線性代數(shù)試題及答案綜合測試題

綜合測試題

線性代數(shù)(經(jīng)管類)綜合試題一

(課程代碼4184)

一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將

其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。

-2a”3%-

1.設(shè)2>=峪0,則D\——2%

—2%

().

A.-2A/B.2MC.-6MD.6M

2.設(shè)力、B、C為同階方陣，若由45=力。必能推出B=C,則力

應(yīng)滿足().

A.A^OB.A=OC.|^|=0D.|/|四

3.設(shè)4,3均為〃階方陣，則().

\.\A+AB\=Q,則同=0或區(qū)+用=0B.(A+B^A2+2AB+B2

C.當(dāng)45=0時，有力=?；?=0

/ab、

4.二階矩陣力=,，|/|=1，則/=().

I。d)

(db\(d-b\(a-b\(ab、

A.B.C.D.

QJI—caJI—cdJ(cd,

5.設(shè)兩個向量組四,…,4與4…，夕，則下列說法正確的是

).

A.若兩向量組等價，則$=/.

B.若兩向量組等價,則r（%,a2,…,as）=r（Pi，々，…，仇）

C.若s=/,則兩向量組等價.

D.若…,4尸尸（尸1，&…血），則兩向量組等價.

6.向量組四"2,…,4線性相關(guān)的充分必要條件是（）.

A.…,巴中至少有一個零向量

B.%,。2,…,4中至少有兩個向量對應(yīng)分量成比例

C.%,a2,…,4中至少有一個向量可由其余向量線性表示

D.a,可由z線性表示

7.設(shè)向量組有兩個極大無關(guān)組aiVai2,...,air與

a科捋則下列成立的是（）.

A.r與s未必相等B.r+s=m

C.r-sD.r+s>m

8.對方程組4r=〃與其導(dǎo)出組4r=。，下列命題正確的是（）.

A.Ax=o有解時,Ax=b必有解.

B.4r=。有無窮多解時，4r=〃有無窮多解.

C.4r=/>無解時一，4r=。也無解.

口.4*=〃有惟一解時一，4x=o只有零解.

2否+x2-x3=0

9.設(shè)方程組<々+3=0有非零解，則左=（）?

再+=0

A.2B.3C.-1D.1

10.?階對稱矩陣力正定的充分必要條件是（）.

A.|4|>0B.存在n階方陣C使A=CTC

C.負(fù)慣性指標(biāo)為零D.各階順序主子式均為正數(shù)

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請在每

小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

11.四階行列式。中第3列元素依次為-1,2,0,1,它們的余子

式的值依次為5,3,-7,4,則0=.

12.若方陣/滿足/2=力，且則⑷=.

13.若力為3階方陣，且|力|=；,則|2%|=.

[I0-12、

14.設(shè)矩陣/=2-1-26的秩為2,貝h=.

、31/4,

15.設(shè)向量。=(6,8,0),尸=(4,-3,5),貝尸.

16.設(shè)〃元齊次線性方程組=r(N)=r<〃，則基礎(chǔ)解系含有

解向量的個數(shù)為個.

17.設(shè)%=(1,1,0),a2=(0,1,1),。3=(0，0,1)是爐的基，

則夕=(1,2,3)在此基下的坐標(biāo)為.

18.設(shè)A為三階方陣，其特征值為1,-1,2,則A2的特征值

為.

19.二次型/(七,%2，%3)=2%；+3%；-X；-4項%2+2%2%3的矩陣

A-.

"123、

20.若矩陣/與8=024相似，則力的特征值為.

、003,

三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

1+X111

11-X11

21.求行列式的值.

11\+y1

1111r

1

22.解矩陣方程：-211X=3

J16,

1

23.求向量組名=(1,1,2,3),%=(—1,—1,1,1),%=(1，3,3,5),

%=(4,—2,5,6)的秩和一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大

無關(guān)組線性表示.

2再-x2+x3+x4=1

24。取何值時,方程組<為+2/-芻+4匕=2有解？并求其通解

%1+7%—4七+11%=。

（要求用它的一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）.

，200'

25.已知力=12-1,求力的特征值及特征向量，并判斷力

、101>

能否對角化，若能，求可逆矩陣P,使P"4P=4（對角形矩陣）.

26用配方法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形:

/(%[,%2，%3)=X；+2%；-+4%1%2-4%]%3-4工2%3

四、證明題(本大題共6分)

27.設(shè)向量?=(l,-l,l),a2=(l,l,l),a3=(0,0,1),證明向量組

a,%，是"空間中的一個基.

線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題二

（課程代碼4184）

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將

其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。

210

1.若三階行列式131=0,則仁（）.

k21

A.1B.0C.-1D.-2

2.設(shè)46為”階方陣，則（45）2=4252成立的充要條件是（）.

A.4可逆B.5可逆C.0|=|用D.AB=BA

3.設(shè)力是〃階可逆矩陣,/*是A的伴隨矩陣，則（）.

A?⑷=|/尸B.⑷=|）|

C.|^|=14D.⑷=川

"111、

4.矩陣121的秩為2,則2=（）.

、234+1,

A.2B.1C.0D.-1

5.設(shè)3x4矩陣A的秩〃（4）=1,a邛,丫是齊次線性方程組Ax=o的

三個線性無關(guān)的解向量，則方程組的基礎(chǔ)解系為（）.

A.a,/3,a+BB.仇丫方一。

C.a-p,ft-y,y-aD.a,a+J3,a++y

6.向量a=(l,2,3),%=(2,2,2),%=(3,0,外線性相關(guān)，則().

A.k=-4B.左=4C.k=-3D.k=3

7.設(shè)〃i,"2是非齊次線性方程組力卡〃的兩個解，若是其

導(dǎo)出組4x=。的解，則有（）.

A.c\+c2=1B.Ci=CiC.C\+<?2=0D.C\=2c2

8.設(shè)/為〃倫2）階方陣，且/=￡,則必有（）.

A.A的行列式等于1B.A的秩等于n

C.A的逆矩陣等于ED.A的特征值均為1

9.設(shè)三階矩陣力的特征值為2,1,1,則A」的特征值為（）.

A.1,2B.2,1,1C.1D.1,1

22

10二次型/區(qū)/2/3）=才+2考+3只是（）.

A.正定的B.半正定的C.負(fù)定的D.不定的

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每

小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

111

11.314=.

895

12.設(shè)力為三階方陣,且|/|=4,則24|=

10>勺10、

13.設(shè)力=002,8=022,貝1」力的=

1002J(003)

(21、

14.設(shè)N=，則4=__________

1-5-2)

15.向量夕=（一1,2,5）表示為向量組與=（1,0,0）逐2=?1,0）,

邑=（0,o,1）的線性組合式為.

3X1+x2-x3=0

16.如果方程組＜3玉+5%2—2%3=0有非零解，貝11左=.

4X2+區(qū)3=0

17.設(shè)向量。=（1,0,—2）與力=（凡1,1）正交，則。=.

]__3"

1

2~2

2

18.已知實對稱矩陣4=20，寫出矩陣力對應(yīng)的二次型

2

_3

0-3

-2

(\00、

19.已知矩陣力與對角矩陣，=0-10相似，則1=.

00-1,

20.設(shè)實二次型/3,%,%3，匕）的矩陣力是滿秩矩陣，且二次型的正

慣性指數(shù)為3,則其規(guī)范形為.

三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

xyyy

21.計算行列式。='''，的值.

V歹X歹

yyy%

"1-10、qi、

22.設(shè)矩陣力=-121,B=02,求矩陣4為

、223)、21;

-23公

23.設(shè)矩陣力=-12k-3,求左的值，使力的秩?力）分別等于

k-237

1,2,3.

°、rprq

1234

24.求向量組四=,%=，%=,a=的秩和一個

137410

AJ3,<20;

極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示.

再+2X2-2X3+3X4=0

25.求線性方程組.2國+3%-2%=0的基礎(chǔ)解系，并用基礎(chǔ)解

再+3X2-5當(dāng)+7￡=0

系表示其通解.

口11、

26.已知矩陣N=111,求正交矩陣P和對角矩陣A,使

JI1,

PAP=A.

四、證明題（本大題共6分）

27.設(shè)向量組4線性無關(guān)，證明：向量組

ax,ax+a2,%+%+%，…，四+%+…+/也線性無關(guān).

線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題三

（課程代碼4184）

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將

其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。

1.當(dāng)（）成立時，”（“〉2）階行列式的值為零.

A.行列式主對角線上的元素全為零

B.行列式中有*D個元素等于零

C.行列式至少有一個（"-1）階子式為零

D.行列式所有（〃-1）階子式全為零

2.已知民。均為”階矩陣，E為單位矩陣，且滿足則

下列結(jié)論必然成立的是).

\.ACB=EB.BCA=EC.CBA=ED.BAC=E

3.設(shè)Z,6均為〃階可逆矩陣，則下列等式成立的是（）.

A.（AB\X^ABB.'

D.|(45門=」一

C.（AB）T^ATBT

\AB\

4.下列矩陣不是初等矩陣的是().

5.設(shè)碑,6是4維向量組，則4,。2,???，/）).

A.線性無關(guān)

B.至少有兩個向量成比例

C.只有一個向量能由其余向量線性表示

D.至少有兩個向量可由其余向量線性表示

6.設(shè)力為行“矩陣，且相則齊次線性方程組=o必().

A.無解B.只有唯一零解C.有非零解D.不能確定

7.已知4元線性方程組的系數(shù)矩陣力的秩為3,又

a,=(1,2,3,4/,4=(2,3,4,51是小尸。的兩個解，則力的通解是().

A.(1,2,3,4)「+上(2,3,4,5)7B.(2,3,4,5)，+左(1,2,3,41

C.(1,1,1,1)，+儀1,2,3,4yD.(1,2,3,41+?1,1,1,1)，

8.如果矩陣/與B滿足(),則矩陣N與人相似.

A.有相同的行列式

B.有相同的特征多項式

C.有相同的秩

D.有相同的特征值,且這些特征值各不相同

9.設(shè)力是〃階實對稱矩陣，則/是正定矩陣的充要條件是().

A.\A\>0B.A的每一個元素都大于零

C.r(A)=nD.A的正慣性指數(shù)為"

10.設(shè)工，3為同階方陣，且廠(力)=?3),貝I」().

A.4與3相似B.Z與B合同

C.4與3等價D.|/|=|四

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請在每

小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

1234

,/一--1034

11/丁歹[|式=___________-

—1—204

—1—2—30

12.設(shè)/為三階矩陣，周=2將矩陣/按列分塊為力=(4,4,4),

其中40=1,2,3)是/的第/列，8=(4-24,34,4),則|6|=.

(10、(\-1A

13.已知矩陣方程/X=5,其中4=,B=八，則X=_____.

□1JU0j

14.已知向量組8=(左，1,1),。2=(1,左，1),的=(1,1")的秩為

2,貝|左=.

15.向量a=(1,2,-1,3)的長度||同=.

16.向量￡=(2-1,3)在基區(qū)=(LU),%=(I/，。)，％=(1，0,0)下的坐

標(biāo)為.

17.設(shè)a是4元齊次線性方程組-=。的基礎(chǔ)解系，則矩陣力

的秩r(A)=.

rl01、

18.設(shè)；1=0是三階矩陣力=020的特征值，則。=.

、10a,

19.若/區(qū),12，尤3)=X\+2%；++2]112+4%1%3+6%2%3是正定二次

型，則幾滿足.

20.設(shè)三階矩陣力的特征值為1,2,3,矩陣8=才+24則⑻=.

三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

"300"

21.設(shè)三階矩陣/=110,E為三階單位矩陣.

「123,

求：⑴矩陣Z-2E及以-2E|；(2)(4—2E)T.

22.已知向量組4=(1,2,2),%=(2,4,4),%=(L。,3),?4=(0,4,-2)

求：(1)向量組的秩；

(2)向量組的一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性

無關(guān)組線性表示.

X]+2/—2、3+2、4=2

為何值時，線性方程組"-當(dāng)一有解?

23.討論

X]++314-Q

X]-%2+“3+514=-1

當(dāng)方程組有解時，求出方程組的通解.

24.已知向量組％=(1,1,2),a2=(-2,a,4),%=(-1,1,a),討論該向量

組的線性相關(guān)性.

"-110、

25.已知矩陣/=-430

<102,

(1)求矩陣力的特征值與特征向量；

(2)判斷/可否與對角矩陣相似，若可以，求一可逆矩陣P及相應(yīng)

的對角形矩陣4

26.設(shè)二次型f(xl,x2,x3)=X：+4XJX2-4X]X3+2xf-4x2x3-x1

(1)將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；

⑵求二次型的秩和正慣性指數(shù).

四、證明題（本大題共6分）

27.已知力是”階方陣，且（4+E>=O,證明矩陣力可逆，并

求—

線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題四

（課程代碼4184）

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將

其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。

125

1.三階行列式13-2=0,貝I」a=).

25a

A.2B.3C.-2D.-3

2.設(shè)6均為n階非零方陣,下列選項正確的是).

A.=A2B2B.(NS)1=6/

C.若4B=O,則力=O或3=0D."=/||引

1nor

3.設(shè)A—,B=,ABBA=).

0IT2,

2、r-i-2\—12、-12、

A.B.C.D.

、0L、o170-I0b

(1—12、

4.設(shè)矩陣/=-22t的秩為2,則).

、3-36>

A./W-4B7=-4C-是任意實數(shù)D.以上都不對

5.設(shè)向量a=(—1,0,1,2),5=(1,0,1,0),則2a+3〃=).

A.(l,0,5,4)B.(l,0,-5,4)C.(-l,0,5,4)D.(l,0,5,-6)

6.向量組四=(1,-1,1),%=(2,k,0),a3=(1,2,0)線性相關(guān)，則().

A.k=~4B.k=4C.k=3D.左=2

7.設(shè)"I,"2是非齊次線性方程組/X=b的兩個解，若。1"1+°2"2也

是方程組4r=〃的解，則（）.

A.C]+C2=1B.C]=C2C.C\+<?2=0D.CI=2Q

8.設(shè)機(jī)x”矩陣力的秩r⑷=〃-3（">3）,a,夕,了是齊次線性方程組

4r=。的三個線性無關(guān)的解向量，則方程組4r=。的基礎(chǔ)解系為（）.

A.a,p,a+pB.ft,y,p+y

C.a,a+p,a+P+yD.a-p,p-y,y-a

9.設(shè)三階矩陣力的特征值為1,1,2,則2N+E的特征值為（）.

A.3,5B.1,2C.l,1,2D.3,3,5

10/階對稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是（）.

A.|/|>0B.存在n階矩陣P,使得A=PrP

C.負(fù)慣性指數(shù)為0D.各階順序主子式均為正數(shù)

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每

小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

a1b

11.102=.

020

12.設(shè)A為三階方陣，且⑷=2,/是其伴隨矩陣，則|2/|

勺00]

13.設(shè)矩陣力=020,則（！/尸=_______.

、003）

14.設(shè)a=（1,0,2）,夕=（2,1,0）,則內(nèi)積（a,/）=.

15.若向量％不能由%,%線性表示，且"3，%)=2,則

?四,4,%)=___________?

$+2X2+=3

16.設(shè)線性方程組《2再+5/+2/+45=4有解，貝"/=.

/+3X2+2.+x4-t

17.方程組玉+2々+313+4匕=0的基礎(chǔ)解系含有解向量的個數(shù)

是.

18.設(shè)二階矩陣力與8相似,N的特征值為-1,2,則網(wǎng)=.

口02、

19.設(shè)二次型的矩陣/=021，則二次型

、211,

f(xl,x2,x3)=.

20.用正交變換將二次型/區(qū),々/3)=xrAx化為標(biāo)準(zhǔn)形為

必2+5貨-只，則矩陣A的最小特征值為.

三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

Xy0...00

0Xy…00

00X...00

21.計算”階行列式。=

000...Xy

y00...0X

’110、qi

22.解矩陣方程：121x=20

、02bni

23.驗證名=(1,1,-1),%=(0,2,1),%=(11，1)是陋的一個基,并求

向量￡=(-1,3-2)在此基下的坐標(biāo).

24.設(shè)向量組名以2。3線性無關(guān)，令

--?1+0^凡-2a2-2a3，&=2四-5%+3a3,

試確定向量組外尾，以的線性相關(guān)性.

X]+—3%3-%4=0

25.求線性方程組《3X1+/+3七+5匕=。的基礎(chǔ)解系，并表示其

$+5X2-27JC3-17%4-0

通解.

’200、

26.求矩陣/=111的特征值和全部特征向量.

、1-1

四、證明題（本大題共6分）

27.設(shè)名,4,%是三維向量組，證明：線性無關(guān)的充分必要

條件是任一三維向量都可由它線性表示.

線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題五

（課程代碼4184）

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將

其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。

k11

1.行列式1k-1=0,則k-().

2—11

A.1B.4C.T或4D.-1

2.設(shè)a&c均為〃階非零方陣，下列選項正確的是（）.

A.若43=NC,則B=CB.CA-Q^A^AC+C2

C.ABC=BCAD.\ABC\=\A\\B\|C|

3.設(shè)aB均為n階方陣，則等式（力+為（4-5）=42-52成立的充分

必要條件是).

A.A=EB.B=OC.A=BD.AB=BA

’010、,010、

A.100B.001

0bJ。0,

<100、,100、

C.020D.012

<00b、00b

5.設(shè)向量a=(—1,1,2,3),/3=(1,0,1,0),則3a+2/=

（）.

A.（-1,3,8,9）B.（1,3,8,9）C.（-1,0,8,6）D.（-1,3,9,8）

6.下列結(jié)論正確的是（）.

A.若存在一b組數(shù)k\,左2,…，除,使得左％+攵2a2+…+=。成

立，則向量組名,線性相關(guān).

B.當(dāng)心=①??.=鼠=0時，kxax+k2a2+...+kmam=o,則向量組

線性無關(guān).

C.若向量4,見。3線性相關(guān)，則區(qū),。2，。3"4線性相關(guān).

D.若向量區(qū),％"3線性無關(guān)，則/,%，%，區(qū)線性無關(guān).

7.設(shè)3,"2是非齊次線性方程組ZX=h的兩個解，若Ci"i+Q"2

是其導(dǎo)出組力x=。的解，則（）.

A.c\+C2=0B.6=C2C.Ci=2c2D.C\+c2=1

8.線性方程組4r=0只有零解的充分必要條件是（）.

A.A的行向量組線性無關(guān)B.A的行向量組線性相關(guān)

C.A的列向量組線性無關(guān)D.A的列向量組線性相關(guān)

<2一3、

9.設(shè)/=,則/的特征值為（）.

A.4=4=2B.4=4=-2

c/=4=4D.4=4=—4

10.設(shè)二次型/區(qū)E2E3,%）的矩陣力是滿秩矩陣，且二次型的正

慣性指數(shù)為3,則二次型的規(guī)范形為（）.

A.yf+yl+yj-ylB.-。+￡+貨+近

C.y；+4+貨D-必~+%+>3+>4

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請在每

小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

-122

11.行列式333=.

544

12.設(shè)力為三階方陣，周=2,則|241=.

(\2、<2n

14.設(shè)/=,B=,則(/4)=_________.

1JVL

15.向量a=(2,1,3)的單位化向量為.

16.設(shè)向量組a”%，的兩個極大無關(guān)組分別是%，%2,…,％和

%1，%2,%，r和，的關(guān)系是.

17.設(shè)向量組0的秩為2,貝1"=

2

18.設(shè)向量a=(l,—2,2,0)與夕=(左,1,0,—2)正交，貝1」左=.

22

19.已知二次型f(x)=X]+6x2+4X3-4xtx2+4再%3-8%2%3，寫出

二次型/的矩陣/=.

20.設(shè)三階實對稱矩陣的特征值為3,3,0,則/的秩”/尸.

三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

10fl1

0-1/)-]

21.計算行列式。=,1,

-1-1c-1

-11670

勺-30、

22.已知矩陣力=210,且Z+￥=X4,求X.

、002)

r12-11、

23.設(shè)/=32a-1已知r(A)=2,求a,6的值.

、563b,

x}-x2=ax

24.已知線性方程組卜2-、3=。2,（1）問常數(shù)。1，。2,。3滿足什么

'3-X]=Q3

條件時，方程組有解？（2）當(dāng)方程組有無窮多解時，求出其通解（用它

的一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）.

or

25.設(shè)實對稱矩陣力=011,求正交矩陣Q,使得。，。位.

12,

其中，力是對角矩陣.

26.設(shè)二次型/區(qū),12，%3）=xi+2x；+5x；+2方1%2+2々%3是正定二

次型，求。的取值范圍.

四、證明題（本大題共6分）

27.設(shè)向量組區(qū),4,…,%，線性無關(guān)，夕］可由a1"2,線性表示，而

夕2不能由囚,火,線性表示.證明：向量組即％…"+夕2線性無

美.

綜合測試答案

綜合試題一參考答案

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

題號

12345678910

答案

BDABBCCDDD

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

11.-15；12.0；13.4；14./=-3；15.0；16.n-r；

"2-20、

17.(1,1,2)；18.1,1,4；19.-231；20.1,2,3.

、01-1?

三、計算題（本大題共6小題，每小題9分,共54分）

1+x111\+x111

11-x11-x-x00

21.解:

11i+y111\+y1

111i-y00-y-y

l+x100x000

11001100

=xy=xy

00l+y100歹0

00110011

[11-n「2、

22.解:令/=-21i,B=3

1e

1-1100、(\1-1100、

因為(/￡)=-211010-03-1210

,111001J1002-101,

in1

10000

一333

11]_]_

f010,所以/"=-

236236

]_1

0

<-22J

0

33(2、(\、

由力的小得：X=AB=-

2

23.解：將已知向量按列構(gòu)成矩陣，并對其進(jìn)行行變換:

p--114、--114、

1--13-2002-6

Qaaa)=

2342135031-3

、3156J、042-6;

,1-114、,1-114、,1007、

002—6011-30100

fTf

011-3001-3001-3

、00-26,、0000,、00007

所以，?。1，%，%"4)=3,極大無關(guān)組為%,。2，。3；。4=7。］一3a3.

24.解：對方程組的增廣矩陣施以初等行變換：

"2—111r2—142

A=12—142T0—53-7-3

7-411a,,05-3767—2

'12-142、

-0—53-7-3

,0000。一5,

若方程組有解，則廠(力)=廠(%)，故4=5.

當(dāng)。=5時，繼續(xù)施以初等行變換得:

]_64>

10

555

373

Nfo1原方程組的同解方程組為:

555

oo000

416

--^4

,七戶4為自由未知量，令％3=羽=0,得原方程組

5

3

的一個特解：-

0

與導(dǎo)出組同解的方程組為:,x3,x4為自由未知

(X、小「0、

量，令3

分別取5,得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系:

1J

所以，方程組的全部解為:

VG,C2為任意常數(shù).

25.

九一200

\^E-A[=-1A-21=(/l-2)2(2-l),

—10/I—1

所以，力的特征值為：4=22=2,4=1.

對于4=4=2,求齊次線性方程組(2E-A)x=o的基礎(chǔ)解系,

"000、,10-Pg

2E-A=-101T000,得基礎(chǔ)解系：10從

10"、000;e

而矩陣A的對應(yīng)于特征值4=%=2的全部特征向量為:

?

1+c20GC不全為零.

對于；13=1,求齊次線性方程組(E-A)x=o的基礎(chǔ)解系,

r-100、r1o0、

E-A=-1—11-01—1,得基礎(chǔ)解系:iL從而矩

oj100

、T00,

「0、

陣力的對應(yīng)于特征值4=1的全部特征向量為：c1(CW0).

’1、0

因為三階矩陣力有三個線性無關(guān)的特征向量1,09

010、200、

所以，力相似于對角矩陣，且尸101,A=020

01b00b

2

26.解：/(xpx2,x3)=X1+2xy-xj+4%/-4X1X3-4x2x3

=[%；+4%](x,_X3)+4(x?—W)一]_4(^2_￡)2+2x；_x；_4%2%3

=($+2%2—2%3)2—2x；+4%2%3—5x；

=(X]+2x,—2/>—2(xj—2X,X3+Xj)—3x；

=(X]+2x,-2%3y—2(%—%3y-3x；.

M=%-2%

必=Xi+2X7-2X3

令1%=X,-退，即<%=%+%，

%=%3X3=%

得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：M2—2為2-3%2.

四、證明題（本題6分）

110110

27.證：因為-110020=2w0,所以四,。2，%線性無關(guān)

111001

（方法多樣），所以向量組區(qū),見，是正空間中的一個基.

綜合試題二參考答案

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

題號

12345678910

答案

cDABDCBBDA

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

"-1-10、

-2—1、

11.512.3213.11014.

52J

、04107

15.—+2^+5/16.-117.2

18.f(xl,x2,x3)-xf+2xl-+x1x2-3%吊

19.￡20."+負(fù)+只一行

二、計算題（本大題共6小題,每小題9分，共54分）

x+3yyyy1yyy

x+3yxyy1Xyy

21.解：原式==(x+3y)[

x+3yyXyyXy

x+3yyyX1yyX

iyyy

ox-yoo

=(x+3y)=(%+3y)(x—y)3

o0x-Jo

o00x-y

22.解：方法1

,1-1010f1T0100、

(力￡)=-121010-?011110

、22300V1043—201,

H-10100)(100^-3r

->011110-010-5-31

、00164-u100164-1?

M-31、

得：A-'-5-31

、64—1,

-9、

所以,-10

1J1413,

1-10

方法2\A\=-121=-l

223

'43-1、-31、

N*=53-1A-1-31

、—6-41/4T

4-31V1P