線性代數(shù)與概率論（第五版） 課件 3.1 線性方程組的一般解法

第三章線性方程組第一節(jié)線性方程組的一般解法第三節(jié)齊次線性方程組第二節(jié)線性方程組解的判別第四節(jié)投入產(chǎn)出問題12本章知識思維導(dǎo)圖引導(dǎo)案例---投入產(chǎn)出模型3假設(shè)一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)由煤炭、電力和鋼鐵三個(gè)部門組成，每個(gè)部門的年度總產(chǎn)出已知，并且每個(gè)部門的總產(chǎn)出在各部門之間分配已知如下表3-1：

因所有產(chǎn)出都必須分配，求出平衡價(jià)格使得每個(gè)部門的收支平衡。分析：為使每個(gè)部門的收支都平衡，就是各部門的總收入等于它的總支出，就是本章要學(xué)習(xí)的齊次線性方程組的求解問題。

第一節(jié)線性方程組的一般解法4本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識目標(biāo)] 了解線性方程組的同解變換。 熟練掌握線性方程組的初等行變換解法。[能力目標(biāo)] 能用矩陣的初等行變換確定線性方程組解的結(jié)構(gòu)及求出方程組的解。5考慮由m個(gè)線性方程式構(gòu)成的n元線性方程組

由未知量系數(shù)構(gòu)成的m行n列矩陣稱為系數(shù)矩陣,記作A,即矩陣

6由未知量構(gòu)成的矩陣稱為未知量矩陣,記作X由常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的矩陣稱為常數(shù)項(xiàng)矩陣,記作B

7這時(shí)此線性方程組可以表示為矩陣形式AX=B顯然,線性方程組解的情況取決于未知量系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)增廣矩陣8定義3.1已知由m個(gè)線性方程式構(gòu)成的n元線性方程組AX=B,由未知量系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的m行n+1列矩陣稱為增廣矩陣,記作

解線性方程組最常用的方法是消元法,即對線性方程組作同解變換.線性方程組的同解變換9定義3.2對線性方程組施以下列三種變換:(1)交換線性方程組的任意兩個(gè)線性方程式(2)線性方程組的任意一個(gè)線性方程式乘以非零常數(shù)k(3)線性方程組任意一個(gè)線性方程式的常數(shù)k倍加到另外一個(gè)線性方程式上去稱為線性方程組的同解變換.例110解線性方程組

解:首先交換第1個(gè)線性方程式與第2個(gè)線性方程式,得到

例111再將第1個(gè)線性方程式的-3倍加到第2個(gè)線性方程式上去,得到

至此第2個(gè)線性方程式不含未知量x1,只含未知量x2,可以解出未知量x2的值,由于系數(shù)行列式

例112

最后將第2個(gè)線性方程式的-2倍加到第1個(gè)線性方程式上去,得到

即為此線性方程組的唯一解例113對線性方程組作同解變換,只是使得未知量系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)改變,而未知量記號不會改變因此在求解過程中,不必寫出未知量記號,而只需寫出由未知量系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的增廣矩陣,它代表線性方程組這時(shí)上面的求解過程可以表示為矩陣形式:

例114交換第1行與第2行

第1行的-3倍加到第2行上去

至此化為階梯形矩陣,根據(jù)§1.4克萊姆法則,此線性方程組有唯一解例115

第2行的-2倍加到第1行上去

例116

所以此線性方程組的唯一解為

線性方程組的同解變換17交換線性方程組的任意兩個(gè)線性方程式意味著交換增廣矩陣的相應(yīng)兩行;線性方程組的任意一個(gè)線性方程式乘以非零常數(shù)k增廣矩陣的相應(yīng)一行乘以非零常數(shù)k意味著線性方程組的同解變換18線性方程組任意一個(gè)線性方程式的常數(shù)k倍加到另外一個(gè)線性方程式上去增廣矩陣相應(yīng)一行的常數(shù)k倍加到另外相應(yīng)一行上去意味著結(jié)論：對線性方程組作同解變換,相當(dāng)于對增廣矩陣作初等行變換.線性方程組的一般解法19上面的求解過程可以推廣到一般情況,得到線性方程組AX=B的一般解法:

線性方程組的一般解法20如何將階梯形矩陣經(jīng)若干次初等行變換化為簡化階梯形矩陣？這時(shí)應(yīng)該從右到左依次將非零行首非零元素所在列其余元素全化為零,只需將此非零行的適當(dāng)若干倍分別加到其他各行上去線性方程組的一般解法21在上述步驟中,可根據(jù)需要,穿插將非零行首非零元素適時(shí)化為1,只需非零行乘以其首非零元素的倒數(shù),或者另外一行的適當(dāng)若干倍加到此行上去值得注意的是:由于此題所給線性方程組有唯一解,從而也可以應(yīng)用行列式求解,如§1.4例1當(dāng)然,還可以應(yīng)用逆矩陣求解,如§2.4例7,都得到同樣的結(jié)果.例222

解：

第1行的-3倍加到第2行上去,第1行加到第3行上去

例223第2行的-1倍加到第3行上去

注意到所得階梯形矩陣第3行是零行,它代表第3個(gè)線性方程式

例224這是恒等關(guān)系式,對線性方程組的求解不起作用,是多余線性方程式這意味著構(gòu)成此線性方程組的3個(gè)線性方程式不是完全有效的,其中1個(gè)線性方程式(如第3個(gè)線性方程式)可以去掉,而其余2個(gè)線性方程式(如第1個(gè)線性方程式與第2個(gè)線性方程式)是有效線性方程式它們不能完全約束3個(gè)未知量的取值,只能完全約束其中2個(gè)未知量的取值,而另外1個(gè)未知量可以自由取值例225自由取值的未知量稱為自由未知量,非自由取值的未知量稱為非自由未知量選擇非自由未知量所依據(jù)的原則是:其系數(shù)行列式不為零.當(dāng)然,這種選擇不唯一,習(xí)慣于將腳標(biāo)較大的未知量選作自由未知量,而將腳標(biāo)較小的未知量選作非自由未知量例226所得階梯形矩陣第1行與第2行代表2個(gè)有效線性方程式構(gòu)成的線性方程組

將含未知量x3的項(xiàng)都移到等號的右端,有

例227對于未知量x1,x2,其系數(shù)行列式

任給未知量x3的一個(gè)值,根據(jù)§1.4克萊姆法則,得到未知量x1,x2的唯一解,它們構(gòu)成此線性方程組的一組解,這說明此線性方程組有無窮多解例228對所得階梯形矩陣?yán)^續(xù)作初等行變換,化為簡化階梯形矩陣,有

第2行乘以-1

例229第2行的2倍加到第1行上去

所得簡化階梯形矩陣第1行與第2行代表線性方程組

例230選擇未知量x3為自由未知量,未知量x1,x2為非自由未知量,非自由未知量x1,x2用自由未知量x3表示,其表達(dá)式為

例231自由未知量x3取任意常數(shù)c,所以此線性方程組無窮多解的一般表達(dá)式為

當(dāng)然,解線性方程組的具體過程不是唯一的例332解線性方程組

例333第1行的-2倍加到第2行上去,第1行的-1倍加到第3行上去

第2行加到第3行上去

例334對于全體未知量x1,x2,x3,其系數(shù)行列式D=0,根據(jù)§1.4克萊姆法則,此線性方程組無