經(jīng)濟數(shù)學1.2-數(shù)列的極限

18五月20241第二節(jié)數(shù)列的極限(LimitsofSequences)

第一章

極限方法是高等數(shù)學中的一種基本方法．

本節(jié)主要介紹數(shù)列極限的概念以及收斂數(shù)列的性質(zhì)．二、收斂數(shù)列的性質(zhì)一、數(shù)列極限的定義18五月20242一、數(shù)列極限的定義1.數(shù)列(Sequenceofnumber)18五月2024318五月202442.數(shù)列極限的定義我們先來觀察數(shù)列

當n無限增大時，即時的變化趨勢.圖形演示18五月20245圖形演示時，的變化趨勢.數(shù)列

當18五月20246通過上面演示實驗的觀察知:18五月2024718五月2024818五月2024918五月202410證明數(shù)列的極限為C.

證:例1已知對一切自然數(shù)n，成立所以,（常數(shù)），數(shù)列的極限為C.

注1:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)．注2:18五月202411證:例2證明欲使只要即取則當時,就有故故也可取也可由N

與

有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說明:取18五月202412例3證:則(由例1）則欲使只要即亦即因此,取,則當n>N

時,就有故18五月202413二、收斂數(shù)列的性質(zhì)1.收斂數(shù)列的極限唯一.(Uniqueness)證由定義,（1）（2）故所以收斂數(shù)列的極限是唯一的.18五月202414是發(fā)散的.

證:

用反證法.假設數(shù)列收斂,則有唯一極限a

存在.取則存在N,但因交替取值1與－1,內(nèi),而此二數(shù)不可能同時落在長度為1的開區(qū)間使當n>N

時,有因此該數(shù)列發(fā)散.例4證明數(shù)列18五月2024152.收斂數(shù)列一定有界.

(Roundedness)證:

設取則當時,從而有取則有由此證明收斂數(shù)列必有界.有說明:

此性質(zhì)反過來不一定成立.例如,雖有界但不收斂.數(shù)列18五月202416若且時,有證:對a>0,取推論:若數(shù)列從某項起(用反證法證明)3.收斂數(shù)列的保號性.(Sign-preservingProperty)18五月202417*********************證:

設數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當時,有現(xiàn)取正整數(shù)K,使于是當時,有從而有由此證明*********************4.收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.18五月202418說明:例如，發(fā)散!思考18五月202419思考與練習1.

如何判斷極限不存在?方法1.

找一個趨于∞的子數(shù)列;方法2.

找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列.解:18五月202420內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的“

–N

”

定義及應用（難點）2.收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性;有