第03講 線段垂直平分線的性質(zhì)和判定（知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（蘇科版）

第第頁第03講線段垂直平分線的性質(zhì)和判定掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定；能靈活運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題．知識(shí)點(diǎn)1：線段垂直平分線1.定義經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線。2.線段垂直平分線的作圖1.分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)；2.作直線CD，CD為所求直線知識(shí)點(diǎn)2：線段垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.知識(shí)點(diǎn)3：線段的垂直平分線逆定理到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上【題型1線段垂直平分線的性質(zhì)在線段中的應(yīng)用】【典例1】（2023春?青羊區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，DE是AC的中垂線，則△ABD的周長(zhǎng)為（）?A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【解答】解：∵DE是AC的中垂線，∴DA＝DC，∴△ABD的周長(zhǎng)＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC，∵AB＝4，BC＝7，∴△ABD的周長(zhǎng)＝4+7＝11，故選：B．【變式1-1】（2023春?蓮湖區(qū)期中）如圖，在△ABC中，直線MN為BC的垂直平分線，并交AC于點(diǎn)D，連接BD．若AD＝3cm，AC＝9cm，則BD的長(zhǎng)為（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】A【解答】解：∵AD＝3cm，AC＝9cm，∴CD＝AC﹣AD＝6cm，∵M(jìn)N垂直平分BC，∴BD＝CD＝6cm，故選：A．【變式1-2】（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°．AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F，則△AEF的周長(zhǎng)為（）A．2 B．1 C．4 D．3【答案】A【解答】解：∵AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F，∴EA＝EB，F(xiàn)A＝FC，∴△AEF的周長(zhǎng)＝AE+EF+AF＝EB+EF+FC＝BC，∵BC＝2，∴△AEF的周長(zhǎng)為2，故選：A．【變式1-3】（2023春?新城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)E，D．若△BCD的周長(zhǎng)為8，則BC的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)E，D，∴AD＝BD，∵△BCD周長(zhǎng)為8，AC＝5，∴BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝8，∴BC＝8﹣5＝3，故選：C．【題型2線段垂直平分線的性質(zhì)在求角中的應(yīng)用】【典例2】（2023春?即墨區(qū)期中）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．若∠A＝50°，∠ABD＝26°，則∠ACF的度數(shù)為（）A．66° B．52° C．46° D．42°【答案】B【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝26°，∠ABC＝2∠ABD＝52°，∴∠ACB＝180°﹣50°﹣52°＝78°，∵EF是BC的垂直平分線，∴FB＝FC，∴∠FCB＝∠CBD＝26°，∴∠ACF＝78°﹣26°＝52°，故選：B．【變式2-1】（2022秋?滑縣校級(jí)期末）如圖，線段AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，∠A＝48°，則∠BDC的度數(shù)為（）A．48° B．96° C．90° D．84°【答案】B【解答】解：∵DE是線段AC的垂直平分線，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠A＝48°，∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝96°，故選：B．【變式2-2】（2022秋?曲靖期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝110°，EF是邊AB的垂直平分線，垂足為E，交BC于F．MN是邊AC的垂直平分線，垂足為M，交BC于N．連接AF、AN則∠FAN的度數(shù)是（）A．70° B．55° C．40° D．30°【答案】C【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，∵EF是邊AB的垂直平分線，MN是邊AC的垂直平分線，∴FB＝FA，NC＝NA，∴∠FAB＝∠B，∠NAC＝∠C，∴∠FAB+∠NAC＝∠B+∠C＝70°，∴∠FAN＝∠BAC﹣（∠FAB+∠NAC）＝110°﹣70°＝40°，故選：C．【變式2-3】（2022秋?青縣期末）如圖，△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，AB的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，連接BE，則∠EBC的大小為（）A．30° B．40° C．50° D．80°【答案】A【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝70°，∵DE是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣40°＝30°；故選：A．【題型3線段垂直平分線的性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用】【典例3】（2022秋?東昌府區(qū)校級(jí)期末）三條公路將A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)公園，要使公園到三個(gè)村莊的距離相等，那么這個(gè)公園應(yīng)建的位置是△ABC的（）A．三條高線的交點(diǎn) B．三邊垂直平分線的交點(diǎn) C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三條中線的交點(diǎn)【答案】B【解答】解：∵線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，∴這個(gè)公園應(yīng)建的位置是△ABC的三邊垂直平分線的交點(diǎn)上．故選：B．19．（2022春?于洪區(qū)期末）如圖，電信部門要在公路l旁修建一座移動(dòng)信號(hào)發(fā)射塔．按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)M，N的距離必須相等，則發(fā)射塔應(yīng)該建在（）A．A處 B．B處 C．C處 D．D處【答案】C【解答】解：根據(jù)作圖可知：EF是線段MN的垂直平分線，所以EF上的點(diǎn)到M、N的距離相等，即發(fā)射塔應(yīng)該建在C處，故選：C．【變式3-1】（2020秋?天心區(qū)期中）在國(guó)家精準(zhǔn)扶貧政策的指導(dǎo)下，湖南龍山縣有兩個(gè)村莊P、Q種植了大量獼猴桃，現(xiàn)在正是豐收的季節(jié)．為了讓獼猴桃通過互聯(lián)網(wǎng)迅速銷往各地，當(dāng)?shù)販?zhǔn)備在兩個(gè)村莊的公路m旁建立公用移動(dòng)通信基站，要使基站到兩個(gè)村莊的距離相等，基站應(yīng)該建立在（）A．A處 B．B處 C．C處 D．D處【答案】B【解答】解：基站應(yīng)該建立在B處，故選：B．【變式3-2】（2022秋?平城區(qū)校級(jí)期末）近年來，高速鐵路的規(guī)劃與建設(shè)成為各地政府爭(zhēng)取的重要項(xiàng)目，如圖，A，B，C三地都想將高鐵站的修建項(xiàng)目落戶在當(dāng)?shù)?，但是，?guó)資委為了使A，B，C三地的民眾都能享受高鐵帶來的便利，決定將高鐵站修建在到A，B，C三地距離都相等的地方，則高鐵站應(yīng)建在（）A．AB，BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處 B．AB，BC兩邊高線的交點(diǎn)處 C．AB，BC兩邊中線的交點(diǎn)處 D．∠B，∠C兩內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)處【答案】A【解答】解：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理可得：將高鐵站修建在到A，B，C三地距離都相等的地方，則高鐵站應(yīng)建在AB，BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處，故選：A．【題型4線段垂直平分線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【典例4】（2023春?新城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，EF是AC的垂直平分線，AD⊥BC，D為BE的中點(diǎn)．（1）求證：AB＝CE．（2）若∠C＝32°，求∠BAC的度數(shù)．【答案】110°，110°，38．【解答】（1）證明：如圖，連接AE．∵AD⊥BC，且D為線段BE的中點(diǎn)，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE．∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC，∴AB＝CE．（2）∵AE＝EC，∠C＝32°，∴∠CAE＝∠C＝32°，∴∠AEB＝64°．∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝64°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝84°．【變式4-1】（2023春?項(xiàng)城市月考）如圖，在△ABC中，DM，EN分別垂直平分邊AC和邊BC，交邊AB于M，N兩點(diǎn)，DM與EN相交于點(diǎn)F．（1）若AB＝5，則△CMN的周長(zhǎng)為5；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度數(shù)．【答案】（1）5；（2）40°．【解答】解：（1）∵DM，EN分別垂直平分邊AC和邊BC，∴MA＝MC，NB＝NC，∴△CMN的周長(zhǎng)＝MC+MN+NC＝MA+MN+NB＝AB，∵AB＝5，∴△CMN的周長(zhǎng)＝5，故答案為：5；（2）∵∠MFN＝70°，∴∠FMN+∠FNM＝180°﹣∠MFN＝110°，∴∠AMD+∠BNE＝∠FMN+∠FNM＝110°，∴∠A+∠B＝180°﹣（∠AMD+∠BNE）＝70°，∵M(jìn)A＝MC，NB＝NC，∴∠A＝∠MCA，∠B＝∠NCB，∴∠MCN＝180°﹣（∠A+∠B+∠MCA+∠NCB）＝40°．【變式4-2】（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，EF是AB的垂直平分線，AD⊥BC于點(diǎn)D，且D為CE的中點(diǎn)．（1）求證：BE＝AC；（2）若∠C＝70°，求∠BAC的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）75°．【解答】（1）證明：∵EF是AB的垂直平分線，∴BE＝AE，∵AD⊥BC，D為CE的中點(diǎn)，∴AD是EC的垂直平分線，∴AE＝AC，∴BE＝AC；（2）解：∵AE＝AC，∠C＝70°，∴∠AEC＝∠C＝70°，∵BE＝AE，∴∠B＝∠EAB＝∠AEC＝35°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝75°．【變式4-3】（2022秋?垣曲縣期末）如圖，直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，l與m分別交邊AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E．（1）若AB＝10，則△CDE的周長(zhǎng)是多少？為什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）△CDE的周長(zhǎng)為10．∵直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周長(zhǎng)＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．【題型5線段垂直平分線的判定】【典例5】（秋?南安市期末）（1）求證：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．（要求：畫出圖形，寫出已知，求證和證明過程）（2）用（1）中的結(jié)論解決：如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BE平分∠ABC，求證：點(diǎn)E在線段AB的垂直平分線上．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）已知：如圖，QA＝QB．求證：點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上．證明：過點(diǎn)Q作QM⊥AB，垂足為點(diǎn)M．則∠QMA＝∠QMB＝90°，在Rt△QMA和Rt△QMB中，∵QA＝QB，QM＝QM，∴Rt△QMA≌Rt△QMB（HL），∴AM＝BM，∴點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上．即到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．（2）證明：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝×60°＝30°，∴∠A＝∠ABE，∴EA＝EB，∴點(diǎn)E在線段AB的垂直平分線上．【變式5】如圖，P是∠MON的平分線上的一點(diǎn)，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分別為A、B．求證：PO垂直平分AB．【解析】證明：∵OP是角平分線，∴∠AOP=∠BOP∵PA⊥OM,PB⊥ON,∴∠OAP=∠OBP=90°∴在△AOP和△BOP中∴△AOP≌△BOP（AAS）∴OA=OB∴PO垂直平分AB（和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）.【題型6線段垂直平分線的作法】【典例6】（2022秋?杭州期中）如圖，直線m表示一條公路，A、B表示兩所大學(xué)．要在公路旁修建一個(gè)車站P使到兩所大學(xué)的距離相等，請(qǐng)?jiān)趫D上找出這點(diǎn)P．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖所示，點(diǎn)P是AB線段的垂直平分線與直線m的交點(diǎn)．【變式6-1】（2020?宜昌）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，Q，H在一條直線上，且EF＝GH，我們知道按如圖所作的直線l為線段FG的垂直平分線．下列說法正確的是（）A．l是線段EH的垂直平分線 B．l是線段EQ的垂直平分線 C．l是線段FH的垂直平分線 D．EH是l的垂直平分線【答案】A【解答】解：如圖：A．∵直線l為線段FG的垂直平分線，∴FO＝GO，l⊥FG，∵EF＝GH，∴EF+FO＝OG+GH，即EO＝OH，∴l(xiāng)為線段EH的垂直平分線，故此選項(xiàng)正確；B．∵EO≠OQ，∴l(xiāng)不是線段EQ的垂直平分線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．∵FO≠OH，∴l(xiāng)不是線段FH的垂直平分線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．∵l為直線，直線沒有垂直平分線，∴EH不能平分直線l，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．【變式6-2】（秋?豐臺(tái)區(qū)期末）下面是小東設(shè)計(jì)的“作△ABC中BC邊上的高線”的尺規(guī)作圖過程．已知：△ABC．求作：△ABC中BC邊上的高線AD．作法：如圖，①以點(diǎn)B為圓心，BA的長(zhǎng)為半徑作弧，以點(diǎn)C為圓心，CA的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在BC下方交于點(diǎn)E；②連接AE交BC于點(diǎn)D．所以線段AD是△ABC中BC邊上的高線．根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵＝BA，＝CA，∴點(diǎn)B，C分別在線段AE的垂直平分線上（）（填推理的依據(jù)）．∴BC垂直平分線段AE．∴線段AD是△ABC中BC邊上的高線．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）圖形如圖所示：（2）理由：連接BE，EC．∵AB＝BE，EC＝CA，∴點(diǎn)B，點(diǎn)C分別在線段AE的垂直平分線上（到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上），∴直線BC垂直平分線段AE，∴線段AD是△ABC中BC邊上的高線．故答案為：BE，EC，到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．【題型7線段垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合】【典例7】（2023春?佛山期中）如圖，已知：E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，連接CD，且交OE于點(diǎn)F．（1）求證：OE是CD的垂直平分線．（2）若∠AOB＝60°，請(qǐng)你探究OE，EF之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE＝CE，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD＝OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分線，∴OE是CD的垂直平分線；（2）∵OE是∠AOB的平分線，∠AOB＝60°，∴∠AOE＝∠BOE＝30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，∴∠EDF＝30°，∴DE＝2EF，∴OE＝4EF．【變式7-1】（2021秋?蓬江區(qū)校級(jí)期中）如圖，AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF交AD于點(diǎn)O．（1）求證：AD垂直平分EF；（2）若∠BAC＝60°，猜測(cè)DO與AO間有何數(shù)量關(guān)系？并證明．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，∴∠DEF＝∠DFE，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF∴點(diǎn)A、D都在EF的垂直平分線上，∴AD垂直平分EF．（2）答：AO＝3DO．理由：∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝30°，∴AD＝2DE，∠EDA＝60°，∵AD⊥EF，∴∠EOD＝90°，∴∠DEO＝30°∴DE＝2DO，∴AD＝4DO，∴AO＝3DO．1．（2023?南寧一模）如圖，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，AC＝10，BC＝6，則△BCD的周長(zhǎng)為（）A．6 B．10 C．16 D．18【答案】C【解答】解：∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∵AC＝10，BC＝6，∴△BCD的周長(zhǎng)＝BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC＝6+10＝16，故選：C．2．（2023?貴陽模擬）如圖，地面上有三個(gè)洞口A、B、C，老鼠可從任意一個(gè)洞口跑出，貓為能同時(shí)最省力地顧及到三個(gè)洞口，盡快抓住老鼠，應(yīng)該蹲在（）A．△ABC三條角平分線的交點(diǎn) B．△ABC三條邊的中線的交點(diǎn) C．△ABC三條高的交點(diǎn) D．△ABC三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【解答】解：∵三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，∴貓應(yīng)該蹲守在△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)處．故選：D．3．（2021?河北）如圖，直線l，m相交于點(diǎn)O．P為這兩直線外一點(diǎn)，且OP＝2.8．若點(diǎn)P關(guān)于直線l，m的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P1，P2，則P1，P2之間的距離可能是（）A．0 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：連接OP1，OP2，P1P2，∵點(diǎn)P關(guān)于直線l，m的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P1，P2，∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，OP1+OP2＞P1P2，0＜P1P2＜5.6，故選：B．4．（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，邊AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，已知AD＝3cm，△ABE的周長(zhǎng)為14cm，則△ABC的周長(zhǎng)是（）A．17cm B．18cm C．19cm D．20cm【答案】D【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，AD＝3cm，∴AC＝2AD＝6cm，AE＝CE，∵△ABE的周長(zhǎng)為14cm，∴AB+BC＝C△ABE＝14cm，∴C△ABC＝AB+AC+BC＝14+6＝20（cm），故選：D．5．（2022?青海）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，∠BAE＝10°，則∠C的度數(shù)是．【答案】40°．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分線，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案為：40°．6．（2020?南京）如圖，線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O，若∠1＝39°，則∠AOC＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：解法一：連接BO，并延長(zhǎng)BO到P，∵線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝39°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；解法二：連接OB，∵線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O，∴AO＝OB＝OC，∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，∴∠AOD+∠COE＝141°，∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；故答案為：78°．7．（2020?牡丹江）在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分斜邊AB，分別交AB、BC于D、E．若∠CAB＝∠B+30°，求∠AEB．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵DE垂直平分斜邊AB，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA．∵∠CAB＝∠B+30°，∠CAB＝∠CAE+∠EAB，∴∠CAE＝30°．∵∠C＝90°，∴∠AEC＝60°．∴∠AEB＝120°1．（2023春?碑林區(qū)校級(jí)月考）線段AB的垂直平分線上有一點(diǎn)P，若PA＝3，則PB的值為（）A．3 B．4 C．2 D．無法確定【答案】A【解答】解：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，∴PB＝PA＝3，故A正確．故選：A．2．（2023春?靈璧縣校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分線交BC于D，AC的垂直平分線交BC與E，則△ADE的周長(zhǎng)等于（）A．6 B．7 C．8 D．12【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵線段AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，∴DB＝DA，∵線段AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，∴EA＝EC，∴△ADE的周長(zhǎng)＝AD+DE+EA＝DB+DE+EC＝BC＝8，故選：C．3．（2022秋?莊河市期末）如圖，在△ABC中，直線MN為BC的垂直平分線，并交AC于點(diǎn)D，連結(jié)BD．若AD＝2cm，BD＝4cm，則AC的長(zhǎng)為（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】A【解答】解：∵直線MN為BC的垂直平分線，∴CD＝BD＝4cm，∵AD＝2cm，∴AC＝AD+CD＝6（cm），故選：A．4．（2023?灞橋區(qū)校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的線段MN分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，且M，N分別在PA，PC的垂直平分線上．若∠APC＝142°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．76° B．104° C．130° D．140°【答案】B【解答】解：∵∠APC＝142°，∴∠MPA+∠NPC＝180°﹣142°＝38°，∵M(jìn)，N分別在PA，PC的垂直平分線上，∴MP＝MA，NP＝NC，∴∠MAP＝∠MPA，∠NCP＝∠NPC，∵∠BMN＝∠MPA+∠MAP，∠BNM＝∠NCP+∠NPC，∴∠BMN+∠BNM＝∠MPA+∠MAP+∠NCP+∠NPC＝76°，∴∠ABC＝180°﹣76°＝104°，故選：B．5．黨和政府十分關(guān)心四川災(zāi)后重建工作，準(zhǔn)備為三個(gè)村莊A、B、C（其位置如圖所示）修建一口水井，要求水井到三個(gè)村莊的距離相等，水井應(yīng)該修在什么地方呢，你能找到嗎？（寫出作法，并保留作圖痕跡）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：作法：（1）連接AB，BC．（2）作AB、BC的垂直平分線，交于點(diǎn)P．則點(diǎn)P就是水井的位置．6．（梅州）如圖，在△ABC中，∠C＝90度．（1）用圓規(guī)和直尺在AC上作點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A、B的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）（2）當(dāng)滿足（1）的點(diǎn)P到AB、BC的距離相等時(shí)，求∠A的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）（2）連接BP．∵點(diǎn)P到AB、BC的距離相等，∴BP是∠ABC的平分線，∴∠A