現(xiàn)代控制系統(tǒng)第十二版課后習(xí)題7章根軌跡法答案中文版

第7章根軌跡法

基礎(chǔ)練習(xí)題

E7.1在圖E7.1所示的圓環(huán)裝置中，球體沿環(huán)的內(nèi)壁自由滾動(dòng)，圓環(huán)沿著水平方向自由旋轉(zhuǎn)。

該裝置可以用來模擬液體燃料在火箭中的晃動(dòng)。作用于環(huán)上的轉(zhuǎn)矩控制著圓環(huán)的角位移，而

轉(zhuǎn)矩T則由連接在圓環(huán)的驅(qū)動(dòng)桿上的電機(jī)產(chǎn)生。當(dāng)引入負(fù)反饋后，系統(tǒng)的特征方程為

Ks(s+4)

2+2s+2

(a)繪制以K為參數(shù)的根軌跡。

(b)當(dāng)閉環(huán)特征根相等時(shí)，求出系統(tǒng)增益K的取值。

(c)求出彼此相等的這兩個(gè)特征根。

(d)當(dāng)閉環(huán)特征根相等時(shí)，計(jì)算系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間。

圖E7.1由電機(jī)驅(qū)動(dòng)旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)

s(s+4)

【解析】(a)特征方程為1+K=0,根軌跡如下

s~+2s+2

(b)系統(tǒng)特征方程可以寫為(1+K)S2+(2+4K)S+2=0,解得

_-(1+2K)J(2+4K1-8(1+K)

5-1+K土2(1+K)當(dāng)(2+4K)?—8(l+K)=0時(shí)

—(1+2K)

52=J,解得K=0.31。

1+K

-(1+0.62)

(c)當(dāng)K=0.31時(shí)，根為.2=；+031=T，24。

(d)當(dāng)K=().31時(shí)，特征方程為/+2.472s+1.528=(s+1.24)2=0,因此4,=124,

G=l,系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。調(diào)節(jié)時(shí)間為4s。

E7.2考慮某磁帶錄音機(jī)的速度控制系統(tǒng)，其負(fù)反饋回路的傳遞函數(shù)為“(s)=l,前向傳遞

K

函數(shù)為"s)=G,(s)G(s)=布+a儼+4+5)

(a)繪制以K為參數(shù)的根軌跡，并驗(yàn)證，當(dāng)K=6.5時(shí)，主導(dǎo)極點(diǎn)為s=-0.35±./0.80。

(b)根據(jù)(a)給出的主導(dǎo)極點(diǎn)，估算系統(tǒng)階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量。

【解析】(a)根軌跡如圖所示。當(dāng)K=6.5時(shí)，特征方程的根為“2=-265±/1.23,

J.=-0.35±；0.8。主動(dòng)極點(diǎn)的實(shí)部比其他兩個(gè)根小8倍。

(b)主導(dǎo)根為(S+0.35+J0.8)(5+0.35-J0.8)=?+0.7S+0.7625,則例=0.873,

0.744

G=―；-------r=0.40調(diào)節(jié)時(shí)間為(=---=-----=11.43so超調(diào)量為

2(0.873)05眄0.35

P.O.=e』/后=25.4%。

E7.3假設(shè)汽車懸掛檢測裝置的控制系統(tǒng)具有單位負(fù)反饋，且受控對象為

K(d+4s+8)

L(s)=G(s)G(s)=當(dāng)系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)的阻尼比為4=05時(shí)，試?yán)酶?/p>

52(5+4)

跡驗(yàn)證，此時(shí)有K=7.35,且對應(yīng)的主導(dǎo)極點(diǎn)為s=-L3±/2.2。

【解析】根軌跡如圖所示。當(dāng)K=7.35,，=0.5時(shí)根為4=一8.7,52>3=-1.3±；2.2o

4i--------------------------------1-------------

ReelAxis

K（s+1）

E7.4考慮某個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為G,(s)G(s)=

52+4s+5

(a)求根軌跡離開復(fù)極點(diǎn)的出射角。

(b)求根軌跡進(jìn)入實(shí)軸的匯合點(diǎn)。

【解析】根軌跡如圖所示。

出射角和匯合點(diǎn)為%=225°,-225°,ah=-2.4。

E7.5考慮某單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為

s~+2s+10

G（s）G（s）=

■4+3853+515s2+2950s+6000

(a)求實(shí)軸上的根軌跡分離點(diǎn)。

(b)確定漸近中心。

(c)計(jì)算分離點(diǎn)處增益K的取值。

【解析】(a)根軌跡如圖所示，分離點(diǎn)為%|=一13.0,藥,2=一5.89。

40

Re?lAxis

(b)漸進(jìn)中心為々加=78,圖”"=妁0°。

(c)分離點(diǎn)處增益&=1.57,(=2.14。

E7.6某空間站如圖E7.6所示。為了能夠充分利用太陽能和保持對地通信，保持空間站對太

陽和地球的正確指向非常重要?？梢圆捎脦в袌?zhí)行機(jī)構(gòu)和控制器的單位負(fù)反饋系統(tǒng)來描述空

15K

間站的定向控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為G,(s)G(s)=當(dāng)K從0變?yōu)?8

5(?+15.?+75)

時(shí)，試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡，并求出導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)的K值。

圖E7.6空間站

【解析】當(dāng)K>75時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

Syat?tn：sy>

Gan；75

Polo:-0000981*8.66)

Damping:0.000113

Ovenshoot(%):100

Frequency(ratMec1:8.00

RealA?s

E7.7在現(xiàn)代化的辦公大樓內(nèi)，電梯在以25ft/s的速度高速運(yùn)行的同時(shí)，仍能以1/8ft的精度

?？吭谥付ǖ臉菍印？梢杂脝挝回?fù)反饋系統(tǒng)來描述電梯位置控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為

L(s)=G,(s)G(s)=-一絲士2——-當(dāng)復(fù)根的阻尼比為，=0.8時(shí)，試確定增益K

'，，s(s+4)(s+6)(s+9)

的取值。

【解析】根軌跡如圖所示。

10

Pole*4?1in

Damping.0792

Overshoot(%)1.7

F，《qu?ncyi81

15

-20」

-25-1510

RealAxn

特征方程有4個(gè)極點(diǎn)和1個(gè)零點(diǎn)。漸近線角為“=+60°,-60°,-180°,中心為j=-3.7o

當(dāng)K=27.35時(shí)G=0.8。

K(s+1)

E7.8單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為L(s)=G(s)G(s)=

cs?(s+9)

(a)當(dāng)三個(gè)特征根均為實(shí)數(shù)且彼此相等時(shí)，求增益K的取值。

(b)求出(a)中的三個(gè)彼此相等的閉環(huán)特征根。

C1

【解析】特征方程為I+即八9八檢+心。。當(dāng)三個(gè)特征根均為實(shí)

數(shù)且相等時(shí)，需(S+r)3=$3+3用2+3/s+/=。，使兩式相等解得長=27,特征根為

$=-3。根軌跡如圖所示。

-4

01----------------------------?------------'--------------1

-15-10-505

RealAxis

E7.9世界上最大的望遠(yuǎn)鏡坐落在夏威夷，其主鏡由36片六角形的鏡片鑲嵌而成，直徑高達(dá)

10mo望遠(yuǎn)鏡能夠?qū)γ總€(gè)鏡片的方位進(jìn)行主動(dòng)控制。假設(shè)單個(gè)鏡片的控制由單位負(fù)反饋系統(tǒng)

K

實(shí)現(xiàn)，且開環(huán)傳遞函數(shù)為L(s)=G,(s)G(s)

s(s~+2s+5)

(a)在s平面上繪制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的漸近線。

(b)求離開復(fù)極點(diǎn)的出射角。

(c)確定增益K的取值，使系統(tǒng)有兩個(gè)特征根位于虛軸之上。

(d)繪制系統(tǒng)的根軌跡。

]

【解析】特征方程為1+K=0BPs3+2.v2+5s+K=0。

+2s+5)

(a)系統(tǒng)有三個(gè)極點(diǎn)s=0,一1±/2。漸近線的數(shù)量為%-〃==3,以外加=一|為中心,

角度為±60°/80二

(b)出射角為90°+%+116.6°=180°,%=—26.6°。

5315

s22KK

(c)勞斯判據(jù)表為1,，其中。=5-k。所以當(dāng)K=10時(shí)根位于虛軸上。輔助方程

51b2

s°K

為2s2+10=0即電2=±/右。

(d)根軌跡如圖所示。

E7.10某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(a)求實(shí)軸上的分離點(diǎn)和匯合點(diǎn)。

(b)當(dāng)復(fù)特征根的實(shí)部為-2時(shí)，求出系統(tǒng)的增益和特征根。

(c)繪制系統(tǒng)的根軌跡。

【解析】(a)特征方程為1+半黑=0,因此長=一上上^,半=_s；+4s：2=0。

s(s+l)s+2ds(5+2)-

由s2+4s+2=0解得s=-0.586,—3.414。因此系統(tǒng)的分離點(diǎn)和匯合點(diǎn)為s=-0.586,

s=-3.414。

(b)期望的特征多項(xiàng)式為(s+2+M(s+2—q)=s2+4s+4+a2=0,實(shí)際的特征多項(xiàng)

式為/+(1+K)s+2K=0,使兩式相等解得K=3,a=6。因此，當(dāng)K=3時(shí)根為

42=-2±V2jo

(c)根軌跡如下圖所示。

K=3,5=-2+1.414j

Y

vx

e6

-w

051

RealAxis

E7.11某機(jī)器人的力控制系統(tǒng)為單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為

K（s+2.5）

L（s）=KG（s）=

12+2s+2）12+4s+5）

(a)繪制系統(tǒng)的根軌跡，當(dāng)主導(dǎo)極點(diǎn)的阻尼比為0.707時(shí)，求出增益K的取值。

(b)利用(a)得到的增益K,估算系統(tǒng)的超調(diào)量和峰值時(shí)間。

,K(s+2.5)

【解析】特征方程為1+廠-----\-、/一,1------r=0,根軌跡如圖所示。從圖中可以看出

(?+25+2)(S2+45+5)

當(dāng)K=0時(shí)［=0.707。

RealAxls

K(s+1)

E7.12某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為L(s)=KG(s)=-

s仔+6s+18)

(a)當(dāng)K從0到+8變化時(shí)，繪制系統(tǒng)的根軌跡。

(b)當(dāng)K=10和20時(shí)，求出系統(tǒng)的閉環(huán)特征根。

(c)當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)，K=10和20時(shí)，分別計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)從零到穩(wěn)態(tài)值的上升

時(shí)間、超調(diào)量和按2%準(zhǔn)則的調(diào)節(jié)時(shí)間。

【解析】(a)特征方程為一J=0,根軌跡如圖所示。

5(52+65+18)

RootLocus

RealA?s

(b)特征方程的根為：(1)當(dāng)K=10時(shí)邑2=-2.8064±4.2368八53=-0.3872;當(dāng)

K=20時(shí)S|2=-2.7134±5.2466j,邑=-0.5732o

(c)單位階躍響應(yīng)的特性如下：

K1020

Tn(sec)9.05.5

P.O.i0

Tr(sec)2.6

E7.13某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為L(s)=G((s)G(s)=s(s3)

(a)當(dāng)z從0變到100時(shí)，繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。

(b)當(dāng)輸入為階躍信號(hào)，z=0.6,2和4時(shí)，試?yán)孟到y(tǒng)的根軌跡，分別估算系統(tǒng)的超調(diào)

量和按2%準(zhǔn)則的調(diào)節(jié)時(shí)間。

(c)當(dāng)z=0.6,2和4時(shí)，分別計(jì)算系統(tǒng)實(shí)際的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間。

4

【解析】(a)特征方程為s(s+l)(s+3)+4s+4z=0,即1+2---------=--0--,---

s(s+l)(s+3)+4s

根軌跡如圖所示。

(b)根為z=0.6,2.0,4.0。當(dāng)z=0.6時(shí)G=O.76,q=2.33,因此階躍響應(yīng)的超調(diào)量為

P.Q=2.4%,調(diào)節(jié)時(shí)間為(=2.3s；當(dāng)z=2.0時(shí)1=0.42,%=1.79,因此階躍響應(yīng)的

超調(diào)量為P.。=23%,調(diào)節(jié)時(shí)間為(=5.3s；當(dāng)z=4.0時(shí)。=0.15,0=2.19,因此階

躍響應(yīng)的超調(diào)量為PO=62%,調(diào)節(jié)時(shí)間為7；=12s。

(c)階躍響應(yīng)如下圖所示。

K(s+10)

E7.14某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為L(s)=Gc(s)G(s)=

s(s+5)

(a)確定根軌跡與實(shí)軸的分離點(diǎn)和匯合點(diǎn)，當(dāng)K>0時(shí)，繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。

(b)當(dāng)兩個(gè)復(fù)特征根的阻尼比為；=1/加時(shí)，確定增益K的取值。

(c)計(jì)算(b)中的閉環(huán)特征根。

K'+1O)=0,根軌跡如圖所示。分離點(diǎn)為4=-2.93,匯合

【解析】(a)特征方程為1+

s(s+5)

點(diǎn)為久=T7.10

1,

(b)期望&=0.707,故期望的特征多項(xiàng)式為Y+2gs+a=0,實(shí)際多項(xiàng)

式與期望特征多項(xiàng)式比較可得戰(zhàn)=10K,04=5+K,解得K=5,①“=7.07。當(dāng)

K=5時(shí)根為電2=-5±，5。

/\/、/\K(s+10)(s+2)

E7.15某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為L(s)=G,(s)G(s)=」——9——2

(a)繪制閉環(huán)系統(tǒng)的特征根。

(b)確定K的取值范圍，使系統(tǒng)穩(wěn)定。

(c)預(yù)測系統(tǒng)對斜坡輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

(s+10)(s+2)

【解析】0)特征方程為1+公￡根軌跡如圖所示。

RootLocus

15

O

S5

X

V

O

-5

-1O

?-20?-15?-10-50

RealAxis

S'12K

,2K20K

(b)勞斯判據(jù)表為,,其中b=12K-20。要使系統(tǒng)穩(wěn)定，需要使第一列所

sb

s°20K

有元素均為正。貝IJK>L67。

311c2

(c)當(dāng)K>:時(shí)，有e=limsE(s)=lims---------?—=lim—-----———------=0。

2

4,一0''2。1+G”(s)5STOS3+K(S+1)(S+3)

E7.16某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為L(S)=G(S)G(S)=KI其中，T=0.1s。

2

亍一520-v

假設(shè)時(shí)延項(xiàng)可以用下式近似：e-"?W一試?yán)?——當(dāng)K>0時(shí)，繪制閉環(huán)系

2,20+s

一+s

T

統(tǒng)的根軌跡圖，并確定K的取值范圍，使系統(tǒng)穩(wěn)定。

【解析】e-Ts的展開式為e"'=1—△+⑥-—?,如果Tsm1,則e-Ts^\-Ts="竺,

2!c+ds

.1r\

其中a,。,c,d為待定常數(shù)。使用長除法，我們展開^~并匹配系數(shù)，a=c=不，

c+dsT

20-5-（5-20）-KG?

b=-d=-LT=0.1則e』。故特征方程為1+

20+s5+20（5+1）（5+20）-'

根軌跡如圖所示。運(yùn)用勞斯判據(jù)分析特征方程$2+(21-K)s+20+20K=0,可知當(dāng)

-1<K<21時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。

E7.17某控制系統(tǒng)如圖E7.17所示，其中受控對象為G(s)=7二

s(s-l)

(a)當(dāng)G，(s)=K時(shí)，利用根軌跡證明系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。

(b)當(dāng)G,(5)=：(：；：)時(shí),繪制系統(tǒng)的根軌跡，首先確定K的取值范圍，使系統(tǒng)穩(wěn)定。

然后，確定K的取值，使系統(tǒng)有兩個(gè)特征根位于虛軸之上，并計(jì)算此時(shí)的純虛根。

R（s）Y（s）

圖E7.17反饋控制系統(tǒng)

【解析】(a)根軌跡如下圖所示。

s

-49

6

ue

-J

‘2-15-1-0.500.S1152

RealAxis

當(dāng)K>0時(shí)根位于右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

(b)特征方程為]+/K(：+2),根軌跡如圖所示。當(dāng)K>22.3時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)

5(5-1)(5+20)

K=22.3時(shí)根為S]2=±八.53,%=-19o

S

K

4

6

2

-8

-10

-30-25-20-15-W-50510

RealAxis

E7.18A-6“入侵者”噴氣式殲擊機(jī)的偏航控制系統(tǒng)采取了單位負(fù)反饋形式，其中的開環(huán)傳遞

函數(shù)為")=G<.(s)G(s)=s(s+3/+2s+2)

(a)確定根軌跡和實(shí)軸的分離點(diǎn)。

(b)確定虛軸上的一對復(fù)根及其對應(yīng)的增益值，并繪制系統(tǒng)的根軌跡。

【解析】根軌跡如圖所示。

當(dāng)K=8.15時(shí)根為.2=.095,534=-2.5±；0.74o

E7.19某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為L(s)=Gc(s)G(s)=

(a)確定根軌跡在復(fù)極點(diǎn)處的出射角。

(b)繪制系統(tǒng)的根軌跡。

(c)確定增益K的取值，使閉環(huán)復(fù)極點(diǎn)位于虛軸上，并求出此時(shí)的閉環(huán)復(fù)極點(diǎn)。

________K________

【解析】特征方程為1+=0,根軌跡如圖所示。當(dāng)K=1292.5時(shí)根

S(S+3)(S2+6s+64)

為M2=±/4.62,$34=-4.49±J6.36。

1。

二,

-501015

RealAxis

E7.20某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為L(s)=Gc(s)G(s)=-7"f：”

s(s-2)(s+6)

(a)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。

(b)繪制系統(tǒng)的根軌跡。

(c)保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，確定復(fù)根的最大阻尼比4。

【解析】特征方程為1+、=。，根軌跡如圖所示。當(dāng)K>16時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。系

s(s-2)(s+6)

統(tǒng)穩(wěn)定前提下，最大阻尼比為［=0.25。

-10

-4-3-20

RealAxis

Ks

E7.21某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為L(s)=Gc(s)G(s)=繪制系統(tǒng)的

53+5.V2+10

根軌跡，并確定增益K的取值，使閉環(huán)復(fù)根的阻尼比6近似等于0.66。

【解析】當(dāng)復(fù)根的阻尼比為G=0.66時(shí)增益K=10.8。根軌跡如圖所示。

E7.22用來發(fā)射衛(wèi)星的高性能火箭配置有一個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為

G(s)G(s)=^l^

當(dāng)K在。到田之間變化時(shí)，試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。

「「(52-2)(5+12)

K(S2+18)(S+2)

【解析】特征方程為1+7^一廣~~10,根軌跡如圖所示。

(52-2)(5+12)

RootLocus

3.

w

x

v

A

BJ

6C

UB

-J

-3

-12-10-202

RealAxis

4（52+1）

-7——當(dāng)K在0到+8之間變

E7.23某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Gc（s）G（s）=

化時(shí)，試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。

【解析】特征方程為5s2+—二°,可寫作1+資=根軌跡如圖所示。

-1.5-1-0.500.511.5

RealAxis

x=Ax+Bu010

E7.24考慮用如下狀態(tài)變量模型表示的系統(tǒng)：廠c其中，A=B=

y-Cx+Du-14-k1

C=[l0],。=[0]確定系統(tǒng)的特征方程，當(dāng)&在。到+8之間變化時(shí),繪制系統(tǒng)的根軌

跡。

-10

【解析】傳遞函數(shù)為G（s）=C（sI-A）TB+D=[l0]s目「因

4s+k1

此特征方程為/+依+4=0即1+Z——=0。當(dāng)0(左<8時(shí)根軌跡如圖所示。當(dāng)

s-+4

0cz<8時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.51---------------------------1----------------------------------------，-------------：----------------------------------------

-2-IS

RealAxis

E7.25某閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)如圖E7.25。當(dāng)0<K<s變化時(shí)，繪制系統(tǒng)的根軌跡，并確定參

數(shù)K的取值范圍，以保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

R(s)Y(s)

圖E7.25含有參數(shù)K的非單位負(fù)反饋系統(tǒng)

【解析】特征方程為1+K當(dāng)0<K<8時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，則根軌跡如圖所示。

s(s+25)

x〃)=AY⑺+3〃⑺

E7.26考慮由如下模型描述的單輸入-單輸出系統(tǒng)：'’其中,

y(f)=Cx(r)

010rl

8=C=[l-1]計(jì)算系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，當(dāng)K在°到+8之

3—K—2—K1

間變化時(shí)，繪制系統(tǒng)的根軌跡，并確定K的取值范圍，以保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

-1S+1

【解析】特征多項(xiàng)式為det“'0gpX+K-Z----------=0。當(dāng)

s+K-3s+K+2A2+2.V-3

()<K<3時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。根軌跡如圖所示。

RootLocus

0.8

0.6

0.4

E7.27考慮圖E7.27所示的單位負(fù)反饋系統(tǒng)。當(dāng)p在。到+8之間變化時(shí)，繪制系統(tǒng)的根軌

跡。

R(s)丫⑸

圖E7.27含有參數(shù)p的單位負(fù)反饋系統(tǒng)

S

【解析】特征方程為1+P=0,當(dāng)0<〃<8時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，根軌跡如圖所示。

.V2+4.V+40

RealAns

E7.28考慮圖E7.28所示的反饋控制系統(tǒng)，當(dāng)K在f到0之間變化時(shí)，試?yán)L制系統(tǒng)的負(fù)增

益根軌跡，并確定能夠使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。

受控對象

控制器

S-1

R(s)K丫⑸

s(s2+2s+2)

圖E7.28某反饋控制系統(tǒng)

【解析】特征方程為1+K/'—I_=0,當(dāng)一1.33<K<()時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，根軌跡如圖

sl+2s+2)

所示。

Re#Axis

一般習(xí)題

P7.1當(dāng)K在。到+8之間變化時(shí)，繪制圖P7.1所示閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡，其中開環(huán)傳遞函數(shù)

分別為

(a)G(s)G(s}=———=——?(b)G(5)G(5)=------1------

c——s(s+10)(s+8)，「一伊+2§+2(s+2)

K(s+5)K+4s+8)

(c)G,(s)G(s)=(d)G(S)G(S)=一

s(s+2)(s+10)2S+l)

R(s)Y(s)

圖P7.1某反饋控制系統(tǒng)

【解析】(a)(b)(c)(d)根軌跡如圖所示。

RoonLocus

RootLoa*

P7.2重新考慮習(xí)題P6.7中提出的鑒相器的線性模型，當(dāng)增益Kv=K〃K變化時(shí)，繪制系統(tǒng)

的根軌跡，并確定K,的取值，使對應(yīng)的復(fù)根的阻尼比為0.60。

【解析】特征方程為1+10"'+⑼\=0,當(dāng)《=0.8,135,648時(shí)阻尼比G=0.6。特

5(5+1)(5+100)

征方程的根如下：

當(dāng)K1=0.8時(shí)M=-99.9,523=-0.54±；0.71;當(dāng)K、.=135時(shí)防=一85.9,

52-3=-7.5±；10;當(dāng)長、,=648時(shí)、=一11.7,^23=-44.6±；59.5o

根軌跡如圖所示。

60

c

E

-10

RealAxis

P7.3某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G,(s)G(s)s(s+2)(s+5)試求:

X

a)

/實(shí)軸上的分離點(diǎn)及與該點(diǎn)對應(yīng)的增益K。

b\

)

7位于虛軸上的特征根及對應(yīng)的增益K。

e\

J

Z

dK=6時(shí)的閉環(huán)特征根。

\

)

/繪制系統(tǒng)根軌跡。

【解析】(a)實(shí)軸上的分離點(diǎn)為s=-0.88,對應(yīng)的增益K=4.06。

,3110

*7K70-K

(b)特征方程可寫為s(s+2)(s+5)+K=0,勞斯判據(jù)表為‘],其中

h7

s°K

當(dāng)K=70時(shí)位于虛軸上的根為s=±jV10。

(c)當(dāng)K=6時(shí)的閉環(huán)特征根為S1,2=-0-83±j0.66,53=-5.34o

(d)特征方程為1+=0,根軌跡如圖所示。

s(s+2)(s+5)

8

P7.4重新考慮習(xí)題P4.5給出的大型天線系統(tǒng)，當(dāng)勺在0到+8之間變化時(shí)，繪制系統(tǒng)的特

征根，并確定能夠使系統(tǒng)穩(wěn)定的放大器增益的最大值。

100%

【解析】大型天線系統(tǒng)的特征方程為l+QG(s)=l-I----------------------------------------2---------------=-----0-----即-

(0.15+1)(?+14.45+100)

_______1000(_______

1+=0,根軌跡如圖所示。由勞斯判據(jù)可知當(dāng)-1＜心＜4.83時(shí)

(5+10)(s2+14.45+100)

系統(tǒng)穩(wěn)定。

20

5

O

s

x

<

6

UQ

-J

RealAxis

P7.5與固定機(jī)翼飛機(jī)具有一定程度的自穩(wěn)定性不同，直升機(jī)自身很不穩(wěn)定，因此直升機(jī)必須

配置穩(wěn)定控制系統(tǒng)。直升機(jī)穩(wěn)定控制系統(tǒng)包括一個(gè)自動(dòng)的穩(wěn)定控制系統(tǒng)和飛行員通過控制桿

進(jìn)行控制的控制環(huán)節(jié)，如圖P7.5所示。當(dāng)飛行員不使用控制桿時(shí)，我們認(rèn)為開關(guān)是斷開的。

25(5+0.03)

假設(shè)直升機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型可用下面的傳遞函數(shù)表示：G(s)

(5+0.4)(52-0.365+0.16)

(a)當(dāng)飛行員控制回路斷開時(shí)(不進(jìn)行手動(dòng)控制)，繪制自動(dòng)穩(wěn)定控制系統(tǒng)的根軌跡，并

確定增益K2的取值，使復(fù)根的阻尼比為4=0-707。

(b)利用(a)中得到的增益Ka,確定系統(tǒng)對陣風(fēng)干擾方(s)=1/s的穩(wěn)態(tài)誤差。

(c)考慮飛行員手動(dòng)控制回路，并將K2取為(a)中所確定的值，當(dāng)在0到+8之間

變化時(shí)，試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。

(d)根據(jù)根軌跡確定K1的合適取值，重新計(jì)算(b)中的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖P7.5直升機(jī)控制系統(tǒng)

廨析】(a)不進(jìn)行手動(dòng)控制的特征方程為1+雨。閣段036A6限9廠根

軌跡如圖所示。當(dāng)K2=1.6或K2=0.74時(shí)阻尼比為G=0.707。

(b)從口⑸到丫⑸的傳遞函數(shù)為=您?其中G,(s)=與胃，

2\/J\/

由終值定理可得以=網(wǎng)sf%J=一號(hào)K=3-8,其中選擇&=1.6。

-。1+G2(S)G/(S)S1+11,7

當(dāng)K?=0.74時(shí)以=5.96。

（C）手動(dòng)控制回路的閉環(huán)特征方程為

1+______________25&(s+0.03)(s+9)_______________

根軌跡如圖所示。

(5+0.045)(5+133)(?+7.665+29.78)(?+125+1)

20---------

15

?10

15

510IS20

RealAxis

（d）&=2時(shí)=0.44。

P7.6考慮在大氣層內(nèi)運(yùn)行的衛(wèi)星，其姿態(tài)控制系統(tǒng)如圖P7.6所示。框圖中控制器和受控對

象的傳遞函數(shù)分別為G（5）=---------------------------,

''（5+0.90）（5-0.60）（5-0.10）

（s+2+jl.5）（s+2-/L5）

4⑵-5+4.0

（a）當(dāng)K在0到+8之間變化時(shí)，繪制系統(tǒng)的根軌跡。

（b）確定增益K的取值，使系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間小于12s（按2%準(zhǔn)則），且復(fù)根的阻尼比大于

0.50o

圖P7.6衛(wèi)星姿態(tài)控制

^（5+0.20）（?+45+6.25）

【解析】（a）特征方程為1+/N-/一省~-;<=0,根軌跡如圖所示。

（5+T0.9）（5-0.6）（5-0.1V）z（5+4）

,

)率子的差差

s)4

(頻因時(shí)偏s(儡0

L作節(jié)。速o(速0—R

A載A轉(zhuǎn).

工調(diào)值轉(zhuǎn)0—

量空取

的速為態(tài)=

化的穩(wěn)“

機(jī)轉(zhuǎn)牡K

變電態(tài)A的

的，子中

發(fā)穩(wěn)速統(tǒng)一其

矩，因系

輪轉(zhuǎn),

轉(zhuǎn)渦外節(jié)：

載，機(jī)調(diào)證c0

此。

負(fù)速。動(dòng)定=