立體幾何中的向量方法（考點(diǎn)解讀）-2020年高考數(shù)學(xué)（理）二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)學(xué)與練

專題13立體幾何中的向量方法

考情解讀

空間向量及其應(yīng)用一般每年考一道大題，試題一般以多面體為載體，分步設(shè)問，既考查綜合幾何也考

查向量幾何，諸小問之間有一定梯度，大多模式是：諸小問依次討論線線垂直與平行一線面垂直與平行一

面面垂直與平行T異面直線所成角、線面角、二面角T體積的計(jì)算.強(qiáng)調(diào)作圖、證明、計(jì)算相結(jié)合.考查

的多面體以三棱錐、四棱錐（有一條側(cè)棱與底面垂直的棱錐、正棱錐）、棱柱（有一側(cè)棱或側(cè)面與底面垂直的

棱柱，或底面為特殊圖形一如正三角形、正方形、矩形、菱形、直角三角形等類型的棱柱）為主.

重點(diǎn)知識(shí)梳理

1.共線向量與共面向量

（1）共線向量定理：對空間任意兩個(gè)向量優(yōu)厚0）,的充要條件是存在實(shí)數(shù)九使“=勸.

（2）共面向量定理：如果兩個(gè)向量“、6不共線，則向量p與向量b共面的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)

對（x,y）,使p=xa+yb.

2.兩個(gè)向量的數(shù)量積

向量〃、b的數(shù)量積：06=|“||b|cos（a,b）.

向量的數(shù)量積滿足如下運(yùn)算律：

①（九辦b）；

②（交換律）；

③。3+°）=。匕+。以分配律）.

3.空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a、b、c,不共面，那么對空間任一向量p,存在唯一有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使/?=*°+）力

+zc.

—>

推論：設(shè)0、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組*,y,Z},使OP

—>—>—>

=xOA+yOB+zOC.

4.空間向量平行與垂直的坐標(biāo)表示

設(shè)a=（0,“2，43），b=（h\,左，匕3）,

則助=。1=彷|,。2=勸2，43=2b3（2￡R）；

QJL。<=>4必=0=4/1+。2岳+〃3%=0.

5.模、夾角和距離公式

(1)設(shè)。=31,。2，。3)，b=(b],岳，歷)，貝I」

\a\=y[a^a=[曷+"+屈,

a-h______。也+〃2岳+。3，

cos同依d曷+病+^M房+1+員

(2)距離公式

設(shè)A(K，yi，zi),BQ丁2，Z2),貝ij

->

|AB|=7x\—X2阡>'i—yi阡zi—Z2

(3)平面的法向量

如果表示向量a的有向線段所在的直線垂直于平面a,則稱這個(gè)向量垂直于平面a,記作a，a.

如果a，a,那么向量”叫做平面a的法向量.

6.空間角的類型與范圍

(1)異面直線所成的角仇0<蠟；

(2)直線與平面所成的角0：0梏；

(3)二面角/0<^7t.

7.用向量求空間角與距離的方法

(1)求空間角：設(shè)直線/1、b的方向向量分別為〃、b,平面a、4的法向量分別為〃、加.

①異面直線/1與h所成的角為0,則cosO=^).

②直線6與平面a所成的角為仇則sin@=^.

③平面a與平面夕所成的二面角為仇則Icos9|=^.

(2)求空間距離

①直線到平面的距離，兩平行平面間的距離均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.

―?

點(diǎn)P到平面a的距離：d=唔必(其中〃為a的法向量，M為a內(nèi)任一點(diǎn)).

②設(shè)〃與異面直線a,6都垂直，A是直線。上任一點(diǎn)，8是直線B上任一點(diǎn)，則異面直線a、b的距離

―?

,IAB?川

"=1川?

高頻考點(diǎn)突破

高頻考點(diǎn)一向量法證明平行與垂直

1.(2019?高考浙江卷)如圖，已知三棱柱ABC-A由1G，平面AiACC_L平面ABC,ZABC=90°,ABAC

=30。，AiA=AiC=AC,E,尸分別是AC,ABi的中點(diǎn).

(1)證明：EFVBC-,

(2)求直線EF與平面A/C所成角的余弦值.

【解析】法一：(1)證明：如圖，連接4E,因?yàn)?4=4C,E是AC的中點(diǎn)，所以AiELAC.

又平面AACC」平面ABC,4反:平面44(%'|,平面AACGfl平面A8C=AC,所以，4E_L平面ABC,

又因?yàn)?F〃A8,ZABC=90°,故BC_LA/.

所以BC_L平面4EE

因此E/UBC.

(2)取BC的中點(diǎn)G,連接EG,GF,則EG辦1是平行四邊形.

由于平面ABC,故AiELEG,所以平行四邊形EG必?為矩形.

連接4G交E/于。，由⑴得8cL平面EG型則平面4BCJ?平面EG布i，

所以EF在平面48c上的射影在直線4G上.

則/EOG是直線EF與平面AiBC所成的角(或其補(bǔ)角).

不妨設(shè)AC=4,則在RtAAiEG中，AiE=24,EG=y/3.

由于。為4G的中點(diǎn)，故EO=OG=￥=華，

w/EO2+OG2-EG23

所以cosNEOG=2EOOG="5"

因此，直線EF與平面ABC所成角的余弦值是義

法二：（1）證明：連接4E,因?yàn)锳A=4C,E是AC的中點(diǎn)，

所以4E_LAC.

又平面AI4CCI_L平面A8C,4Eu平面A/CG，

平面AiACCm平面A8C=4C,所以，4E_L平面ABC.

如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線EC,EAi為y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-qz.

不妨設(shè)AC=4,則4（0,0,2?。?，B電,1,0）,

Big3,2小），回（坐,1,2小），C（0,2,0）.

因此，泳=（坐,

沈=（一小，1，0）.

由群?就=0得EFLBC.

（2）設(shè)直線EF與平面4BC所成角為0.

由（1）可得愛=（一小，1,0）,疵=（0,2,一24）.

設(shè)平面4BC的法向量為"=（x,y,z）.

—y/3x+y=0,

由,,得,

,/fit?-〃=0,,y~\[3z=0.

取/i=（l,小，1）故

sin6?=|cos〈群，n>|=|講閭,=*

因此，直線EF與平面ABC所成角的余弦值為|.

【舉一反三】如圖，在四棱錐P-ABCD中，以，底面ABC。，ADLAB,AB//DC,AD=DC=AP=2,

AB=\,點(diǎn)E為棱尸C的中點(diǎn).證明：

⑴BELLOC；

(2)BE〃平面PAD；

(3)平面PCD_L平面PAD.

【證明】依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得8(1,0.0),C(2,2,0),D(0,2,

0),P(0,0,2).由E為棱PC的中點(diǎn)，得E(l,1,1).

(1)向量展=(0,1,1),Dt=(2,0,0),故展?皮=0.

所以8EJ_￡>C.

(2)因?yàn)锳8_LA。，又以，平面A8C￡>,A8u平面A8CD,

所以PADAD=A,所以A8_L平面%Q,

所以向量矣=(1,0,0)為平面玄。的一個(gè)法向量.

而獨(dú)屈=(0,1,1)(1,0,0)=0,

所以BELAB,

又平面RVD,所以8E〃平面

(3)由(2)知平面陰。的一個(gè)法向量屈=(1,0,0),向量4=(0,2,-2),皮=(2,0,0),

設(shè)平面尸C。的法向量為〃=(x,y,z),

nPt)=0,2y—2z=0,

則1即，

、〃成=0,2x=0,

不妨令y=l,可得般=(0,1,1)為平面PC。的一個(gè)法向量.且〃?屈=(0,1,1)?(1,0,0)=0,

所以"_L屈.所以平面PCO_L平面PAD.

【變式探究】如圖所示，在底面是矩形的四棱錐尸一ABC。中，出_1_底面ABC。，E,F分別是PC,PD

的中點(diǎn)，PA=AB=],BC=2.

⑴求證：EF〃平面B4B；

(2)求證：平面以。，平面PDC.

【證明】以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一孫z

如圖所示,則A(0,0,0),8(1,0,0),C(1,2,0),0(020),P(0,0,l),

所以雄，i,；),《o,i,￡),

市=(-10,0),#=(0,0,1),At)=(0,2,0),皮=(1,0,0),1,0,0).

(1)因?yàn)槟?一:藕，所以蔡〃荒，

B|JEF//AB.

又ABu平面南8,EFC平面%B,

所以EF〃平面PAB.

(2)因?yàn)锳P法=(0,0,1>(1,0,0)=0,

—>—>

AD-DC=(0,2,0)-(1,0,0)=0,

—>—>>—>—?>

所以AP_LDC,ADA.DC,

B|JAP±DC,AD±DC.

又因?yàn)锳Pu平面依O,ADu平面附￡),

【方法規(guī)律】利用空間向量證明平行與垂直的步驟

(1)建立空間直角坐標(biāo)系，建系時(shí)，要盡可能地利用載體中的垂直關(guān)系；

(2)建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系，用空間向量表示出問題中所涉及的點(diǎn)、直線、平面的要素；

(3)通過空間向量的運(yùn)算研究平行、垂直關(guān)系；

(4)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問題.

【變式探究】在直三棱柱ABC—A5G中，NABC=90。，BC=2,CG=4,點(diǎn)E在線段88上，且ES

=1,D,F,G分別為CG，CiBi,G4的中點(diǎn).

求證：(1)5。，平面ABZ)；

(2)平面EGF〃平面ABD.

證明：(1)以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA,BC,8叢所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系8—

xyz,如圖所示

則3(0,0,0),0(0,2,2),5(0,0,4),設(shè)8A=a,則4ao,0),

所以84=(a,0,0),8。=(0,2,2),BiD=(0,2,一2),

BiDBA=0,Bi￡>BD=0+4-4=0,

即B\DLBA,BiDA.BD.

又BAC\BD=B,BA,BOu平面ABO,

因此，平面ABD.

(2)由(1)知，￡(0,0,3),G(*1，4),F(0,l,4)，

則正=俘，1,1),￡=(0,1,1),

■,?—>—?—>

BiDEG=0+2-2=0,8]DEF=0+2-2=0,

即BiD±EG,BxDVEF.

又EGCEF=E,EG,EFu平面EGF,因此Bi。，平面EG尸.

結(jié)合(1)可知平面EGF〃平面ABD.

高頻考點(diǎn)二、向量法求空間角

例2、(2019?高考全國卷H)如圖，長方體ABCLM囚GOi的底面48CC是正方形，點(diǎn)E在棱44|上,

BELEC\.

(1)證明：BE,平面EBCi；

(2)若4E=AiE,求二面角B-EC-G的正弦值.

【解析】(1)證明：由己知得，BiG_L平面AB8A，lEu平面A8B1A”

又BE_LEG，

所以8EJ_平面EBQ.

(2)由(1)知NBEBi=90。.由題設(shè)知RtAABE絲Rt&AiBiE,所以NAEB=45。，故AE=AB,AAi=2AB.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，用的方向?yàn)閤軸正方向，|所|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則

C(0,1,0),B(l,1,0),Ci(0,1,2),E(l,0,1),C^=(\,0,0),cfe=(l,-I,1),Cti=(0,0,2).

設(shè)平面E8C的法向量為“=(x,y,z),則

ch'rt=0,fx=0,

'即

a.”=0,lx-y+z=o，

所以可取”=(0,—1,—1).

設(shè)平面ECCi的法向量為，"=(X"yi，Z|),則

ctim=0,[2zi=0,

?B|J

_cfem=0,(xf+zi=0，

所以可取m=(1,1,0).

所以，二面角B-ECG的正弦值為坐.

【變式探究】(2017?全國卷H)如圖，四棱錐尸一A3。中，側(cè)面雨。為等邊三角形且垂直于底面ABCZ),

AB=BC=^AD,N54O=/ABC=90°,E是尸力的中點(diǎn).

(1)證明：直線CE〃平面也8；

(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABC。所成角為45。，求二面角M-A8-O的余弦值.

【解析】⑴證明：取用的中點(diǎn)尸，連接EF,BF.

因?yàn)镋是的中點(diǎn)，所以E尸〃AD,EF=^AD.

由ZBAD=N48C=90。得BC//AD,

又BCmAD,所以EF觸BC,

四邊形BCEF是平行四邊形，CE〃BF.

又BFu平面B48,CEC平面用8,故CE〃平面

（2）由已知得BA_LA。，以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，藕的方向?yàn)閤軸正方向，|盛|為單位長，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz,則40,0,0),8(1,0,0),C(l,l,0),P(0,l,?PC=(l,0,一小),AB=(l,0,0).

設(shè)M(x,y,z)(0<x<l),則

y,z）,PM—（x,y—1,z一小）.

因?yàn)?M與底面ABC。所成的角為45。，

而”=（0,0,1）是底面ABCD的法向量,

1

">|z|

所以|cos(BM,n)|=sin45°>~r

x—12+y2+z22，

即(X—1)2+9—22=0.①

又用在棱PC上，設(shè)就/=，六，則

X-1-近

x—12，

（舍去）,或jy=i>

所以41—坐，1,坐）從而AM=（1—乎，1,坐）.

設(shè)切=(沏，加⑹是平面A8M的法向量，則

?

zn?AM=0,J2—y[2x()+2yo+=0,

一Uo=O,

m-AB=09

所以可取加=(0,2).

〒日/、mwA/T6

于zecos〈，"，〃〉=麗=5.

因此二面角M-AB-D的余弦值為手.

(方法技巧](1)利用空間向量求空間角的一般步驟

①建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.

②求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出相交向量的坐標(biāo).

③結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算.

④轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.

【變式探究】(2017?北京卷)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形,平面南。，平面ABCD,

點(diǎn)M在線段PB上，尸?！ㄆ矫鍹AC,PA=PD=y[6,A8=4.

(1)求證：M為PB的中點(diǎn)；

(2)求二面角B-PD-A的大??；

(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.

【解析】(1)證明：如圖，設(shè)AC,BD交于點(diǎn)E,連接ME,

因?yàn)镻C〃平面MAC,平面M4CC平面尸

所以PD//ME.

因?yàn)樗倪呅?8co是正方形，

所以E為BD的中點(diǎn)，

(2)取的中點(diǎn)0,連接OP,0E.

因?yàn)楦?P。，所以。P_LAO.

又因?yàn)槠矫嬉?。，平面A8CQ,且OPu平面PAD,

所以O(shè)P_L平面A8CD

因?yàn)??！?lt;=平面ABCD,所以O(shè)PLOE.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以O(shè)ELAD

-->,>

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。一個(gè)z,則一(0,0,?力(2,0,0),8(—2,4,0),BD=(4,-4,0),尸￡>=(2,0,

一例.

Z

1

X

設(shè)平面3OP的法向量為〃=(x,y,z),

―?

mBD=0,(4x-4y=0,

則彳即<r

t[2x~yJ2z=0.

令x=1,則y=1,z=y[2.

于是"=(1,1,小).

平面以。的法向量為p=(0,l,0),

所以cos〈”，p〉一就一2?

(3)由題意知，一1,2,坐)，C(2,4,0),送=(：3,2,第

設(shè)直線MC與平面BDP所成角為a,則

sina=|cos〈“，鼠〉尸吟=唔

\n\\MC\

所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為邛5

高頻考點(diǎn)三探索性問題

要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對象(數(shù)值、圖形等)是否存在或某一結(jié)論是否成立."是否存在''的

問題的命題形式有兩種情況：如果存在，找出一個(gè)來；如果不存在，需要說明理由，這類問題常用“肯定順

推”的方法.

例3、如圖，多面體ABCQEF中，四邊形A8CQ為矩形，二面角A-CQ-尸為60。，DE//CF,CDLDE,

AD=2,DE=DC=3,CF=6.

⑴求證：BF〃平面AOE；

(2)在線段C尸上求一點(diǎn)G,使銳二面角B-EG-D的余弦值為京

【解】(I)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCO為矩形，

所以BC//AD.

因?yàn)?Ou平面8CC平面AOE,

所以BC〃平面4OE.

同理C尸〃平面AOE.

又8CnCF=C,所以平面BCF〃平面ACE.

因?yàn)锽Ft平面8CF,所以8尸〃平面AOE.

(2)因?yàn)镃L?_LA。，CD1DE,

所以NAQE是二面角4CQ-F的平面角，即NA￡)E=60。.

因?yàn)樗訡D_L平面AOE.

因?yàn)镃Ou平面CDEF,

所以平面CDEF_L平面ADE.

如圖，作AO_LOE于點(diǎn)O,則AO_L平面CDEE

由A￡>=2,DE=3,得。0=1,E0=2.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于QC的直線為x軸，OE所在的直線為y軸，0A所在的直線為z軸建立空間

直角坐標(biāo)系O-xyz,

則。(0,0,0),A(0,0,小)，C(3,-1,0),0(0,-1,0),8(3,0,小)，E(0,2,0),F(3,5,0),

彷=況+霜=溫+虎=(3,0,小),

設(shè)G(3,t,0)?-■1</<5,

則就=（一3,2,一木），砧=（0,t,一小）,

設(shè)平面8EG的法向量為m=（x,y,z）,

m檢=0

則由，

m就=0

x—2—t

J―3x+2廠小z=0

可取<y=3

lty—y[3z=0

.z=迎

故平面8EG的一個(gè)法向量為m=（2—力3,小f）,

又平面DEG的一個(gè)法向量為"=（0,0,1）,

所以n)|—

|cos(m>|詞同一、4--4+13'

waI1

所以、4/二;十13一4'

解得f=g或t=-旻（舍去）

3

此時(shí)CG=2

3

即所求線段CF上的點(diǎn)G滿足CG=3

【舉一反三】如圖，在四棱錐P—A3CQ中，平面％O_L平面ABC。，PALPD,PA=PD,ABLAD,

AB=\,AD=2,AC=C￡>=小.

p

(1)求證：POJ_平面附B；

(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；

(3)在棱山上是否存在點(diǎn)M,使得2M〃平面PCD?若存在，求*的值：若不存在，說明理由.

【解析】(I)證明：因?yàn)槠矫鍮4￡>_L平面A8CD,AB1.AD,

所以48JL平面出D,POu平面附。，所以AB_LPD.

又因?yàn)镻AA.PD,

所以PC_L平面PAB.

⑵取4。的中點(diǎn)0,連接P0,C0.

因?yàn)橄?PD,所以P。_LCD

又因?yàn)镻Ou平面81Q,平面以。_L平面ABCQ,

所以POJ_平面ABCD

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

由題意得，40,1,0),仇1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),尸(0,0,1).

設(shè)平面PCO的法向量為“=(x,y,z),則

mPD=O,-y—z=0,

即

—>2x-z=0.

nPC=O,

令z=2,則x=l,y=~2.

所以〃=(1,-2,2).

—>

又P—B=(1,1,-1),所以cos(〃，P—Bn-P)B一苧.

\n\\PB\

(3)設(shè)M是棱以上一點(diǎn)，

則存在2￡[0,1]使得瀛=京.

因此點(diǎn)M(0,l—2,2),-2,A).

-?

因?yàn)?MC平面PCC,所以要使8M〃平面PCO當(dāng)且僅當(dāng)8M?〃=(),即(一1,一九2).(1,一2,2)=0.

解得.所以在棱PA上存在點(diǎn)M使得8M〃平面PCD,此時(shí)筆=:.

【方法技巧】空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題，它無須進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、

推理，只需通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷；解題時(shí):把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存

在''問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解''等，所以為使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善

于運(yùn)用這一方法解題.

【變式探究】如圖所示，已知正三棱柱ABC—4BC中，AB=2,AA=小，點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E

的線段AAi上.

⑴當(dāng)AEE4i=時(shí)，求證：DELBCn

(2)是否存在點(diǎn)E,使二面角O-BE-A等于60。？若存在，求AE的長；若不存在，請說明理由.

【解析】(1)證明：連接QG，

因?yàn)闉檎庵訟ABC為正三角形.

又因?yàn)?。為AC的中點(diǎn)，所以8DLAC.

乂平面48C_L平面ACG4，所以BOJ_平面ACG4.

所以BD1DE.

因?yàn)锳E￡41=⑵A8=2,44=小，所以AE=坐，AD=\.

所以在RS4OE中，NA。E=30°.在Rt△力CCl中，ZCiDC=60°.

所以NEZ>G=90°,BPED1DG.

所以DE_L平面BDC\.

又因?yàn)锽Gu平面8DG，

所以ECBG.

（2）假設(shè)存在點(diǎn)E滿足條件，設(shè)AE=h.

取4cl的中點(diǎn)。，連接。"，則。平面A8C,所以O(shè)￡）|J_4D,DD}LBD.

如圖，分別以D4,DB,0A所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz,

則A(l,0,0),8(0,小,0),￡(1,0,/7).

所以08=(0,小，0),D￡=(l,0,h),48=(-1,小，0),AE=(0,0,/?).

設(shè)平面OBE的一個(gè)法向量為a=3,%,zi)則

—?

iivDB=0,p\/5y]=0,

即《；

—>[xi+/izi=0.

ji]DE=0f

令zi=L得〃]=（一〃,0,1）.

同理，設(shè)平面的一個(gè)法向量為〃2=（X2，”，Z2），

―>

"48=0,+小)，2=0,

則.

—>\hz2=0.

、/12?4E=O,

得〃2=（小，10）.

所以|cos肛〉I=I-cos60°=T.

y/r+l-22

解得h=*f,故存在點(diǎn)E滿足條件.

當(dāng)4￡=半時(shí)

二面角D-BE-A等于60°.

真題感悟

1.(2019?高考全國卷H)如圖，長方體ABC￡>-48iGOi的底面ABC。是正方形，點(diǎn)E在棱A4i上，BE

±ECi.

(1)證明：8E_L平面EBG；

(2)若4E=A|E,求二面角氏EC-C的正弦值.

【解析】⑴證明：由已知得，8Q_L平面ABBiAi,BEu平面488出,

又BELECi,

所以8EL平面EBiCi.

（2）由（1）知NBE8i=90。.由題設(shè)知RtziABE絲Rs48|E,所以NAE8=45。，故4E=A8,AA^2AB.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，房的方向?yàn)閤軸正方向，IaI為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,則

C(0,1,0),B(l,I,0),C|(O,1,2),E(l,0,1),C^=(l,0,0),c￡=(l,-1,1),芯=(0,0,2).

設(shè)平面E8C的法向量為"=(x,y,z),則

Cin=0,Jx=0,

ckn=0,即%-=0,

所以可取〃=(o,—1,—1).

設(shè)平面ECG的法向量為“2=(X1,y\fzi),則

cti-/n=0,f2zi=0,

途,”=o,‘、"xLyi+zi=o,

所以可取，〃=(i,i,o).

于是n,m=|rt||/M|=-2.

亞

所以，二面角B-EC-Ci的正弦值為2.

2.(2019.高考天津卷)如圖，AEJ_平面ABC。，CF//AE,AD//BC,AD1AB,AB=AD=\,AE=BC=

⑴求證：8F〃平面AOE；

(2)求直線"與平面BOE所成角的正弦值；

1

(3)若二面角E-BD-F的余弦值為5,求線段CF的長.

【解析】依題意，可以建立以A為原點(diǎn)，分別以初，Ab,砧的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向的空間

直角坐標(biāo)系(如圖)，可得40,0,0),8(1,0,0),C(l,2,0),0(0,1,0),E(0,0,2).設(shè)CF=h(fiX)),

則凡1,2,/i).

(1)證明：依題意，油=(1,0,0)是平面ADE的法向量，又游=(0,2,/?),可得時(shí)?屈=0,又因?yàn)橹?/p>

線平面A.DE,所以8尸〃平面ADE.

(2)依題意,Bb=(-\,I,0),展=(-1,0,2),Ck=(~\,-2,2).

〃勵(lì)=0,廣+產(chǎn)0,

設(shè)〃=(x,必z)為平面班組的法向量，貝力即_x+2z=0不妨令z=l,可得〃=(2,2,

費(fèi)〃4

1).因此有cos〈度，〃〉=麗=—次

4

所以，直線CE與平面8DE所成角的正弦值為0.

m-Bb=0,J—x+y=0,

(3)設(shè)，〃=(x,y,z)為平面8￡＞尸的法向量，則j即"丫+/”=0不妨令尸1，可得，〃=(1，I,

[m-BF=0,【分十u,

2

一工).

2

依川4一%18

由題意，有|cos(in,n)|=|/?||/?|=I4=3＞解得〃=7,經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

372+京

8

所以，線段CF的長為K

3.(2019?高考浙江卷)如圖，已知三棱柱A8C-4B1G,平面4ACGJ_平面ABC,/ABC=90。，ZBAC

=30。，43=AiC=4C,E,F分別是AC,43的中點(diǎn).

(1)證明：EFLBC；

(2)求直線EF與平面4BC所成角的余弦值.

【解析】法一：(I)證明：如圖，連接4E,因?yàn)?4=4C,E是AC的中點(diǎn)，所以4ELAC.

又平面44CC」平面48C,4Eu平面4ACC1,平面4ACCC平面48C=4C,所以，4E_L平面A8C,

則AiElBC.

又因?yàn)?/〃48,/A8C=90。，故BC_LAf

所以BCL平面4ER

因此EFLBC.

（2）取8c的中點(diǎn)G,連接EG,GF,則EG砌i是平行四邊形.

由于4E_L平面48C,故4EJ_EG,所以平行四邊形EGMi為矩形.

連接4G交EF于O,由⑴得8cL平面EGM,則平面4BCL平面EGM,

所以EF在平面AifiC上的射影在直線4G上.

則NEOG是直線EF與平面A\BC所成的角（或其補(bǔ)角）.

不妨設(shè)AC=4,則在RS4EG中，A\E=2小,EG=p

AiG逅

由于。為4G的中點(diǎn)，故2，

EO2+OG2-EG23

所以cosNEOG=2EOOG=5.

3

因此，直線EF與平面4BC所成角的余弦值是5.

法二：（1）證明：連接4E,因?yàn)?A=4C,E是AC的中點(diǎn)，

所以AELAC.

又平面AiACGJ_平面ABC,4Eu平面4ACG,

平面44Can平面A8C=AC,所以，4E_L平面48c.

如圖，以點(diǎn)￡為原點(diǎn)，分別以射線EC,E4為y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-x）z

不妨設(shè)AC=4,則4（0,0,2小），B用，1,0）,

攣3

-

小

小

32\四2\

Jl

Z2,zc(()2,

（2、12小）,比=（一小，1,0）.

因此，Ep=

由存屁=0得EF_LBC.

(2)設(shè)直線EF與平面4BC所成角為6.

由⑴可得肥=(一小，1,0),杭=(0,2,一2小).

設(shè)平面4BC的法向量為〃=(x,y,z).

覺〃=0,J-巾x+y=0,

由卜.”=0,z=0.

取〃=(1,小，1)故

屏?川4

sin8=|cos0,n)\=.^,.=5-

3

因此，直線EF與平面48C所成角的余弦值為5.

1.(2018年浙江卷)如圖，已知多面體4BC4B1G,AN,BiB,GC均垂直于平面ABC,NABC=120。,

AiA=4,GC=1,AB=BC=BiB=2.

(I)證明:ABi_L平面AiBiCi；

(ID求直線AG與平面ABS所成的角的正弦值.

【答案】(【)見解析

(H)電

13

【解析】

方法一：

(I)由AB=2,AA,=4,BB]=2,AA11AB3B,1AB得AB]==2梃,

所以A1B；+AB；=AA*

故AB】lAjBp

由BC=2,BB]=2,CC]=1,BBj1BC,CC11B嗨B?=6

由AB=BC=2/ABC=120。得AC=2*，

由CC]，AC,得Ag=V^,所以AB；+B]C；=AC；,I^AB]

因此AB1平面AiBgi.

(ID如圖，過點(diǎn)C[作C]D_LAF],交直線A】B]于點(diǎn)D,連結(jié)AD.

由AB】_L平面AiBQi得平面A[B[C]平面ABB1,

由Cp_LAR[得C】D_L平面ABB1,

所以"]AD是AC1與平面ABB1所成的角.學(xué)科.網(wǎng)

由BC=而小品=2也,A?=也T得cos/C]A]Bi=-^C.sin^-CjAjBj=1

C\D病

所以C]D=^,故siMgAD___=___

AC113'

A/59

因此，直線AC]與平面ABB]所成的角的正弦值是L_.

13

方法二：

(I)如圖，以AC的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以射線03,OC為x,y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系

O-xyz.

4iY

由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

A（0,-祗O）,B（l,O,O）,Ai（O,-在4）,B]（l,0,2）,Ci（0,祗1）,

因此疝1=（1,也2）,A茂=（1,祗-2）內(nèi)。=（0,26-3）,

由第1?A^]=0得AB11AjBp

由取-A?=。得AB11A?.

所以AB】J"平面AiBgi.

（II）設(shè)直線Ag與平面ABB1所成的角為.

由（I）可知A0=（0,2^,l）,AB=（1,",O）,BH=（0,0,2）,

設(shè)平面ABB1的法向量n=(x,y,z).

x；也;。，可取n=(-肉,0).

明需2'即

所以皿住砥山宗W

/39

因此，直線AC】與平面ABB1所成的角的正弦值是A匚

13

2.(2018年天津卷)如圖，AD//BC且A￡>=28C,AD1CD,EG//ADfiEG=ADfCD//FGHCD=2FG,

DG1?平面ABCD,DA=DC=DG=2.

(I)若M為C尸的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：卜口|1平面?？凇?

(II)求二面角E-BC-F的正弦值：

(III)若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面AOGE所成的角為60。，求線段DP的長.

【解析】依題意，可以建立以。為原點(diǎn)，

分別以反，DC-15b的方向?yàn)闊o軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖),

可得。(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),

3

E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,1),N(1,0,2).

2

(I)依題意改=(0,2,0),DE=(2,0,2).

設(shè)zio=(x,y,z)為平面COE的法向量,

n-DC=0,

則0即(2y=0,

(2x+2z=0,

n0,DE=0,

不妨令z=-l,可得〃()=(1,0,-1).

-3。

又MN=(1,-5,1),可得MN?rio=O,

乂因?yàn)橹本€平面CDE,所以MN〃平面CDE.

(II)依題意，可得比=(一1,0,0),BE=(1,-2,2)，CF=(0,-1,2).

設(shè)"=(x,y,z)為平面BCE的法向量,

即'

則n-BC=0,-x=0,

n-BE=0,'jx?2y+2z=0,

不妨令Z=l,可得“(0,1,1).

設(shè)桁=(A-,ytz)為平面8c尸的法向量,

WJ(m-BC=0.即|-x=0,

(m-CF=0,I-y+2z=0.

不妨令z=l,可得/n=(0,2,1).

onLL士m-n3^/10.710

因此有cos</n，n>=----=----，于是s〃7<〃z，n>=---.

|m||n|1010

所以，二面角E-BC-F的正弦值為丑.

10

(III)設(shè)線段。P的長為人(hW[0,2]),則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,0,h),

可得國＞=(-1,-2,h).

易知，DC=(0,2,0)為平面AOGE的一個(gè)法向量,

|BP-DC|2

故|cos<而?氏>|=

|BP||DC|而+5

2幣近

由題意，可得-^=5山60。=二，解得[0,2].

忖+523

所以線段DP的長為上.

3

3.(2018年北京卷)如圖，在三棱柱A8cAiBgi中，CgJ?平面ABC,D,E,F,G分別為AA「AC,

A]g,BB]的中點(diǎn)，AB=BC=&AC=AA]=2.

(I)求證：4。_1_平面BEF；

(II)求二面角B-CD-C\的余弦值；

(HI)證明：直線FG與平面BCD相交.

【答案】(1)證明見解析

⑵H-CD-Cx的余弦值為-匚

21

(3)證明過程見解析

【解析】

(I)在三棱柱ABC-481G中，

平面A8C,

四邊形4ACG為矩形.

又E,尸分別為AC,4cl的中點(diǎn),

J.ACLEF.

"：AB=BC.

J.ACVBE,

；.AC_L平面BEF.

(H)由(I)知AC_LEF,ACA.BE,EF//CC}.

又CGJ_平面ABC,，EF_L平面ABC.

平面ABC,；.EF_LBE.

如圖建立空間直角坐稱系E-xyz.

0),D(1,0,I),F(0,0,2),G(0,2,1).

.'?CD=(2.0.1),CB=(1.2.0).

設(shè)平面BCD的法向量為n=(a,b,c).

.(n-CD=0.(2a+c=0

,,ln-CB=0，?,|a+2b=0

令n=2,則b=-\,c=-4,

平面BCD的法向量n=(2,-1,-4),

乂?.?平面COG的法向量為由=(0,2.0).

-n-EB◎

:.cos<n-EB>=-=.

|n||EB|21

R7

由圖可得二面角B-CDC為鈍角，所以二面角B-CD-Ci的余弦值為-

21

(Hl)平面BCD的法向量為n=(2,-1,-4),VG(0,2,1),F(0,0,2),

-*?GF=(0,-2,1).An-GF=-2＞，n與山1不垂直,

：.GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內(nèi)，；.G/與平面BCD相交.

4.（2018年江蘇卷）如圖，在正三棱柱ABC48C1中，AB=A4i=2,點(diǎn)R。分別為A山i,BC的中點(diǎn).

（第22題）

（1）求異面直線BP與AG所成角的余弦值;

（2）求直線CG與平面42G所成角的正弦值.

【答案】（1）亞

20

⑵色

5

【解析】如圖，在正三棱柱A8C-481G中，設(shè)AC,4G的中點(diǎn)分別為O,。，則08L0C,OO\L

OC,OOt±OB,以｛而,&3,。6）1｝為基底，建立空間直角坐標(biāo)系O-"z.

因?yàn)锳8=A4=2,

所以A(0,-1,0),B(布,0,0)0(0,1,0),A?-1,2),Bi(祗0,2),〃0,1,2).

h1

（1）因?yàn)?。?辦的中點(diǎn)，所以p（:g,2）,

Jj]

從而B>=(-y,-5,2),A0=(0,2,2)，

,,l-、lBP,ACil|-1+4|3亞

故|cos(BP,AC=-二—=-j=百=.

''|BP|'IACJ軍義2及20

因此，異面直線BP與AG所成角的余弦值為亞.

20

（2）因?yàn)镼為5c的中點(diǎn),所以Q（%O）,

因止匕屹=(―,-0).AC!=(0,2,2),00!=(0,0,2).

設(shè)"=（x,y,z）為平面4QG的一個(gè)法向量,

由3

AQ-n=0,朗示+廠,

則1

AC1-n=0,