線性代數(shù)與概率論（第五版） 課件 3.3 齊次線性方程組

第三節(jié)齊次線性方程組1本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識(shí)目標(biāo)] 了解齊次線性方程組的矩陣形式。 熟練掌握齊次線性方程組的解的判別及求解計(jì)算。[能力目標(biāo)] 能用初等行變換法熟練求出齊次線性方程組的解。2考慮由m個(gè)齊次線性方程式構(gòu)成的n元齊次線性方程組

它可以表示為矩陣形式AX=O3其中矩陣A為系數(shù)矩陣,矩陣X為未知量矩陣,零矩陣O為常數(shù)項(xiàng)矩陣,即矩陣

4當(dāng)然,增廣矩陣

5齊次線性方程組恒有解,即至少有零解:如果秩r(A)<n,則有無(wú)窮多解,意味著除有零解外,還有非零解如果秩r(A)=n,則有唯一解,意味著僅有零解,說(shuō)明無(wú)非零解顯然,如果有非零解,則秩r(A)<n6定理3.2已知由m個(gè)齊次線性方程式構(gòu)成的n元齊次線性方程組AX=O,那么:(1)如果秩r(A)<n,則此齊次線性方程組有非零解;(2)如果此齊次線性方程組有非零解,則秩r(A)<n.推論：當(dāng)齊次線性方程式的個(gè)數(shù)少于未知量的個(gè)數(shù)即m<n時(shí),齊次線性方程組有非零解.7考慮由n個(gè)齊次線性方程式構(gòu)成的n元齊次線性方程組AX=O其中系數(shù)矩陣A顯然是n階方陣如果系數(shù)行列式等于零,則系數(shù)矩陣A經(jīng)初等行變換化為階梯形矩陣后,其行列式的值仍然等于零這意味著有零行,從而系數(shù)矩陣A的秩r(A)<n所以此齊次線性方程組有非零解8如何解齊次線性方程組?對(duì)增廣矩陣作若干次初等行變換,化為階梯形矩陣判別有無(wú)非零解若有非零解對(duì)增廣矩陣?yán)^續(xù)作若干次初等行變換,化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣還原為線性方程組后,從而得到齊次線性方程組的解.例19

(1)判別有無(wú)非零解;(2)若有非零解,則求解的一般表達(dá)式.例110解:

交換第1行與第3行

例111第1行與第2行皆加到第3行上去第1行的-1倍加到第2行上去

容易看出,系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2,而未知量的個(gè)數(shù)n=3,有秩r(A)=2<n=3所以此齊次線性方程組有非零解.例112(2)對(duì)所得階梯形矩陣?yán)^續(xù)作初等行變換,化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣,有

例113第2行的-1倍加到第1行上去

得到線性方程組

例114選擇未知量z為自由未知量,未知量x,y為非自由未知量,非自由未知量x,y用自由未知量z表示,其表達(dá)式為

自由未知量z取任意常數(shù)c,所以此齊次線性方程組無(wú)窮多解的一般表達(dá)式為

例215

(1)判別有無(wú)非零解;(2)若有非零解,則求解的一般表達(dá)式.例216解:(1)由于齊次線性方程式的個(gè)數(shù)m少于未知量的個(gè)數(shù)n,即m=3<n=4所以此齊次線性方程組有非零解.例217

第1行的-3倍加到第2行上去第1行加到第3行上去

例218第2行的2倍加到第3行上去

第2行乘以