新課程高考數(shù)學(xué)試題特點(diǎn)分析

新課程高考數(shù)學(xué)試題特點(diǎn)分析北京常毓喜一、新課程高考綜述二、試題特點(diǎn)分析及教學(xué)建議一、新課程高考綜述2013年是數(shù)學(xué)試題，無(wú)論是新課標(biāo)卷還是四川卷，均強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)、考查能力、注重思維，是符合實(shí)際、穩(wěn)中有新、富有特色的試題，體現(xiàn)了課程改革的發(fā)展方向.二、試題特點(diǎn)分析及教學(xué)建議1.強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)2.考查能力3.注重思維1.強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)

新課標(biāo)1卷新課標(biāo)2卷四川卷容易題1,2,3,4,5,6,7,13,14,17,18,221,2,3,4,5,6,7,8,13,14,17,181,2,3,4,5,6,11,12,13,16,17分值35+10+34=7940+10+24=7430+15+24=69

新課標(biāo)1卷新課標(biāo)2卷四川卷中等題8,9,10,15,199,10,15,16,19,227,8,9,14,18,19分值15+5+12=3210+10+22=4215+5+24=44

新課標(biāo)1卷新課標(biāo)2卷四川卷難題11,12,16,20,2111,12,20,2110,15,20,21分值10+5+24=3910+24=345+5+27=37教學(xué)建議：在復(fù)習(xí)（特別是第一輪復(fù)習(xí)）中，要把握方向，注重落實(shí).重點(diǎn)是概念理解與技能掌握.對(duì)概念理解的目標(biāo)是準(zhǔn)確且深刻；技能的目標(biāo)是會(huì)、對(duì)、滿.例1（2013年四川卷4）設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．若命題則（）

命題p

：“若(x-1)(x+2)=0，則x=1”的否定是

．若(x-1)(x+2)=0，則x≠1；例2

命題p

：“若(x-1)(x+2)=0，則x=1”的否定是

．例2命題p

：“

x∈R，若(x-1)(x+2)=0，則x=1”．命題q

：“

x∈N，若(x-1)(x+2)=0，則x=1”．

命題p

：“若(x-1)(x+2)=0，則x=1”的否定是

．錯(cuò)解：若(x-1)(x+2)=0，則x≠1；正解：存在實(shí)數(shù)x，使(x-1)(x+2)=0，且x≠1；例2

甲、乙、丙三名射箭運(yùn)動(dòng)員在某次測(cè)試中各射箭20次，三人的測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤韘1,s2,s3分別表示甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員這次測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則有Ａ．s3>s1>s2 B．s2>s1>s3

Ｃ．s1>s2>s3 D．s2>s3>s1甲的成績(jī)環(huán)數(shù)78910頻數(shù)5555乙的成績(jī)環(huán)數(shù)78910頻數(shù)6446丙的成績(jī)環(huán)數(shù)78910頻數(shù)4664例3例4為了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學(xué)利用假期分別對(duì)三個(gè)社區(qū)進(jìn)行了“家庭每月日常消費(fèi)額”的調(diào)查.他們將調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），記甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1,s2,s3,則它們的大小關(guān)系為

.例5近年來(lái),某市為促進(jìn)生活垃圾的分類處理,將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類,并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱,為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況,現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)1000噸生活垃圾,數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位：噸)：“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（Ⅲ）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分別為a,b,c,其中a>0，a+b+c=600,當(dāng)數(shù)據(jù)a,b,c,的方差s2最大時(shí)，寫(xiě)出a,b,c,的值(結(jié)論不要求證明)，并求出此時(shí)s2的值.例6（2013年北京卷第17題）下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天（Ⅰ）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；（Ⅱ）設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）例7(2013年四川卷理科第15題)設(shè)P1,P2,…,Pn為平面內(nèi)的個(gè)點(diǎn)，在平面內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn)P到P1,P2,…,Pn點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為P1,P2,…,Pn點(diǎn)的一個(gè)“中位點(diǎn)”．例如，線段AB上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)A，B的中位點(diǎn)．則有下列命題：①若A,B,C三個(gè)點(diǎn)共線,C在線段AB上,則C是A,B,C的中位點(diǎn)；②直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；③若四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D共線,則它們的中位點(diǎn)存在且唯一；④梯形對(duì)角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)．其中的真命題是________．(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))例8（2013年新課標(biāo)2卷文科3）從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是例9（2013年新課標(biāo)2卷理科第6題）執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的N=10，那么輸出的S=開(kāi)始結(jié)束是否輸出S輸入N例10（2013年新課標(biāo)2卷理科第7題）一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到正視圖可以為ABCD例11（2013年新課標(biāo)2卷理科第8題）設(shè)a=log36,b=log510,c=log714,則（A）c＞b＞a

（B）b＞c＞a

（C）a＞c＞b

（D）a＞b＞c例12（2013年新課標(biāo)2卷理科第15題）設(shè)為第二象限角，若則_____.例13（2013年四川卷理科第9題）節(jié)日家前的樹(shù)上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，若接通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈在內(nèi)4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的概率是2.考查能力例14(2013年新課標(biāo)1卷第6題)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為OACMB例15(2013年新課標(biāo)1卷第8題)某幾何函數(shù)的三視圖如圖所示，則該幾何的體積為側(cè)視圖俯視圖44422242主視圖3.注重思維例16(2013年新課標(biāo)1卷第12題)設(shè)△AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an,bn,cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1,2,3,…,若b1＞c1,b1＋c1＝2a1,an＋1＝an,A、{Sn}為遞減數(shù)列B、{Sn}為遞增數(shù)列C、{S2n－1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列D、{S2n－1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列例17(2013年四川卷第7題)函數(shù)的圖象大致是ABCD例18(2013年四川卷10題)設(shè)函數(shù)e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．若曲線y=sinx上存在(x0,y0)使得f((y0))=y0，則a的取值范圍是（A）[1,e]（B）[e-1,1]（C）[1,1+e]（D）[e-1,e+1]分析：若曲線y=sinx上存在(x0,y0)使得f((y0))=y0，就是y0∈[0,1]，且點(diǎn)(f(y0),y0)在曲線上.也就是直線y=x與曲線f(x)在[0,1]上有交點(diǎn).所以在[0,1]上有解.所以a=ex+x-x2,x∈[0,1].例19在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,P是動(dòng)點(diǎn),且直線AP與BP的斜率之積等于(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(Ⅱ)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.解（1）顯然點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,-1).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，根據(jù)題意得：化簡(jiǎn)得：x2+3y2=4(x≠±1).所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+3y2=4(x≠±1).（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)，則直線AP的方程式為直線BP的方程式為OxyABPMN于是△PMN的面積為又直線AB的方程為x+y=0，|AB|=點(diǎn)P到直線AB的距離為OxyABPMN于是△PAB的面積為解得：代入橢圓方程解得：故存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為例20已知直線x-2y+2=0經(jīng)過(guò)橢圓C：的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS,BS與直線l：分別交于M,N兩點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）求線段MN的長(zhǎng)度的最小值.OxyABDSMN解：（1）由已知可知橢圓C左頂點(diǎn)為A(-2,0)，上頂點(diǎn)為D(0,1)，所以a=2，b=1.所以橢圓C的方程為（2）依題意，直線AS的斜率一定存在，設(shè)為k(k>0).直線AS的方程為y=k(x+2)，點(diǎn)OxyABDSMN把直線AS的方程代入橢圓C的方程并整理得： (1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為又B(2,0)，所以直線BS的方程為OxyABDSMN當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)時(shí)MN的長(zhǎng)度的最小值為例21已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R).（Ⅰ）若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)m=4，曲線C與y軸的交點(diǎn)為A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方)，直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M,N，直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G，求證：A,G,N三點(diǎn)共線.（Ⅰ）所以m的取值范圍是（Ⅱ）當(dāng)m=4時(shí)，曲線C的方程為x2+2y2=8，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(0,2),(0,-2).因?yàn)橹本€y=kx+4與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M,N，設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，則條件結(jié)論幾何關(guān)系代數(shù)關(guān)系幾何關(guān)系代數(shù)關(guān)系曲線C與y軸的交點(diǎn)為A,BA,G,N三點(diǎn)共線直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M,N直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G可以求出A,B的坐標(biāo)代入、韋達(dá)定理、判別式用M的坐標(biāo)表示G的坐標(biāo)kAG=kANA,N,G的坐標(biāo)直線BM的方程為：可求得點(diǎn)G的坐標(biāo)為：從而A,G,N三點(diǎn)共線.例22(2013年四川卷第20題)已知橢圓C：

(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-1,0),F2(1,0)，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段上MN的點(diǎn)，且求點(diǎn)Q的軌跡方程．解：（1）利用橢圓定義知而c=1，所以橢圓的離心率（2）橢圓方程為設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)．①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l與橢圓交于(0,1),(0,-1)兩點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+2，點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,kx1+2),(x2,kx2+2).所以△=64k2-24(2k2+1)>0，解得：把y=kx+2代入橢圓方程得：(2k2+1)x2+8kx+6=0.則|AM|2=(1+k2)x12,|AN|2=(1+k2)x22，而|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2．因?yàn)镼點(diǎn)在直線l上，所以y=kx+2，代入上式并消去k得：得10(y-2)2-3x2=18．由再加上Q點(diǎn)在橢圓C內(nèi)，可得所以點(diǎn)的軌跡方程為10(y-2)2-3x2=18，其中例23(2013年新課標(biāo)1卷第20題)已知圓M：(x+1)2＋y2=1，圓N：(x-1)2＋y2=9，動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.（Ⅰ）求C；（Ⅱ）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|.解：（Ⅰ）利用平面幾何性質(zhì)可知|PM|+|PN|=4，所以曲線C的方程為(Ⅱ)對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y)，由于|PM|-|PN|=2R-2≤2，所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí)，R=2，所以的半徑最長(zhǎng)時(shí)其方程為(x-2)2＋y2=4.若直線l的傾斜角為90°時(shí),l與y軸重合,這時(shí)若直線l的傾斜角不是90°時(shí),由r1≠R知l不平行于x軸,設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q,則可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0)，所以可設(shè)直線l的方程為y=k(x+4)，由l與圓M相切得：當(dāng)時(shí)，這時(shí)直線l的方程為將其代入橢圓方程并整理得：7x2+8x-8=0，這時(shí)當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱可知綜上，或例24(2013年北京卷文科第18題)已知函數(shù)f(x)=x2+xsinx+cosx.（Ⅰ）若曲線y=f(x)在點(diǎn)(a,f(a))處與直線y=b相切，求a與b的值；（Ⅱ）若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求b的取值范圍．解：由f(x)=x2+xsinx+cosx得：f/(x)=x(2+cosx)．（Ⅰ）由已知可知f/(a)=a(2+cosa)=0，且f(a)=b．解得：a=0，b=1．（Ⅱ）令f/(x)=0得：x=0．

f(x)與f/(x)的變化情況如下：x(-∞,0)0(0,+∞)f/(x)0f(x)↘1↗所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，在(-∞,0)上單調(diào)遞減，f(0)=1是f(x)的最小值．當(dāng)b≤1時(shí)，曲線y=f(x)與直線y=b最多有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b>1時(shí)，f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b，f(0)=1<b， 所以存在x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b)，使得f(x1)=f(x2)=b．由于函數(shù)在(0,+∞)與(-∞,0)上均單調(diào)，所以當(dāng)b>1時(shí)，曲線y=f(x)與直線y=b有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；綜上，曲線y=f(x)與直線y=b有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求b的取值范圍是(1,+∞)．例25(2013年北京卷理科第18題)設(shè)l為曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線.（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）證明：除切點(diǎn)(1,0)之外，曲線C在直線l的下方.解：（Ⅰ）l的方程為y=x-1；（Ⅱ）解法一：令f(x)=

x-1-則當(dāng)0<x<1時(shí)，x2-1<0,lnx<0，所以f/(x)<0，故函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，x2-1>0,lnx>0，所以f/(x)>0，故函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；所以當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，f(x)>f(1)=0，即除切點(diǎn)(1,0)之外，曲線C在直線l的下方.分析：證明除切點(diǎn)(1,0)之外曲線C在直線l的下方,就是證明在x>0且x≠1時(shí)恒成立,也就是x2-x-xlnx>0恒成立.解法二：設(shè)f(x)=x2-x-xlnx，則易證函數(shù)f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,+∞)上是增函數(shù)，從而f(x)>f(1)=0.所以除切點(diǎn)(1,0)之外，曲線C在直線l的下方.例26已知函數(shù)f(x)=ex(x2+ax-a)，其中a是常數(shù).(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)k，使得關(guān)于x的方程f(x)=k在[0,+∞)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.解：(Ⅰ)由f(x)=ex(x2+ax-a)可得：f/(x)=ex[x2+(a+2)x].當(dāng)a=1時(shí),f(1)=e,f/(1)=4e.所以曲線在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=4ex-3e.（Ⅱ）令f/(x)=0，解得x=0或x=-(a+2).當(dāng)a≥-2時(shí)，在區(qū)間[0,+∞)上恒有f/(x)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a=-2，x=0時(shí)f/(x)=0.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù)，這時(shí)方程f(x)=k在[0,+∞)上不可能有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.x0(0,-(a+2))-(a+2)(-(a+2),+∞)f/