高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 分層限時跟蹤練6-人教版高三數(shù)學(xué)試題

分層限時跟蹤練(六)(限時40分鐘)eq\f([基礎(chǔ)練],扣教材練雙基)一、選擇題1．(2015·貴陽一模)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝e－xC．y＝lgeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x)) D．y＝－x2＋1【解析】由函數(shù)奇偶性的定義，得冪函數(shù)y＝eq\f(1,x)是奇函數(shù)，y＝ln|x|與y＝－x2＋1是偶函數(shù)，y＝e－x既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；又函數(shù)y＝ln|x|在(0，＋∞)上遞增，二次函數(shù)y＝－x2＋1在(0，＋∞)上遞減，故選D.【答案】D2．(2015·郴州二模)已知函數(shù)y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，且f(2)＝3，則f(－2)＝()A．－7 B．7C．－5 D．5【解析】根據(jù)函數(shù)y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，得f(－2)＋(－2)＝f(2)＋2，則f(－2)＝f(2)＋4＝7，故選B.【答案】B3．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,cosx，x≤0，))則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)是偶函數(shù)B．f(x)是增函數(shù)C．f(x)是周期函數(shù)D．f(x)的值域為[－1，＋∞)【解析】函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,cosx，x≤0))的圖象如圖所示，由圖象知只有D正確．【答案】D4．(2015·福州模擬)已知偶函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x1，x2∈(0，＋∞)時，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0恒成立．設(shè)a＝f(－4)，b＝f(1)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<b<a【解析】設(shè)x1＜x2，則x1－x2＜0，f(x1)－f(x2)＜0，即函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，得f(1)＜f(3)＜f(4)；又f(x)是偶函數(shù)，則f(－4)＝f(4)，故選C.【答案】C5．(2015·威海模擬)函數(shù)f(x)＝(x－2)(ax＋b)為偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(2－x)>0的解集為()A．{x|x>2或x<－2} B．{x|－2<x<2}C．{x|x<0或x>4} D．{x|0<x<4}【解析】由題意可知f(－x)＝f(x)，即(－x－2)(－ax＋b)＝(x－2)·(ax＋b)，(2a－b)·x＝0恒成立，故2a－b＝0，即b＝則f(x)＝a(x－2)(x＋2)．又函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以a>0.f(2－x)>0，即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4.故選C.【答案】C二、填空題6．函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋1x＋a,x3)為奇函數(shù)，則a＝________.【解析】由題意知，g(x)＝(x＋1)(x＋a)為偶函數(shù)，∴a＝－1.【答案】－17．設(shè)偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且f(2)＝0，則不等式eq\f(fx＋f－x,x)＞0的解集為______________．【解析】因為f(x)為偶函數(shù)，所以不等式eq\f(fx＋f－x,x)＞0，等價于eq\f(fx,x)＞0.①當(dāng)x＞0時，eq\f(fx,x)＞0等價于f(x)＞0，又f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且f(2)＝0.所以f(x)＞0的解集為{x|0＜x＜2}．②當(dāng)x＜0時，eq\f(fx,x)＞0等價于f(x)＜0，又f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，且f(－2)＝f(2)＝0.所以f(x)＜0的解集為{x|x＜－2}．綜上可知，不等式eq\f(fx＋f－x,x)＞0的解集為{x|x＜－2或0＜x＜2}．【答案】{x|x＜－2或0＜x＜2}8．(2015·燕山模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函數(shù)，下列關(guān)于f(x)的判斷：①f(x)是周期函數(shù)；②f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱；③f(x)在[0,1]上是增函數(shù)；④f(x)在[1,2]上是減函數(shù)；⑤f(4)＝f(0)．其中判斷正確的序號是________．【解析】f(x＋1)＝－f(x)?f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函數(shù)．又f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，故f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．同理，f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱．由f(x)在[－1,0]上是增函數(shù)，得f(x)在[0,1]上是減函數(shù)，在[1,2]上是增函數(shù)．因此可得①②⑤正確．【答案】①②⑤三、解答題9．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．(1)求證：f(x)是周期為4的周期函數(shù)；(2)若f(x)＝eq\r(x)(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]時，函數(shù)f(x)的解析式．【解】(1)證明：由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)．又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)．從而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期為4的周期函數(shù)．(2)由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，得f(0)＝0.當(dāng)x∈[－1,0)時，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－eq\r(－x).故x∈[－1,0)時，f(x)＝－eq\r(－x).x∈[－5，－4]時，x＋4∈[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－eq\r(－x－4).從而，x∈[－5，－4]時，函數(shù)f(x)＝－eq\r(－x－4).10．已知函數(shù)f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0)．(1)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；(2)若f(1)＝2，試判斷f(x)在[2，＋∞)上的單調(diào)性．【解】(1)當(dāng)a＝0時，f(x)＝x2，由f(－x)＝f(x)可知，函數(shù)是偶函數(shù)．當(dāng)a≠0時，f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0)．∵f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2－1，∴f(a)≠f(－a)，又a≠0，∴f(a)≠－f(a)，∴函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．綜上所述：a＝0時，f(x)為偶函數(shù)；a≠0時，f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．(2)由f(1)＝2可知1＋a＝2，即a＝1，所以f(x)＝x2＋eq\f(1,x).由f′(x)＝2x－eq\f(1,x2)可知，當(dāng)x≥2時，f′(x)＞0恒成立，故f(x)在[2，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)．eq\f([能力練],掃盲區(qū)提素能)1．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋x＋1,x2＋1)，若f(a)＝eq\f(2,3)，則f(－a)＝()A.eq\f(2,3)B．－eq\f(2,3)C.eq\f(4,3)D．－eq\f(4,3)【解析】根據(jù)題意，f(x)＝eq\f(x2＋x＋1,x2＋1)＝1＋eq\f(x,x2＋1)，而h(x)＝eq\f(x,x2＋1)是奇函數(shù)，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(huán)(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－eq\f(2,3)＝eq\f(4,3)，故選C.【答案】C2．(2015·蚌埠模擬)函數(shù)y＝f(x)是R上的奇函數(shù)，滿足f(3＋x)＝f(3－x)，當(dāng)x∈(0,3)時，f(x)＝2x，則當(dāng)x∈(－6，－3)時，f(x)等于()A．2x＋6 B．－2x－6C．2x－6 D．－2x＋6【解析】由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，得f(－x)＝－f(x)，當(dāng)x∈(－6，－3)時，x＋6∈(0,3)，由f(3＋x)＝f(3－x)，得f(x)＝－f(－x)＝－f[3－(3＋x)]＝－f[3＋(3＋x)]＝－f(6＋x)＝－26＋x，故選D.【答案】D3．函數(shù)f(x)＝log2(x＋eq\r(x2＋1))(x∈R)與g(x)＝lg|x－2|分別為________和________函數(shù)(填“奇”“偶”“既奇又偶”或“非奇非偶”)．【解析】易知f(x)的定義域為R.∵f(－x)＋f(x)＝log2[－x＋eq\r(－x2＋1)]＋log2(x＋eq\r(x2＋1))＝log21＝0，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．對于g(x)，由|x－2|＞0，得x≠2.∴g(x)的定義域為{x|x≠2}．∵g(x)的定義域關(guān)于原點不對稱，∴g(x)為非奇非偶函數(shù)．【答案】奇函數(shù)非奇非偶4．(2015·遂寧三模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足eq\f(1,fx＋1)＝f(x)，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，－1＜x≤0，,－1，0＜x≤1，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))))＝________.【解析】由eq\f(1,fx＋1)＝f(x)，得f(x＋2)＝eq\f(1,fx＋1)＝f(x)，即f(x)是以2為周期的函數(shù)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝1，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))))＝f(1)＝－1.【答案】－15．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，若對于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)，求：(1)f(0)與f(2)的值；(2)f(3)的值；(3)f(2013)＋f(－2016)的值．【解】(1)因為當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)，所以f(0)＝0，又對于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，故f(2)＝0.(2)f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.(3)依題意得，x≥0時，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0時，f(x)是以4為周期的函數(shù)．因此，f(2013)＋f(－2016)＝f(2013)＋f(2016)＝f(1)＋f(0)．f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2013)＋f(－2016)＝1.6．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函數(shù)．(1)求實數(shù)m的值；(2)若