2020年自考《初等數(shù)論》專業(yè)考試題庫及答案

2020年自考《初等數(shù)論》專業(yè)考試題庫及答案

一填空題(每空2分)

1.寫出30以內(nèi)的所有素數(shù)2,3,5,7,11,13,17,19,23,29.

2.設(shè)是任意兩個不為零的整數(shù),順^，上)=_1—.

(a,b)(a,b)

3.若Q1是非零整數(shù)，則a與b互素的充要條件是存在整數(shù)羽y,適依+勿=1

4.寫出180的標(biāo)準(zhǔn)分解式是22-32-5淇正約數(shù)個數(shù)有_(2+1)(2+1)(1+1)=18個.

5.設(shè)a與b是正整數(shù),則在1,2,…,a中能被人整除的整數(shù)恰有」々一個.

b

6.設(shè)a,b是非零整數(shù),c是整數(shù)，方程ax+紗=c有整數(shù)解(x,y)的充要條件是(a,。)Ic

7.若整數(shù)集合A是模機(jī)的完全剩余系，則A中含有—加一個整數(shù).

8.°(3)=2:夕⑷=2.

9.當(dāng)p素數(shù)時,(l)°(p)=_p—lX2)9(P")=pk_pi.

10.設(shè)機(jī)是正整數(shù),(。,冽)=1,則a。""'一1三0(modni).

11.設(shè)p是素數(shù)，則對于任意的整數(shù)a,有〃-。三0(modp).

12.已知2x+3三5(mod7),貝Ux=1(mod7).

13.同余方程必三2(mod7)的解是4(mod7).

14.同余方程3/+10x+12三0(mod9)的解是,X=6..

P-1

15.若(",p)=1,"是模2的二次剩余的充要條件是n2三l(modp)..

16.若(",p)=1是模p的二次非剩余的充要條件是n2=-l(modp)..

34

17.(-)=-1;(-)=1.

5-----------5-----------

2.

18.設(shè)p是奇素數(shù)，則(!)=—(-1)8..

P

19.設(shè)p是奇素數(shù),則(2)=J—;(-)=—(-Ip..

PP

二判斷題(判斷下列結(jié)論是否成立，每題2分).

1.a\〃且〃|c=＞對任意的羽yGZ有Q\bx+cy成立

2.若(a,b)=(。,c),則[a,句=[a,c].不成立

3.若"屹3,則〃g.不成立

4.〃三伏modm),k>b,keNnak三b左(modmk).成立

5.ac=Z?c(modm)^a=Z7(modm).不成立

6.若a之三.(modm),貝！Ja三b(mod加)或〃三一b(mod加)至少有一個成立.不成立

7,若〃三b(mod加)，貝I」/三射(mod加2)不成立

8.若x通過模加的完全剩余系，則x+Z?(b是整數(shù))通過模機(jī)的完全剩余系.成立

9.若｛4,%，9｝與他也，4｝都是模m的完全剩余系不成立

則｛q+4s+%，，%+j他是模相的完全剩余系不成立

10.若(〃,㈤=l,x通過模機(jī)的簡化剩余系，則以+Z?也通過模機(jī)的簡化剩余系.不成立

11.若叫，加2GN'Qn^ni?)=1,貝！J°(加]牡)=0(叫)0(加2),成立

12.同余方程4%2一3%+3三0(modl5)和同余方程4%2+12%—12三0(modl5)是同解的.成立

13.同余方程ax三伏modM等價于不定方程改+zny=/?.成立

14.當(dāng)相是奇素數(shù)時，若Y三々(modm)有解，則(勺=1.成立

m

15.當(dāng)相不是奇素數(shù)時，若(0)=1,則方程d三〃(modM)一定有解.不成立

m

三計算題

1.求(—1859,1573).(6分)

刀1.(-1859,1573)=(1859,1573)=(286,1573)

斛：=(286,1573-286x5)=(286,143)=(0,143)=143

2.求[-36,108,204].(8分)

2.[-36,108,204]=[36,108,204],

解：.36=22X32,108=22X33,204=22X3X17,

[36,108,204]=22X33X17=1836.

3.求(125,17),以及不,,使得125尤+17y=(125,17).(10分)

3.由等式6=5+1起逐步回代,得

1=6-5=6-(17-2x6)=3x6-17=3x(125-17x7)-17

：=3x125-22x17.

.-.125x3-17x22=l,x=3,y=-22.

4.求整數(shù)x,y,使得1387x-162y=（1387,162）.（10分）

4.由等式9=4x2+1起逐步回代得

1=9-4x2=9-4x（11-9）=5x9-4x11=5x（20-11）-4x11

=5x20-9x11=5x20-9x（71-3x20）=32x20-9x71

解.=32x（91-71）-9x71=32x91-41x71

'=32x91-41x（162-91）=73x91-41x162

=73x（1387-8x162）-41x162

=73x1387-625x162.

.-.1387x73-162x625=1.

5.分解12!為質(zhì)因數(shù)乘積.（8分）

6.求最大的正整數(shù)左，使10%|199!.吐分）

7.求[1H>=+HI--].（10分）

V2V37100

8.求方程8x+17y=43的整數(shù)解.（6分）

9.求方程19x+20y=1909的正整數(shù)數(shù)解。（10分）

10.求方程111x-321y=75的整數(shù)解.（10分）

11.求方程15%+10%+6%=61的整數(shù)解.（8分）

12.求不定方程3%+6丁+122=15的整數(shù)解.（8分）

13.求不定方程％+2丁+32=7的所有正整數(shù)解.（8分）

14.將卷寫成三個分?jǐn)?shù)之和，它們的分母分別是2,3和5.（10分）

15.求方程f丁+2爐—3y—7=0的整數(shù)解.（6分）

16.求方程d+y3=1072的整數(shù)解.（8分）

17.求方程5（孫+yz+zx）=4盯z的正整數(shù)解.（10分）

18.求3得6的個位數(shù)字與最后兩位數(shù)字（十進(jìn)制）.（10分）

19.解同余方程6x三7（mod23）.（8分）

20.解同余方程12x+15m0（mod45）.（8分）

x=2（mod3）

21.解同余式組<x=3（mod5）.（6分）

x=2（mod7）

22.解同余期（x）三0（mod35）,/（x）=x4+2d+8x+9.（10分）

23.解同余方程:犬—_7/+1+2三0（mod5）.（6分）

24.求出模23的所有二次剩余和二次非剩余.（8分）

25.判斷方程必三5（modl1）有沒有解.（6分）

26.已知563是素數(shù)，判定方程f三429（mod563）是否有解.（8分）

27.求以3為其二次剩余的全體素數(shù).（8分）

ini73

28.計算:⑴（記）;（2）（五）.（8分）

29.計算9（300）.（6分）

x=3（mod8）

30.解同余式組x三ll（mod20）.（10分）

x=l（modl5）

四證明題

1、設(shè)是兩個給定的非零整數(shù),且有整數(shù)x,y,使得ox+加=1.求證:若a\n,b\n,則次?|n.（6分）

1.n=n（ax+by）=nax+nby

證明：又ab|na,ab\nb

ab\n.

2.設(shè)01M2,…，4是整數(shù)，且回+/+?+%=0嗎%=〃.則41（8分）

2若"是奇數(shù)，則”嗎,。2，都是奇數(shù)，則q+。2++4=0不可能2|”.

即在%,%,中至少有一個偶數(shù).如果只有一個偶數(shù)，不妨設(shè)為4,則2不

證明：整除《（2三三〃）.

由出+%++4=9知,左邊是5-1）個奇數(shù)的和，右邊是偶數(shù)，這是不可能的.

.?.在卬/，“中至少有兩個偶數(shù)，即川

3.任給的五個整數(shù)中，必有三個數(shù)之和被3整除.（8分）

3.設(shè)q=3功+°,0W°<3,，=1,2,3,4,5.

證明：⑴若在《中數(shù)01,2都出現(xiàn)，不妨設(shè)弓=0,弓=1,々=2,則4+%+。3=3（6+%+%）+3成立.

（2）若在乙中數(shù)0,1,2至少有一個不出現(xiàn),則至少有三個彳取相同的值，令q=r2=r3=r（r=0,1或2）,

貝！Jq+%+%=3（0+%+%）+3廠成立.

4.設(shè)a,b是整數(shù),且91片+"+從,則31（”,母。分）

4.9a9卜〃_人)2+3〃瓦.二3|(a-/?)2^-3ab,:.3^a-b)2,:.3\a-b,

:.9^(a-b)2.:.9^3ab,.3^ab,:.3k或30.

證明：若3]〃，3\a-b,.\3\b.

若3。.3\a-b,:.3\a.

故

5.設(shè)〃力是正整數(shù)，證明(a+b)[a,b]=a[b,a+b].(8分)

口,7、「71,1、ab"(〃+")

5\a+b)[a,b\-(〃+。)-------=a-----------,

(a,b)(a,b)

、丁皿?b(a+b)=而3,Q+b)=(a,b),

證明：

/.b(a+")=[/?,〃+b](a,b),

即b(a+b)=g+句，結(jié)論成立

(a,b)

6,當(dāng)o三/7(mod根)時,又〃>O,neN,貝！JQ〃=bn(modm).(6分)

6..a=b(modm),:.m\a-b,

證明：又。〃一V=(a—b)(優(yōu)t+a〃—2b+罐一3y++夕-1),

m^an—bn,^an=bn(modni).

7.設(shè)A={九i,九2，，3}是模相的一個完全乘馀系，以{犬}表示?柏勺小數(shù)部分.

mI卜1

證明：若(。,刈)=1,則￡{—nx-——}=—(m-l).(10分)

Im2

7.由定理2知，｛叫+b,ax2+瓦+0｝也是模相的一個完全剩余系

證明：可設(shè)+/?=加+j（lV]<m）,

m”打I〃m;m;zn-l；-T；1

從而2{W}==&-1=&-1=Z-」m—1

-2-2

i=imj=imj=imj=imj=imm

8.設(shè)“eN,證明：9（"）=」油勺充要條件是“=2",左右乂（10分）

2

1n

8.<=若〃=2*,貝I](p(2k)=2\1-1)=27=I.

n若9(")=5,設(shè)〃=2。,2[/,

Z71。⑺n。⑺

證明：則a=9(〃)=9(2*t)=火2/)(p(t)=2』9⑺=萬x2〃?-----=--------

t2t

即（p（t）=t,t=1,從而得證.

(注9(〃)=1=〃=1或2)

9.設(shè)則5"〃+2"+3〃+4/1=4|九(10分)

9.°(5)=4,由定理知,.=i(mod5)(1<k<4).

^n=4q+r,Q<r<3,則1"+2"+3"+4"=(I4)9-V+(24)9-2r+(34)?3+(44)9-4r

證明：=r+2r+3,+4r(mod5).

n若5flH+2"+3"+4",即得5n，+2'+3,+4',?把r=0,1,2,3代入檢驗(yàn)可知廠=0,4;

<=若4]〃,貝r=0,易知5/1'+2'+3’+4’,5/1"+2"+3"+4".

10,設(shè)機(jī)是正整數(shù),(a,7")=1,證明：x三。aP""Z(mod〃z)是同余方程以三b(mod7〃)的解.

10.(a,/n)=1,由EWer定理，則。"曲三l(mod"z).

證明：ax=b=m),

(a,m)=1,x=a"M%(niodm).

P-1

11.〃是模〃的二次非剩余的充要條件是〃2三-l(modp).(10分)

11.若(〃,p)=1,貝！]由EWer定理npA=l(modp),

p-ip-i

/.(n2+1)(〃2-1)=0(modp),

p-ip-i

證明：p是素數(shù)，則〃2+1三0(modp)或〃2一1三0(modp沖必有一個成立，

〃是模p的二次剩余的充要條件是〃2=l(modp),

P-1

n2=-l(modp).

12.設(shè)"q(modp),y三生(modp)都是模p的平方剩余，

y=々(modp),y=Z?2(modp)都是模p的平方非乘U余.

求證：y三0a2(modp),y=結(jié)?(modp)都是模p的平方剩余,

1(10分)

y三［々(modp)是模p的平方非剩余.

12.由定理1知,

p-1p-1p-1p-\

a2=6Z2=l(modp\b2=b2=-l(modp\

證明:x2x2

p-ip-ip-i

...(6/)？三(1>四)z=l(modp),)2=-l(modp),

二.得證

13.設(shè)為兩個形如4〃+3的奇質(zhì)數(shù)，求證:若必三p(modq)無解，則/三q(modp)有兩個解.(10分)

13.證明:2,q均為形如4〃+3的數(shù),均為奇數(shù)，

p-lq-1

XX2=p(modq)無解,；.(K)=又則(幺)=(-1)22(―)=-(—)=1.

qpqq

：.x2=q(modp)有解，設(shè)c是其一解,則因?yàn)閏豐-c(modp),且(-c)?=c?三q(modp),

.?.-c也是其一解，又因?yàn)槎瓮喾匠讨炼嘤袃蓚€解，

故J?=q(mod夕)恰有兩個解為土c.

14.設(shè)p是適合pml(mod4)的素數(shù)y三?(modp)是模p的平方剩余.

證明：y三-a(modp)也是模p的平方剩余.(8分)

P-1

14.證明：令p=4左+1,由定理1知,a2=l(modp),

則Ga)2=l(modp).

15.設(shè)“是整數(shù),證明:1+1的任何奇因數(shù)都是4〃z+l的形式(10分)

15.證明:由于奇數(shù)都可表示成奇素數(shù)之積，

而且任意多個形如4機(jī)+1的整數(shù)之積也具有4m+1的形式.

我們只需證明:若素數(shù)p是*+1的因數(shù)，則p具有4租+1的形式.

若pIn2+1,則*=-l(modp),即-1eQR(p),

由以上推論知,p=4m+l.

16.若p是素數(shù)，則同余方程產(chǎn)」三l(modp)有p-1個解.(8分)

16.證明:由費(fèi)馬定理定理)可知,任意與2互質(zhì)的數(shù)都是它的解.

因止匕，這個同余方程恰好有"-1個不同的解，

即工三1,2,3,-，.-1(11