橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（1）課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

教學(xué)設(shè)計(jì)課題橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（1）課型新授課一、教學(xué)內(nèi)容及其解析1.內(nèi)容章引言、橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程.2.內(nèi)容解析內(nèi)容的本質(zhì)：在阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》中，三種圓錐曲線是基于平面截圓錐給出的.用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線，它們統(tǒng)稱為圓錐曲線.圓錐曲線在天文學(xué)、物理和光學(xué)中有廣泛的應(yīng)用.橢圓的定義本質(zhì)上也是平面內(nèi)具有一定性質(zhì)的點(diǎn)的集合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是從代數(shù)角度認(rèn)識(shí)橢圓，建立標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程是將幾何問(wèn)題代數(shù)化的過(guò)程.蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法：從具體的探究活動(dòng)中，用數(shù)學(xué)的眼光觀察動(dòng)點(diǎn)軌跡，歸納出橢圓的幾何特征,進(jìn)而抽象概括出橢圓的定義，蘊(yùn)含著“數(shù)學(xué)抽象思想”；類比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立，運(yùn)用坐標(biāo)法，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，通過(guò)“建設(shè)限代化驗(yàn)”六步，得到橢圓的方程，體現(xiàn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的一般思路，蘊(yùn)含著“數(shù)形結(jié)合思想”、“化歸與轉(zhuǎn)化思想”.知識(shí)的上下位關(guān)系：幾何與代數(shù)主題學(xué)習(xí)平面解析幾何，通過(guò)建立坐標(biāo)系，借助直線、圓與圓錐曲線的幾何特征，導(dǎo)出相應(yīng)方程；用代數(shù)方法研究它們的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.在第二章“直線和圓的方程”中，學(xué)生學(xué)習(xí)了確定直線與圓的幾何特征：定點(diǎn)、定方向，以及定點(diǎn)、定長(zhǎng)，并且在平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)法給出了直線與圓的方程.本節(jié)課中，我們將直線與圓的這種研究方法拓展到橢圓，確定橢圓的基本幾何量，并在平面直角坐標(biāo)系中推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.本課時(shí)內(nèi)容是學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ).橢圓是圓錐曲線中的代表性圖形，它與雙曲線、拋物線在概念與性質(zhì)上具有基本同構(gòu)特點(diǎn).橢圓相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)為后續(xù)研究雙曲線、拋物線提供了基本模式和理論基礎(chǔ).因此，本節(jié)課具有承前啟后的作用.育人價(jià)值：學(xué)生通過(guò)觀察圓錐曲線在實(shí)際生活中應(yīng)用的圖片以及阿波羅尼奧斯獲得圓錐曲線的動(dòng)畫(huà)，可以感受數(shù)學(xué)文化的魅力,體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系；通過(guò)開(kāi)展充分的畫(huà)橢圓的探究活動(dòng)，抽象概括橢圓定義的過(guò)程，有助于培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程感受橢圓的定義（幾何）與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（代數(shù)）之間的聯(lián)系，同時(shí)感悟數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)以及應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題的能力.教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的概念、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.二、教學(xué)目標(biāo)及其解析1.目標(biāo)（1）通過(guò)開(kāi)展繪制橢圓小組探究活動(dòng)，能夠說(shuō)出橢圓的幾何特征并抽象概括出橢圓的定義,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).（2）類比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究路徑，能夠恰當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)計(jì)合適運(yùn)算方案，推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步感悟數(shù)形結(jié)合思想和體會(huì)坐標(biāo)法的魅力與威力，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志：（1）通過(guò)小組合作在紙板上繪制橢圓的探究活動(dòng)認(rèn)識(shí)橢圓的幾何特征,能抽象概括出橢圓的定義.通過(guò)觀察動(dòng)畫(huà)能夠說(shuō)出“動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和必須大于兩定點(diǎn)之間的距離”的限制條件，全面準(zhǔn)確把握橢圓概念的內(nèi)涵與外延.（2）能夠結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)說(shuō)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)的研究方法和研究路徑—“平方法去除一個(gè)根號(hào)”出發(fā)，觀察方程結(jié)構(gòu)特征，小組合作探究設(shè)計(jì)出化簡(jiǎn)橢圓方程的方案，關(guān)注化簡(jiǎn)過(guò)程的等價(jià)性，比較不同方案的優(yōu)劣.三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析1.學(xué)生已有基礎(chǔ)從知識(shí)上講，學(xué)生初中就對(duì)圓的幾何特征有了充分的了解.從方法上，通過(guò)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)用坐標(biāo)法研究曲線的基本思路與方法已有了解.學(xué)生可能遇到的難點(diǎn)有兩個(gè),一是如何提煉橢圓的幾何特征，進(jìn)而用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象出橢圓的定義.二是如何推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，化簡(jiǎn)含有兩個(gè)根式的方程，學(xué)生可能束手無(wú)策，不能和已有的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系.（1）通過(guò)開(kāi)展充分的畫(huà)橢圓活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生做中學(xué)，聯(lián)系畫(huà)圓的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)相應(yīng)的幾何圖形，能夠借助圖形發(fā)現(xiàn)圖形與數(shù)量的關(guān)系，提煉出橢圓的幾何特征，抽象出橢圓的定義.（2）一方面，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合橢圓的幾何特征—對(duì)稱性建立坐標(biāo)系.另一方面，回顧已有運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)—“平方法去除一個(gè)根號(hào)”，,采取小組合作的方式，設(shè)計(jì)方程化簡(jiǎn)的方案，在小組活動(dòng)中教師對(duì)運(yùn)算策略加以指導(dǎo).最后，橢圓方程中b的引入，結(jié)合圖形分析a、c與的線段，引導(dǎo)學(xué)生思考a、c與的幾何意義，理解引入b的合理性.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).四、教學(xué)支持條件分析在教學(xué)中，應(yīng)充分發(fā)揮信息技術(shù),特別是GeoGebra軟件的作用，比如演示用平面截圓錐得到圓錐曲線的過(guò)程，演示“紙板實(shí)驗(yàn)探究動(dòng)點(diǎn)軌跡”.在小組合作畫(huà)橢圓的過(guò)程中教師巡視、指導(dǎo)，將小組的作品投影供師生觀察，交流.四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入新知引導(dǎo)語(yǔ)：前面我們用坐標(biāo)法研究了直線、圓及它們的位置關(guān)系.生產(chǎn)、生活中還有許多非常有用、有趣、我們還不太熟悉的曲線需要研究.【問(wèn)題1】我們知道，用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是一個(gè)圓，如果改變截面與圓錐的軸所成的角，會(huì)得到怎樣的截口曲線呢？師生活動(dòng)：教師通過(guò)信息技術(shù)演示，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)截面與圓錐的軸所成的角不同時(shí)得到不同的截口曲線，并指出它們分別是橢圓、雙曲線、拋物線（圖1）.圖圖1按照上述方法得到的截口曲線幾何特征不明顯，用它推導(dǎo)圓錐曲線的定義比較困難.設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)語(yǔ)、問(wèn)題1重在引發(fā)學(xué)生思考，并不要求學(xué)生解決，旨在幫助學(xué)生明確圓錐曲線的由來(lái)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極興趣.設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)語(yǔ)、問(wèn)題1重在引發(fā)學(xué)生思考，并不要求學(xué)生解決，旨在幫助學(xué)生明確圓錐曲線的由來(lái)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極興趣.環(huán)節(jié)二實(shí)驗(yàn)探究，形成定義【探究】取一條定長(zhǎng)的繩子，把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，觀察筆尖（動(dòng)點(diǎn)）畫(huà)出的軌跡是什么？再將細(xì)繩兩端拉開(kāi)一段距離，分別固定在圖板的兩點(diǎn)（如圖2），套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖（動(dòng)點(diǎn)）畫(huà)出的軌跡又是什么曲線？師生活動(dòng)：課前布置學(xué)生準(zhǔn)備工具，課上學(xué)生兩人合作完成，發(fā)現(xiàn)畫(huà)出的圖形由圓變成橢圓.可見(jiàn)，橢圓與圓有著密切聯(lián)系.追問(wèn)1：在筆尖移動(dòng)的過(guò)程中，變化的量是什么？不變的量又是什么？你能歸納出動(dòng)點(diǎn)具有的不變性嗎？并用符號(hào)表示.預(yù)設(shè)：是變量，動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)，即是常數(shù).追問(wèn)2：這個(gè)常數(shù)與兩個(gè)定點(diǎn)間的距離有什么大小關(guān)系？請(qǐng)給出具體解釋.預(yù)設(shè)：借助圖形以及三角形兩邊之和大于第三邊有.如圖2所示.圖2圖2設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在畫(huà)橢圓的過(guò)程中直觀感知，自主提煉出橢圓的幾何特征設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在畫(huà)橢圓的過(guò)程中直觀感知，自主提煉出橢圓的幾何特征—橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之“和”等于常數(shù)（大于兩定點(diǎn)距離）.這為學(xué)生抽象橢圓的定義做了充足的鋪墊.【問(wèn)題2】通過(guò)以上探究，你能嘗試給橢圓下一個(gè)定義嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言給出橢圓的定義.在此基礎(chǔ)上，教師關(guān)注學(xué)生對(duì)定義中相關(guān)用語(yǔ)及符號(hào)表示:“平面內(nèi)”“定點(diǎn)”“距離之和”“常數(shù)”“常數(shù)大于兩定點(diǎn)間的距離”“點(diǎn)的軌跡”的使用是否準(zhǔn)確.在給出橢圓的概念的基礎(chǔ)上，教師再引導(dǎo)學(xué)生了解焦點(diǎn)、焦距、半焦距等概念.追問(wèn)1：如果不限制平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡又是什么？預(yù)設(shè)：橢球.追問(wèn)2：如果，，點(diǎn)的軌跡分別是什么？預(yù)設(shè)：（1）線段（2）不存在.追問(wèn)3：請(qǐng)你再次嘗試給橢圓下一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x.橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓(ellipse).這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)(focus),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距(focusdistance),焦距的一半稱為半焦距.教師活動(dòng)：借助GGB動(dòng)態(tài)模擬畫(huà)橢圓的完整過(guò)程，再直觀的認(rèn)識(shí)一下橢圓的幾何特征.設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)強(qiáng)化橢圓概念的抽象與建立過(guò)程，提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與語(yǔ)言表達(dá)能力，同時(shí)讓學(xué)生獲得焦點(diǎn)、焦距等概念.環(huán)節(jié)三代數(shù)運(yùn)算，建立方程【問(wèn)題3】請(qǐng)你回顧圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法與步驟，嘗試建立橢圓的方程.預(yù)設(shè)：（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)以及給出相應(yīng)各點(diǎn)的坐標(biāo).（3）尋找點(diǎn)的限制條件.（4）將坐標(biāo)代入條件，列出方程.（5）化方程為最簡(jiǎn)形式.（6）檢驗(yàn)完備性.【橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)—建系】【問(wèn)題4】請(qǐng)你建立平面直角坐標(biāo)系.學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生自主建系，教師巡視.如果學(xué)生建系使得方程比較復(fù)雜，則提出下列追問(wèn).追問(wèn)：觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形式簡(jiǎn)單？預(yù)設(shè)：以兩點(diǎn)所在直線為軸，以線段中垂線為軸建立坐標(biāo)系.教師講解：動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡—曲線（橢圓）是客觀存在的，在求曲線的方程時(shí)，可以建立不同的坐標(biāo)系，為了使方程簡(jiǎn)潔，不失一般性，我們要注意選擇建系的方法，比如利用橢圓的對(duì)稱性建系.設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生深刻把握橢圓的幾何特征—對(duì)稱性，體會(huì)對(duì)稱性蘊(yùn)含著美的哲學(xué)意味，合理建立坐標(biāo)系.【橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)—設(shè)點(diǎn)】設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距為，即，那么焦點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)橢圓的定義，設(shè)點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離的和等于.圖3【橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)—限制條件】圖3由橢圓定義可知，橢圓可看作點(diǎn)集：追問(wèn)：怎樣化簡(jiǎn)動(dòng)點(diǎn)滿足的三角不等式？預(yù)設(shè)：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入.【橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)—代入坐標(biāo)】①【橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)—化簡(jiǎn)】【問(wèn)題5】遇到含有兩個(gè)根式的方程如何化簡(jiǎn)？請(qǐng)你設(shè)計(jì)①式的化簡(jiǎn)方案.預(yù)設(shè)1：兩邊直接平方，再移項(xiàng)平方.預(yù)設(shè)2：移項(xiàng)平方，再移項(xiàng)再平方.學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立自主探究化簡(jiǎn)方案，然后投影展示交流，教師適時(shí)點(diǎn)撥.方案一：（直接平方法）若將方程①兩邊同時(shí)平方：②將方程②進(jìn)行化簡(jiǎn)：追問(wèn)：接下來(lái)怎么進(jìn)行？預(yù)設(shè)：兩邊平方展開(kāi).即為：③將方程③兩邊同時(shí)平方：追問(wèn)：接下來(lái)怎么進(jìn)行？有沒(méi)有簡(jiǎn)化運(yùn)算的策略？預(yù)設(shè)：整體換元，令則完全平方、平方差展開(kāi)，化簡(jiǎn)得：④將方程④兩邊同除以得：⑤（關(guān)注）教師活動(dòng)：（1）引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注方程的結(jié)構(gòu)特征，方程的結(jié)構(gòu)特征往往蘊(yùn)含著化簡(jiǎn)的方向.（2）引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注上述化簡(jiǎn)都是等價(jià)的，簡(jiǎn)要說(shuō)說(shuō)理由.（3）引導(dǎo)學(xué)生回顧去除一個(gè)根式的方法—平方法，面對(duì)兩個(gè)根式，在逐步化簡(jiǎn)中，通過(guò)移項(xiàng)再次平方，把陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)二次平方去根式的方法，多次打開(kāi)括號(hào)，積累運(yùn)算策略.（4）④到⑤這一步目的是使方程結(jié)構(gòu)更加優(yōu)美方案二：（移項(xiàng)平方法）為了化簡(jiǎn)①式，我們將其左邊的一個(gè)根式移到右邊，得到：②對(duì)方程②左右平方，得：追問(wèn)：接下來(lái)怎么進(jìn)行？預(yù)設(shè)：平方展開(kāi)，移項(xiàng)，化簡(jiǎn).③對(duì)方程③兩邊平方，得：追問(wèn)：如何整理？預(yù)設(shè)：移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，因式分解.整理得：④將方程④兩邊同除以得：⑤（關(guān)注）追問(wèn):將方程③變形為，你能用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)它的幾何意義嗎？預(yù)設(shè)：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與點(diǎn)到定直線的距離之比為常數(shù).教師活動(dòng)：（1）引導(dǎo)學(xué)生分析方程的結(jié)構(gòu)特征，先后利用兩次“移項(xiàng)再平方”的方法化簡(jiǎn)方程.（2）引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注上述化簡(jiǎn)都是等價(jià)的，簡(jiǎn)要說(shuō)說(shuō)理由.（3）教師巡視過(guò)程中給予學(xué)生適當(dāng)運(yùn)算策略的指導(dǎo).（4）引導(dǎo)學(xué)生比較不同方案的優(yōu)劣.【問(wèn)題6】觀察圖4，你能從中找出表示的線段嗎？圖4圖4預(yù)設(shè)1：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，取特殊點(diǎn)，使得⑤,，所以橢圓的方程為：⑥預(yù)設(shè)2：是一組勾股數(shù)，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義，直接構(gòu)造特殊直角三角形，從而，，所以橢圓的方程為：⑥注意：設(shè)為是為了使方程更加簡(jiǎn)潔.【橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)—驗(yàn)證】追問(wèn)：如何證明方程⑥就是橢圓的方程？預(yù)設(shè)：第一，橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程⑥的解.由于方程①到方程⑥的變形都是同解變形，所以橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)坐標(biāo)都滿足方程⑥.第二，以方程⑥的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上.因?yàn)橐苑匠挞薜慕鉃樽鴺?biāo)的點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，所以以方程⑥的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上.我們稱方程⑥是橢圓的方程，這個(gè)方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.它表示焦點(diǎn)在軸上，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為的橢圓，這里.設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖：橢圓方程的推導(dǎo)是本節(jié)課的一個(gè)非常大難點(diǎn)問(wèn)題，問(wèn)題5旨在在師生討論下明確代數(shù)式化簡(jiǎn)的兩種方向，然后學(xué)生根據(jù)方程結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以小組合作探究的方式設(shè)計(jì)化簡(jiǎn)方案攻堅(jiān)克難，同時(shí)給學(xué)生數(shù)學(xué)是追求簡(jiǎn)潔美的印象.學(xué)生通過(guò)小組合作探究，探索不同的化簡(jiǎn)方案，經(jīng)歷移項(xiàng)、平方、整理的化簡(jiǎn)過(guò)程—把兩個(gè)根式化簡(jiǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)根式化簡(jiǎn)問(wèn)題，把陌生的問(wèn)題和熟悉的問(wèn)題建立聯(lián)系，體會(huì)化簡(jiǎn)方程過(guò)程中的策略和數(shù)學(xué)運(yùn)算的必要性，突破難點(diǎn)的同時(shí)貫徹方法，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，堅(jiān)強(qiáng)的意志，提升學(xué)生的理性思維，創(chuàng)新精神，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【問(wèn)題7】如圖5，焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，的意義同上，不通過(guò)運(yùn)算，你能猜想出它的方程是什么？請(qǐng)你通過(guò)代數(shù)推理證明自己的猜想.圖5預(yù)設(shè)1：.理由：經(jīng)歷“建設(shè)限代化驗(yàn)”的探究過(guò)程獲得方程.（1）以兩點(diǎn)所在直線為軸，以線段中垂線為軸建立坐標(biāo)系.（2）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距為，即，那么焦點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)橢圓的定義，設(shè)點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離的和等于.（3）由橢圓定義可知，橢圓可看作點(diǎn)集：（4）代入點(diǎn)的坐標(biāo)，列出方程.追問(wèn)：比較與的結(jié)構(gòu)特征，請(qǐng)你直接寫(xiě)出焦點(diǎn)在軸上的橢圓方程.預(yù)設(shè)2：把上述焦點(diǎn)分別在軸和軸上的兩個(gè)橢圓放在同一個(gè)直角坐標(biāo)系，它們關(guān)于直線對(duì)稱，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.理由：任取焦點(diǎn)在軸上的橢圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，同時(shí)以該方程每組解為坐標(biāo)的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和，因此點(diǎn)在焦點(diǎn)在軸上的橢圓上.【小結(jié)】橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.設(shè)計(jì)意圖：1.設(shè)計(jì)意圖：1.方程的結(jié)構(gòu)特征，橢圓的幾何特征—對(duì)稱性，以及焦點(diǎn)分別位于軸和軸上橢圓的位置關(guān)系，簡(jiǎn)化推導(dǎo)過(guò)程.3.體會(huì)曲線與方程的等價(jià)性和一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步感悟數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).【問(wèn)題8】辨析焦點(diǎn)分別在軸和軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的異同點(diǎn)？預(yù)設(shè)：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其對(duì)應(yīng)的曲線一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)：，都有的要求，若方程為就不能確定焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上.追問(wèn)：如何根據(jù)方程判斷焦點(diǎn)位置？預(yù)設(shè)：（3）誰(shuí)的分母大，焦點(diǎn)在對(duì)應(yīng)的軸上.設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖：對(duì)所得到的兩條方程進(jìn)行辨析，在辨析中加深學(xué)生對(duì)方程本質(zhì)的理解.環(huán)節(jié)四典例分析，運(yùn)用新知例已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.方法1：由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由橢圓定義知所以.所以，所以，所求標(biāo)準(zhǔn)方程為追問(wèn)：你還能用其他方法求它的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？試比較不同方法的特點(diǎn).方法2：由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為.，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小結(jié)步驟】（1）定類型；（2）設(shè)方程；（3）求系數(shù).方法1側(cè)重根據(jù)橢圓定義，利用兩個(gè)焦點(diǎn)以及橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出橢圓的基本量方法2主要利用方程組思想，求出.都是待定系數(shù)法.設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖：知道利用定義及已知條件求解標(biāo)準(zhǔn)方程，鞏固學(xué)生對(duì)之間的關(guān)系的理解，發(fā)展學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.環(huán)節(jié)五課堂小結(jié)，梳理反思【問(wèn)題9】結(jié)合本節(jié)課內(nèi)容，回答下述問(wèn)題：（1）結(jié)合橢圓所學(xué)，完成下表.定義圖形標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)系焦點(diǎn)焦距焦點(diǎn)位置的判斷（2）推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法和步驟？預(yù)設(shè)：坐標(biāo)法，“建系—設(shè)點(diǎn)—限制條件—代入坐標(biāo)—化簡(jiǎn)—檢驗(yàn)”（3）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法？預(yù)設(shè)：待定系數(shù)法設(shè)計(jì)意圖：對(duì)本節(jié)課內(nèi)容從知識(shí)、方法、思想、研究路徑等方面進(jìn)行梳理總結(jié)，進(jìn)一步體會(huì)坐標(biāo)法的魅力與威力.設(shè)計(jì)意圖：對(duì)本節(jié)課內(nèi)容從知識(shí)、方法、思想、研究路徑等方面進(jìn)行梳理總結(jié)，進(jìn)一步體會(huì)坐標(biāo)法的魅力與威力.五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1.如果橢圓上一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于6，那么點(diǎn)與另一個(gè)的距離是（）A.4B.6C.8D.142.設(shè)橢圓的焦點(diǎn)分別為和，過(guò)焦點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn).則的周長(zhǎng)為（）A．B.C.D.3.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.B.C.D.4.求下列橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且橢圓經(jīng)過(guò)；（2）橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)六、板書(shū)設(shè)計(jì)3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（1）一、橢圓的概念二、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)坐標(biāo)法，建設(shè)限代化驗(yàn)（1）建系（2）設(shè)點(diǎn)（3）限制條件（4）代入坐標(biāo)（5）化簡(jiǎn)（6）檢驗(yàn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（5）化簡(jiǎn)方案1方案2三、應(yīng)用例七.作業(yè)與拓展學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)A組1.已知橢圓方程為，為橢圓上任意一點(diǎn)，為