9.4 向量應(yīng)用（四大題型）-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版2019必修第二冊(cè)）（解析版）

第第頁(yè)9．4向量應(yīng)用課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題中的作用，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算、分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力．（1）能用向量方法解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題.（2）能用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題和其他實(shí)際問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)01向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”：（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題．（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題．（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．【即學(xué)即練1】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是AD，BC的三等分點(diǎn).設(shè)，.(1)用，表示，.(2)如果，EF，EG有什么位置關(guān)系?用向量方法證明你的結(jié)論.【解析】（1）；.（2）.證明如下：由（1）知，，，.，.知識(shí)點(diǎn)02向量方法解決物理問(wèn)題的步驟用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)分為四個(gè)步驟：（1）問(wèn)題轉(zhuǎn)化，即把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．（2）建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型．（3）求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等．（4）回答問(wèn)題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問(wèn)題．【即學(xué)即練2】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，兩個(gè)力和同時(shí)作用在一個(gè)物體上，其中的大小為，方向向東，的大小為，方向向北，求它們的合力．

【解析】如下圖，，，以、為鄰邊作平行四邊形，由題意可知，，則四邊形為矩形，，設(shè)兩個(gè)力和的合力為，則，由勾股定理可得，在中，，所以，，所以，它們的合力大小為，方向約為北偏東.題型一：利用向量證明平面幾何問(wèn)題【例1】（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·高一?？计谀┤鐖D所示，已知在正方形中，E，F(xiàn)分別是邊，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)M.

(1)設(shè)，，用，表示，；(2)猜想與的位置關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想并用向量法證明你的猜想.【解析】（1），；（2），證明如下：由（1）知，，所以，設(shè)，則，所以，所以，得證.【變式1-1】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）用向量的方法證明在等腰三角形ABC中，，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，求證：．【解析】由題意得，，故，因?yàn)椋?，?【變式1-2】（2024·山東濟(jì)南·高一山東師范大學(xué)附中校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，(且)，D為AB的中點(diǎn)，E為的重心，F(xiàn)為的外心．(1)求重心E的坐標(biāo)；(2)用向量法證明：．【解析】（1）如圖，∵，，，∴，則由重心坐標(biāo)公式，得；（2）．易知的外心F在y軸上，可設(shè)為．由，得，∴，即．∴．∴，∴，即．【方法技巧與總結(jié)】用向量證明平面幾何問(wèn)題的兩種基本思路（1）向量的線性運(yùn)算法的四個(gè)步驟：①選取基底；②用基底表示相關(guān)向量；③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系；④把計(jì)算所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題．（2）向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個(gè)步驟：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；②把相關(guān)向量坐標(biāo)化；③利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找到相應(yīng)關(guān)系；④利用向量關(guān)系回答幾何問(wèn)題．題型二：利用向量解決平面幾何求值問(wèn)題【例2】（2024·福建廈門(mén)·高一統(tǒng)考期末）在四邊形中，，，，其中，為不共線的向量．(1)判斷四邊形的形狀，并給出證明；(2)若，，與的夾角為，為中點(diǎn)，求．【解析】（1）因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)樗狞c(diǎn)不共線，所以且，所以四邊形為梯形．（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以．【變?-1】（2024·貴州貴陽(yáng)·高一貴陽(yáng)市民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，矩形ABCD的頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，B，D分別在x，y軸正半軸上，，，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)

(1)若，求AE的長(zhǎng)；(2)若E為AB的中點(diǎn)，AC與DE的交點(diǎn)為M，求．【解析】（1）由題，可得.則.設(shè)，則.因，則.則，故AE的長(zhǎng)為1；（2）若E為AB的中點(diǎn)，則，，又.由圖可知.【變式2-2】（2024·河北滄州·高一校考階段練習(xí)）如圖，在中，.(1)求的長(zhǎng)；(2)求的長(zhǎng).【解析】（1）；，，故，.（2），.【變式2-3】（2024·山東棗莊·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)在線段上，且．(1)求的長(zhǎng)；(2)求．【解析】（1）設(shè)，，則．．故．（2）因?yàn)椋浴咀兪?-4】（2024·遼寧朝陽(yáng)·高一朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)?？计谀┰谥?，，，，為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）．(1)求的值；(2)若點(diǎn)滿足，求的最小值，并求此時(shí)的．【解析】（1）因?yàn)闉榈娜确贮c(diǎn)（靠近點(diǎn)），所以，所以，所以.（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，取得最小值.【方法技巧與總結(jié)】（1）用向量法求長(zhǎng)度的策略①根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇基底，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式求解．②建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式：若，則．（2）用向量法解決平面幾何問(wèn)題的兩種思想①幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕祝ɑ字械南蛄勘M量已知模或夾角），將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)求解．②坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問(wèn)題中的長(zhǎng)度、垂直、平行等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算．題型三：向量在物理中的應(yīng)用【例3】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，小娟、小明兩人共提一桶水勻速前行．已知兩人手臂上的拉力大小相等且均為，兩人手臂間的夾角為，水和水桶的總重力為，請(qǐng)你利用物理學(xué)中力的合成的相關(guān)知識(shí)分析拉力與重力的關(guān)系．【解析】設(shè)兩人的拉力分別為、，作，，作，以、為鄰邊作平行四邊形，則為兩人拉力的合力，水桶在兩人的合力下處于平衡狀態(tài)，則和互為相反向量，因?yàn)椋瑒t四邊形為菱形，連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，且，且，，，所以，，所以，，又因?yàn)?，所以，隨著的增大而增大.【變式3-1】（2024·全國(guó)·高一課堂例題）如圖所示，把一個(gè)物體放在傾角為的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三個(gè)力的作用，即重力，沿著斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的彈力．已知N，求，的大?。?/p>

【解析】以平行于斜坡方向?yàn)閤軸，垂直于斜坡方向?yàn)閥軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，．又由已知可得，且，所以，從而可知50，．【變式3-2】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，用兩根繩子把重10kg的物體W吊在水平桿AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°.求A和B處所受力的大小.(忽略繩子重量，重力加速度)【解析】設(shè)A，B處所受力分別為，，10kg物體的重力用表示，則，，以重力作用點(diǎn)C為，的始點(diǎn)，作平行四邊形CFWE，使CW為對(duì)角線，則=，=，=，∠ECW=180°150°=30°，∠FCW=180°120°=60°，∠FCE=90°，所以四邊形CEWF為矩形；所以||=||cos30°=，||=||cos60°=50.即A處所受的力為N，B處受力為50N.【變式3-3】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，在傾角為、高m的斜面上，質(zhì)量為5kg的物體沿斜面下滑，物體受到的摩擦力是它對(duì)斜面壓力的倍，N/kg．求物體由斜面頂端滑到底端的過(guò)程中，物體所受各力對(duì)物體所做的功，（參考數(shù)據(jù)，）．【解析】物體受三個(gè)力，重力，斜面對(duì)物體的支持力，摩擦力，且重力可分解為沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，則重力與位移之間的夾角，則重力對(duì)物體做的功，支持力與位移方向垂直，做功為，摩擦力與位移方向相反，對(duì)物體做功．【方法技巧與總結(jié)】用向量解決物理問(wèn)題的一般步驟（1）問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，即把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．（2）模型的建立，即建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型．（3）參數(shù)的獲得，即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值．（4）問(wèn)題的答案，即回到問(wèn)題的初始狀態(tài)，解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象．題型四：平面幾何中的平行（共線）問(wèn)題【例4】（2024·陜西寶雞·高一期末）如圖，已知分別是的三條高，試用向量的方法求證：相交于同一點(diǎn)．【解析】設(shè)交于點(diǎn)，以下只需證明點(diǎn)在上，因?yàn)?，，所以?即，，兩式相減，得：即，所以，，又，所以，三點(diǎn)共線，在上．【變式4-1】（2024·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是平行四邊形的中心，分別在邊上，且，求證點(diǎn)在同一直線上.【解析】證明：設(shè)，，由，知分別是的三等分點(diǎn)，所以，.所以.又為和的公共點(diǎn)，所以點(diǎn)在同一直線上.【方法技巧與總結(jié)】利用向量方法可以解決平面幾何中的平行（共線）等問(wèn)題，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量，另一種思路是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及的向量的坐標(biāo)．【變式4-2】（2024·浙江寧波·高一校聯(lián)考期末）如圖，在梯形中，，，，點(diǎn)、是線段上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)．(1)求的值；(2)求的值；(3)直線分別交線段、于，兩點(diǎn)，若、、三點(diǎn)在同一直線上，求的值．【解析】（1）設(shè)，，，即；（2），，；（3）設(shè)，即，，因?yàn)樵谏?，所以，即，，即，即，即，由于，，三點(diǎn)共線，所以，，，設(shè)，則，即，又在上，則，即，，由于，，三點(diǎn)共線，所以，即，所以，.一、單選題1．（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】易知，可得，即，且，所以可得的形狀是直角三角形.故選：B2．（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）馬戲表演中小猴子模仿人做引體向上運(yùn)動(dòng)的節(jié)目深受觀眾們的喜愛(ài)，當(dāng)小猴子兩只胳膊拉著單杠處于平衡狀態(tài)時(shí)，每只胳膊的拉力大小為，此時(shí)兩只胳膊的夾角為，試估算小猴子的體重（單位）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為，）A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.5【答案】C【解析】設(shè)兩只胳膊的拉力分別為，，，，，，解得．小猴子的體重約為．故選：C．3．（2024·福建廈門(mén)·高一廈門(mén)一中?？茧A段練習(xí)）是邊長(zhǎng)為2的正方形邊界或內(nèi)部一點(diǎn)，且，則的最大值是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC方向?yàn)檩S正方向，以BA方向?yàn)檩S正方向建立坐標(biāo)系，則，設(shè)，，，則，因?yàn)椋瑒t，則，故當(dāng)，時(shí)取得最大值為5．另令，則為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則，所以，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)取等．故選：C4．（2024·江西九江·高一?？计谥校┮阎娜齻€(gè)頂點(diǎn)A，B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P在（

）A．的內(nèi)部 B．線段AB上 C．直線BC上 D．的外部【答案】D【解析】由題設(shè)，如下圖示，四邊形是平行四邊形，所以P在的外部.故選：D5．（2024·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期中）在平行四邊形ABCD中，，，，則（

）A． B．3 C．4 D．6【答案】D【解析】因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，由題意得，，所以，設(shè)，則，代入上式中得，，解得.故選：D6．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)市翔宇中學(xué)校考階段練習(xí)）已知平面上的三個(gè)力，，作用于同一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)．若，，，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】依題意，所以，又，，，則，所以.故選：C7．（2024·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，.若為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】以為原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，其中，則，，，當(dāng)時(shí)，有最大值6．故選：C．8．（2024·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？计谀┮阎獮樗谄矫鎯?nèi)一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的（

）A．內(nèi)心 B．垂心 C．重心 D．邊的中點(diǎn)【答案】C【解析】由動(dòng)點(diǎn)滿足，且，所以三點(diǎn)共線，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的邊的中線，所以點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的重心.故選：C.二、多選題9．（2024·安徽宣城·高一統(tǒng)考期末）下列命題正確的是（

）A．若向量、滿足，則或B．若向量，的夾角為鈍角，則C．已知，，則向量在向量方向上的投影向量的長(zhǎng)度為4D．設(shè)，是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，若，，則，可作為該平面的一個(gè)基底【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)非零向量滿足時(shí)，，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)向量，的夾角為鈍角時(shí)，，故，故B正確；C選項(xiàng)，向量在向量方向上的投影向量的長(zhǎng)度為，C正確；D選項(xiàng)，，是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，設(shè)，則，故，無(wú)解，所以，不共線，故，可作為該平面的一個(gè)基底，D正確.故選：BCD10．（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的標(biāo)志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，的三個(gè)內(nèi)角分別為，，，，，的面積分別為，，，若，則以下命題正確的有（

）

A．B．有可能是的重心C．若為的外心，則D．若為的內(nèi)心，則為直角三角形【答案】AD【解析】對(duì)于A，由奔馳定理可得，，因?yàn)?，，不共線，所以，故A正確；對(duì)于B，若是的重心，，因?yàn)?，所以，即共線，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C，當(dāng)為的外心時(shí)，，所以，即，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，當(dāng)為的內(nèi)心時(shí)，（為內(nèi)切圓半徑），所以，所以，故D正確.故選：AD.11．（2024·廣東江門(mén)·高一統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．中，D為BC的中點(diǎn)，則B．向量，可以作為平面向量的一組基底C．若非零向量與滿足，則為等腰三角形D．已知點(diǎn)，，點(diǎn)P是線段AB的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可以為【答案】AC【解析】對(duì)于A，在中，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，因?yàn)橄蛄浚?，所以，可知與共線，不能作為平面向量的一組基底，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)楹头謩e表示與向量和同向的單位向量，所以以和為鄰邊的平行四邊形是菱形，根據(jù)平行四邊形法則可知在的平分線上，又因?yàn)?，所以的平分線垂直于，所以，即為等腰三角形，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，若點(diǎn)P是線段AB的三等分點(diǎn)，則或，因?yàn)?，，所以，所以或，即點(diǎn)P的坐標(biāo)可以為或，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.12．（2024·高一單元測(cè)試）如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形的頂點(diǎn)分別在軸、軸正半軸上（含原點(diǎn)）上滑動(dòng)，則的值可能是（

）A．1 B．C．2 D．【答案】AC【解析】如圖令，由于故，，如圖，，故，，故，同理可求得，即，，，，故選：AC三、填空題13．（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質(zhì)量為1kg，每根繩子的拉力大小相同，則降落傘在勻速下落的過(guò)程中每根繩子拉力的大小為.（注：重力加速度取，精確到0.01N）

【答案】N【解析】如圖，設(shè)水平面的單位法向量為，其中每一根繩子的拉力均為，因?yàn)?，所以在上的投影向量為，所?根繩子拉力的合力為，又因?yàn)榻德鋫銊蛩傧侣?，所以，必有，所以，，所以故答案為：N14．（2024·高一單元測(cè)試）長(zhǎng)江流域內(nèi)某段南北兩岸平行，如圖，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設(shè)和所成的角為，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則.

【答案】/【解析】由題意知，則，因?yàn)?，，即，所?故答案為：15．（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知中，，且，若，且，則實(shí)數(shù)λ的值為.【答案】/【解析】因?yàn)?，且，所以有，即，因?yàn)椋?，所以，解?故答案為：16．（2024·廣東湛江·高一湛江市第二中學(xué)?？计谥校┰谥校?，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為.【答案】【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，，設(shè)直線BC方程為，則，解得，所以BC方程為，設(shè)，所以，得.故答案為：.四、解答題17．（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，在細(xì)繩l上作用著一個(gè)大小為200N的力，與水平方向的夾角為45°，細(xì)繩上掛著一個(gè)重物，使細(xì)繩的另一端與水