河北省“五個一”名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

河北省“五個一”名校聯(lián)盟2024屆高二年級聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(2023.06)命題單位：唐山市第一中學(xué)(滿分：150分，測試時間：120分鐘)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則下列結(jié)論正確是()A. B. C. D.2.已知，，，則與夾角的余弦值為()A.－1 B. C.0 D.13.已知雙曲線與雙曲線，則兩雙曲線的()A.實軸長相等 B.虛軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等4.已知，且，則下列各式一定成立的是()A. B. C. D.5.一條長椅上有6個座位，3個人坐．要求3個空位中恰有2個空位相鄰，則坐法的種數(shù)為()A36 B.48 C.72 D.966.某學(xué)校有男生600人，女生400人．為調(diào)查該校全體學(xué)生每天的運動時間，采用分層抽樣的方法獲取容量為的樣本．經(jīng)過計算，樣本中男生每天運動時間的平均值為80分鐘，方差為10；女生每天運動時間的平均值為60分鐘，方差為20．結(jié)合數(shù)據(jù)，估計全校學(xué)生每天運動時間的方差為()A96 B.110 C.112 D.1287.過直線上一點向圓O：作兩條切線，設(shè)兩切線所成的最大角為，則()A. B. C. D.8.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，．?dāng)?shù)列滿足，，則()A.0 B.－1 C.2 D.－2二、多選題：本題共4小題．在每小題所給的四個選項中，有多個選項符合題意．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9.若，，則下列說法正確的是()A.若事件相互獨立，則事件也互斥 B.若事件相互獨立，則事件不互斥C.若事件互斥，則事件也相互獨立 D.若事件互斥，則事件不相互獨立10.函數(shù)由關(guān)系式確定，則下列說法正確的是()A.函數(shù)的零點為1B.函數(shù)的定義域和值域均為C.函數(shù)的圖象是軸對稱圖形D.若，則在定義域內(nèi)滿足恒成立11.某通信工具在發(fā)送、接收信號時都會使用數(shù)字0或是1作為代碼，且每次只發(fā)送一個數(shù)字．由于隨機因素的干擾，發(fā)出的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0．已知發(fā)送信號0時，接收成0或1的概率分別為0.94和0.06；發(fā)送信號1時，接收成1或0的概率分別為0.96和0.04．假設(shè)發(fā)送信號0或1的概率是等可能的，則()A.已知兩次發(fā)送的信號均為1，則接收到的信號均為1的概率為B.在單次發(fā)送信號中，接收到0的概率為0.49C.在單次發(fā)送信號中，能正確接收的概率為0.95D.在發(fā)送三次信號后，恰有兩次接收到0的概率為12.已知為等腰直角三角形，為斜邊且長度是．為等邊三角形，若二面角為直二面角，則下列說法正確的是()A.B.三棱錐的體積為C.三棱錐外接球的表面積為D.半徑為球可以被整體放入以三棱錐為模型做的容器中三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.方程在復(fù)數(shù)集中的解為______．14.______．15.已知函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，且在區(qū)間上單調(diào)，則______．16.如圖所示，斜率為的直線交橢圓于M、N兩點，交軸、軸分別于Q、P兩點，且，則橢圓的離心率為______．四、解答題：本題共6小題．第17題10分，第18~22題每小題12分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前n項和為，數(shù)列滿足，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)是否存在常數(shù)p、q，使得對一切正整數(shù)n都有成立？若存在，求出p、q的值；若不存在，說明理由．18.記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且．(1)求角的大??；(2)設(shè)邊上的高，求面積的最小值．19.如圖，圓錐的高為3，是底面圓的直徑，PC，PD為圓錐的母線，四邊形是底面圓的內(nèi)接等腰梯形，且，點在母線上，且．(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．20.已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若既有極大值又有極小值，且極大值和極小值的和為．解不等式．21.已知為拋物線上一點，，為中點，設(shè)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點作直線交曲線E于點M、N，點為直線l：上一動點．問是否存在點使為正三角形？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．22.航天事業(yè)是國家綜合國力的重要標(biāo)志，帶動著一批新興產(chǎn)業(yè)和新興學(xué)科的發(fā)展．某市為了激發(fā)學(xué)生對航天科技的興趣，點燃學(xué)生的航天夢，現(xiàn)組織該市全體學(xué)生參加航天創(chuàng)新知識競賽，并隨機抽取1000名學(xué)生作為樣本，研究其競賽成績．經(jīng)統(tǒng)計分析該市高中生競賽成績近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，并已求得和．(1)若該市有4萬名高中生，試估計這些高中生中競賽成績位于區(qū)間的人數(shù)；(2)若規(guī)定成績在85.2以上的學(xué)生等級為優(yōu)秀，現(xiàn)從全市高中生中任意抽取一個進行訪談，如果取到學(xué)生等級不是優(yōu)秀，則繼續(xù)抽取下一個，直至取到等級為優(yōu)秀的學(xué)生為止，但抽取的總次數(shù)不超過．如果抽取次數(shù)的期望值不超過6，求的最大值．(附：，，，，，若，則，)

河北省“五個一”名校聯(lián)盟2024屆高二年級聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(2023.06)命題單位：唐山市第一中學(xué)(滿分：150分，測試時間：120分鐘)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別化簡兩個集合，從而即可作出判斷.【詳解】∵，，∴，，∴.故選：B.2.已知，，，則與夾角的余弦值為()A.－1 B. C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】先利用轉(zhuǎn)化法求得，再利用向量的夾角公式即可得解．【詳解】因為，，，所以，則，所以.故選：A.3.已知雙曲線與雙曲線，則兩雙曲線的()A.實軸長相等 B.虛軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等【答案】D【解析】【分析】通過的范圍，結(jié)合曲線，求解焦距，實半軸長，虛半軸長，判斷選項即可．【詳解】的實半軸的長為5，虛半軸的長為3，實數(shù)滿足，曲線是雙曲線，實半軸的長為，虛半軸的長為，顯然兩條曲線的實軸的長與虛軸的長不相等，所以A、B均不正確；焦距為：，焦距相等，所以D正確；離心率為：和，不相等，所以C不正確．故選：D．4.已知，且，則下列各式一定成立的是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，先判斷函數(shù)為偶函數(shù)，兩種情況討論可得函數(shù)在，上為增函數(shù)，由此根據(jù)單調(diào)性與奇偶性分析選項，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，，其定義域為，有，則為偶函數(shù)，設(shè)，則有，當(dāng)時，在區(qū)間，上，為增函數(shù)，且，在，上也是增函數(shù)，故在，上為增函數(shù)，當(dāng)時，在區(qū)間，上，為減函數(shù)，且，在上是減函數(shù)，故在，上為增函數(shù)，綜合可得：函數(shù)在，上為增函數(shù)，依次分析選項：對于A，有，A正確；對于B，有，B錯誤；對于C，有，C錯誤；對于D，，D錯誤．故選：A．5.一條長椅上有6個座位，3個人坐．要求3個空位中恰有2個空位相鄰，則坐法的種數(shù)為()A.36 B.48 C.72 D.96【答案】C【解析】【分析】分兩個相鄰空位包括最左端或最右端時和不含最左端或最右端時，兩種情況求出坐法后相加即可.【詳解】先考慮相鄰的2個空位，當(dāng)兩個相鄰空位包括最左端或最右端時，有2種情況，與空位相鄰的座位需要安排一個人，有3種選擇，剩余的3個座位，安排2個人，有種選擇，則有種選擇，當(dāng)兩個相鄰空位不含最左端或最右端時，此時有3種情況，與空位相鄰的左右座位需要安排兩個人，有種選擇，最后一個人有2種選擇，則有種選擇，綜上：坐法的種數(shù)共有個.故選：C6.某學(xué)校有男生600人，女生400人．為調(diào)查該校全體學(xué)生每天的運動時間，采用分層抽樣的方法獲取容量為的樣本．經(jīng)過計算，樣本中男生每天運動時間的平均值為80分鐘，方差為10；女生每天運動時間的平均值為60分鐘，方差為20．結(jié)合數(shù)據(jù)，估計全校學(xué)生每天運動時間的方差為()A.96 B.110 C.112 D.128【答案】B【解析】【分析】根據(jù)男、女學(xué)生比例，不妨設(shè)女、男學(xué)生分別為，，則總數(shù)為，求得所有樣本的平均值，代入方差公式，即可得答案．【詳解】由題意，按分層抽樣方式抽取樣本，且該校女、男學(xué)生比例為，不妨設(shè)抽取女、男學(xué)生分別為，，則總數(shù)為，則所有樣本平均值為，所以方差為．故選：B．7.過直線上一點向圓O：作兩條切線，設(shè)兩切線所成的最大角為，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)是直線的動點，由題意可得是圓心到直線的距離時，兩切線所成的角最大，計算可得．【詳解】由圓，可得圓心為，半徑為，設(shè)是直線的動點，自向圓作切線，當(dāng)長最短時，兩切線所成的角最大，即是圓心到直線的距離時，兩切線所成的角最大，由點到直線距離公式可得，，，，．故選：C．8.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，．?dāng)?shù)列滿足，，則()A.0 B.－1 C.2 D.－2【答案】D【解析】【分析】先把裂項后迭代求出，得到；再證明出是以3為周期的周期函數(shù)，即可求解.【詳解】對于數(shù)列滿足，且，變形可得：，即，則有：.所以，所以.因為是定義在上的奇函數(shù)，所以且.因為，則有：，則有，即是以3為周期的周期函數(shù).所以.故選：D二、多選題：本題共4小題．在每小題所給的四個選項中，有多個選項符合題意．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9.若，，則下列說法正確的是()A.若事件相互獨立，則事件也互斥 B.若事件相互獨立，則事件不互斥C.若事件互斥，則事件也相互獨立 D.若事件互斥，則事件不相互獨立【答案】BD【解析】【分析】利用互斥事件與獨立事件的概率公式，對各選項逐一分析判斷即可.【詳解】對于AB，若事件相互獨立，則，所以事件不互斥，故A錯誤，B正確；對于CD，若事件互斥，則，又，所以，則事件不相互獨立，故C錯誤，D正確.故選：BD.10.函數(shù)由關(guān)系式確定，則下列說法正確的是()A.函數(shù)的零點為1B.函數(shù)的定義域和值域均為C.函數(shù)的圖象是軸對稱圖形D.若，則定義域內(nèi)滿足恒成立【答案】ACD【解析】【分析】由題意寫出分段函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象逐個分析判斷即可.【詳解】因為函數(shù)由關(guān)系式確定，所以，則的圖象如圖所示，由圖象可知，函數(shù)的零點為1，所以A正確，由圖象可知，函數(shù)的定義域和值域均為，所以B錯誤，因為對于，與互換后得到，與原式子相同，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，所以C正確，由圖象可知，的圖象恒在直線的上方，所以在定義域內(nèi)滿足恒成立，所以D正確，故選：ACD11.某通信工具在發(fā)送、接收信號時都會使用數(shù)字0或是1作為代碼，且每次只發(fā)送一個數(shù)字．由于隨機因素的干擾，發(fā)出的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0．已知發(fā)送信號0時，接收成0或1的概率分別為0.94和0.06；發(fā)送信號1時，接收成1或0的概率分別為0.96和0.04．假設(shè)發(fā)送信號0或1的概率是等可能的，則()A.已知兩次發(fā)送的信號均為1，則接收到的信號均為1的概率為B.在單次發(fā)送信號中，接收到0的概率為0.49C.在單次發(fā)送信號中，能正確接收的概率為0.95D.在發(fā)送三次信號后，恰有兩次接收到0的概率為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合獨立事件概率乘法公式逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：兩次發(fā)送的信號均為1，接收到的信號均為1的概率為，故A錯誤；對于選項B：在單次發(fā)送信號中，接收到0的概率為，故B正確；對于選項C：在單次發(fā)送信號中，能正確接收的概率為，故C正確；對于選項D：由選項B可知：在單次發(fā)送信號中，接收到0的概率為，則發(fā)送三次信號后，恰有兩次接收到0的概率，故D正確；故選：BCD.12.已知為等腰直角三角形，為斜邊且長度是．為等邊三角形，若二面角為直二面角，則下列說法正確的是()A.B.三棱錐的體積為C.三棱錐外接球的表面積為D.半徑為的球可以被整體放入以三棱錐為模型做的容器中【答案】ACD【解析】【分析】取線段的中點，連接、，證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項；計算出三棱錐的體積，可判斷B選項；分析可知的外心即為三棱錐外接球的球心，計算出三棱錐外接球的表面積，可判斷C選項；計算出三棱錐的內(nèi)切球半徑，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，取線段的中點，連接、，設(shè)的外心為點，如下圖所示：因為為等腰直角三角形，為斜邊，為的中點，所以，，同理可得，，且，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，A對；對于B選項，因為，，則二面角的平面角為，且，因為平面平面，平面平面，平面，，所以，平面，，所以，，B錯；對于C選項，因平面平面，平面平面，平面，，所以，平面，因為、平面，所以，，，因為，所以，，即，又因為為的外心，則，故，所以，為三棱錐外接球的球心，因為，且為等邊的外心，則，因此，三棱錐外接球的表面積為，C對；對于D選項，因為，，，則，即，取線段的中點，連接，則，且，所以，，所以，，同理可得，又因為，所以，三棱錐的表面積為，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則，即，所以，，因此，半徑為的球可以被整體放入以三棱錐為模型做的容器中，D對.故選：ACD.【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：(1)定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面(要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系)，達到空間問題平面化的目的；(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.方程在復(fù)數(shù)集中的解為______．【答案】【解析】【分析】先化簡方程，然后在復(fù)數(shù)集范圍內(nèi)解方程即可.【詳解】由方程，即，故，所以或，即方程在復(fù)數(shù)集中的解為或，故答案為：.14.______．【答案】【解析】【分析】利用兩角差的正弦公式計算可得.【詳解】.故答案為：15.已知函數(shù)圖像關(guān)于點對稱，且在區(qū)間上單調(diào)，則______．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性，列出方程求得，結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)，求得，進而得到的值.【詳解】由函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，可得，解得，可得，又因為在區(qū)間上單調(diào)，可得，即，即，解得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故答案為：或.16.如圖所示，斜率為的直線交橢圓于M、N兩點，交軸、軸分別于Q、P兩點，且，則橢圓的離心率為______．【答案】##0.5【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，表示出M、N點的坐標(biāo)，代入方程，找到的關(guān)系，再結(jié)合，即可求解橢圓的離心率；【詳解】設(shè)直線由圖可知，，設(shè)直線由圖可知，，又因為，設(shè)在軸上投影長度為，所以代入，解得：，上式除以下式得：，等式兩邊同時除以，解得：即：又因為，解得，所以橢圓的離心率為，故答案為：；四、解答題：本題共6小題．第17題10分，第18~22題每小題12分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前n項和為，數(shù)列滿足，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)是否存在常數(shù)p、q，使得對一切正整數(shù)n都有成立？若存在，求出p、q的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在；，【解析】【分析】(1)根據(jù)求出的通項公式，證明出數(shù)列為等差數(shù)列；(2)先得到是以8為首項，為公比的等比數(shù)列，求出通項公式，結(jié)合對數(shù)運算列出方程組，求出p、q的值.【小問1詳解】證明：因為數(shù)列的前n項和為，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，滿足，所以數(shù)列的通項公式為，，所以，，所以是首項為7，公差為4的等差數(shù)列．【小問2詳解】因為，所以，所以數(shù)列是以8為首項，為公比的等比數(shù)列，所以；所以，要使對一切正整數(shù)n都有成立．即，即，所以，解得，所以則當(dāng)，時，對一切正整數(shù)n都有成立．18.記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且．(1)求角的大?。?2)設(shè)邊上的高，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由題意及正弦定理可得的值，再由角的取值范圍，可得角的大小；(2)由題意和(1)可得，再由余弦定理可得的最小值，進而求出該三角形的面積最小值．【小問1詳解】由正弦定理可知：所以又，所以，所以．因為，所以．【小問2詳解】，所以①而所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立②由①②兩式可知，所以，即面積的最小值為．19.如圖，圓錐的高為3，是底面圓的直徑，PC，PD為圓錐的母線，四邊形是底面圓的內(nèi)接等腰梯形，且，點在母線上，且．(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)先得到平行四邊形OADC為菱形，得到，再結(jié)合得到線面垂直，證明出面面垂直；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，得到平面法向量，得到兩平面夾角的余弦值.【小問1詳解】由已知可得，且，所以四邊形OADC為平行四邊形，又因為，所以平行四邊形OADC為菱形，所以在圓錐PO中，因為平面ABCD，平面ABCD，所以因為，平面POD，平面POD，所以平面POD．又因為平面AEC，所以平面平面POD．【小問2詳解】取CD中點M，易知平面PAB，，以O(shè)為原點，OM，OB，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因為，所以，所以，所以，，設(shè)平面AEC的一個法向量為，因為，所以，令，則，，所以，易知平面EAB即平面yOz，所以平面EAB的一個法向量為，設(shè)平面AEC與平面EAB的夾角為，則，所以平面AEC與平面EAB的夾角的余弦值為．20.已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若既有極大值又有極小值，且極大值和極小值的和為．解不等式．【答案】(1)答案見解析(2)【解析】【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，然后對參數(shù)分類討論，注意討論正負以及與的關(guān)系。然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)由(1)知，的范圍是且，，題目轉(zhuǎn)化為求解，構(gòu)造函數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及特殊值，從而解得不等式的解集；【小問1詳解】定義域：，1°時，令，解得；令，解得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；2°時①當(dāng)時，即時，令，解得或；令，解得；所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，即時，令，解得或；令，解得；所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．【小問2詳解】由(1)知：且，且即：解不等式；(且)等價于解不等式：令，，所以在單調(diào)遞增，且，所以，即不等式的解集為．21.已知為拋物線上一點，，為的中點，設(shè)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點作直線交曲線E于點M、N，點為直線l：上一動點．問是否存在點使為正三角形？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【解析】