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文檔簡介
18五月20241第二節(jié)數列的極限(LimitsofSequences)
第一章
極限方法是高等數學中的一種基本方法.
本節(jié)主要介紹數列極限的概念以及收斂數列的性質.二、收斂數列的性質一、數列極限的定義18五月20242一、數列極限的定義1.數列(Sequenceofnumber)18五月2024318五月202442.數列極限的定義我們先來觀察數列
當n無限增大時,即時的變化趨勢.圖形演示18五月20245圖形演示時,的變化趨勢.數列
當18五月20246通過上面演示實驗的觀察知:18五月2024718五月2024818五月2024918五月202410證明數列的極限為C.
證:例1已知對一切自然數n,成立所以,(常數),數列的極限為C.
注1:常數列的極限等于同一常數.注2:18五月202411證:例2證明欲使只要即取則當時,就有故故也可取也可由N
與
有關,但不唯一.不一定取最小的N.說明:取18五月202412例3證:則(由例1)則欲使只要即亦即因此,取,則當n>N
時,就有故18五月202413二、收斂數列的性質1.收斂數列的極限唯一.(Uniqueness)證由定義,(1)(2)故所以收斂數列的極限是唯一的.18五月202414是發(fā)散的.
證:
用反證法.假設數列收斂,則有唯一極限a
存在.取則存在N,但因交替取值1與-1,內,而此二數不可能同時落在長度為1的開區(qū)間使當n>N
時,有因此該數列發(fā)散.例4證明數列18五月2024152.收斂數列一定有界.
(Roundedness)證:
設取則當時,從而有取則有由此證明收斂數列必有界.有說明:
此性質反過來不一定成立.例如,雖有界但不收斂.數列18五月202416若且時,有證:對a>0,取推論:若數列從某項起(用反證法證明)3.收斂數列的保號性.(Sign-preservingProperty)18五月202417*********************證:
設數列是數列的任一子數列.若則當時,有現取正整數K,使于是當時,有從而有由此證明*********************4.收斂數列的任一子數列收斂于同一極限.18五月202418說明:例如,發(fā)散!思考18五月202419思考與練習1.
如何判斷極限不存在?方法1.
找一個趨于∞的子數列;方法2.
找兩個收斂于不同極限的子數列.解:18五月202420內容小結1.數列極限的“
–N
”
定義及應用(難點)2.收斂數列的性質:唯一性;有
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