湖北省宜昌市天問高中平面向量多選題試題含答案

湖北省宜昌市天問高中平面向量多選題試題含答案一、平面向量多選題1．下列關于平面向量的說法中正確的是（）A．已知均為非零向量，若，則存在唯一的實數(shù)，使得B．已知非零向量，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是C．若且，則D．若點為的重心，則【答案】AD【分析】由向量共線定理可判斷選項A；由向量夾角的的坐標表示可判斷選項B；由數(shù)量積的運算性質可判斷選項C；由三角形的重心性質即向量線性運算可判斷選項D.【詳解】對于選項A：由向量共線定理知選項A正確；對于選項B：，若與的夾角為銳角，則解得，當與共線時，，解得：，此時，，此時夾角為，不符合題意，所以實數(shù)的取值范圍是，故選項B不正確；對于選項C：若，則，因為，則或與垂直，故選項C不正確；對于選項D：若點G為的重心，延長與交于，則為的中點，所以，所以，故選項D正確.故選：AD【點睛】易錯點睛：兩個向量夾角為銳角數(shù)量積大于，但數(shù)量積大于向量夾角為銳角或，由向量夾角為銳角數(shù)量積大于，需要檢驗向量共線的情況.兩個向量夾角為鈍角數(shù)量積小于，但數(shù)量積小于向量夾角為鈍角或.2．已知直線與直線相交于點，線段是圓的一條動弦，為弦的中點，，下列說法正確的是（）A．弦的中點軌跡是圓B．直線的交點在定圓上C．線段長的最大值為D．的最小值【答案】ABC【分析】對于選項A：設，利用已知條件先求出圓心到弦的距離，利用兩點之間的距離公式即可得到結論；對于選項B：聯(lián)立直線的方程組求解點的坐標，代入選項驗證即可判斷；對于選項C：利用選項AB結論，得到圓心坐標和半徑，利用求解即可；對于選項D：利用平面向量的加法法則以及數(shù)量積運算得到，進而把問題轉化為求問題，即可判斷.【詳解】對于選項A：設，，為弦的中點，，而，半徑為，則圓心到弦的距離為，又圓心，，即弦的中點軌跡是圓.故選項A正確；對于選項B：由，得，代入整理得，故選項B正確；對于選項C：由選項A知：點的軌跡方程為：，由選項B知：點的軌跡方程為：，，所以線段，故選項C正確；對于選項D：，故，由選項C知：，所以，故選項D錯誤；故選：ABC.【點睛】關鍵點睛：本題考查了求圓的軌跡問題以及兩個圓上的點的距離問題.把兩個圓上的點的距離問題轉化為兩個圓的圓心與半徑之間的關系是解決本題的關鍵.3．在中，、分別是、上的點，與交于，且，，，，則（）A． B．C． D．在方向上的正射影的數(shù)量為【答案】BCD【分析】根據(jù)以及正弦定理得到，從而求出，進一步得到，等邊三角形，根據(jù)題目條件可以得到為的中點和為的三等分點，建立坐標系，進一步求出各選項.【詳解】由得，，正弦定理，，，，同理：，所以，等邊三角形.，為的中點，，為的三等分點.如圖建立坐標系，，，，，解得，為的中點，所以，正確，故B正確；，，故A錯誤；，故C正確；，，投影，故D正確.故選：BCD.【點睛】如何求向量在向量上的投影，用向量的模乘以兩個向量所成的角的余弦值就可以了，當然還可以利用公式進行求解.4．正方形的邊長為，記，，，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】作出圖形，利用平面向量加、減法法則與正方形的性質可判斷A、B選項的正誤；利用平面向量的減法法則與向量的數(shù)乘運算可判斷C選項的正誤；利用平面向量的加法法則可判斷D選項的正誤.【詳解】如下圖所示：對于A選項，四邊形為正方形，則，，，A選項正確；對于B選項，，則，B選項正確；對于C選項，，則，則，C選項正確；對于D選項，，，D選項錯誤.故選：ABC.【點睛】本題考查平面向量相關命題正誤的判斷，同時也考查了平面向量加、減法法則以及平面向量數(shù)量積的應用，考查計算能力，屬于中等題.5．已知的面積為3，在所在的平面內有兩點P，Q，滿足，，記的面積為S，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用向量的共線定義可判斷A；利用向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義即可判斷B；利用向量數(shù)量積的定義可判斷C；利用三角形的面積公式即可判斷D.【詳解】由，，可知點P為的三等分點，點Q為延長線的點，且為的中點，如圖所示：對于A，點P為的三等分點，點為的中點，所以與不平行，故A錯誤；對于B，,故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，設的高為，，即，則的面積，故D正確；故選：BD【點睛】本題考查了平面向量的共線定理、共線向量、向量的加法與減法、向量的數(shù)量積，屬于基礎題6．若平面向量兩兩夾角相等，為單位向量，，則（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AD【分析】由平面向量兩兩夾角相等可知，夾角為或.分兩種情況對三個向量的和的模長進行討論，算出結果.【詳解】平面向量兩兩夾角相等，兩兩向量所成的角是或.當夾角為時，同向共線，則；當夾角為時，為單位向量，，且與反向共線，又，.故選：AD.【點睛】本題考查了平面向量共線的性質，平面向量的模的求法，考查了分類討論的思想，屬于中檔題.7．已知是單位向量，且，則()A． B．與垂直C．與的夾角為 D．【答案】BC【分析】兩邊平方求出；利用單位向量模長為1，求出；平方可求模長；用向量夾角的余弦值公式可求與的夾角.【詳解】由兩邊平方，得，則，所以A選項錯誤；因為是單位向量，所以，得，所以B選項正確；則，所以，所以D選項錯誤；，所以，與的夾角為.所以C選項正確；故選：BC.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的應用.求向量模的常用方法:(1)若向量是以坐標形式出現(xiàn)的，求向量的?？芍苯永霉?(2)若向量是以非坐標形式出現(xiàn)的，求向量的?？蓱霉交颍惹笙蛄磕５钠椒剑偻ㄟ^向量數(shù)量積的運算求解．判斷兩向量垂直：根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可．解兩個非零向量之間的夾角：根據(jù)公式求解出這兩個向量夾角的余弦值.8．已知向量，，，若點A，B，C能構成三角形，則實數(shù)t可以為（）A．-2 B． C．1 D．-1【答案】ABD【分析】若點A，B，C能構成三角形，故A，B，C三點不共線，即向量不共線，計算兩個向量的坐標，由向量共線的坐標表示，即得解【詳解】若點A，B，C能構成三角形，故A，B，C三點不共線，則向量不共線，由于向量，，，故，若A，B，C三點不共線，則故選：ABD【點睛】本題考查了向量共線的坐標表示，考查了學生轉化劃歸，概念理解，數(shù)學運算能力，屬于中檔題.二、立體幾何多選題9．如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F(xiàn)分別為AC，，AB的中點．則下列結論正確的是（）A．與EF相交 B．平面DEFC．EF與所成的角為 D．點到平面DEF的距離為【答案】BCD【分析】利用異面直線的位置關系，線面平行的判定方法，利用空間直角坐標系異面直線所成角和點到面的距離，對各個選項逐一判斷．【詳解】對選項A，由圖知平面，平面，且由異面直線的定義可知與EF異面，故A錯誤；對于選項B，在直三棱柱中，

．，F(xiàn)分別是AC，AB的中點，，

．又平面DEF，平面DEF，

平面故B正確；對于選項C，由題意，建立如圖所示的空間直角坐標系，則0，，0，，2，，0，，2，，0，，0，，0，，1，．1，，0，．，，．與所成的角為，故C正確；對于選項D，設向量y，是平面DEF的一個法向量．0，，1，，由，即，得取，則，0，，設點到平面DEF的距離為d．又2，，，點到平面DEF的距離為，故D正確．故選：BCD【點睛】本題主要考查異面直線的位置關系，線面平行的判定，異面直線所成角以及點到面的距離，還考查思維能力及綜合分析能力，屬難題．10．如圖所示，在長方體中，是上的一動點，則下列選項正確的是()A．的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】AD【分析】的最小值，即求底邊上的高即可；旋轉所在平面到平面，的最小值轉化為求即可.【詳解】求的最小值，即求底邊上的高，易知，所以邊上的高為，連