第十五章《分式》同步單元基礎(chǔ)與培優(yōu)高分必刷卷（全解全析）

第十五章《分式》同步單元基礎(chǔ)與培優(yōu)高分必刷卷全解全析1．B【分析】若分式的分子分母再無公因式，則是最簡分式，把各分式的分子分母進(jìn)行因式分解即可作出判斷．【詳解】解：A、是整式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、分子、分母不含有公因式，所以不能夠約分，是最簡分式；C、分子、分母含有公因式，能夠約分，不是最簡分式；D、分子、分母含有公因式，能夠約分，不是最簡分式；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡分式，關(guān)鍵是判斷分式的分子、分母是否有公因式．2．B【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【詳解】．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．3．C【分析】先解分式方程，得出，根據(jù)關(guān)于的分式方程的解是正數(shù)，得出，再根據(jù)，得出，即可得出答案．【詳解】解：關(guān)于的分式方程的解為：，∵關(guān)于的分式方程的解是正數(shù)，∴，解得：，∵，∴，∴，解得：，∴的取值范圍是且，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是解出關(guān)于x的方程，注意方程的解．4．C【分析】利用分式的相應(yīng)的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：（1），故（1）符合題意；（2），故（2）不符合題意；（3），故（3）符合題意；（4），故（4）不符合題意；（5），故（5）符合題意；（6），故（6）不符合題意，綜上所述，運(yùn)算正確的有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．5．B【分析】根據(jù)題意先求得快馬的速度和慢馬的速度，根據(jù)快馬的速度是慢馬的2倍列分式方程即可．【詳解】解：設(shè)規(guī)定時(shí)間為天，慢馬的速度為，快馬的速度為，∵快馬的速度是慢馬的倍，∴．故選∶B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意找出等量關(guān)系列出方程．6．A【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：由題意得：，∴如果把分式中的x、y的值都擴(kuò)大為原來的3倍，那么分式的值不變，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．C【分析】先算括號(hào)內(nèi)，再算括號(hào)外，然后把m的值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：（m）?＝?＝m+1當(dāng)m＝2時(shí)，原式＝2+1＝3，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，先對(duì)括號(hào)內(nèi)的進(jìn)行通分，化簡，再與括號(hào)外的進(jìn)行約分得到最簡式，然后把滿足條件的字母的值代入計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的值．8．D【分析】利用乘方運(yùn)算、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)分別進(jìn)行化簡運(yùn)算，然后比較大小即可得出答案．【詳解】解：∵，，，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了乘方運(yùn)算、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)以及有理數(shù)大小比較等知識(shí)，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．9．A【分析】先根據(jù)不等式組有解集求出m的取值范圍，再根據(jù)分式方程有非負(fù)整數(shù)解求出符合條件的m值，再求和即可．【詳解】解不等式組，得．因?yàn)樵摬坏仁浇M有解，所以，即．由分式方程有非負(fù)整數(shù)解，得，且.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（不符合題意）；當(dāng)時(shí)，（不符合題意）；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（不符合題意）；當(dāng)時(shí)，（不符合題意）；當(dāng)時(shí)，（不符合題意）；當(dāng)，時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)不符合題意．故符合題意的m的值有7，4，－2，所以．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式組的解集，解含字母系數(shù)的分式方程，注意：當(dāng)分式方程產(chǎn)生增根時(shí)不符合題意．10．D【分析】解不等式組，又因?yàn)椴坏仁浇M有解，得到a＜4，由于，

得到：，因?yàn)閍＜4，且y≠3，且整數(shù)，得到a=3，-1；即可求解；【詳解】解：由①得：x≤-1，由②得：x＞a-5，因?yàn)椴坏仁浇M有解，∴a-5＜x≤-1;∴a-5＜-1;∴a＜4，由，

得，得到：，∵a＜4，且y≠3，為整數(shù)，∴a=3，-1；3+（-1）=2．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解，一元一次不等式組的解集，有理數(shù)的混合運(yùn)算，考慮解分式方程可能產(chǎn)生增根是解題的關(guān)鍵．11．【分析】絕對(duì)值小于1的數(shù)科學(xué)記數(shù)法寫成的形式，其中，n為小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)位數(shù)的相反數(shù)．【詳解】解：用科學(xué)記數(shù)法記作：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考察科學(xué)記數(shù)法，熟記科學(xué)記數(shù)法的形式是解題的關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)分式無意義的條件，即可求解．【詳解】解∶∵式子無意義，∴，，，解得：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式無意義的條件，分式的除法，熟練掌握分式無意義的條件是解題的關(guān)鍵．13．

【分析】根據(jù)冪的乘方運(yùn)算法則，即同底數(shù)冪乘法是底數(shù)不變，指數(shù)相加；同底數(shù)冪的除法是底數(shù)不變，指數(shù)相減；任何非零數(shù)的零次冪是1；同底數(shù)冪的乘方的逆運(yùn)算即可求解．【詳解】解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．故答案是：；；；；；；；【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的運(yùn)算法則，掌握同底數(shù)冪的乘法、除法法則，同底數(shù)冪乘方的逆運(yùn)算，任何非零數(shù)的零次冪的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．14．或【分析】根據(jù)，可以得到它們的比值或者a、b、c的關(guān)系式，進(jìn)而解答．【詳解】解：設(shè)，則，，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解題關(guān)鍵．15．【分析】計(jì)算，然后整體代入求解即可；或者把已知條件組成方程組，解方程組求出，，代入計(jì)算即可．【詳解】解：解法一：因?yàn)樗裕獾茫蚀鸢笧椋海夥ǘ河?，得，因此，．由此可得，．所以故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，注意運(yùn)用整體思想求解．16．【分析】設(shè)有x人在甲組，有（8－x）人在乙組，根據(jù)題意列出方程即可確定x與t的值，再計(jì)算出純冰質(zhì)量與人造雪質(zhì)量，求比值即可．【詳解】解：設(shè)有x人在甲組，有（8－x）人在乙組，則t小時(shí)后，純冰的質(zhì)量為：5tx+100－10t（8－x）=15tx－80t+100（千克），∴（15tx－80t+100）：=1:8，化簡得：，其中，x、t均為正整數(shù)，且x<8，∴t=8，x=5，故甲組有5人，乙組有3人．加工800千克人造雪，需要純冰800÷2=400千克，原有100千克，甲組需將600千克的水轉(zhuǎn)化為300千克的冰，甲組生產(chǎn)純冰的總時(shí)間為：600÷10÷5=12小時(shí)，此時(shí)乙組生產(chǎn)的人造雪質(zhì)量為：12×3×20=720千克，還剩400－360=40千克的冰未加工，∴此時(shí)純冰質(zhì)量與人造雪質(zhì)量之比為40:720=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于應(yīng)用類題目，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找出題目中的等量關(guān)系列出方程求解．17．3【分析】從甲地到乙地，快車整點(diǎn)出發(fā)，慢車晚半個(gè)小時(shí)，旅客9：30分上車必須坐慢車，從10：00點(diǎn)鐘后整點(diǎn)發(fā)車可以看一個(gè)追及相遇問題，計(jì)算出慢車與后面不同整點(diǎn)發(fā)出的快車相遇的站點(diǎn)，方可上快車才能節(jié)省時(shí)間，同時(shí)還考慮旅客只帶70元錢夠車費(fèi)，方能到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間最短．【詳解】解：∵從甲地到乙地有20站，快車共需2小時(shí)，∴快車從上一站點(diǎn)到下一站點(diǎn)的時(shí)間為，又∵快車的速度是慢車速度的2倍；∴從甲地到乙地有20站，慢車共需4小時(shí)，∴慢車從上一站點(diǎn)到下一站點(diǎn)的時(shí)間為．由題意可知：①當(dāng)9：30旅客坐上慢車后，與第1輛10：00鐘發(fā)出的快車相遇于第x個(gè)站點(diǎn)，則有：，解得：x＝5；∴此刻10：00發(fā)出的快車行了小時(shí)，慢車行了1個(gè)小時(shí)；即相遇時(shí)刻為10：30分．②當(dāng)10：30旅客坐慢車?yán)^續(xù)前行，需過小時(shí)，快車將在11：00發(fā)出追及慢車相遇于第y個(gè)站點(diǎn)，則有：，解得：y＝10，∴此刻11：00發(fā)出的快車行了1小時(shí)，慢車行了2個(gè)小時(shí)；即相遇時(shí)刻為12：00分．③當(dāng)12：00旅客坐慢車?yán)^續(xù)前行，此刻甲地快車發(fā)出追及慢車相遇于第z個(gè)站點(diǎn)，則有：，解得：z＝20，∴此刻相遇剛好在終點(diǎn)．由上可知：旅客要從慢車坐上快車在第①和第②次相遇時(shí)坐上快車節(jié)省時(shí)間．（Ⅰ）第①種情況旅客坐慢車相遇快車后上快車，從甲地到乙地的總時(shí)間為：（小時(shí)）；又∵快車每站車費(fèi)5元，慢車每站車費(fèi)2元，∴此種方式的總費(fèi)用：2×5+15×5＝75（元），又∵旅客只有70元錢，∴75＞70，即此時(shí)相遇后坐快車錢不夠，不合題意舍去．（Ⅱ）第②情況旅客坐慢車相遇快車后上快車，從甲地到乙地的總時(shí)間為：（小時(shí)）．此種方式的總費(fèi)用：5×10+2×10＝70（元）即此種情況節(jié)約時(shí)間，旅客所帶的錢夠花．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，理解題意列出方程，分類討論是解題的關(guān)鍵．18．(1)(2)原方程無解【分析】（1）方程兩邊同時(shí)乘以將分式方程變?yōu)檎椒匠?，然后解整式方程，最后?duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可；（2）方程兩邊同時(shí)乘以將分式方程變?yōu)檎椒匠蹋缓蠼庹椒匠?，最后?duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）解：，方程兩邊同乘以得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：，檢驗(yàn)：把代入得：，∴是原方程的解．（2）解：，方程兩邊同時(shí)乘以得：，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：，把代入得：，∴是原方程的增根，∴原方程無解．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的一般步驟，注意解分式方程要進(jìn)行檢驗(yàn)．19．(1)(2)(3)【分析】（1）先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再把分子、分母約分化簡；（2）先通分，再根據(jù)同分母分式的加減法法則計(jì)算；（3）先把括號(hào)內(nèi)通分化簡，再約分化簡．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先算乘除，再算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．20．，或，或【分析】根據(jù)增根的意義，先化簡分式方程，將增根代入化簡后的整式方程即可求出參數(shù)的值．【詳解】將原分式方程去分母，得：，∴，∴．將代入，得．將代入，得．∴當(dāng)或時(shí)，原方程會(huì)產(chǎn)生增根，此時(shí)原方程無解．∵對(duì)于方程，當(dāng)時(shí)，此方程無解，此時(shí)原方程也無解．∴當(dāng)或或時(shí)，原方程無解．【點(diǎn)睛】本題考查了增根產(chǎn)生的條件，明確增根不是原分式方程的解，而是原分式方程去分母后相應(yīng)整式方程的解是解決本題的關(guān)鍵．21．，【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡，求得的值，代入求解即可．【詳解】解：將代入得，原式【點(diǎn)睛】此題考查了分式化簡求值，涉及了分式的四則運(yùn)算，完全平方公式，零指數(shù)冪和負(fù)整指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則．22．(1)(2)①燃油車的每千米行駛費(fèi)用為元，新能源車的每千米行駛費(fèi)用為元；②當(dāng)每年行駛里程大于時(shí)，買新能源車的年費(fèi)用更低【分析】（1）根據(jù)每千米行駛費(fèi)用=相應(yīng)的費(fèi)用÷續(xù)航里程，即可求解；（2）①結(jié)合（1），列出分式方程，解方程求解即可；②根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的不等式，然后求解即可．【詳解】（1）解：由表格可得，新能源車的每千米行駛費(fèi)用為：（元），故答案為：元；（2）①∵燃油車的每千米行駛費(fèi)用比新能源車多元，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，∴（元），（元），答：燃油車的每千米行駛費(fèi)用為元，新能源車的每千米行駛費(fèi)用為元；②設(shè)每年行駛里程為,由題意得：，解得，答：當(dāng)每年行駛里程大于時(shí)，買新能源車的年費(fèi)用更低．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用、列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程和不等式．23．(1)小聰，分式的分母不能為0；(2)且；(3)或．【分析】（1）根據(jù)分式有意義的條件：分母不能為0，即可知道小聰說得對(duì)；（2）首先按照解分式方程的步驟得到方程的解，再利用解是非負(fù)數(shù)即可求出的取值范圍；（3）按照解分式方程的步驟去分母得到整式方程，若分式方程無解，則得到增根或者整式方程無解，即可求出的范圍．（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母為0∴小聰說得對(duì)，分式的分母不能為0．（2）解：原方程可化為去分母得：解得：∵解為非負(fù)數(shù)∴，即又∵∴，即∴且（3）解：去分母得：解得：∵原方程無解∴或者①當(dāng)時(shí)，得：②當(dāng)時(shí)，，得：綜上：當(dāng)或時(shí)原方程無解．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程以及根據(jù)分式方程的解確定參數(shù)范圍，重點(diǎn)要掌握解分式方程的步驟：去分母化成整式方程；再解整式方程；驗(yàn)根．理解當(dāng)分式方程無解時(shí)包含整式方程無解和有曾根兩種情況．24．(1)第一次每箱道口燒雞的購進(jìn)價(jià)格為40元(2)這兩次購進(jìn)的道口燒雞售價(jià)每箱至少應(yīng)為46元【分析】（1）設(shè)第一次每箱道口燒雞的購進(jìn)價(jià)格為元，則第二次每箱道口燒雞的購進(jìn)價(jià)格為元，根據(jù)第二次所購數(shù)量是第一次所購數(shù)量的1．5倍列出方程求解即可；（2）設(shè)兩次購進(jìn)的道口燒雞的售價(jià)為元，由（1）得第一次購進(jìn)道口燒雞70箱，第二次購進(jìn)道口燒雞105箱，由全部