高考數(shù)學解題方法攻略解題建議理

數(shù)學高考解題的六點建議

我們對高考解題的基本建議是（6條）：明確解題過程；夯實解題基礎；防止解題錯誤；

掌握解題策略；精通三類題型；運用答題技術.

（1）明確解題過程；（四步程序）①理解題意②思路探求③書寫解答④回顧反思

（2）夯實解題基礎；（四個因素）①知識因素②能力因素③經(jīng)驗因素④情感因素

（3）防止解題錯誤；（四種類型）①知識性錯誤②邏輯性錯誤③策略性錯誤④心理性錯誤.

（4）掌握解題策略；（四個策略）①模式識別②差異分析③層次解決④數(shù)形結(jié)合

（5）精通三類題型；①選擇題②填空題③解答題

（6）運用答題技術.①提前進入角色②迅速摸清“題情”③執(zhí)行“三個循環(huán)”④做到“四

先四后”（先易后難、先熟后生、先高后低、先同后異）⑤答題“一慢一快”⑥立足中下題目，

力爭高上水平⑦立足一次成功，重視復查環(huán)節(jié)⑧運用解題策略于分段得分：?分解分步一缺

步解答?引理思想一跳步解答?以退求進一退步解答?正難則反一倒步解答?掃清外圍一輔

助解答

1測試復習成果提供復習導向

1-1第一階段復習要做到“四過關”

（1）能準確理解書中的任一概念；（測試1,測試4）

（2）能獨立證明書中的每一定理；（測試1,測試2）

?定理從兩個方面提供重要方法；要會定理的正用、逆用、連用、變用、巧用、活用.

?潘承洞教授1979年出高考題，只出了一道題：“敘述并證明勾股定理”，得分不全國

做對的人不到0.01（百里挑-），潘教授不敢承認是他出的；1981年考余弦定理呈兩極態(tài)勢:

2010年四川高考證明兩角和的余弦公式，50萬考生做對的僅幾百人（千里挑一），議論紛紛;

2011年陜西考余弦定理，也是議論紛紛；2012年陜西考三垂線定理及逆定理沒有議論了.

（3）能熟練求解書中的所有例題；

（4）能歷數(shù)書中各單元的作業(yè)類型.（統(tǒng)計）

（真正做到“四過關”可望高考得120分，得分率0.80）

?課本類型統(tǒng)計

1-2第二階段復習要抓住五個方向

如果說第一階段是以縱向為主、順序復習、全面覆蓋的話，那么第二階段就是以橫向為

主，突出重點，抓住熱點，深化提高了.

（1）第一階段中的弱點；

（2）教材體系中的重點；

（3）高考試題中的熱點；

（4）中學數(shù)學的解題方法體系；

（5）應試的技術:針對性、實用性、系列化.

這五個方面是復習工作的繼續(xù)深入與自然提高，也是高考應試的宏觀駕馭與有效逼近.

（這五個方面與近幾年的高考題相結(jié)合，可望高考得130分，得分率0.86）

1-3“四過關”測試

大家“四過關”沒有呢？

測試1：（是否形成良好的認知結(jié)構(gòu)，腦子里有無思維路線圖）

例1T閉上眼睛，你能回憶起幾條數(shù)學定理，說出幾個數(shù)學名詞？越多越好！

?文科必考內(nèi)容:共20個知識板塊，約260課時、180個知識點；

?理科必考內(nèi)容：共21個知識板塊，約290課時、210個知識點.）

例1-2當我說“函數(shù)”時，你能想起相關的多少個概念和定理？越多越好?。ㄋ季S概

念圖）

圖1

例1-3對于sina您能寫出多少個等式？越多越好?。ㄋ季S概念圖）

sina=tan。cosa-±J1—cos2a(同角關系)

=sin(2?+a)=sin(zr-a)（誘導公式）

=-sin()+a)=-sin(2;r-a)

cosacos/?-cos(a+0)

（和差倍半公式）

sin(3

cos(a一夕)-cosacos0

sinp

cos(a一夕)一cosacos°

cos/?

sin(a+/?)-cosasin(J

cos￡

cosasin〃+sin(a-fl)

cosP

=sin13cos(a-￡)+cos(3sin(a-，)

a

sin2a.aa2吆

--------=2sin—cos—2

2cos(7222a

1+%

2

=±±A/COS2a-COS2a

,、a1-coscr

二(1+cosa)tg—=--------

2a

Zg2

_sin(a+/?)+sin(a-夕)

2cos/?

=2sin￡±^cos￡l#-sin(3

22

ca+B.a-B

=2cos-----sin....-4-sin0

22

測試2：四過關了嗎？（認知結(jié)構(gòu)，思維能力，經(jīng)驗題感，情感態(tài)度）

例2余弦定理的3個話題.

例2-1余弦定理記得住、會證明嗎？

思路1（向量證明）：分析

222

要證a-b+c-2bccosAf

,—21,-2-2一?‘一

只需證BC=AC+AB-2ACAB,

只需證5C2

只需證BC=AC-AB_圖2

如圖2,最后一式顯然成立，故有證明如卜（由繁到簡、三項變一項）

b2+c2-2hccosA

------*22,.

=AC+AB-2ACAB(把數(shù)量轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄?

2

=—（向量運算、變?nèi)棡閮身棧?/p>

=元2（向量運算、變兩項為一項）

=力.（把向量還原為數(shù)量）

思路2（坐標證明）如圖3,在ABC中，設4（0,0）,8（演，弘）,。（》2，%），由向量數(shù)

量積的定義,有

圖3

cosA=3*=龍也+廣為（把向量變?yōu)樽鴺耍?/p>

=2$匹+—壬（坐標運算）

222

(X：+yr)+(x2+y2)-[(^i-^2)+(%一%『

2222

2y/xt+y,y/x2+y2

AD-IA「2_R「2

,(把向量變?yōu)閿?shù)量)

2ABAC

得a2=b2+c2-2bccosa.

可見，余弦定理是向量數(shù)量積定義的一個特例.

如果氏C在單位圓匕記C(cosa,sina),8(cos尸,sin"),則

/"、—OCOB_cosacos/3+sinasin/3

loci\OB\VCOSa~+sina~yjcos+sin(3~

=cosacos/?+sinasinp.

可見，余弦差角公式是向量數(shù)量積定義的一個特例.

例2-2一個流行的幾何證明.

其證明過程是對角4分三種情況討論，得出

a2=b2+c2-2bccosA

（1）當角A為直角時，由勾股定理，得

a1=b2+c2

=b2+c2-2bccos9ff

=b'+c2-2bccosA,

所以，當角A為直角時，命題成立.

（2）當角A為銳角時，如圖4,過點C作對邊AB的垂線，垂足為。，則

AD=bcosA,BD=c-AD.①

在即DBC,RtD4C中，用勾股定理，得

a1=CD1+BD2,

CD2=h2-AD2,

消去CO并把①代入，得圖4

a2=(h2-AD2)+BD2(消去CO)

=h2-AD2+(c-AD)（把①代入消去8。）

=b2+c2-2cAD(展開)

=b2+c2-2bccosA,（把①代入消去AO）

所以，當角A為銳角時，命題成立.

（3）當角A為鈍角時，如圖5,過點C作對邊A8的垂線，交A4的延長線于。，有

AD=-bcosA,BD=c+AD.②

在RfDBC.RtD4C中，用勾股定理，得

a1=CD-+BD2,

CD'=b2-AD1,

消去CD并把②代入，得

a2-AD2)+BD2

=b2-AD2+(c+AD)2（把②代入）

=b2+c2+2cAD（展開）

=b2+c2-2bccosA,（把②代入）

所以，當角A為鈍角時、命題成立.

綜上（1）、（2）、（3）可得，在A8C中，當角A為直角、銳角、鈍角時，都有

a2=b2+c2-2bccosA.

同理可證k=a2+c2-2bccosB,

c2=a2+b2-2bccosC.

問題在于，當角A為銳角時，角3還可以為直角或鈍角（既有知識性錯誤，又有邏輯性錯

誤）

例2-3余弦定理的逆命題（怎樣敘述，真假如何）

對應余弦定理的符號等式，交換條件與結(jié)論，我們給出逆命題為：

逆命題1若a,仇c為正實數(shù)，a,夕,7?（）,乃），有

aW-2bccosa,

h2=a2+c2-2/7ccos（3,

c~=a2+h~-2hccos/,

則凡Ac對應的線段構(gòu)成一個三角形，且4邊的對角為a,b邊的對角為/7,c邊的對角為人

證明由0<。<），有-1<COSA<1,得

a2=b2+c2-2bccosA<b2^-c2+2bc=（b+c）“，

又因a,b,c為正實數(shù)，所以

a<b+c.

同理，由b2=a2+c2-2bccos[3,

c~=+/-2hccos/,

有b<a+c,c<a+b.

所以，。力,c對應的線段可以構(gòu)成一個三角形.記這個三角形為ABC,而a邊的對角

為4,〃邊的對角為3,c邊的對角為C,A,8,Cw（O,））,由余弦定理，有

但由已知又有

b2^c2-a2

coscr=

2bc

cosA=cosa,

所以A,ae(0㈤，

由余弦函數(shù)的單調(diào)性，得4=。，即“邊的對角為a.同理，得6邊的對角為尸，c邊

的對角為7.

逆命題2：對于正實數(shù)及6e(O,%),若有

a2=b2+c2-2bccos6

則a,b,c對應的線段構(gòu)成一個三角形，且。邊的對角為。.

證明由0<夕〈乃，有一1<COS6<1,得

b2+c2-2bc<b2+c2-2bccosA<b2+c2+2bc,

即(b-c)2</<(/,+c)2,

又因a,。,c為正實數(shù)，有

\h-c\<a<b+c.

所以，對應的線段可以構(gòu)成一個三角形.記為ABC,而a邊的對角為A,

Ae(0,/r),由余弦定理，有

b2+c2-a2

cosA=

2bc

但山已知又有

°b2+c2-a2

COS0=-----------

2bc

cosA=cos仇

所以㈤，

由余弦函數(shù)的單調(diào)性，得A=即。邊的對角為e.

測試3：四過關了嗎？(認知結(jié)構(gòu)，思維能力，經(jīng)驗題感，情感態(tài)度)

例3-1(空間圖形的最短路程.)如圖6,一圓柱體的底面周長為24cm,高A3為

4cm,一只螞蟻從點4出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到C點的最短路程B二———iC

為,圖6

解把圓柱體沿母線AB展開，得圖7所示的矩形，從A點到C點的最短路程就

是線段AC的長.因為8c的長是底面圓的周長的一半12cm,高A8的長是4cm,所月-------一，’

以在R/ABC中，由勾股定理得

AC=y]AB2+BC2=V42+122=4>/10cm.

圖7

同意的舉手

不同意的站起來

反思

（1）合理成分

例3-1中有三個“化歸”是很好的：

化歸1：把一個實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學問題；

化歸2：把一個空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題；

化歸3：把一個平面問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形.（用到兩點之間直線距離最短）

（2）認識封閉

但是，在把空間圖形展平時沒有注意到由A點到C點有兩類路徑：

?只走側(cè)面（有兩條路線），展平后，轉(zhuǎn)變?yōu)椤皟牲c之間直線距離最短”；

?既走側(cè)面又走底面，走側(cè)面時，轉(zhuǎn)變?yōu)椤皟牲c之間直線距離最短”；走底面時，也走“兩

點之間的直線距離”.這時，要用到底面的展平，并且底面展平有多樣性.

“流行的誤解”就在于只看到第一類路徑，沒有看到第二類路徑（認識封閉1）,更沒有

看到第二類路徑的多樣性（認識封閉2）.（邏輯性錯誤）

如圖8,將圓柱的側(cè)面展開為矩形、上底面展開為母線A8上方的圓，由“兩點之間直線

距離最短”可以得到兩條直線距離：

第一條，如例3-1所述，是沿側(cè)面展平后的直線距離，有

L1=AC,=JAB2+BC,2=4V10.

第二條，是先沿側(cè)面走母線AB,然后走圓的直徑8C,展平后有

24

L,=46+8。2=4+——.

71

由于4+空<4+2=12<4而，所以L,比L,更小.

n3

那么，是不是任何情況下都有L2<L,呢？

例3-2如圖6,一圓柱體的底面周長為16c、m，高AB為4cm,一只螞蟻從點A出發(fā)

沿著圓柱體的表面爬行到。點的最短路程是（）.

解如圖8,沿用例3T的解法，有

22

匕=ACt=飛AB?+BC：=V4+8=475,

L,=AB+BC,=4+—,

7T

但4+3>4+W=4+5=病〉病=46,所以

7t3.2

那么，什么時候右小、什么時候右小呢？

(3)問題探索

考慮更一般性的情況.

例3-3如圖6,一圓柱體的底面周長為2乃「，高AB為h,一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓

柱體的表面爬行到C點，求最短路程.

解如圖8,沿用例3-1的解法，有

L]=AC]=y/AB。+BC：=業(yè),

L-,=AB+BC2=/2+2r.

2

(1)L.-L.,<=>Jh+(7ir\=/?+2/?=C=-

'h^2-4

(2)〃<L,=J/+(4療</?+2ro—<—

'2N\'h/-4

L.>L,oJh2+(7rr\>/?+<=>—>——

1-v7h7T2-4

4r

記常數(shù)二—=0.681為a,可見，4與L,的大小關系有三種情況：當一<a時，沿側(cè)

乃2—4-h

2

面爬行的路程最短，為4舊+(仃);當不>4時，先豎直向上爬到A的正上方，再沿

直徑爬到C點的路程最短，為L,=/?+2「；當二=a時，兩種爬行方式的路程一樣.

'h

看上去，這種討論已經(jīng)很細致了，然而，這依然有認識的封閉.

(4)進一步思考

事實上，螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到。點的路徑，除了以上乙,4兩種之外,

還存在無窮多條從A到C的路徑.如圖9所示右：A-。7。，其中A。是側(cè)面上的最短

距離(側(cè)面展平后的直線距離)，0c是上底面兩點之間的直線距離.

圖9

下面，我們來討論乙的最值.

設圓心角N80Z）=a,0<a<7r,則8O=ra,展平后，。為圓與矩形的切點，L,為

折線AOC,在直角A8D中，有

AD=^AB'+BD2=而+標1,

在C。。中用余弦定理，有

CD=Jr2+--2r2cos（zr-a）=^2r2+2r2cosa=V2rcosy,

得心的長度為函數(shù)

S（a）=AD+CD=\jh2+r~a'+2rcosy,（04aV萬）.

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大最小值，不作展開.

測試4三視圖（江蘇不考）

如圖10,給出正方體.（為了避免相關方向的線被重合（比如Ag與AO重合），圖形作

了一些技術性的調(diào)整）

例4-1（1）請畫出正方體的三視圖.（三個正方形，請保留）

（2）若在正方體A8CO-4田］「。中截去一個三棱錐A-得到如圖11的幾何

體，請畫出圖11的三視圖.（在保留圖上繼續(xù)，結(jié)果為圖12：三個正方形都加上一條對角線）

13的三視圖.

圖13

結(jié)果：圖11、圖13的三視圖均為圖12,因為三視圖中A片與力G重合，AR與重

合，BQi與BO重合.(不同的幾何體有相同的三視圖)

例4-2(4)若在圖11的基礎上再截去兩個三棱錐8—ABC，G—耳。2得到如圖

14的幾何體，請畫出圖14的三視圖.

圖14

(5)再從圖14兒何體中截去三棱錐。--得到如圖15的正四面體AC為3,請畫

Dj

口

月B

出圖15的三視圖.

D1

A

圖15

圖16

0

主視圖左視圖

俯視圖

結(jié)果：圖14、圖15的三視圖均為圖16,因為圖14中三棱錐。-AC"的三視圖完全被

圖15的三視圖重合：

正視圖中，圖15的3A重合了圖14的DO』圖15的AC重合了圖14的。C；

左視圖中，圖15的。(重合了圖14的圖15的AC重合了圖14的A。；

俯視圖中，圖15的重合了圖14的A。，圖15的0c重合了圖14的。C.

結(jié)論：不同的幾何體可以有相同的三視圖；同一個幾何體擺法不同可以有不同的三視

圖.(概念理解、技能熟練)

例4-4(2010年高考數(shù)學福建卷文科第3題)若一個底面是正三角

形的三棱柱的正視圖如圖18所示，則其側(cè)面積等于()

(A)73(B)2

(C)2拒(D)6

解由正視圖知，三棱柱是以底面圖17

邊長為2,高為1的正三棱柱，所以側(cè)面積為3x2x1=6,選(D).

對不對？

主視圖為矩形的三棱柱不唯一，

(1)左視圖可以是一般平形四邊(并非矩形)；

(2)底面是正三角形的三棱柱其俯視圖可以不是正三角形；就是說，題目給的三棱柱可

以是斜三棱柱.題目無解.

可以改為求體積

高考修改題1若?個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖14所示，則其體積等于

()

(A)V3(B)2

(C)2百(D)6

解依題意，三棱柱的底面邊長為2,三棱柱的高為1,其體積為

V=Sh=—x22xl=6,選(A).

I4J

高考修改題2若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖14所示，則其側(cè)面積的取

值范圍為.

解依題意，三棱柱有兩側(cè)面為平行四邊形，平行四邊形的底為2、高為1,面積為2+2=4；

第三個側(cè)面為矩形，矩形的底為2、高為一1—(。為矩形面與底面的夾角0＜。490°),面積

sin。

2

為得三棱柱的側(cè)面積為

sin。

2

S=4+—(0<^<90°).

sin夕

當。增大時，S增大；當6=90°時，S=6,所以，側(cè)面積的取值范圍為［6,+8)

測試5形同而質(zhì)異的三角題

例5-1若A8C的角AC滿足

5(cosA+cosC)+4(cosAcosC+1)=0,

?AC

貝nijtan—tan—=.

22

(2011年高中數(shù)學聯(lián)賽一試B卷第5題)

例5-2若A8C的角滿足

5(cosA+cosC)-4(cosAcosC+1)=0,

,AC

貝nIItan—tan—=.

22------------

例5-3若ABC的內(nèi)角滿足

4(cosA+cosC)+5(cosAcosC+l)=0,

AC

則nltan—tan—=.

22

例5-4若ABC的內(nèi)角滿足

4(cosA+cosC)-5(cosAcosC+1)=0,

AC

貝nIlItan—tan—=.

22

講解第一、求解.

例5-1若ABC的角A,C滿足

5(cosA+cosC)+4(cosAcosC+1)=0,

AC

貝ni！lJtan—tan—=.

22

,A?2c

1-ta2n—1—tan—

解：因為cosA=---------系,cosC=---------尚，代入已知等式并化簡整理，得

1+tan2—1+tan2—

22

tan2—Atan，--。=9八.

22

ArAr

又因為一,一均為銳角，所以tan—tan—〉0,故

2222

AC

tan—tan—=3.

22

(聯(lián)賽題的參考答案)

例5-2若A8C的角4c滿足

5(cosA+cos0-4(cosAcosC+1)=0,

AC

則nltan—tan—=.

22------------

Ari

解：同上，把萬能公式代入已知等式并化簡整理，得tan24tan22=2.

229

ArAr

又因為々，上均為銳角，所以tan?tan\>0,故

2222

可見，兩道題目不僅形式類似，其求解步驟也近乎雷同，只有答案3與1的數(shù)值差別，這

3

個差別與已知兩式中加減號的不同有關.

例5-3若ABC的內(nèi)角A,C滿足

4(cosA+cosC)+5(cosAcosC+l)=0,

nIAC

貝ijtan—tan—=.

22

I2A1C

1-tan—1-tan2—

解因為cosA=--------今,cosC=----------親，代入已知等式并化簡整理，得

1+tan2—1+tan2—

22

2A*2Cn

tan—tan—=-9.

22

所以，此題無解.

請分析，為什么例5-1與例5-3兩道錯題只是數(shù)字4與5交換了一下位置，就會形式上

一個有解、一個無解呢？

例5-4若ABC的內(nèi)角滿足

4(cosA+cosC)-5(cosAcosC+1)=0,

.AC

貝nijtan—tan一

22

l2AC

1-tan2

1-tan—萬

解因為COSA=-----------Y,cosC=------,--代--入已知等式并化簡整理，得

124I2c

l+tan"1+tan

22

)AC

tan"-tan**2—=

229

所以，此題無解.

請分析，為什么例5-2與例5-4兩道題目只是數(shù)字4與5交換了一下位置，就會一個有

解、一個無解呢？

第二、反思.

例5-1結(jié)論不成立

證明在ABC中，有

AC7TC7TA7T

—+<-----<—,

2222222

由正切函數(shù)在［0,1）上為增函數(shù)知

C71A

tan——<tan一

255

ACA

得tan—tan—<tan—

222

Ar

可見，結(jié)論tan—tan—=3不成立.

22

例5-1條件不成立

在A8C中，有

cosAcosC+l=(1-cosA)(1一cosC)+(cosA+cosC)

>cosA+cosC(三角形中|cosA|<ijcos。［<1)

=-cos(乃一A)+cosC(誘導公式)

>0,(三角形中。<7一4<乃)

得cosA+cosC>0.⑦

cosAcosC+1>0.⑧

八cosA+cosC1

得0<--------------------<I,

cosAcosC+1

與條件4(cosA+cosC)+5(cosAcosC+1)=0

cosA+cosC5bM

=-------------=——矛盾.

cosAcosC+14

可見，結(jié)論5(cosA+cosC)+4(cosAcosC+1)=0不成立.

今年高考題已知函數(shù)/（無）=e*+a/-ex,aeA

（I）若曲線y=/（x）在點（1,/（1））處的切線平行于x軸，求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（11）試確定〃的取值范圍，使得曲線y=/（x）上存在唯一的點尸，曲線在該點處的

切線與曲線只有一個公共點P.

（2012高考數(shù)學福建卷理科第20題，14分）

講解由/'（x）=e'+2ax—e知，曲線在（1,/（1））處的切線斜率為k=2。=0,得“=0,

這時

f（l）=e+a-e=a=0.

于是，問題來了：計算得出過點（1,/（1））處的切線重合于x軸，與題目說的“在點（1J⑴）

處的切線平行于x軸”到底有沒有矛盾？有人說“同一平面內(nèi)，且沒有公共點的直線叫平行線,

而重合有無數(shù)個公共點”，有矛盾，是錯題；有人說“重合可以是平行的特例”，雖然不承認

“錯題”，也只肯定到“不要緊”，至少在客觀上有了歧義（歧義題），若提前發(fā)現(xiàn)肯定會修

改.比如改為：在點（1,7（1））處的切線斜率為0,或在點（1,/（I））處的切線垂直于工軸.

2數(shù)學高考解題的建議

2-1數(shù)學高考題

（1）高考題：為了實現(xiàn)診斷、預測、甄別、選拔等特定目的，而組織化、系統(tǒng)化、標準

化的數(shù)學問題組織形式，稱為數(shù)學試題.用于高考的數(shù)學試題稱為高考題.

（2）高考創(chuàng)新題：高考主要通過創(chuàng)新試題來考創(chuàng)新精神（意識）.數(shù)學創(chuàng)新試題是指在

試題背景、試題形式、試題內(nèi)容或解答方法等方面具有一定的新穎性與獨特性的數(shù)學試題，

其基本目的在于診斷考生的數(shù)學創(chuàng)新意識與數(shù)學創(chuàng)新能力.

高考創(chuàng)新題主要形式有

①開放探索題：高考中的開放探索題是指條件完備，但結(jié)論不確定、需要探索的數(shù)學問

題.有時候結(jié)論是開放的，但為了閱卷方便，只要求考生寫出三二個，不同的考生答案會不

一樣；有時候敘述為“是否存在…？請說明理由”，需要考生自己去探索出結(jié)論并加以證明.把

開放性與探索性結(jié)合起來是這類題目的顯著特點.（參見例6、例7）

②信息遷移題：高考中的信息遷移題是在題目中即時提供一個新的數(shù)學情景（或給出一

個名詞概念，或規(guī)定一種規(guī)則運算等），讓考生學習陌生信息后立即解答相關問題（遷移）.這

類題目背景公平，能有效考查學生的真實水平.由于高考的選拔性質(zhì)，即時提供的新信息常

常有一定的高等數(shù)學背景，但不是考高等數(shù)學知識.即時接收信息、并立即加以遷移是兩個

相關的要點.（參見例8、例9、例10）

③情景應用題：這是一類有現(xiàn)實情境、重視應用的題目.要求考生通過文字語言、符號

語言、圖形語言、表格語言等的轉(zhuǎn)換，揭示題目的本質(zhì)屬性，構(gòu)建解決問題的數(shù)學模型.函

數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、概率統(tǒng)計等主體內(nèi)容是高考應用題建模的主要載體.閱讀理解和

數(shù)學建模是解題的兩個關鍵.（參見例11、例12、例13）

④過程操作題：這是一類通過具體操作過程，從中獲得有關數(shù)學結(jié)論的題目，可以用來

考查三維目標中的“過程與方法”.由于高考條件的限制，“經(jīng)歷過程”無法“動手實踐”，只

能是一些“語言描述的操作過程”，但有的描述和操作會有現(xiàn)實情境、而不完全是數(shù)學內(nèi)部的

過程與操作.（參見例14、例15）

⑤歸納（類比）猜想題：這是在觀察相關數(shù)學情境的基礎上，通過歸納或類比作出數(shù)學

猜想的一類題目.本來，由歸納或類比作出的猜想可能對也可能錯，但考試總是要求寫出正

確的猜想（學生中“有一定道理”的猜想可能會被判錯）.應該說，這是一類探索中的題型,

最好有猜想理由的說明.（參見例16、例17）

例6（2010年寧夏理科第14題、5分）正視圖為一個三角形的幾何體可以是（寫

出三種）

點評：這是開放題，為考生搭建了一個自主探究的活動平臺，使考生的才能得到充分發(fā)

揮，使不同基礎、不同水平、不同志向的考生都得到成功的體驗，創(chuàng)新意識得到發(fā)展.體現(xiàn)

新課程關于評價的新理念.（《數(shù)學通報》2012,1任子朝陳昂：實施《課程標準》后高考數(shù)

學能力考查研究）

例7-1（2011年陜西理科第21題、14分）設函數(shù)/（x）定義在（0,+oo）上，/（1）=0,

導函數(shù)/'"）=Lg（x）=/（x）+/'"）.

X

（I）求g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；

（II）討論g（x）與g的大小關系；

（III）是否存在小〉0,使得|g（x）-g（x0）|/L對任意成立？若存在，求出X。的取值范

圍；若不存在，請說明理由.（探索題）

例7-2（2012年全國高考數(shù)學陜西卷理科第21題、14分）設函數(shù)＜（x）=x"+bx+c,

（〃￡N+,b.c￡R）.

（1）設〃22,b=l,c=-l,證明：力（x）在區(qū)間6,1）內(nèi)存在唯一的零點；

（H）設〃=2,若對任意西,々4―1,1],有|/2（』）一/2（9）歸4,求匕的取值范圍；

（III）在（I）的條件下，設相是力（x）在內(nèi)的零點，判斷數(shù)列馬,》3,…,X,,,…

的增減性.

點評：第（II）、（III）問都需要考生自己去探索出結(jié)論并加以證明.

例8(2010年四川理科第16題)函數(shù)/(x)定義域為A,若占應eA且/(%)=〃々)

時總有王=々，則稱"X)為單函數(shù).例如，函數(shù)/(x)=2x+l(xcR)是單函數(shù).下列命題:

①函數(shù)/(x)=/(xe/?)是單函數(shù)；

②若/(x)為單函數(shù)，為,/eA且工產(chǎn)了2則/(xjw/(x2)；

③若B為單函數(shù)，則對于任意6G8,它至多有一個原象；

④函數(shù)/(x)在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則/(X)一定是單函數(shù).

其中的真命題是.(寫出所有真命題的編號)(信息遷移)

答案：②③④.

解釋：①錯，當/(玉)=/)時可以有％=±》2.(假命題，找反例)

②逆否命題，真命題.

③推出必要條件，真命題.

④提供充分條件，真命題.

例9(2011江蘇省數(shù)學卷第19題)已知a"是實數(shù)，函數(shù)/(x)=/+ax,g(x)=/+bx,

/'(x)和g'(x)是/(x),g(x)的導函數(shù)，若/'(x)g'(x)20在區(qū)間/上恒成立，則稱/(x)和

g(x)在區(qū)間/上單調(diào)性一致

(1)設a>0,若函數(shù)/(x)和g(x)在區(qū)間［-l,+oo)上單調(diào)性一致,求實數(shù)人的取值范圍；

(2)設a<0,且aw/?,若函數(shù)/(x)和g(x)在以a,。為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致，

求4的最大值.(信息遷移題)

點評：本題在考生理解了函數(shù)的單調(diào)性的基礎上，新定義了“單調(diào)性一致”的概念，考

生需要把新的定義與自己已有的知識融合，這種解決新問題的能力是考生在今后學習中非常

重要的.試題的第(2)問，實際是討論不等式在區(qū)間(。力)上恒成立問題，需要分類討論，

運用函數(shù)性質(zhì)及實數(shù)運算的符號法則分析結(jié)果.解決問題的過程中所用到的知識和方法并不

深奧，但分析問題、解決問題的能力要求很高，屬于對高層次數(shù)學思維和數(shù)學素質(zhì)的考查.

學生進人高?；蛏鐣竽芊窭^續(xù)發(fā)展，在很大程度上取決于他們的學習能力.具有良好

的閱讀理解力是繼續(xù)學習的前提.近年的高考試卷對閱讀理解能力，特別是對數(shù)學語言，包

括文字語言、圖形語言、符號語言、圖表語言的閱讀理解能力的考查加大了力度，教師在日

常教學中應多加關注.(參見本刊特約數(shù)學試題評閱組.2011年高考數(shù)學試題“紅黑榜”.基

礎教育課程，2011,9)

例10(2010年天津理科第4題)對實數(shù)。和bj,定義運算“q③"：a③匕=《\a,a-b<1,

/7,a-b>\.

設函數(shù)/（犬）=（/一2）＜8）卜一/）若函數(shù)），=/（力一,的圖像與％軸恰有兩個公共點，則實

數(shù)c的取值范圍是（）.

（A）（-oo,-2）ljf-l,|-

（信息遷移題）【答案】B

例11（2010年安徽理科第21題、13分）品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種

通常采用的測試方法如下：拿出〃瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為

它們排序；經(jīng)過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這〃瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它

們排序，這稱為一輪測試.根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分.

現(xiàn)設"=4,分別以4,外,生，%表示第一次排序時被排為1，2,3,4的四種酒在第二次排

序時的序號，并令

X=-aj+12-aj+13_/|+14-4］，

則X是對兩次排序的偏離程度的一種描述.

（I）寫出X的可能值集合；

（II）假設外,生，如，%等可能地為1,2,3,4的各種排列，求X的分布列；

（山）某品酒師在相繼進行的三輪測試中，都有XW2,

（i）試按（II）中的結(jié)果，計算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率（假定各輪測試相互獨立）；

（ii）你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由.

（這是數(shù)學高考中第一次出現(xiàn)概率題壓軸）

講解列表，計算1,2,3,4的全排列及相應的X值

X

|3-Qy|一%

4,。2，。3,如1-色一耳4

1,2,3,400000

1,2,4,300112

1,3,2,401102

1,3,4,201124

1,4,2,302114

1,4,3,202024

2,1,3,411002

2,1,4,311114

2,3,1,411204

2,3,4,111136

2,4,1,312216

2,4,3,112036

3,1,2,421104

3,1,4,221126

3,2,1,420204

3,2,4,121126

3,4,1,222228

3,4,2,122138

4,1,2,331116

4,1,3,231026

4,2,1,330216

4,2,3,130036

4,3,1,231228

4,3,2,131138

(I)由表可見，X的可能值集合為{0,2,4,6,8}.

理論說明：在1,2,3,4中奇數(shù)與偶數(shù)各有兩個，所以q,%中的奇數(shù)個數(shù)等于出,4中

的偶數(shù)個數(shù)，因此11—q1+13—%1與12—々1+14-41的奇偶性相同，從而

X—ql+12—a,1+13-％1+14—I.

必為偶數(shù).

X的值非負，且易知其值不大于8.

所以X的值等于0,2,4,6,8.

(II)由列表的X值，在等可能的假定下，得到

02468

13794

2424242424

41

(III)(i)首先P(XW2)=P(X=O)+P(X=2)=—=一，將三輪測試都有XW2

246

的概率記做p,由上述結(jié)果和獨立性假設，得

11

216'

(ii)由于p=—L〈二一是一個很小的概率，這表明如果僅憑隨機猜測得到三輪測試

2161000

都有XW2的結(jié)果的可能性很小，所以我們認為該品酒師確實有良好的味覺鑒別功能，不是

靠隨機猜測.

例12(2011年湖北理科第17題、文科第19題)提高過江大橋的車輛通行能力可改善

整個城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x

(單位：輛/千米)的函數(shù).當橋上的的車流密度達到200輛/千米時;造成堵塞，此時車流

速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明；當

20<x<200B>J',車流速度u是車流密度x的一次函數(shù).

(I)當04x4200時，求函數(shù)v(x)的表達式；

(II)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：

輛/每小時)/(x)=xv(x)可以達到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時).

講解(I)由題意：當0WxW20時,v(x)=