全國高中數(shù)學(xué)題庫-圓錐曲線

第，?幸輔圓、領(lǐng)曲錢與就物鐵

考點(diǎn)綜述

橢圓、雙曲線與拋物線是高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，它的基本特點(diǎn)是數(shù)形兼?zhèn)?，可與代數(shù)、

三角、幾何知識相溝通，歷來是高考的重點(diǎn)內(nèi)容.縱觀近幾年高考試題中對圓錐曲線的考查，主

要體現(xiàn)出以下幾個特點(diǎn):1.基本問題，主要考查以下內(nèi)容：①橢圓、雙曲線與拋物線的兩種定義、

標(biāo)準(zhǔn)方程及a&c8夕五個參數(shù)的求解，②幾何性質(zhì)的應(yīng)用；入求動點(diǎn)軌跡方程或軌跡圖形

（高頻），此類問題的解決需掌握四種基本方法：直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法.3.有關(guān)

直線與它們的位置關(guān)系問題（高頻），這類問題常涉及圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識以及線段

中點(diǎn)、弦長等，分析這類問題時，往往要利用數(shù)形結(jié)合思想和"設(shè)而不求”的方法、對稱的方法

及韋達(dá)定理，多以解答題的形式出現(xiàn).4.求與橢圓、雙曲線及拋物線有關(guān)的參數(shù)或參數(shù)范圍問題

（高頻），這類問題綜合性較大，運(yùn)算技巧要求較高；尤其是與平面向量、平面幾何、函數(shù)、不等

式的綜合，特別值得注意的是近年出現(xiàn)的解析幾何與平面向量結(jié)合的問題（高頻）.

其實(shí)，高考數(shù)學(xué)只有35個核心考點(diǎn)僅有122種典型考法每種考法只需1道例題和3道練習(xí)題每

次1小時，學(xué)會必殺技確保高考120分！

考點(diǎn)1橢圓

典型考法1橢圓的最值問題

22

典型例題：已知橢圓二+二=1,常數(shù)機(jī)、n&R+,且”>〃.（1）當(dāng)〃2=25,〃=21時，過橢圓左焦點(diǎn)產(chǎn)

mn

的直線交橢圓于點(diǎn)P,與y軸交于點(diǎn)。，若9=2而，求直線P。的斜率；（2）過原點(diǎn)且斜率分別為Z和-攵

尤2V2

（Z21）的兩條直線與橢圓二+2-=1的交點(diǎn)為A、B、C、D（按逆時針順序排列，且點(diǎn)A位于第一象限

mn

內(nèi)），試用火表示四邊形ABCD的面積S,并求S的最大值.

22

解析：（1）???/?=25,"=21.?.二+2-=1的左焦點(diǎn)為尸（一2,0）,設(shè)滿足題意的點(diǎn)為「（%,%）、Q（0，。.又

---*x=-39y4A/21

QF=2FP./.(-2,-t)=2(%+2,%)，即<°由點(diǎn)在橢圓上，得二+匕==1,得九=±二—，

t=-2yo25215

Kp°=K°F=；=—笫=土^^⑵Q過原點(diǎn)且斜率分別為人和一HO1)的直線4：y=丘，4：y=-kx

邑+匚1mn

關(guān)于龍軸和y軸對稱，四邊形ABC1)是矩形.設(shè)點(diǎn)A(z，/).聯(lián)立方程組I”?n得1=——F于

,n+mk

1y=kx

口口”4e弘ec/“，24nmk、.、人4mnk4mn、口

是天是此方程的解，故S=4xy=4",~=---------(Zkf>1),O即1IS=---------彳=-------.設(shè)

°°"°n+mk2n+mk?.

I

n

g(k)=mk+—(kNl),則g/)在U+8)上是單調(diào)函數(shù).理由：對任意兩個實(shí)數(shù)匕也￡口，+8)，且自<)2,

k

nnII

g(左)-g(k2)=mki+—~(mk2+—)=m(k]-k2)+n(~——)

k[k2k]k2

=(k[-k2)—----\(占-%2)—H-----<0，即g(KAg(左2)<°?

KYK2

...g(Z)在U，+8)上是單調(diào)函數(shù)，于是g(Qmin=g(l)=〃什〃，S=:2L<3L,當(dāng)且僅當(dāng)％=1等號

與〃汰機(jī)+〃

k

4/72/1

成立..?.Snm=二絲.注：也可利用求導(dǎo)法證明g(6在[1，+8)上是單調(diào)函數(shù).

m+n

必殺技：利用求函數(shù)最值的方法+橢圓性質(zhì)解決與橢圓有關(guān)的最值問題須注意：

1.最值問題的題型大致有：求距離的最值、角度的最值、面積的最值.

2.最值問題的求解策略：(1)總方針：建立目標(biāo)函數(shù)(或目標(biāo)不等式)(2)具體方法：①轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)(或雙

鉤函數(shù)、三次函數(shù)等常用函數(shù))的最值問題②利用三角換元，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題③結(jié)合橢圓的定義，

利用圖形的幾何特征求最值④利用基本不等式求最值

還須值得注意的是，有些求最值的問題可能要先求目標(biāo)函數(shù)的局部最值，而復(fù)雜的求最值問題甚至需要多

種方法的綜合運(yùn)用.以下給出橢圓最值問題的幾個性質(zhì)，便于快速地求解決相關(guān)問題.

性質(zhì)1設(shè)E，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點(diǎn),P為橢圓上任一點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)P為橢圓短軸頂點(diǎn)時

/BPF2最大.

性質(zhì)2設(shè)A】，Az是橢圓的長軸頂點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)P為橢圓短軸頂點(diǎn)時

NAiPAz最大.

性質(zhì)3設(shè)E,FZ是長軸長為2a的橢圓的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn),M為橢圓內(nèi)定點(diǎn)，則

PM+PF,的最大值為2a+MFz，最小值為2a-MFz.

讀者自行完成上述性質(zhì)的證明.這些性質(zhì)均與橢圓的焦點(diǎn)位置無關(guān)，對任意位置的橢圓都成立，可用于求

解一些選擇題和填空題.

實(shí)戰(zhàn)演練:

fy2

1.F是橢圓=1的右焦點(diǎn)A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，P為橢圓上一動點(diǎn)，則|E4|+|所|的最小值為.

2.設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(a,0),8(0,b)是它的兩個頂點(diǎn)，直線y=依(%>0)與46相交于點(diǎn)〃，與橢圓

相交于E、尸兩點(diǎn)，若。=2,0=1.(1)己知麗=6而，求&的值；

(2)求四邊形AEBF面積的最大值；

3.若橢圓片:-k+二-=1和橢圓：「r+二-=1滿足二'=二=機(jī)?！?gt;0),則稱這兩個橢圓相似，m

4%4a\b、

22

稱為其相似比.(1)求經(jīng)過點(diǎn)(2,、%),且與橢圓亍+'=1相似的橢圓方程；(2)設(shè)過原點(diǎn)的一條射線/分別與

(1)中的兩個橢圓交于A、B兩點(diǎn)(其中點(diǎn)A在線段0B上)，求|OA|+上的最大值和最小值；

11\OB\

2222

(3)對于真命題”過原點(diǎn)的一條射線分別與相似比為2的兩個橢圓G：=+7^=1和C2：]+一^行=1

22

2網(wǎng)24(2物2

交于A、B兩點(diǎn)，P為線段AB上的一點(diǎn)，若|。4|、|OP|、|。叫成等差數(shù)列，則點(diǎn)P的軌跡方程為

斗+=1”.請用推廣或類比的方法提出類似的一個真命題，并給予證明.

2

3,3以2

2

參考答案：1.4-垂.2.(1)%=2或攵=3.(2)272.提示：設(shè)點(diǎn)E,尸到AB的距離分別為4,h2,

38

故AEB尸的面積為S=；|AB|(4+4)=2^^^^W2J5,易得當(dāng)后=；時，S取最大值2挺.

注：通過對(2)的求解，我們進(jìn)一步探究還可以得到關(guān)于橢圓所對應(yīng)的四邊形/面積的若干結(jié)論.

22

結(jié)論一：已知A(a,0),8(0,b)是橢圓與+2=1(。>。>0)的兩個頂點(diǎn)，直線尸依仗>0)與相交

a~b

于點(diǎn)〃，與橢圓相交于E、E兩點(diǎn)，則四邊形AEB尸面積的最大值為0a人

22

結(jié)論二：以橢圓5+3=l(a>b>0)的一條定弦AB為對角線的橢圓內(nèi)接四邊形AEBF面積取最大值

ab

時，另一條對角線￡尸必過原點(diǎn)與A3的中點(diǎn)。.

x2y2

推論1：若以4伙HO)為斜率的直線與橢圓/十萬=1(。＞。＞0)相切，則兩切點(diǎn)的連線必過原點(diǎn)，且其斜率

攵o滿足：k0-k=--.

a

推論2：以攵伏。0)為斜率的橢圓二+與=1伍＞人＞0)兩切線間的距離為引里士口(如圖8-1-8).

a-b-Jl+%2

推論3：若。是橢圓=+與=l(a＞b＞0)不過原點(diǎn)。且不垂直于對稱軸的弦AB上一點(diǎn)，則點(diǎn)D是弦AB中

CTb-

點(diǎn)的充要條件是攵8/.二一4?

a

結(jié)論三：橢圓「+寫=1僅＞方＞0)內(nèi)接四邊形AE3F面積的最大值為2必.

ab

X2y2

結(jié)論四：后尸是橢圓=+==1(。＞匕＞0)的過原點(diǎn)的一條定弦，A8是橢圓的過弦E/上定點(diǎn)0(%,%)的

ab

動弦，則當(dāng)弦A8被點(diǎn)。平分時，橢圓內(nèi)接四邊形AEBF面積取最大值的充要條件是：4+4^[°'-]

a2b22

3.(1)二+匯=1(2)①當(dāng)射線與y軸重合時，|。4|+」=行+」產(chǎn)=辿.②當(dāng)射線不與坐標(biāo)軸重合

16811\0B\2V24

時，由橢圓的對稱性，我們僅考察A、B在第一象限的情形.設(shè)其方程為y=(A:＞0,x＞0),設(shè)A(X”H),

B(x2,y2),由‘V、2解得|0川=坐上,同理可得|0網(wǎng)=4,父+1,令+1則由

v+v=1Jl+2%2g2k2g2k2

4I正知、回＜r＜2,于是|。4|+贏=,+，在(、22]上是增函數(shù)，.?.：五＜|。4|+贏《；,

由①②知，|。4|+占的最大值為2,|。山+占的最小值為2.

?1\OB\411\OB\4

(3)該題的答案不唯一，現(xiàn)給出其中的兩個.

2222

命題：過原點(diǎn)的一條射線分別與雙曲線a：A-與?=1和。2：/7一一J=1(機(jī)〉o)交于A、B兩點(diǎn),

a'b2(ma)-("⑼

x2y2

P為線段AB上的一點(diǎn)，若|。4|、|0P]、|0可成等差數(shù)列，則點(diǎn)P的軌跡方程為——=1.

1+m、l+m

2zb￥

22

證明：射線/與雙曲線有交點(diǎn)，不妨設(shè)其斜率為女，顯然網(wǎng)＜2.設(shè)射線/的方程為＞=依，設(shè)點(diǎn)A（F，M）、

y=kxaby=Qc

例々，為）、（，）由（2得項(xiàng)=『=?22加mab.

Pxyx?y由＜________y___=1得々=/.,由

[靛一記=1J/"/(ma)2(mb)2\b—ak

ab(\4-m)

*_內(nèi)x-/=2

+42即＜2y]b2-a2k~y

P點(diǎn)在射線/上，且2\0P\=|0A|+\0B\得＜一2=1.

y=kxk=y

X

命題：過原點(diǎn)的一條射線分別與兩條拋物線G：V=2px（p＞0）和G：產(chǎn)=2mpx（加＞0）相交于異

于原點(diǎn)的A、B兩點(diǎn),P為線段AB上的一點(diǎn)，若、|。",\OB\成等差數(shù)列，則點(diǎn)P的軌跡方程為/=（1+m）px.

（證略）.

典型考法2與橢圓有關(guān)的定點(diǎn)與定值問題

典型例題：已知橢圓0+[=1（。＞。＞0）的左右焦點(diǎn)分別為月，居，短軸兩個端點(diǎn)為A,8,且四邊形

ab

%A與8是邊長為2的正方形.（1）求橢圓方程；（2）若C,。分別是橢圓長軸的左右端點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足

MDLCD,連接CM,交橢圓于點(diǎn)P.證明：麗?所為定值；（3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存

在異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q,使得以MP為直徑的圓恒過直線￡＞P,MQ的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

22

解析：（1）。=28=。,。2=/；2+?2,.?.從=2,.?.橢圓方程為二+2-=1.（2）。（一2,0）,0（2,0）,設(shè)

42

M(2,y0),P(X1,y),則。＞=(x”y),向=(2,九).直線CM：三2=2二&,即^=粵彳+\凡，代

4yo42

入橢圓八2丁=4得（1++；曲+"一4=。「』（-2）=畸4.寸-甘

4(北-8)18)：_4%+32

金焉，加-黃，用??麗研-4（定值）.（3）

y；+8＞；+8＞0+8

設(shè)存在。（〃2,0）滿足條件，則MQ1DP.MQ=（m-2,-y0）,DP=（—半二，半」），則由凝?萬h=0

'''￥+8/+8'

得一學(xué)一（機(jī)一2）一學(xué)」=0,從而得加=0..?.存在。（0,0）滿足條件.

才+8＞；+8

必殺技：遵循"一選、二求、三定點(diǎn)”的原則：一般地，解決動曲線（包括動直線）過定點(diǎn)的問題，其解題步

驟可歸納為：一選、二求、三定點(diǎn).具體操作程序?yàn)椋骸耙贿x”：選擇參變量.需要證明過定點(diǎn)的動曲線往往隨

某一個量的變化而變化，可選擇這個量為參變量（當(dāng)動直線涉及的量較多時，也可選取多個參變量）.“二求”:

求出動曲線的方程.求出只含上述參變量的動曲線方程，并由其它輔助條件減少參變量的個數(shù)，最終使動曲線

方程的系數(shù)中只含有一個參變量.“三定點(diǎn)”：求出定點(diǎn)的坐標(biāo).不妨設(shè)動曲線方程中所含的參變量為2,把曲

.f（x?y）=0

線方程寫成形如/（力?。?/^（力①=0的形式，然后解關(guān)于，丁的方程組1，'-得到定點(diǎn)的坐標(biāo).

g（x,y）=O

實(shí)戰(zhàn)演練

1.已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（l3,：）,兩個焦點(diǎn)為（—1,0）,（1,0）.（1）求橢圓C的方程；（2）E,F是橢圓C上的

兩個動點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值.

2.設(shè)橢圓C：三+卓=1（。＞。＞。）過點(diǎn)M（0，1），且左焦點(diǎn)為￡（一五，0）（1）求橢圓。的方程;

（2）當(dāng)過點(diǎn)P（4,l）的動直線/與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A,8時，在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足

|麗,2同=|而,而'證明：點(diǎn)Q總在某定直線上.

3.若橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)（2,0）到左焦點(diǎn)距離為3.

（1）求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）若直線/：丫=依+加與橢圓C相交于A,8兩點(diǎn)（A,B不是左、右頂點(diǎn)）,

且以A3為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線/過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）將（2）推廣到一般情形，使得（2）為其特例，并給出解答過程.

fy23X2V2

參考答案：I.（1）上+21=1.⑵設(shè)直線AE：y=Z（x-l）+L代入上+21=1得

43243

（3+422）》2+4燈3—2?x+4（3—左）2-12=0,設(shè)夙4，人）,/（與，力），易得=）*一"=1（定值）?

2XF~XE

注：本題可推廣為（證明略）：

命題1已知人工。,’0）。。中0）是橢圓與+《=1上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作斜率互為相反數(shù)的兩條直線，分別

ao

交橢圓于A,B兩點(diǎn)，則直線AB的斜率為定值萼.

Q?o

22

命題2已知P是橢圓會+方=1上的任意一點(diǎn)（異于長軸端點(diǎn)），PA,PB和PC分別是橢圓的兩條割線

和切線.若割線PA,PB的斜率互為相反數(shù),則切線PC的斜率與割線AB的斜率也互為相反數(shù).

命題3已知尸（死，“）（夕0片0）是雙曲線￡一￡=1上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作斜率互為相反數(shù)的兩條直線，

分別交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，則直線AB的斜率為定值一萼.

aVo

命題4已知PCr。，?。〉^。W0）是拋物線y=2拉（/>0）上的定點(diǎn)，過點(diǎn)P作斜率互為相

反數(shù)的兩條直線，分別交拋物線于A,B兩點(diǎn)，則直線AB的斜率為定值一2.

y<>

2y2

2.（1）—X+^-=1.（2）提示：利用線段的定比分點(diǎn)，關(guān)注4.

42

設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為（工，“、（皿,》1）、（了2,5?2），

由題可知：|酢1,1屈I"旗IJ旗I均不為零，記/=擺=閽|,

則>0且;IWL又A、P、B、Q四點(diǎn)共線，故蓊=-XPB,芭=入旗,

于是，八門，…黃，，=轉(zhuǎn)戶黃，從而,

年誓=4工①才-學(xué)=?②又點(diǎn)A、B在橢圓C上,即呼4?

1-A21-A2）I於+2立=4④

①+2X②并結(jié)合③④得：4工+2、=4,即點(diǎn)Q（工,y）總在定直線2工+、-2=0上-

注：（一）本題的證明還有其它方法，這里從略.

（二）對于本題，我們還可將第（2）題的結(jié)論推廣到一般橢圓，具體為：

22

命題一：設(shè)橢圓C「+當(dāng)=l（a>〃>0）,過橢圓外一點(diǎn)P（加，〃）的動直線/與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)AB,

ab

在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足網(wǎng)口詼卜屈口國，則點(diǎn)。在定直線加x+〃/y—/〃為上.

我們可將命題一推廣到其它的圓錐曲線，具體為：

命題二：設(shè)圓Gx2+y2=r2（r>0）,過圓外一點(diǎn)P（〃z,〃）的動直線/與圓。相交于兩不同點(diǎn)A,3,在線段

A3上取點(diǎn)Q,滿足|而°詼|=|而°而則點(diǎn)Q在定直線/nx+0——=0上.

22

命題三：設(shè)雙曲線。：三一與=1伍>0,h>0）,過雙曲線外一點(diǎn)P（機(jī)，〃）的動直線,與雙曲線。相交于兩

ab

不同點(diǎn)A,8,在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足網(wǎng)L|麗=|悶回卜則點(diǎn)。在定直線”仍2九一〃人一片從功上.

命題四：設(shè)拋物線。：尸=20M0>0）,過拋物線外一點(diǎn)P。%〃）的動直線/與拋物線C相交于兩不同點(diǎn)

A,B,在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足|麗4=|而卜忸回，則點(diǎn)Q在定直線px-町+p相=0上.

以上命題的證明從略.

3.⑴?+事=1.⑵直線/過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為?！悖洽频耐茝V（一）：過橢圓鼻+六=1伍>。>0）

上的右頂點(diǎn)M（a,0）作兩直線AM與交橢圓于A、B兩點(diǎn),當(dāng)時，直線AB恒過定點(diǎn)

x=ty+p

“2

父V得

二---tz,0).提示：可設(shè)直線AB：x="+p且A(M,乂)、B(X2,y2),由《

a+力L瓦一1

2mb2

y+%

/+*產(chǎn)---?

2222222&十",，由已知得A"-3M=0,即

(a+ht)y+2Ptay+b\p-a)=0,則<

b2(p2-a2)

必.必=

a2+b2t2

(%-a)(x「a)+M%=。n"加獷…^P=^a=>直線

4n—/?2..Cl—b^八、

AB：x=ty+----?”恒過定點(diǎn)(F-----7，。，。)?

a+ba

22

(2)的推廣(二)：過橢圓5+3=1(。＞°)上的任意定點(diǎn)M(x。，%)作兩直線AM與8M交橢圓于A、

a2-h2a2-h2、

B兩點(diǎn),當(dāng)AM_L8M時，直線AB恒過定點(diǎn)(二~x

a+b70

典型考法3橢圓與直線

典型例題

已知橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)耳，F(xiàn)2

軸上，長軸的長與焦距之比為2：1.(如圖8-1-1)

(1)求橢圓￡的方程；

(2)求ZF}AF2的角平分線所在直線1的方程；

(3)在橢圓E上是否存在關(guān)于直線/對稱的相異兩點(diǎn)？若存

請找出；若不存在，說明理由.

22

解析(1)設(shè)橢圓E的方程為0+與=1,由已知得@=2,a=2c,故〃=/_。2=3,2,從而橢圓方

ab-c

v-2213v-22

程為—+與v=1,將A(2,3)代入上式，得4+三=1,解得c=2,.?.橢圓E的方程為二+幺v=1.

4c23c2c2c21612

(2)方法一:

由(1)知K(-2,0),尸2(2,0),所以

直線g的方程為:尸］(32),即3A紂+6=0,

直線4尸2的方程為：%=2.

由點(diǎn)，4在橢圓E上的位置知，直線I的斜率為正數(shù).

設(shè)P(孫y)為/上任一點(diǎn)，則

I3x-4y+6l...

-----y---=lx-21.

若3x-4y+6=5工-10,得*+2廣8=0(因其斜率為負(fù)，舍去).

所以直線I的方程為：2%-廣1=0.

注方法一的主要解題依據(jù)是:角平分線上的點(diǎn)到角兩邊所在直線的距離相等.

方法二：

???4(2,3)陽(-2,0),尸2(2,0),甫=(-4,-3),沉=(0,-3).

=春(-4,-3)+。(0,-3)=-*(1,2).

53

\AF\\\AF2\5

：.kx=2,.\Z：y--3=2(x-2),2x-y-l=0.

AFk

注了士+尸、表示的向量與乙尸小尸2的角平分線蛤燈因此可以作為角平分線所在直線的方向向量.

\AF2\

方法三：

設(shè)角平分線與X軸交于。(*0),易知-2。＜2,由角平分線性質(zhì)有毒鼻=*|j,

搭=聲匕解之工=:,心=工？'=2,直線4C的方程為y-3=2(%-2),即尸2%-1.

32-x2-1

2~2~

注方法三主要用到角平分線的性質(zhì)用三角形面積等容易證明,請讀者嘗試.

方法四：

過c（x,o）作CAUK交月居于乩則由

角平分線性質(zhì)知CH=CF2

S^C4K二y\cFr\\AF2\=~\AFl\\CH\

414Klic尸21,

-^-x（x+2）x3=-^-x5（2-x）.

解之下同方法三.

注方法四巧妙運(yùn)用“計(jì)算兩次”的技巧，對三角形面積計(jì)算兩次，并在計(jì)算過程中運(yùn)用角平分線性質(zhì)對高

進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

方法五：

設(shè)角平分線與X軸交于C（%,0）,易知

-2。<2,易知直線力工的方程為3%-4y+6=0.

而由角平分線性質(zhì)有d=CH=CF2,

即d=g^^=2r;,解之％=-，下同方法三

注方法四和方法五的主要解題依據(jù)相同，但細(xì)節(jié)處理略有差別?

方法六：

易知K（-2,0）關(guān)于角平分線的對稱點(diǎn)D

在直線4瓦，即盧=2上

可設(shè)D（2㈤，則FW的中點(diǎn)（0與在角平分線

（記為40上，

3--

,t-0_i>____2_6-t

k^=2-（-2）=T，AC=2-0~~4~'

又因?yàn)楹涂?4c=T，

4??竽=-1,解之t=-2或￡=8（舍）（注意:“>

44

0）,以下從略.

注方法六從一個新的角度運(yùn)用了角平分線的性

質(zhì),角所在直線關(guān)于角平分線所在直線對稱?

方法七:

易知K（-2,0）關(guān)于角平分線的對稱點(diǎn)D

在直線AK，即,4=2上，

可設(shè)。（2,。，則入。的中點(diǎn)在角平分

線（記為4C）上，

.f-0t

???壇產(chǎn)丈藥=不

又因?yàn)槿巳恕?k《c=-1,

4c=‘"，直線”C的方程為y=~~~x+^~-

又?.Y（2,3）在直線4c上，

/.3=-—-2+彳?，解之力=-2或￡=8（舍）（注意出c

t，

>0）,以下從略.

注方法七和方法六的主要解題依據(jù)相同,但細(xì)節(jié)

處理略有差異.

方法八：

設(shè)角平分線（記為AC）的斜率為k,易知k>0

貝］tanZ.G4F2=tan^y-Z.ACF2j=/

ih-Ti

由夾角公式4=J4.-,解之及=2或2=-右

（舍），以下從略.

注設(shè)兩直線的斜率分別為自，心，且自?自關(guān)T,

k-k

兩直線的夾角為仇則tan”{2

1+4]?k2

（3）方法一:

假設(shè)存在這樣的兩個不同的點(diǎn)3（%,九）和C（x2,y2）,

'/BC±Z,k=%-%1

BC42fl2

加+出力+力

BC的中點(diǎn)”（比，），二

0%&2>/0=-2-^?

由于M在，上,故2%-%-1=0.①

222

又B,C在橢圓上，所以有會卷=1與段+*=L

10121O12

2222

兩式相減,得今看/當(dāng)于二。，

口式與+3）（&-巧）（力+力）（%一九）

即-16-------+----------12--------=0.

將該式寫為9空+漢?小?空町

8242Tl62

并將直線BC的斜率怎c和線段BC的中點(diǎn),表示代

入該表達(dá)式中，

得-捍o=0,即3%-2yo=0.②

①x2-②得g=2,%=3,即BC的中點(diǎn)為點(diǎn)4,而這

是不可能的.

/.不存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)8和C.

注與弦中點(diǎn)有關(guān)的問題，通?？梢钥紤]“點(diǎn)差法”.

方法二：

假設(shè)存在B（x,,7l）,C（x2，力）兩點(diǎn)關(guān)于直

線Z對稱，則以%=-/

設(shè)直線BC的方程為“-梟+必將其代入橢圓方

程,+臺=1,得一元二次方程3/+4（-會+翦=48,

即x2~mx+m2-12=0,

則孫與去是該方程的兩個根，

由韋達(dá)定理得々+x2=m,

于是Yj+y2=_y（xl+x2）+2m=^.

8C的中點(diǎn)坐標(biāo)為停咨）?

又線段8C的中點(diǎn)在直線y=2%-l上，

/.——=7H—1，得01=4.

4

即SC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2,3）,與點(diǎn)A重合，矛盾?

不存在滿足題設(shè)條件的相異兩點(diǎn)?

方法三：同上，一方面，因?yàn)锽C的中點(diǎn)坐標(biāo)為（彳，彳），且該中點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以，有

停了（―）22

-1—--<1,解得m2<16（X）.另一方面，的中點(diǎn)在直線y=2x—l上，所以一〔=2?彳—1,

161242

解得〃?=4,這與（X）矛盾.所以不存在滿足題設(shè)條件的相異兩點(diǎn).

注：存在性問題的一般經(jīng)解決思路是先假設(shè)滿足條件的數(shù)學(xué)對象存在，然后通過數(shù)學(xué)“操作”肯定或否定

假設(shè).

必殺技：綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識與基本方法

本題主要考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線的方程以及點(diǎn)關(guān)于直線的對稱等基礎(chǔ)知

識；并以對這些基礎(chǔ)知識的考查為依托，考查了考生對解析幾何的基本思想的理解與掌握情況及綜合運(yùn)算能力、

探究意識與創(chuàng)新意識.本題的探索思路寬，且解法多種多樣，

數(shù)學(xué)解題的根本目的在于鞏固解題者的

數(shù)學(xué)知識，提升其數(shù)學(xué)能力.在解決問題時應(yīng)將題目中

的題設(shè)、結(jié)論與已經(jīng)學(xué)過的相關(guān)知識點(diǎn)予以整合，讓知

識成網(wǎng)絡(luò)，方法成體系，才能源源不斷地開發(fā)出解題智

慧.通過解題學(xué)解題的根本要義就是把一道道題目當(dāng)成

研究對象，而解題的過程就是對其進(jìn)行全方位、多角度

的研究的過程.

本題可推廣為：

22>2

已知橢圓E*+3=1（。>6>0），點(diǎn)?為，焦點(diǎn)

為K（一%0）,F2（C,O），則—的角平分線所在直

線方程為『%-叼"3=0,且在橢圓E上不存在關(guān)于該直

線對稱的相異兩點(diǎn).（由此可見本例研究的情形具有一

般性）

對于本題的（3）還可推廣為：

設(shè)橢圓r：。+卷=1(a>6>0)，直線l：y=kx+

ab

加(狂0)，則橢圓「上存在不同的兩點(diǎn)8(9，力),

C(犯，力)關(guān)于直線I對稱的充分必要條件是

(,a-b2)I加(a2-62)出

----------—<-——.

dd+廿I)2[^+必力

注：以上的證明均可仿照本題的求解方法，讀者可自行完成，這里不再贅述.

實(shí)戰(zhàn)演練

1.已知橢圓工+乙=1,直線/：—+-=1.P是/上點(diǎn)，射線。尸交橢圓于點(diǎn)R,又點(diǎn)。在OP上且

2416128

滿足100Hop|=|。衣「，當(dāng)點(diǎn)P在/上移動時，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.

2.已知7=(1,0),"=(0,、/5),若過定點(diǎn)4(0,血)、以7—R)為法向量的直線4與過點(diǎn)B(0,—正)以

c+Xi為法向量的直線4相交于動點(diǎn)P.

(1)求直線4和4的方程；

(2)求直線/,和i2的斜率之積k七的值，并證明必存在兩個定點(diǎn)E,b，使得|A目+1A可恒為定值；

(3)在(2)的條件下，若M,N是/:x=2近上的兩個動點(diǎn)，且麗?麗=0,試問當(dāng)|MN|取最小值時，

向量前+麗與方是否平行，并說明理由.

22

3.已知橢圓C：下泊叱"°)的一個焦點(diǎn)到長軸的兩個端點(diǎn)的距離分別為2+6和2-6

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且NAOB

為銳角(其中0為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線/的斜率出的取值范圍.

2?

⑶如圖8-1-2,過原點(diǎn)0任意作兩條互相垂直的直線與橢圓靛+5一1

(a>。>O)相交于P,S,R,Q四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)0到四邊形PQSR一邊的距離為d,

試求d=l時”，人滿足的條件.圖8-1-2

參考答案：

L(1)2Jy-1)2

=1(Y+VHO),其軌跡是以(I,1)為中心,

55

23

長、短半軸分別為巫和垣且長軸與x軸平行的橢圓，且去掉坐標(biāo)原點(diǎn).

23

22

提不：(如圖8-1-3)由已知得&+&=紅+"(X)設(shè)

2416128

OP竺=-2S",利用已知條件可得加=翳國,便有號=晨,

Q(x，y).?

\OP\|OR|\OQ\\OQ\2

I函2|西%=理^》,將它們代入(X),得工+亡=

yP=—s,y?向理，xR=—?x,---F—，顯然X與

|0?！篭OQ\■K\IOOQOI\2416128

y均不為零.

2.(1)/|：x—'JT.A