雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(二) 同步練習(xí)-高二年級上冊數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（2）

一、單選題

1.已知斜率為1的直線/與雙曲線土-y2=i的右支交于A,B兩點，若|A5|=8,

4-

則直線/的方程為（）

A.y=X+V2TB.y=x—A/2?C.y=D.y=x+3f

32

2.已知圓（x—l）?+y2=己的一條切線y=區(qū)與雙曲線C：f—v2=1（?！?]〉0）

4"ab'r

沒有公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

A.（1,73）B.（1,2]C.（V3,+oo）D.[2,+00）

3.設(shè)耳，鳥是雙曲線C：3-g=l的兩個焦點，。為坐標(biāo)原點，點尸在C上且|OP|=3,

則△「月鳥的面積為（）

A.3B.-C.辿D.5

22

22

4.已知耳，工是雙曲線C：j―3=1（?！?]〉0）的兩個焦點，|耳瑪|=2石，

ab

離心率為半，是雙曲線C上的一點，若M?近<0,則方的取值范圍

是（）

A.（-44）B.（-44）C.（一半平）D.（一半孚）

22

5.若直線y=2x與雙曲線二—與=1（?！?/〉0）有公共點，則雙曲線的離心率的

ab

取值范圍為（）

A.（1,6）B.（A/5,+OO）C.（1,75]D,[A/5,+<?）

6.已知雙曲線方程為V—匕=1,過P（l,0）的直線乙與雙曲線只有一個公共點，則L

4

的條數(shù)共有（）

A.4條B.3條C.2條D.1條

7.己知雙曲線C：y-y2=1,若直線/：y=Ax+"z(Am#O)與雙曲線C交于不同

的兩點M,N,且M,N都在以A(O,-1)為圓心的圓上，則根的取值范圍是()

A.(-1,0)u(3,+oo)B.(3,+00)

C.(—8,0)53,+8)D.(-1,3)

二、多選題

22

8.已知雙曲線C：二—二=1(?！?1〉0)的左，右焦點分別為《，凡，過凡作垂

礦b~

直于漸近線的直線/交兩漸近線于A,B兩點,若3|名川=|工初，則雙曲線C的離心率

可能為()

A.B,—C,A/3D.75

112

22

9.已知雙曲線三—與=1(?！?］〉0)的左、右焦點分別為耳、F,,左、右頂點分

ab~

別為A、B,。為坐標(biāo)原點.點P為雙曲線上任意一點(異于實軸端點)，過點及作

/耳「鳥的平分線的垂線，垂足為°,連接OQ.則下列結(jié)論正確的有.()

A.OQ//PF2B.\OQ\=a

2

C.\PF\-\PF2\=2bD.(凡.)儂=。2

三、填空題

10.若直線x—y+m=0與雙曲線必—t=1交于不同的兩點A,B,且線段AB的中

2

點在圓好+V=5上，則機的值為.

11.直線y=依+1與雙曲線3/—y2=1相交于不同的兩點AB.若點A,B分別在雙

曲線的左、右兩支上，則實數(shù)上的取值范圍為；若以線段A8為直徑的圓經(jīng)

過坐標(biāo)原點，則實數(shù)上的值為.

22

12.已知雙曲線C：-匕=1的右焦點為「過/的直線/與C交于A、B兩點，

45

若||=5,則滿足條件的/的條數(shù)為.

13.已知雙曲線工―與=1（?！?］〉0）的離心率為2,4,B分別是雙曲線的左、

ab

右焦點，點M（—。,0）,N（0,?,點P為線段上的動點，當(dāng)兩?朋取得最小值

和最大值時，耳工的面積分別為s「邑，則邑=.

四、解答題

22

14.設(shè)A,8分別為雙曲線二一斗=1（?！?］〉0）的左，右頂點，雙曲線的實軸長

ab

為46，焦點到漸近線的距離為6.

（1）求雙曲線的方程；

（2）已知直線y=2與雙曲線的右支交于M、N兩點，且在雙曲線的右支上存在

點、D,^OM+ON^tOD,求f的值及點。的坐標(biāo).

15.如圖，平面上，P、Q兩地間距離為4,。為尸。中點，M處為一基站，設(shè)其發(fā)射

的電波為直線，測量得NMOQ=60°,且0、M間距離為26，現(xiàn)一機器人N正在運

行，它在運行過程中始終保持到P地的距離比到。地的距離大2（尸、。、M、N及電波

直線均共面），請建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.

（1）求出機器人N運行的軌跡方程；

（2）為了使機器人N免受/處發(fā)射的電波的影響（即機器人接觸不到過點M的直線），

求出電波所在直線斜率k的取值范圍.

16.已知雙曲線E：=一二=1(?！?］〉0)的兩條漸近線方程為丫=±氐，且點

ab

P(2,3)為E上一點.

⑴求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)M為E在第一象限的任一點，過M的直線與E恰有一個公共點，且分別與E的

兩條漸近線交于點A,B,設(shè)。為坐標(biāo)原點，證明：AAOB面積為定值.

17.已知雙曲線。：三—］=1(?！?］〉0)的離心率為2,過點P(0,逐)且斜率為

1的直線/交雙曲線C于A,B兩點.且西?麗=3.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)設(shè)。為雙曲線C右支上的一個動點，/為雙曲線C的右焦點，在x軸的負(fù)半軸上是

否存在定點".使得/QWW=2/QMF?若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由.

答案和解析

1.【答案】B

解：設(shè)直線/的方程為y=%+相，45,必），B（物心）.

y=x+m

由1f得3f+8mx+4m2+4=0,

—-/=1

14'

l4m2+48m

叫1ThU尤］%=-----，%+馬=---

無2

又因為1明=8,且42是直線,與雙曲線w-V右支的交點，

所以\AB\=\/2x個（陽+C2）2—4優(yōu)資2=8,且——＞0,

即逐X.（4）*_4X=8且加＜0，

解得加2=21,且加＜0,

所以7〃=—J五，

所以直線/的方程為y=x-J萬.

故選5

2.【答案】B

解：由題意，圓心到直線的距離d=1=走,.?.左=±6，

VF712

O22

圓（X—1）2+9=三的一條切線y=履與雙曲線C：'—斗=1（?！?］〉0）沒有公共點,

4ab

b

與其中一條漸近線y=斜率比較即可，

a

b仄［。2

?A/3，1H4，

aa

二.雙曲線C的離心率的取值范圍是（1,2］.

故答案選：B.

3.【答案】D

解：由已知得a=2,c=3.

設(shè)P(x,y),

由|OP|=3,得/+丁=9,

所以好二鄉(xiāng)一產(chǎn)，

代入土—匕=1,解得y=±乙

453

所以片乙||y|=1x6x|±||=5,

故選D

4.【答案】A

解：由題意，c=6，a=也,b=1,

無2

二.雙曲線方程為——V=i.

2

?.?斯?近<0,

+y：-3<0,

e.?XQ=2+2yO2,

—1<0,

?一婦<y<2

??3%3'

故選：A

5.【答案】B

X1v2A

解：雙曲線――二=1(。＞Q,b＞0)的漸近線方程為y=±-x,

礦b~a

由雙曲線與直線y=2x有交點，

b

則有一〉2,

a

即有e=±=、月2=\向后＞g=逐，

a\aVa

則雙曲線的離心率的取值范圍為(J?,+8).

故選：B.

6.【答案】B

解：由題意可得：雙曲線/—匕=1的漸近線方程為：y=±2x,

4

點尸(1,0)是雙曲線的右頂點，故直線無=1與雙曲線只有一個公共點；

過點P(1,0)平行于漸近線y=±2%時，直線乙與雙曲線只有一個公共點，有2條,

所以，過P(l,0)的直線L與雙曲線只有一個公共點，這樣的直線共有3條.

故選8

7.【答案】A

解：設(shè)”(和％),N(%,%)，

由｛“2—2A：2)?2-4：kmx—2(1+m2)=0,

則]72號0,①，

[△>0=>1+病一2/>0

l4mk-2(m2+1)

且MM=------，=------片—,

12l-2k2l-2k2

設(shè)MN的中點為G(x°,%),則xo=\筌，%=1梟，

在以A為圓心的圓上，=

：G為A/N的中點，

：.AG±MN,

l+m-2k?,.

--------------k=-l,2k2=3〃z+l②,

2km

由①②得一1＜加＜0或m＞3,

3

故選A

8.【答案】BC

解：由題意得直線/垂直于漸近線丫=上b工，則。4,3瑪,

a

由雙曲線性質(zhì)得|人工|=6,|QA|=a,

由31gAi=|名8|,得|AB|=21A/|=2b^,\AB\=4\AF2\=4b.

當(dāng)|AB|=2|A6|=2方時,如圖:

2b

在RIABCH中，tanZBOA=—

a

b

由雙曲線漸近線性質(zhì)得ZAOF=/BOF],tanZAOF=-

22a

因此有tanZBOA=tan("-2NAO瑪)=-tan(2NAOg)

當(dāng)”3女，化簡得2=3,

22

l-tanZAO7^-1baa

[a2

故離心率6=)1+2=技

Va

當(dāng)|AB|=4〃時，如圖:

h47?

在Rt&4O8中，tanNAOg一，在RQAOB中，tanZAOB=—

aa

cb

4b2x—

因為乙4。2=2乙4。工，利用二倍角公式，得竺=-5

a1.（與

a

化簡得自2=L故離心率e=J1+/=Y5

a2V?2

綜上所述，離心率e的值為6或逅

2

故選BC

9.【答案】ABD

解：如圖所示：

A選項，延長片。交于點C,

因為尸。為/耳2鳥的平分線，PQLF.Q,

故。為耳。的中點，|￡Q|=|QC|,

又因為乙。|，即。為月巴的中點，

故。。為△耳工。的中位線，

所以|4。|=2|。。|,OQ//F2C,

又因為P、B、c共線，

故OQ〃尸鳥，故A正確；

8選項，由定義可知I-|PEJ=2a,

因為|耳尸|=|PC|,而|KP|—|P居|=2a,

故|PC|—|「耳|=|乙C|=2a,而|「。|=2|。。|,

故I。。1='義2a=a，故B正確；

2

C選項,^\PFl\-\PF2\=2b,

222

貝力P片F(xiàn)+1PF°『=（|PF1\-\PF2\）+2\PFi||PF°|=4a+4〃=4c=（月瑪/,

則/月2月=90。，題中無說明，故不成立，故C錯誤；

。選項，因為|AB|=2a,|OQ|=a,

當(dāng)。。_1無軸時，（SA3o）max=一x2axa=a2,故。正確.

-、△/1￡>￥/lllaA

故選：ABD.

10.【答案】±1

解：設(shè)A,B兩點的坐標(biāo)分別為B(x2,y2),線段AB的中點為”(%,%).

由137一另一'得2mx—加一2=0(公〉0),

、?-jr+m=0,

2

貝ij玉+々=2m,xxx2=-m-2,

x.+x2c

x0=,?2，=m,y0x0+m-2m.

?.,點MOo，%)在圓好+產(chǎn)=5上，

m2+(2/n)2=5,

故答案為±1.

11.【答案】卜《，閥）

±1

解：⑴由直線,=區(qū)+1與雙曲線3x2—y2=1,得（3—左2）/一2履一2=0,

-2

因為A,8在雙曲線的左右兩支上，所以3—左2/0,<0

3-k2

解得-6<k<6；

（2）假設(shè)存在實數(shù)公使得以線段A8為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，設(shè)4（%,口）,B（x2,y2）,

則OA-OB=0,即+%%=0，

xxx2+(kxx+l)(fcr2+1)=0,

即伏2+1)XJX2+k(x1+x2)+1=0,

-22k

+k-+1=0,

3-k23-k2

整理得42=1,符合條件,

k—+1.

故答案為卜匈；±1.

12.【答案】3

解：?.?々2=4,片=5,。2=9,則尸(3,0),若A、2都在右支上，

當(dāng)AB垂直于x軸時，將％=3代入/―\-=1得'=±彳，則1筋1=5,滿足,

若A、2分別在兩支上，.?.兩頂點的距離為2+2=4<5,

滿足|AB|=5的直線有2條，且關(guān)于x軸對稱，

綜上滿足條件的/的條數(shù)為3.

故答案為：3.

13.【答案】4

解：離心率為6=2=2,即c=2a,b—y/3a,

a

M(—a,0),NQ,b),可得MN的方程為陵—紗+9?=0,

設(shè)P(加,〃)，F(xiàn)x(-c,0),￡(GO)，

可得跳JPF2=(—c—m,—n)-(c—m,—n)=m2+AZ2—c2,

由加2+/="M+*)2表示原點。與p的距離的平方，

顯然OP垂直于MN時，|0P|最小，

由。P：y=_*x,即>=—聯(lián)立直線上x—y+W=0,

可得P(—乎a),即H=，2c?冷

當(dāng)尸與N重合時，可得|。尸|最大，

可得S?=g.2c.b=2函,

即有邑=卒d=4.

H旦2

2a

故答案為：4.

b

14.【答案】解：⑴雙曲線的漸近方程為y=±±x,焦點為歹(土c,0),

a

：.焦點到漸近線的距離為上4=b二代,

，7+爐

又2〃=4G,

a=2A/3,

22

雙曲線的方程為土-匕=1.

123

（2）設(shè)點加（號,%）,陽工2，%），0（%，%），

由<f—16石％+84=0,

/.玉+%=16^3,必+%=+%2）-4=12,

■.■OM+ON=tOD,f（玉）,%）=（%+無2，%+%），

（W3）2（12）2

又點。（升,%）在雙曲線上，—------=1,

解得d=16,?.?點。在雙曲線的右支上，

:.t>0,

：.t=4,此時點0（4石,3）.

15.【答案】解：（1）如圖所示，以點。為坐標(biāo)原點，以尸。所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)

系，

則P(-2,0),。(2,0),

設(shè)點N(x,y),則|NP|-1NQ\=2<|PQ\=4,

所以動點N是以點P,Q為焦點的雙曲線的右支，

由題得2。=2,c=2,a=1

所以/=4—1=3,

所以動點N的軌跡方程為=1Q..1).

(2)由題得點M的坐標(biāo)為(A/3,3),

設(shè)直線的方程為y—3=Mx—百)，即：y=k(x-s/3)+3,

2

聯(lián)立直線和必一'=1(乂.1),

消去y得(3—k2)x2+(2限②-6k)x+6辰-3V-12=0

當(dāng)3-左2=0時，若左=6,此時直線就是雙曲線的漸近線，符合題意；

當(dāng)k=-6,此時直線與雙曲線右支一定有交點，不符合題意；

當(dāng)3—4270時,由A<o得(2限2—6左)2—4(3-k'(66k-3P-12)<0,

所以伏-百)伏-20)<0,

所以百〈左<2百.

綜合得依，左<26.

所以電波所在直線斜率左的取值范圍卜敕28).

i22

16.【答案】解：⑴當(dāng)2=8時，E的標(biāo)準(zhǔn)方程為二—二=1,代入（2,3）,解得儲=1.

aa3a

故E的標(biāo)準(zhǔn)方程為爐—2L=1.

3

（2）直線斜率顯然存在，設(shè)直線方程為y=+與必―5=1聯(lián)立得：

（比2—3）%2+2ktx+?2+3=0.

由題意,土石且A=4左21—4（左2—3）（產(chǎn)+3）=0,化簡得:t2-k2+3=O.

設(shè)4（石，％）,3。2，%），

將丁=區(qū)+。與y=Gx聯(lián)立，解得X]=方2—；與y=聯(lián)立，解得馬=下」一.

y/3—kyj3+k

SAAOB=力OAI?I0例?sinZAOB=彳I2%I?I29I?Sin120°=GI1=

22