑為6，PC＝1，求CD的長．5．如圖，⊙O與△ABC的邊AC相切于點C，與邊AB、BC分別交于點D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直徑。（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若BD=4，CE=6，求AC的長。6．如圖，AB為⊙O的直徑，D是BC的中點，BC與AD，OD分別交于點E，F(xiàn).（1）求證：OD∥AC；（2）求證：DC2＝DE?DA；（3）若⊙O的直徑AB＝10，AC＝6，求BF的長.7．如圖，已知，⊙O為△ABC的外接圓，BC為直徑，點E在AB上，過點E作EF⊥BC，點G在FE的延長線上，且GA=GE.（1）求證：AG與⊙O相切.（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求線段OE的長.8．如圖，AB為⊙O的直徑，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中點，弦CG⊥AB于點D，交AE于點F，過點C作⊙O的切線，交BA延長線于點P，連接BE（1）求證：PC∥AE；（2）若sin∠P＝359．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D的直線EF交AC于點F，交AB的延長線于點E，且∠BAC=2∠BDE.（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）當(dāng)CF=2，BE=3時，求AF的長.10．已知：如圖，在△ABC中，∠B＝∠C．以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AC于點E．（1）求證：DE與⊙O相切；（2）延長DE交BA的延長線于點F，若AB＝8，sinB＝5511．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC⊥AB，連接OC，弦AD∥OC，直線CD交BA的延長線于點E．（1）求證：直線CD是⊙O的切線；（2）若DE=2BC，EA=4，求⊙O的半徑．12．如圖，CE是⊙O的直徑，BD切⊙O于點D，DE//BO，CE的延長線交BD于點A.（1）求證：直線BC是⊙O的切線；（2）若AE=2，tan∠DEO=2，求13．如圖，AC為⊙O的直徑，AB＝BD，BD交AC于F，BE//AD交AC的延長線于E點.（1）求證：BE為⊙O的切線；（2）若AF＝4CF，求tan∠E.14．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，過點O作OF⊥AB，交BC的延長線于點F，交AC于點D，E為DF上一點，連接EC，其中EC=ED.（1）求證：E是DF的中點；（2）求證：EC是⊙O的切線；（3）如果OA=4，EF=3，求弦AC的長.15．如圖，AB是⊙O的直徑，C是弧AB的中點，延長AC至D，使CD＝AC，連接DB.E是OB的中點，CE的延長線交DB的延長線于點F，AF交⊙O于點H，連接BH.（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）⊙O的直徑為2，求BH的長.16．如圖，在△ABC中，點D是AC邊上一點，以AD為直徑的⊙O與邊BC切于點E，且AB＝BE.（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若BE＝3，BC＝7，求⊙O的半徑長；（3）求證：CE17．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，與CA的延長線相交于點E，過點D作DF⊥AC于點F.（1）試說明DF是⊙O的切線；（2）若AC=3AE，求tanC.18．如圖，△ABC中，AB＝AC.以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D.與CA的延長線相交于點E，過點D作DF⊥AC于點F.（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若AC＝3AE，AH⊥AB交BC于H，求tan∠AHB的值.19．如圖，以O(shè)為圓心，AB長為直徑作圓，在⊙O上取一點C，延長AB至點D，連接DC，過點A作⊙O的切線交DC的延長線于點E，且∠DCB=∠DAC.（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AD=6，tan∠DCB=2320．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜邊AB上的中線CD為直徑作⊙O，與BC交于點M，與AB的另一個交點為E，過點M作⊙O的切線MN交AB于點N．（1）求證：MN⊥AB；（2）若⊙O的直徑為5，sinB=3521．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB為直徑作⊙O，點D為AB上一點，過D作DE⊥AB交BC于F，交過點C的切線于E點.（1）求證：CE=EF；（2）若BDBC=12，22．如圖，AB為⊙O直徑，AC為弦，過⊙O外的點D作DE⊥OA于點E，交AC于點F，連接DC并延長交AB的延長線于點H，且∠D＝2∠A．（1）求證：DC與⊙O相切；（2）若⊙O半徑為4，cosD=23．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分線，BM平分∠ABC交AE于點M，經(jīng)過B，M兩點的⊙O交BC于點G，交AB于點F，F(xiàn)B恰為⊙O的直徑.（1）求證：AE與⊙O相切；（2）當(dāng)BC＝6，cosC＝13

答案解析部分1．【答案】（1）解：∵BC為⊙M切線，∴∠ABC=90°，∵DC⊥BC，∴∠BCD=90°，∴∠ABC=∠BCD，∵AB是⊙M的直徑，∴∠AGB=90°，即：BG⊥AE，∴∠CBD=∠A，∴△ABE∽△BCD（2）解：過點G作GH⊥BC于H，∵MB=BE=1∴AB=2，∴AE=AB2由（1）根據(jù)面積法AB?BE=BG?AE，∴BG=25由勾股定理：AG=455，GE=∵GH∥AB，∴GHAB∴GH2∴GH=25又∵GH∥AB，∴HCBC=同理：BHBC=①+②，得HC+BHBC=GH∴GHMB+∴CD=22．【答案】（1）解：如圖，連接OF，∵∠ACB＝90°，點D是AB的中點，∴CD=BD，∴∠B=∠DCB，∵OF=OC，∴∠DCB=∠OFC，∴∠B=∠OFC，∴OF//AB，∵FG是⊙O的切線，∴OF⊥FG，∠OFG=90°，∴∠FDG=90°，即FG⊥AB（2）解：如圖，連接DF，∵CD為⊙O的直徑，∴∠DFC=90°，即DF⊥BC，∵CD=BD，BC=8，∴BF=12∵AC=6，BC=8，∴AB=AC2∵∠FGB=∠ACB=90°，∠B=∠B，∴△BFG∽△BAC，∴BFAB=FG解得：FG=1253．【答案】（1）答：FG與⊙O相切.證明：連接OF，DF，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，∴CD=BD=12∵CD為⊙O直徑，∴DF⊥BC，∴F為BC中點，∵OC=OD，∴OF∥AB，∵FG⊥AB，∴FG⊥OF，∴FG為⊙O的切線；（2）解：∵CD為Rt△ABC斜邊上中線，∴AB=2CD=10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴BC=AB∴BF=12∵FG⊥AB，∴sinB=GFBF∴GF4∴FG=124．【答案】（1）解：如圖1，連接OC∵CD是半圓O的切線∴OC⊥CD，即∠OCD=90°∴∠OCA+∠DCP=180°?∠OCD=90°∵PB⊥AB∴∠ABP=90°∴∠A+∠P=90°∴∠OCA+∠DCP=∠A+∠P=90°又∵OA=OC∴∠A=∠OCA∴∠DCP=∠P∴CD=DP；（2）解：如圖2，連接OC、BC∵AB是半圓O的直徑∴∠ACB=90°，AB=∴∠ACB=∠ABP=90°又∵∠A=∠A∴△ABC～△APB∴ACAB=∵AB=∴(解得AC=2或AC=?3（不符題意，舍去）∴AP=AC+PC=3在Rt△ABP中，BP=由（1）得∠OCD=∠ABP=90°即∠OCB+∠DCB=∠OBC+∠DBC∵OB=OC∴∠OCB=∠OBC∴∠DCB=∠DBC∴BD=CD由（1）知CD=DP∴CD=15．【答案】（1）證明：連接OD。∵DE∥OA，∴∠AOC=∠OED，∠AOD=∠ODE∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE，∴∠AOC=∠AOD。又∵OA=OA，OD=OC，∴△AOC≌△AOD（SAS），∴∠ADO=∠ACO∵CE是⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，∴OC⊥AC，∴∠OCA=90°，∴∠ADO=90°，∴OD⊥AB∵OD為⊙O的半徑，AB是⊙O的切線（2）解：∵CE=6，∴OD=OC=3∵∠BDO=90°，∴BO2=BD2+OD2∵BD=4，∴OB=42+3∴△BDO∽△BCA，∴BD∴48=36．【答案】（1）證明：因為點D是弧BC的中點，所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，而∠BOD＝2∠BAD，所以∠CAB＝∠BOD，所以DO∥AC；（2）證明：∵D是BC的中點，∴∠CAD＝∠DCB，∴△DCE∽△DAC，∴CD2＝DE?DA；（3）解：∵AB為⊙O的直徑∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，BC＝.AB2∵OD∥AC，∴△BOF∽△BAC，∴BOBA即12＝BF∴BF＝4.即BF的長為4.7．【答案】（1）證明：連接OA，∵OA=OB，GA=GE∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE∵EF⊥BC，∴∠BFE=90°，∴∠ABO+∠BEF=90°，又∵∠BEF=∠GEA，∴∠GAE=∠BEF，∴∠BAO+∠GAE=90°，即AG與⊙O相切.（2）解：∵BC為直徑，∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，∴BC=10，∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，∴△BEF∽△BCA，∴BF∴EF=1.8，BF=2.4，∴OF=OB-BF=5.2.4=2.6，∴OE=EF8．【答案】（1）證明：連接OC，如圖，∵PC為⊙O的切線，∴OC⊥PC，∵C是弧AE的中點，∴OC⊥AE，∴PC∥AE；（2）解：設(shè)OC與AE交于點H，如圖，∵CG⊥AB，∴AC=∴AG=∴∠ACG＝∠CAE，∴AF＝CF＝5，∵PC∥AE，∴∠EAB＝∠P，在Rt△ADF中，∵sin∠P＝sin∠FAD＝DFAF＝3∴DF＝3，AD＝4，在△OAH和△OCD中，∠OHA=∠ODC∠AOH=∠DOC∴△OAH≌△OCD（AAS），∴AH＝CD＝5+3＝8，∴AE＝2AH＝16，∵∠DAF＝∠EAB，∴Rt△ADF∽Rt△AEB，∴DF：BE＝AD：AE，即3：BE＝4：16，∴BE＝12.9．【答案】（1）證明：如圖，連接OD，AD，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°.∴AD⊥BC.∵AB=AC，∴∠BAC=2∠BAD，∴∠BAC=2∠BDE，∴∠BDE=∠BAD.∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO.∵∠ADO+∠ODB=90°，∴∠BDE+∠ODB=90°.∴∠ODE=90°，即DF⊥OD.又OD是⊙O的半徑，∴DF是⊙O的切線.（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD.∵BO=AO，∴OD//AC.∴△EOD∽△EAF，∴ODAF設(shè)OD=x，∵CF=2，BE=3，∴OA=OB=x，AF=AC?CF=2x?2，EO=x+3，EA=2x+3.∴x2x?2解得x=6.經(jīng)檢驗x=6是所列分式方程的解.∴AF=2x?2=10.10．【答案】（1）證明：連接OD，則OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∴DE是⊙O的切線（2）解：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵AB＝8，sinB＝55∴AD＝AB?sinB＝85∵∠ODB+∠ADO＝∠ADO+∠ADE＝90°，∴∠BDO＝∠ADE，∴∠B＝∠ADE，∴sinB＝sin∠ADE＝AEAD＝5∴AE＝55AD＝55×85∵OD∥AE，∴△FAE∽△FOD，∴FAFO∵AB＝8，∴OD＝AO＝4，∴FAFA+4＝∴FA＝811．【答案】（1）證明：連結(jié)OD．∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中，OC=OC∠COD=∠COB∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO=∠CBO=90°．又∵點D在⊙O上，∴CD是⊙O的切線（2）解：∵△COD≌△COB．∴CD=CB，∵DE=2BC，∴ED=2CD，∵AD∥OC，∴EDCD∵EA=4，∴OA=2，∴⊙O的半徑=2．12．【答案】（1）證明：連接OD，∵DE//BO，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OE，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，在△DOB與△COB中，OD=OC∠1=∠2∴△DOB?△COB(SAS).∴∠OCB=∠ODB，∵BD切⊙O于點D，∴∠ODB=90°，∴∠OCB=90°，∴AC⊥BC，∴直線BC是⊙O的切線.（2）解：∵∠DEO=∠2，∴tan∠DEO=設(shè)OC=r，BC=2由（1）證得△DOB?△COB，∴BD=BC=2∵DE//BO，∴ADBD=∴AD=22Rt△ADO中根據(jù)勾股定理可得：AD2+D解得：r=1，∴AO=AE+EO=3.13．【答案】（1）證明：如圖，連接CD、OD、BO，延長BO交AD于點G，在△ABO和△DBO中，∵AB=DBBO=BO∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠1＝∠ABO，∴BG⊥AD，∴∠1+∠BDG=90°，∵BE//AD，∴∠BDG=∠3，∴∠3+∠1＝90°，即OB⊥BE，∴BE為⊙O的切線；（2）解：設(shè)CF＝x，則AF＝4x，∴AC＝5x，OC＝OB＝12AC＝5∴OF＝OC﹣CF＝52x﹣x＝3∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴CD//BG，∴△CDF∽△OBF，∴CDOB=CF則CD＝53∴AD＝AC∵BE//AD，∴tanE＝tan∠CAD＝CDAD14．【答案】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵EC=ED，∴∠DCE=∠EDC，在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF=90°，∴∠CDE+∠ECF=90°，∵∠CDE+∠F=90°，∴∠ECF=∠F，∴EC=EF，∴ED=EF，∴E是DF的中點；（2）證明：連接OC，∵OF⊥AB，∴∠DOA=90°，∴∠A+∠ADO=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∴∠OCA+∠ADO=90°，∵∠ADO=∠CDE，∴∠OCA+∠CDE=90°，∵∠CDE=∠DCE，∴∠OCA+∠DCE=90°，∴EC⊥OC，∴EC是⊙O的切線；（3）解：∵EF=3，ED=EF，∴EC=DE=3，∴OE=O∴OD=OE-DE=2，在Rt△OAD中，AD=O在Rt△AOD和Rt△ACB中，∵∠A=∠A，∠ACB=∠AOD，∴Rt△AOD∽Rt△ACB，∴OAAC即4AC∴AC=1615．【答案】（1）證明：連接OC，如圖∵AB是⊙O的直徑，C是弧AB的中點，∴OC⊥AB∵CD＝AC，OA＝OB∴OC為△ABD的中位線∴OC//BD∴BD⊥AB∴BD是⊙O的切線（2）解：∵E是OB的中點∴OE＝BE∵OC//BD∴△OCE∽△BFE∴OC∵⊙O的直徑為2∴OC＝1∴BF＝1∴在Rt△ABF中，AB＝2，BF＝1由勾股定理得：AF＝2∵AB是⊙O的直徑∴∠AHB＝90°∵12AF?BH＝1∴BH＝2×116．【答案】（1）證明：連接OB、OE，如圖所示：在△ABO和△EBO中，AB=BEOA=OE∴△ABO≌△EBO（SSS），∴∠BAO＝∠BEO，∵⊙O與邊BC切于點E，∴OE⊥BC，∴∠BEO＝∠BAO＝90°，即AB⊥AD，∴AB是⊙O的切線；（2）解：∵BE＝3，BC＝7，∴AB＝BE＝3，CE＝4，∵AB⊥AD，∴AC＝BC2?AB2∵OE⊥BC，∴∠OEC＝∠BAC＝90°，∠ECO＝∠ACB，∴△CEO∽△CAB，∴OEAB即OE3解得：OE＝310∴⊙O的半徑長為310（3）證明：連接AE，DE，∵AD是⊙O的直徑，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∵BA是⊙O的切線，∴∠BAC＝90°，∴∠BAE＋∠EAD＝90°，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∴∠DEC＝∠EAD，∴△EDC∽△AEC，∴CECD∴CE17．【答案】（1）解：連接OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切線（2）解：連接BE，∵AB是直徑，∴∠AEB=90°，∵AB=AC，AC=3AE，∴AB=3AE，CE=4AE，∴BE=AB在Rt△BEC中，tanC=BECE18．【答案】（1）證明：連接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠OBD＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，點D在⊙O上，∴DF是⊙O的切線（2）解：連接BE，∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，AC＝3AE，∴AB＝3AE，CE＝4AE，∠ABC＝∠C，∴BE＝AB2?A在Rt△BEC中，tan∠C＝BECE=2∴tan∠ABC=2∵AH⊥AB，∴∠BAH＝90°，設(shè)AH＝2a，AB＝2a，∴tan∠AHB＝ABAH＝2a219．【答案】（1）證明：連接OC，OE，如圖，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，即∠BCO+∠1=90°，又∵∠DCB=∠CAD，∵OA=OC，∴∠CAD=∠1，∴∠1=∠DCB，∴∠DCB+∠BCO=90°，即∠DCO=90°，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵EA、EC為⊙O的切線，∴EC=EA，OE⊥AC，∴∠BAC=∠OEA（等角的余角相等），∴∠DCB=∠OEA.∵tan∠DCB=23∴tan∠OEA=OAAE∵Rt△DCO∽Rt△DAE，∴CDDA∴CD=23在Rt△DAE中，設(shè)AE=x，∴(x+4)2解得x=5即AE的長為5220．【答案】（1）證明：連接OM，如圖1，∵MN是⊙O的切線，∴OM⊥MN，∴∠OMN=90°，∵OC＝OM，∴∠OCM＝∠OMC，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝12∴∠DCB＝∠DBC，∴∠OMC＝∠DBC，∴OM∥BD，∴∠OMN=∠MNB=90°，∴MN⊥BD；（2）解：連接DM，CE，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，即DM⊥BC，CE⊥AB，由（1）知：BD＝CD＝5，∴M為BC的中點，∵sinB＝35∴cosB＝45在Rt△BMD中，BM＝BD?cosB＝4，∴BC＝2BM＝8，在Rt△CEB中，BE＝BC?cosB＝325∴ED＝BE﹣BD＝325﹣5＝721．【答案】（1）證明：連接OC，∵CE是⊙O的切線，∴∠OCE=90°，∴∠BCE+∠BCO=90°，又∠CFE=∠BFD，∠BFD+∠B=90°，∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，∴∠BCE=∠EFC，∴CE=EF；（2）解：作CH⊥AB于H，OM⊥BC于M