第05講 等腰三角形（知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（蘇科版）

第第頁第05講等腰三角形1.了解等腰三角形的概念.2.探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理.3.探索并掌握等腰三角形的判定定理，能利用等腰三角形的性質(zhì)證明兩個(gè)角相等或兩條線段相等.4.結(jié)合等腰三角形性質(zhì)的探索與證明過程，體會(huì)軸對(duì)稱在研究幾何問題中的作用。知識(shí)點(diǎn)1等腰三角形的概念與性質(zhì)等腰三角形概念有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的邊叫做腰，另一邊叫做底，兩條腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．2.等腰三角形的性質(zhì)如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)稱“在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角”．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡(jiǎn)稱“等腰三角形三線合一”．知識(shí)點(diǎn)2等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.可以簡(jiǎn)單的說成：在一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊.要點(diǎn)詮釋：(1)要弄清判定定理的條件和結(jié)論，不要與性質(zhì)定理混淆．判定定理得到的結(jié)論是等腰三角形，性質(zhì)定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊和角關(guān)系.（2）不能說“一個(gè)三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因?yàn)檫€未判定它是一個(gè)等腰三角形．【題型1：等腰三角形的性質(zhì)】【典例1】（東莞市）一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和7，則它的周長(zhǎng)為（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【答案】A【解答】解：①當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?，底為7時(shí)，3+3＜7不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?，底為3時(shí)，周長(zhǎng)為3+7+7＝17．故這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是17．故選：A．【變式1-1】（陸川縣期末）等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為5cm和9cm，則該三角形的周長(zhǎng)是（）A．18cm B．19cm C．23cm D．19cm或23cm【答案】D【解答】解：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為5cm，底邊長(zhǎng)為9cm時(shí)，∵5+5＞9，9﹣5＜5，∴能夠成三角形，∴三角形的周長(zhǎng)＝5+5+9＝19cm；當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為9cm，底邊長(zhǎng)為5cm時(shí)，∵9+5＞9，9﹣5＜5，∴能夠成三角形，∴三角形的周長(zhǎng)＝9+9+5＝23cm；∴該三角形的周長(zhǎng)是19cm或23cm．故選：D．【變式1-2】（秋?惠安縣期末）若等腰△ABC的周長(zhǎng)為20，AB＝8，則該等腰三角形的腰長(zhǎng)為（）A．8 B．6 C．4 D．8或6【答案】D【解答】解：（1）當(dāng)AB＝8為底邊時(shí)，BC為腰，由等腰三角形的性質(zhì)，得BC＝（20﹣AB）＝6；（2）當(dāng)AB＝8為腰時(shí)，①若BC為腰，則BC＝AB＝8；②若BC為底，則BC＝20﹣2AB＝4，綜上，該等腰三角形的腰長(zhǎng)為8或6，故選：D．【變式1-3】（海口）等腰三角形ABC的周長(zhǎng)為20cm，AB＝8cm，則該等腰三角形的腰長(zhǎng)為（）A．8cm B．6cm C．4cm D．8cm或6cm【答案】D【解答】解：（1）當(dāng)AB＝8cm為底邊時(shí)，BC為腰，由等腰三角形的性質(zhì)，得BC＝（20﹣AB）＝6cm；（2）當(dāng)AB＝8cm為腰時(shí)，①若BC為腰，則BC＝AB＝8cm；②若BC為底，則BC＝20﹣2AB＝4cm，故選：D．【典例2】（崇川區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若∠BEC＝76°，則∠ABC＝（）A．70° B．71° C．74° D．76°【答案】B【解答】解：∵AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)E，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝∠BEC＝×76°＝38°，∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝＝＝71°；故選：B．【變式2-1】（祥云縣期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線DE，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．若AD＝3，BC＝5，則△BEC的周長(zhǎng)為（）A．8 B．10 C．11 D．13【答案】C【解答】解：∵AB的垂直平分線DE分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，∴AE＝BE，∵AD＝3，∴AB＝6，∴AE+EC＝AC＝AB＝6，∵BC＝5，∴△EBC的周長(zhǎng)＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝6+5＝11；故選：C．【變式2-2】（浉河區(qū)期末）如圖，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝5，以A，B兩點(diǎn)為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，連接MN與AC相交于點(diǎn)D，連接BD，則△BDC的周長(zhǎng)為（）A．8 B．10 C．11 D．13【答案】D【解答】解：根據(jù)作圖過程可知：MN是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∴△BDC的周長(zhǎng)＝BD+DC+BC＝AD+DC+BC＝AC+BC＝AB+BC＝8+5＝13．故選：D．【典例3】（河西區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度數(shù)．【解答】解：設(shè)∠A＝x．∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x；∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x，∴∠DBC＝x；∵x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°．【變式3-1】（銅山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝CD，點(diǎn)D在BC上，且AD＝BD．（1）求證：∠ADB＝∠BAC；（2）求∠B的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD＝BD∴∠B＝∠C，∠B＝∠1，∴∠C＝∠1，∵∠ADB＝∠2+∠C，∠BAC＝∠2+∠1∴∠ADB＝∠BAC；（2）∵AC＝CD，∴∠2＝∠ADC，又∵∠ADC＝∠B+∠1，∴∠2＝2∠B，在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C＝5∠B＝180°，∴∠B＝36°．【典例4】（2022秋?長(zhǎng)沙期中）如圖，一條船上午8時(shí)從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向正北方向航行，上午10時(shí)到達(dá)海島B處，分別從A，B處望燈塔C，測(cè)得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．（1）求海島B到燈塔C的距離；（2）若這條船到達(dá)海島B處后，繼續(xù)向正北方向航行，問還要經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，小船與燈塔C的距離最短？【解答】解：（1）由題意得：AB＝15×2＝30（海里）．∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°．∴∠ACB＝∠NAC．∴AB＝BC＝30（海里）．∴從海島B到燈塔C的距離為30海里．（2）如圖，過點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P．∴根據(jù)垂線段最短，線段CP的長(zhǎng)為小船與燈塔C的最短距離，∠BPC＝90°．又∵∠NBC＝60°，∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，∴（海里），∴AP＝AB+BP＝30+15＝45（海里）．∴航行的時(shí)間為45÷15＝3（時(shí)）．∴若這條船繼續(xù)向正北航行，上午11時(shí)小船與燈塔C的距離最短．【變式4】（2022秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）上午8時(shí)，一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向北航行，11時(shí)到達(dá)海島B處，從A、B望燈塔C，測(cè)得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，求從海島B到燈塔C的距離．【解答】解：由題意得：AB＝（11﹣8）×15＝3×15＝45（海里），∵∠NBC是△ABC的一個(gè)外角，∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝40°，∴∠C＝∠NAC＝40°，∴AB＝BC＝45海里，∴從海島B到燈塔C的距離為45海里．【題型2：等腰三角形的判定】【典例5】（河北模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝×72°＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴△ABD為等腰三角形，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BDC為等腰三角形．故選：D．【變式5-1】（肥城市期末）如圖，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)（）A．1個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°∴△ABC是等腰三角形，∠ABC＝∠ACB＝＝72°，BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC＝36°，∵ED∥BC，∴∠AED＝∠ADE＝72°，∠EDB＝∠CBC＝36°，∴在△ADE中，∠AED＝∠ADE＝72°，AD＝AE，△ADE為等腰三角形，在△ABD中，∠A＝∠ABD＝36°，AD＝BD，△ABD是等腰三角形，在△BED中，∠EBD＝∠EDB＝36°，ED＝BE，△BED是等腰三角形，在△BDC中，∠C＝∠BDC＝72°，BD＝BC，△BDC是等腰三角形，所以共有5個(gè)等腰三角形．故選：D．【變式5-2】（宜賓期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠DAE＝36°，則圖中等腰三角形共有（）個(gè)．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝36°，∵AD＝AE，∠DAE＝36°，∴∠ADE＝∠AED＝72°，∵∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠EAC，∴∠BAD＝∠EAC＝36°，∴∠BAE＝∠DAC＝72°，∴∠BAE＝∠BEA＝∠CDA＝∠CAD，∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC，∴△ABD，△AEC，△BAE，△ADC，△ABC，△ADE都是等腰三角形，故選：D．【典例6】（蒙陰縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C為原點(diǎn)，AC所在直線為y軸，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點(diǎn)有（）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【答案】C【解答】解：如圖，①以A為圓心，AB為半徑畫圓，交直線AC有二點(diǎn)M1，M2，交BC有一點(diǎn)M3，（此時(shí)AB＝AM）；②以B為圓心，BA為半徑畫圓，交直線BC有二點(diǎn)M5，M4，交AC有一點(diǎn)M6（此時(shí)BM＝BA）．③AB的垂直平分線交AC一點(diǎn)M7（MA＝MB），交直線BC于點(diǎn)M8；∴符合條件的點(diǎn)有8個(gè)．故選：C．【變式6-1】（西工區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，﹣3），點(diǎn)P在x軸上，且使△AOP為等腰三角形，符合題意的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】解：如圖所示：點(diǎn)P在x軸上，且使△AOP為等腰三角形，符合題意的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)共4個(gè)，故選：C．【變式6-2】（河?xùn)|區(qū)期末）已知在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，A、B兩點(diǎn)在格點(diǎn)上，位置如圖，點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，且△ABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解答】解：①以AB為底邊，符合點(diǎn)C的有5個(gè)；②以AB為腰，符合點(diǎn)C的有4個(gè)．所以符合條件的點(diǎn)C共有9個(gè)．故選：C．【題型3：等腰三角形的判定與性質(zhì)】【典例7】（蒼溪縣期末）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作DE∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．（1）△BDO是等腰三角形嗎？請(qǐng)說明理由．（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周長(zhǎng)．【解答】解：（1）△BDO是等腰三角形．∵BO平分∠ABC，∴∠DBO＝∠CBO，∵DE∥BC，∴∠CBO＝∠DOB，∴∠DBO＝∠DOB，∴BD＝DO，∴△BDO是等腰三角形．（2）同理△CEO是等腰三角形，∵BD＝OD，CE＝OE，∴△ADE的周長(zhǎng)＝AD+AE+ED＝AB+AC＝10+6＝16．【變式7-1】（集賢縣期末）已知：如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過D作直線平行于BC，交AB、AC于E、F．求證：（1）△DFC是等腰三角形；（2）EF＝BE+CF．【解答】證明：（1）∵CD平分∠ACB，∴∠FCD＝∠BCD，∵EF∥BC，∴∠FDC＝∠BCD，∴∠FCD＝∠FDC，∴DF＝FC，∴△DFC是等腰三角形；（2）∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴DE＝BE，由（1）得，DF＝FC，∴EF＝DE+DF＝BE+CF．【變式7-2】（長(zhǎng)垣市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當(dāng)∠A＝40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)．【解答】證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70°【變式7-3】（2022春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，BE＝CF．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）若AB＝5，BC＝6，求DE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，DE＝DF，在Rt△AED和Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∵BE＝CF，∴AE+BE＝AF+CD，即AB＝AC，即△ABC是等腰三角形；（2）解：由（1）可知△ABC是等腰三角形，又∵AD是△ABC的角平分線，BC＝6，∴BD＝CD＝3，AD⊥BC，∵AB＝5，AD＝，∴AD＝＝4，∵DE⊥AB，AD⊥BC，∴S△ABD＝BD?AD＝AB?DE，∴DE＝＝＝2.4．1．（2023?眉山）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．70° B．100° C．110° D．140°【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB＝，∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，∴∠ACD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，故選：C．2．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，直線a∥b，直線l與直線a，b分別相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C在直線b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，則∠2的度數(shù)為（）A．32° B．58° C．74° D．75°【答案】C【解答】解：∵CA＝CB，∴△ABC是等腰三角形，∴∠CBA＝∠CAB＝（180°﹣32°）÷2＝74°，∵a∥b，∴∠2＝∠CBA＝74°．故選：C．3．（2023?河北）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，則∠C′＝（）A．30° B．n° C．n°或180°﹣n° D．30°或150°【答案】C【解答】解：當(dāng)BC＝B′C′時(shí)，△ABC≌△A′B′C′（SSS），∴∠C′＝∠C＝n°，當(dāng)BC≠B′C′時(shí)，如圖，∵A′C′＝A′C″，∴∠A′C″C′＝∠C′＝n°，∴∠A′C″B′＝180°﹣n°，∴∠C′＝n°或180°﹣n°，故選：C．4．（2023?河北）四邊形ABCD的邊長(zhǎng)如圖所示，對(duì)角線AC的長(zhǎng)度隨四邊形形狀的改變而變化．當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：∵△ABC為等腰三角形，∴AB＝AC或AC＝BC，當(dāng)AC＝BC＝4時(shí)，AD+CD＝AC＝4，此時(shí)不滿足三角形三邊關(guān)系定理，當(dāng)AC＝AB＝3時(shí)．滿足三角形三邊關(guān)系定理，∴AC＝3．故選：B．5．（2022?淄博）某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示，道路AB∥CD，道路AB與AE的夾角∠BAE＝50°．城市規(guī)劃部門想新修一條道路CE，要求CF＝EF，則∠E的度數(shù)為（）A．23° B．25° C．27° D．30°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°，故選：B．6．（2022?鞍山）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使CD＝AC，連接AD，則∠D的度數(shù)為（）A．39° B．40° C．49° D．51°【答案】A【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．故選：A．7．（2021?淄博）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E．（1）求證：BE＝DE；（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度數(shù)．【答案】（1）見證明；（2）∠BDE的度數(shù)為30°．【解答】解：（1）證明：在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE．（2）∵∠A＝80°，∠C＝40°∴∠ABC＝60°，∵∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°，由（1）知∠EDB＝∠EBD＝30°，故∠BDE的度數(shù)為30°．8．（2022?溫州）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．（1）求證：∠EBD＝∠EDB．（2）當(dāng)AB＝AC時(shí)，請(qǐng)判斷CD與ED的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）CD＝ED，理由見解析．【解答】（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED1．（2023?武威一模）一個(gè)等腰三角形的頂角是50°，則它的底角的大小是（）A．50° B．65° C．100° D．130°【答案】B【解答】解：（180°﹣50°）÷2＝130°÷2＝65°．故選：B．2．（2023春?廣西期末）等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為15和7，則它的周長(zhǎng)等于（）A．22 B．29 C．37 D．29或37【答案】C【解答】解：當(dāng)7是腰時(shí)，則7+7＜15，不能組成三角形，應(yīng)舍去；當(dāng)15是腰時(shí)，則三角形的周長(zhǎng)是7+15×2＝37．故選：C．3．（2022秋?防城港期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論不一定正確的是（）A．AD⊥BC B．∠B＝∠C C．AD平分∠BAC D．AB＝BC【答案】D【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠C，∵D為BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，故選項(xiàng)A、B、C正確，AB＝BC不一定成立，故選：D．4．（2023?碑林區(qū)一模）已知等腰△ABC中，∠A＝50°，則∠B的度數(shù)為（）A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或80°或65°【答案】D【解答】解：當(dāng)∠A為頂角時(shí)，則；當(dāng)∠B為頂角時(shí)，則∠B＝180°﹣2∠A＝80°；當(dāng)∠A、∠B為底角時(shí)，則∠B＝∠A＝50°．故選：D．5．（2022秋?天元區(qū)校級(jí)期末）等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm，其中一邊長(zhǎng)為5cm，則其腰長(zhǎng)為（）A．5cm B．5cm或7.5cm C．7.5cm D．以上都不對(duì)【答案】C【解答】解：若5cm為等腰三角形的腰長(zhǎng)，則底邊長(zhǎng)為：20﹣2×5＝10（cm），此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5cm，5cm，10cm，不符合三角形的三邊關(guān)系；若5cm為等腰三角形的底邊，則腰長(zhǎng)為：（20﹣5）÷2＝7.5（cm），此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為7.5cm，7.5cm，5cm，符合三角形的三邊關(guān)系；∴該等腰三角形的腰長(zhǎng)為7.5cm，故選：C．6．（2023?蚌埠模擬）在如圖的網(wǎng)格中，在網(wǎng)格上找到點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解答】解：如圖，∵AB＝＝2，∴①若BA＝BC，則符合要求的有：C1，C2共2個(gè)點(diǎn)；②若AB＝AC，則符合要求的有：C3，C4共2個(gè)點(diǎn)；③若CA＝CB，則符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10共6個(gè)點(diǎn)．∴這樣的C點(diǎn)有10個(gè)．故選：C．7．（2022秋?巴州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，則圖中共有等腰三角形（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∵∠A＝36°，∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，∴∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°，∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形，共5個(gè)，故選：D．8．（2023?西湖區(qū)校級(jí)二模）如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是△ABC的平分線，DE∥BC，則∠BDE的度數(shù)為（）A．20° B．35° C．40° D．70°【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠A＝40°，∴∠ABC＝×（180°﹣40°）＝70°，∵BD是△ABC的平分線，∴∠DBC＝∠ABC＝35°，∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC＝35°，故選：B．9．（2022秋?輝縣市校級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)．D，交AC于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③BC＝BD+CE；④△ADE的周長(zhǎng)＝AB+AC；⑤BF＝CF．其中正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤【答案】B【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∵BF是∠ABC的平分線，CF是∠ACB的平分線，∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF＝DB，F(xiàn)E＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，∴△ADE的周長(zhǎng)AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC，①②④正確，故選：B．10．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，AB＝AC．分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，作直線AD交BC于點(diǎn)E．若∠BAC＝110°，則∠BAE的大小為55度．【答案】55°．【解答】解：∵AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形，∵分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，作直線AD交BC于點(diǎn)E．∴AE垂直平分BC，∴AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠BAC＝55°．故答案為：55°．11．（2023?新疆）如圖，在△ABC中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，則∠C＝52°．【答案】52．【解答】解：∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠BAD，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝∠CAD+∠BAD，∴180°﹣2∠C＝24°+∠C，∴∠C＝52°，故答案為：52．12．（2023?重慶）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊的中線，若AB＝5，BC＝6，則AD的長(zhǎng)度為4．【答案】4．【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC邊的中線，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AB＝5，BC＝6，∴BD＝CD＝3，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得AD＝＝＝4，故答案為：4．13．（2023?沙依巴克區(qū)模擬）已知：一等腰三角形的兩邊長(zhǎng)x、y滿足方程組，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為5．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：解方程組得所以，等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為2，1．若腰長(zhǎng)為1，底邊長(zhǎng)為2，由1+1＝2知，這樣的三角形不存在．若腰長(zhǎng)為2，底邊長(zhǎng)為1，則三角形的周長(zhǎng)為5．所以這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為5．故答案為：5．14．（2022秋?岳陽期末）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E．（1）求證：BE＝DE；（2）若∠A＝75°，∠C＝37°，求∠BDE的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）34°．【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠ED