2022年河北省承德市孛羅臺(tái)鄉(xiāng)中學(xué)高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

2022年河北省承德市孛羅臺(tái)鄉(xiāng)中學(xué)高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（4分）如圖，點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，則PA與BD所成角的度數(shù)為（） A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°參考答案：C考點(diǎn)： 異面直線及其所成的角．專題： 計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想．分析： 本題求解宜用向量法來做，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，求出兩直線的方向向量，利用數(shù)量積公式求夾角即可解答： 如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在線為y軸，DP所在線為z軸，建立空間坐標(biāo)系，∵點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0）∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）∴cosθ==故兩向量夾角的余弦值為，即兩直線PA與BD所成角的度數(shù)為60°．故選C點(diǎn)評(píng)： 本題考查異面直線所角的求法，由于本題中所給的背景建立空間坐標(biāo)系方便，故采取了向量法求兩直線所成角的度數(shù)，從解題過程可以看出，此法的優(yōu)點(diǎn)是不用作輔助線，大大降低了思維難度．2.設(shè)集合A={0，1，2，3}，B={1，2，3，4}，則集合A∩B的真子集的個(gè)數(shù)為（）A.32個(gè)

B.

16個(gè)

C.

8個(gè)

D.7個(gè)參考答案：略3.若是奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，又，則的解集是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D4.設(shè)集合則集合(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D【知識(shí)點(diǎn)】集合的運(yùn)算解：故答案為：D5.若，規(guī)定：，例如：（

），則的奇偶性為：A．是奇函數(shù)不是偶函數(shù)。

B．是偶函數(shù)不是奇函數(shù)。C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。

D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)。參考答案：B6.點(diǎn)(3,4)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A.(4,3) B. C. D.參考答案：D令，設(shè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得的中點(diǎn)在直線上，故可得①，又可得的斜率，由垂直關(guān)系可得②，聯(lián)立①②解得，即對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選D.點(diǎn)睛：本題考查對(duì)稱問題，得出中點(diǎn)在直線且連線與已知直線垂直是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題；點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱問題，由軸對(duì)稱定義知，對(duì)稱軸即為兩對(duì)稱點(diǎn)連線的“垂直平分線”，利用“垂直”即斜率關(guān)系，“平分”即中點(diǎn)在直線上這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．7.函數(shù)在區(qū)間[0,2]的最大值是

參考答案：-4

8.三個(gè)數(shù)a=0.32，b=log20.3，c=20.3之間的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a參考答案：C【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．【分析】將a=0.32，c=20.3分別抽象為指數(shù)函數(shù)y=0.3x，y=2x之間所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，利用它們的圖象和性質(zhì)比較，將b=log20.3，抽象為對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x，利用其圖象可知小于零．最后三者得到結(jié)論．【解答】解：由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：b=log20.3＜0，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故選C【點(diǎn)評(píng)】本題主要通過數(shù)的比較，來考查指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．9.已知O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足則點(diǎn)O是的

（

）A外心

B內(nèi)心

C垂心

D重心參考答案：C10.若-1<sin<0，則角的終邊在

（

）

（A）第一、二象限

（B）第二、三象限

（C）第二、四象限

（D）第三、四象限參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)＝的單調(diào)減區(qū)間是

.參考答案：（3，+∞）12.已知{an}為等比數(shù)列，若a4·a6=10，則a2·a8=

參考答案：1013.（10分）在直線l：3x﹣y﹣1=0上存在一點(diǎn)P，使得：P點(diǎn)到點(diǎn)A（4，1）和點(diǎn)B（3，4）的距離之和最?。蟠藭r(shí)的距離之和．參考答案：考點(diǎn)： 點(diǎn)到直線的距離公式．專題： 直線與圓．分析： 設(shè)點(diǎn)B（3，4）關(guān)于直線l：3x﹣y﹣1=0的對(duì)稱點(diǎn)為B′（a，b），可得，解得a，b，則|PA|+|PB|取得最小值=|AB′|．解答： 設(shè)點(diǎn)B（3，4）關(guān)于直線l：3x﹣y﹣1=0的對(duì)稱點(diǎn)為B′（a，b），則，解得a=，b=，∴B′．∴|PA|+|PB|取得最小值=|AB′|==．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．14.已知數(shù)列{an}滿足：a1=m（m為正整數(shù)），an+1=若a6=1，則m所有可能的取值的個(gè)數(shù)為

．參考答案：3【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】a6=1，可得a5必為偶數(shù)，因此=1，解得a5=2．當(dāng)a4為偶數(shù)時(shí)，，解得a4=4；當(dāng)a4為奇數(shù)時(shí)，a5=3a4+1=2，解得a4=，舍去．依此類推即可得出．【解答】解：∵a6=1，∴a5必為偶數(shù)，∴a6==1，解得a5=2．當(dāng)a4為偶數(shù)時(shí)，a5=，解得a4=4；當(dāng)a4為奇數(shù)時(shí)，a5=3a4+1=2，解得a4=，舍去．∴a4=4．當(dāng)a3為偶數(shù)時(shí)，a4==4，解得a3=8；當(dāng)a3為奇數(shù)時(shí)，a4=3a3+1=4，解得a3=1．當(dāng)a3=8時(shí)，當(dāng)a2為偶數(shù)時(shí)，a3=，解得a2=16；當(dāng)a2為奇數(shù)時(shí)，a3=3a2+1=8，解得a2=，舍去．當(dāng)a3=1時(shí)，當(dāng)a2為偶數(shù)時(shí)，a3==1，解得a2=2；當(dāng)a2為奇數(shù)時(shí)，a3=3a2+1=1，解得a2=0，舍去．當(dāng)a2=16時(shí)，當(dāng)a1為偶數(shù)時(shí)，a2==16，解得a1=32=m；當(dāng)a1為奇數(shù)時(shí)，a2=3a1+1=16，解得a1=5=m．當(dāng)a2=2時(shí)，當(dāng)a1為偶數(shù)時(shí)，a2==2，解得a1=4=m；當(dāng)a1為奇數(shù)時(shí)，a2=3a1+1=2，解得a1=，舍去．綜上可得m=4，5，32．故答案為：3．15.從橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條切線和，若，則點(diǎn)軌跡方程為____________．參考答案：

16.已知log23=m，試用m表示=___________。參考答案：解析：===。17.已知集合A＝，則集合A的子集的個(gè)數(shù)是_______．參考答案：8略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分別為AC，B1C1的中點(diǎn)．（Ⅰ）求線段MN的長(zhǎng)；（Ⅱ）求證：MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）線段CC1上是否存在點(diǎn)Q，使A1B⊥平面MNQ？說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）連接CN，易證AC⊥平面BCC1B1．由勾股定理可得CN的值，進(jìn)而可得MN的長(zhǎng)；（Ⅱ）取AB中點(diǎn)D，連接DM，DB1，可得四邊形MDB1N為平行四邊形，可得MN∥DB1，由線面平行的判定定理可得MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）當(dāng)Q為CC1中點(diǎn)時(shí)，有A1B⊥平面MNQ．連接BC1，易證QN⊥BC1．可得A1B⊥QN，A1B⊥MQ，由線面垂直的判定可得．【解答】解：（Ⅰ）連接CN，因?yàn)锳BC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，所以AC⊥CC1，…因?yàn)锳C⊥BC，所以AC⊥平面BCC1B1．

…因?yàn)镸C=1，CN==，所以MN=

…（Ⅱ）證明：取AB中點(diǎn)D，連接DM，DB1

…在△ABC中，因?yàn)镸為AC中點(diǎn)，所以DM∥BC，DM=BC．在矩形B1BCC1中，因?yàn)镹為B1C1中點(diǎn)，所以B1N∥BC，B1N=BC．所以DM∥B1N，DM=B1N．所以四邊形MDB1N為平行四邊形，所以MN∥DB1．

…因?yàn)镸N?平面ABB1A1，DB1?平面ABB1A1…所以MN∥平面ABB1A1．

…（Ⅲ）解：線段CC1上存在點(diǎn)Q，且Q為CC1中點(diǎn)時(shí)，有A1B⊥平面MNQ．…證明如下：連接BC1，在正方形BB1C1C中易證QN⊥BC1．又A1C1⊥平面BB1C1C，所以A1C1⊥QN，從而NQ⊥平面A1BC1．…所以A1B⊥QN．

…同理可得A1B⊥MQ，所以A1B⊥平面MNQ．故線段CC1上存在點(diǎn)Q，使得A1B⊥平面MNQ．

…19.已知二次函數(shù)，滿足，且方程有兩個(gè)相等的實(shí)根．（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值的表達(dá)式．參考答案：解：（1）由，得：對(duì)稱軸，

由方程有兩個(gè)相等的實(shí)根可得：，解得．∴．

（2）．①當(dāng)，即時(shí)，；

②當(dāng)，即時(shí)，；

③當(dāng)時(shí)，；

綜上：．略20.設(shè)向量=（2，1），=（﹣1，3）．（Ⅰ）若（3+2）∥（﹣+λ），求實(shí)數(shù)λ的值；（Ⅱ）若（2﹣）⊥（k+），求實(shí)數(shù)k的值．參考答案：見解析【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【專題】方程思想；定義法；平面向量及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線定理，列出方程求出λ的值；（Ⅱ）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與互相垂直的數(shù)量積為0，列出方程求出k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（2，1），=（﹣1，3），∴3+2=（4，9），﹣+λ=（﹣2﹣λ，3λ﹣1），又（3+2）∥（﹣+λ），∴4（3λ﹣1）﹣9（﹣2﹣λ）=0，解得λ=﹣；（Ⅱ）∵2﹣=（5，﹣1），k+=（2k﹣1，k+3），且（2﹣）⊥（k+），∴5（2k﹣1）﹣（k+3）=0，解得k=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量的共線和垂直的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．21.已知函數(shù)f（x）=cos（2x﹣）．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若x∈（﹣，），求f（x）的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的圖象．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（1）由條件利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．（2）由x∈（﹣，），利用余弦函數(shù)定義域和值域，求得f（x）的取值范圍．【解答】解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=cos（2x﹣），令2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ﹣