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文檔簡介
浙江省金華市東陽中學(xué)2024年高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,在平面四邊形中,滿足,且,沿著把折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且使,則三棱錐體積的最大值為()A.12 B. C. D.2.如圖,圓錐底面半徑為,體積為,、是底面圓的兩條互相垂直的直徑,是母線的中點(diǎn),已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點(diǎn)的拋物線的一部分,則該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離等于()A. B.1 C. D.3.在平面直角坐標(biāo)系中,將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn),設(shè)直線與軸正半軸所成的最小正角為,則等于()A. B. C. D.4.已知,是兩條不重合的直線,是一個平面,則下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則5.已知變量的幾組取值如下表:12347若與線性相關(guān),且,則實數(shù)()A. B. C. D.6.已知數(shù)列對任意的有成立,若,則等于()A. B. C. D.7.已知,則,不可能滿足的關(guān)系是()A. B. C. D.8.已知,,分別為內(nèi)角,,的對邊,,,的面積為,則()A. B.4 C.5 D.9.已知盒中有3個紅球,3個黃球,3個白球,且每種顏色的三個球均按,,編號,現(xiàn)從中摸出3個球(除顏色與編號外球沒有區(qū)別),則恰好不同時包含字母,,的概率為()A. B. C. D.10.定義在R上的函數(shù)y=fx滿足fx≤2x-1A. B. C. D.11.胡夫金字塔是底面為正方形的錐體,四個側(cè)面都是相同的等腰三角形.研究發(fā)現(xiàn),該金字塔底面周長除以倍的塔高,恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率.設(shè)胡夫金字塔的高為,假如對胡夫金字塔進(jìn)行亮化,沿其側(cè)棱和底邊布設(shè)單條燈帶,則需要燈帶的總長度約為A. B.C. D.12.若,,,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),過點(diǎn)的一條直線與圓相交于兩點(diǎn),若存在點(diǎn),使得,則橢圓的離心率取值范圍為_________.14.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn),則的取值范圍是____________.15.已知,如果函數(shù)有三個零點(diǎn),則實數(shù)的取值范圍是____________16.設(shè)數(shù)列的前n項和為,且,若,則______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)第十四屆全國冬季運(yùn)動會召開期間,某校舉行了“冰上運(yùn)動知識競賽”,為了解本次競賽成績情況,從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(得分均為整數(shù),滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計,請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù),解答下列問題:(1)求、、的值及隨機(jī)抽取一考生其成績不低于70分的概率;(2)若從成績較好的3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取5人參加“普及冰雪知識”志愿活動,并指定2名負(fù)責(zé)人,求從第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負(fù)責(zé)人的概率.組號分組頻數(shù)頻率第1組150.15第2組350.35第3組b0.20第4組20第5組100.1合計1.0018.(12分)如圖,四棱錐中,底面為直角梯形,∥,為等邊三角形,平面底面,為的中點(diǎn).(1)求證:平面平面;(2)點(diǎn)在線段上,且,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.19.(12分)如圖,底面ABCD是邊長為2的菱形,,平面ABCD,,,BE與平面ABCD所成的角為.(1)求證:平面平面BDE;(2)求二面角B-EF-D的余弦值.20.(12分)某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)長度為,只要誤差的絕對值不超過就認(rèn)為合格,工廠質(zhì)檢部抽檢了某批次產(chǎn)品1000件,檢測其長度,繪制條形統(tǒng)計圖如圖:(1)估計該批次產(chǎn)品長度誤差絕對值的數(shù)學(xué)期望;(2)如果視該批次產(chǎn)品樣本的頻率為總體的概率,要求從工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件,假設(shè)其中至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率不小于0.8時,該設(shè)備符合生產(chǎn)要求.現(xiàn)有設(shè)備是否符合此要求?若不符合此要求,求出符合要求時,生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率的最小值.21.(12分)某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的體重數(shù)據(jù),得到如下頻率分布直方圖,以樣本的頻率作為總體的概率.(1)估計這100人體重數(shù)據(jù)的平均值和樣本方差;(結(jié)果取整數(shù),同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生,記為體重在的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,該校學(xué)生的體重近似服從正態(tài)分布.若,則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說明理由.22.(10分)如圖,在四棱錐中,平面平面,.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若銳二面角的余弦值為,求直線與平面所成的角.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
過作于,連接,易知,,從而可證平面,進(jìn)而可知,當(dāng)最大時,取得最大值,取的中點(diǎn),可得,再由,求出的最大值即可.【詳解】在和中,,所以,則,過作于,連接,顯然,則,且,又因為,所以平面,所以,當(dāng)最大時,取得最大值,取的中點(diǎn),則,所以,因為,所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上(不在左右頂點(diǎn)),其中長軸長為10,焦距長為8,所以的最大值為橢圓的短軸長的一半,故最大值為,所以最大值為,故的最大值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的最大值,考查學(xué)生的空間想象能力與計算求解能力,屬于中檔題.2、D【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,求得拋物線的軌跡方程,解直角三角形求得拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離.【詳解】將拋物線放入坐標(biāo)系,如圖所示,∵,,,∴,設(shè)拋物線,代入點(diǎn),可得∴焦點(diǎn)為,即焦點(diǎn)為中點(diǎn),設(shè)焦點(diǎn)為,,,∴.故選:D【點(diǎn)睛】本小題考查圓錐曲線的概念,拋物線的性質(zhì),兩點(diǎn)間的距離等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,空間想象能力,推理論證能力,應(yīng)用意識.3、A【解析】
設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為,由任意角的三角函數(shù)的定義可以求得的值,依題有,則,利用誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】如圖,設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為因為點(diǎn)在角的終邊上,所以依題有,則,所以,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
利用空間位置關(guān)系的判斷及性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.【詳解】解:選項A中直線,還可能相交或異面,選項B中,還可能異面,選項C,由條件可得或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識;考查空間想象能力、推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
求出,把坐標(biāo)代入方程可求得.【詳解】據(jù)題意,得,所以,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程,由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點(diǎn)可計算參數(shù)值.6、B【解析】
觀察已知條件,對進(jìn)行化簡,運(yùn)用累加法和裂項法求出結(jié)果.【詳解】已知,則,所以有,,,,兩邊同時相加得,又因為,所以.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了求數(shù)列某一項的值,運(yùn)用了累加法和裂項法,遇到形如時就可以采用裂項法進(jìn)行求和,需要掌握數(shù)列中的方法,并能熟練運(yùn)用對應(yīng)方法求解.7、C【解析】
根據(jù)即可得出,,根據(jù),,即可判斷出結(jié)果.【詳解】∵;∴,;∴,,故正確;,故C錯誤;∵,故D正確故C.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化,對數(shù)的運(yùn)算,以及基本不等式:和不等式的應(yīng)用,屬于中檔題8、D【解析】
由正弦定理可知,從而可求出.通過可求出,結(jié)合余弦定理即可求出的值.【詳解】解:,即,即.,則.,解得.,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角形的面積公式,考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的關(guān)鍵是通過正弦定理結(jié)合已知條件,得到角的正弦值余弦值.9、B【解析】
首先求出基本事件總數(shù),則事件“恰好不同時包含字母,,”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母,,”,記事件“恰好不同時包含字母,,”為,利用對立事件的概率公式計算可得;【詳解】解:從9個球中摸出3個球,則基本事件總數(shù)為(個),則事件“恰好不同時包含字母,,”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母,,”記事件“恰好不同時包含字母,,”為,則.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計算公式,考查了排列組合的知識,解答的關(guān)鍵在于正確理解題意,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
根據(jù)y=fx+1為奇函數(shù),得到函數(shù)關(guān)于1,0中心對稱,排除AB,計算f1.5≤【詳解】y=fx+1為奇函數(shù),即fx+1=-f-x+1,函數(shù)關(guān)于f1.5≤2故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的識別,確定函數(shù)關(guān)于1,0中心對稱是解題的關(guān)鍵.11、D【解析】
設(shè)胡夫金字塔的底面邊長為,由題可得,所以,該金字塔的側(cè)棱長為,所以需要燈帶的總長度約為,故選D.12、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),取得的取值范圍,即可求解,得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,即,又由,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小,其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求得的取值范圍是解答的關(guān)鍵,著重考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè),設(shè)出直線AB的參數(shù)方程,利用參數(shù)的幾何意義可得,由題意得到,據(jù)此求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè),直線AB的參數(shù)方程為,(為參數(shù))代入圓,化簡得:,,,,存在點(diǎn),使得,,即,,,,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓離心率取值范圍的求解,考查直線、圓與橢圓的綜合運(yùn)用,考查直線參數(shù)方程的運(yùn)用,屬于中檔題.14、【解析】
方法一:令,則,,當(dāng),時,,單調(diào)遞減,∴時,,,且,∴在上單調(diào)遞增,時,,,且,∴在上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點(diǎn),∴滿足題意;當(dāng)時,存在使得,即,又在上單調(diào)遞減,∴時,,,所以,這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾.綜上,.方法二:依據(jù)極值的定義,要使是函數(shù)的極大值點(diǎn),由知須在的左側(cè)附近,,即;在的右側(cè)附近,,即.易知,時,與相切于原點(diǎn),所以根據(jù)與的圖象關(guān)系,可得.15、【解析】
首先把零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程問題,等價于有三個零點(diǎn),兩側(cè)開方,可得,即有三個零點(diǎn),再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合最值即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)有三個零點(diǎn),即零點(diǎn)有,顯然,則有,可得,即有三個零點(diǎn),不妨令,對于,函數(shù)單調(diào)遞增,,,所以函數(shù)在區(qū)間上只有一解,對于函數(shù),,解得,,解得,,解得,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,此時函數(shù)若有兩個零點(diǎn),則有,綜上可知,若函數(shù)有三個零點(diǎn),則實數(shù)的取值范圍是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的零點(diǎn),恰當(dāng)?shù)拈_方,轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點(diǎn)問題,注意恰有三個零點(diǎn)條件的應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)的范圍,屬于難題.16、9【解析】
用換中的n,得,作差可得,從而數(shù)列是等比數(shù)列,再由即可得到答案.【詳解】由,得,兩式相減,得,即;又,解得,所以數(shù)列為首項為-3、公比為3的等比數(shù)列,所以.故答案為:9.【點(diǎn)睛】本題考查已知與的關(guān)系求數(shù)列通項的問題,要注意n的范圍,考查學(xué)生運(yùn)算求解能力,是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),,,;(2)【解析】
(1)根據(jù)第1組的頻數(shù)和頻率求出,根據(jù)頻數(shù)、頻率、的關(guān)系分別求出,進(jìn)而求出不低于70分的概率;(2)由(1)得,根據(jù)分層抽樣原則,分別從抽出2人,2人,1人,并按照所在組對抽出的5人編號,列出所有2名負(fù)責(zé)人的抽取方法,得出第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負(fù)責(zé)人的抽法數(shù),由古典概型概率公式,即可求解.【詳解】(1),,,由頻率分布表可得成績不低于70分的概率約為:(2)因為第3、4、5組共有50名學(xué)生,所以利用分層抽樣在50名學(xué)生中抽取5名學(xué)生,每組分別為:第3組:人,第4組:人,第5組:人,所以第3、4、5組分別抽取2人,2人,1人設(shè)第3組的3位同學(xué)為、,第4組的2位同學(xué)為、,第5組的1位同學(xué)為,則從五位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有10種可能抽法如下:,,,,,,,,,,其中第4組的2位同學(xué)、至少有一位同學(xué)是負(fù)責(zé)人有7種抽法,故所求的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)全頻率分布表、古典概型的概率,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,證得底面,由此證得,結(jié)合證得平面,由此證得:平面平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面和平面的法向量,計算出平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:∵為等邊三角形,為的中點(diǎn),∴∵平面底面,平面底面,∴底面平面,∴又由題意可知為正方形,又,∴平面平面,∴平面平面(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,由已知,得,設(shè)平面的法向量為,則令,則,∴由(1)知平面的法向量可取為∴∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.19、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)要證明平面平面BDE,只需在平面內(nèi)找一條直線垂直平面BDE即可;(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面BEF的法向量,平面的法向量,算出即可.【詳解】(1)∵平面ABCD,平面ABCD.∴.又∵底面ABCD是菱形,∴.∵,∴平面BDE,設(shè)AC,BD交于O,取BE的中點(diǎn)G,連FG,OG,,,四邊形OCFG是平行四邊形,平面BDE∴平面BDE,又因平面BEF,∴平面平面BDE.(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系∵BE與平面ABCD所成的角為,,,,,,.,設(shè)平面BEF的法向量為,,,設(shè)平面的法向量設(shè)二面角的大小為..【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直證面面垂直、面面所成角的計算,考查學(xué)生的計算能力,解決此類問題最關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo),是一道中檔題.20、(1)(2)【解析】
(1)根據(jù)題意即可寫出該批次產(chǎn)品長度誤差的絕對值的頻率分布列,再根據(jù)期望公式即可求出;(2)由(1)可知,任取一件產(chǎn)品是標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為0.4,即可求出隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品,都不是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率,由對立事件的概率公式即可得到隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品,至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率,判斷其是否符合生產(chǎn)要求;當(dāng)不符合要求時,設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為,可根據(jù)上述方法求出,解,即可得出最小值.【詳解】(1)由柱狀圖,該批次產(chǎn)品長度誤差的絕對值的頻率分布列為下表:00.010.020.030.04頻率0.40.30.20.0750.025所以的數(shù)學(xué)期望的估計為.(2)由(1)可知任取一件產(chǎn)品是標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為0.4,設(shè)至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品為事件,則,故不符合概率不小于0.8的要求.設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為,由題意,又,解得,所以符合要求時,生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望的求法,相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式的應(yīng)用,對立事件的概率公式的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是對題意的理解,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力
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