浙江省寧波市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

寧波市2022學(xué)年第二學(xué)期期末試題高二數(shù)學(xué)試卷第I卷(學(xué)考模擬共100分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共12小題，每小題3分，共36分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分.1已知集合，，則()A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的虛部是()A. B. C.1 D.23.函數(shù)的定義域是()A. B. C. D.4.已知，則()A B. C. D.5.某制藥廠正在測(cè)試一種減肥藥的療效，有1000名志愿者服用此藥，結(jié)果如下：體重變化體重減輕體重不變體重增加人數(shù)241571188如果另有一人服用此藥，根據(jù)上表數(shù)據(jù)估計(jì)此人體重減輕的概率是()A.0.57 B.0.33 C.0.24 D.0.196.已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)()A. B. C.1 D.47.已知球的半徑是3，則該球的體積是()A. B. C. D.8.對(duì)數(shù)與互相反數(shù)，則有()A. B. C. D.9.取一條長(zhǎng)度為1的直線(xiàn)段，將它三等分，去掉中間一段，留下剩下的兩段；再將剩下的兩段分別分割三等分，各去掉中間一段，留剩下的更短的四段；…；將這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無(wú)窮，由于在不斷分割舍棄過(guò)程中，所形成的線(xiàn)段數(shù)目越來(lái)越多，長(zhǎng)度越來(lái)越小，在極限的情況下，得到一個(gè)離散的點(diǎn)集，稱(chēng)為康托爾三分集.若在第n次操作中去掉的線(xiàn)段長(zhǎng)度之和不小于，則n的最大值為()(參考數(shù)據(jù)：)A.7 B.8 C.9 D.1010.已知為非零實(shí)數(shù)，則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件11.在中，，，，則直線(xiàn)通過(guò)的()A.垂心 B.外心 C.重心 D.內(nèi)心12.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，且對(duì)于任意，都有，則下列結(jié)論中一定成立的是()A B.C.為偶函數(shù) D.為奇函數(shù)二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)得4分，部分選對(duì)且沒(méi)錯(cuò)選得2分，不選、錯(cuò)選得0分.)13.下列函數(shù)是增函數(shù)的是()A. B. C. D.14.已知平面平面，且，則下列命題不正確的是()A.平面α內(nèi)的直線(xiàn)必垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線(xiàn)B.平面α內(nèi)的已知直線(xiàn)必垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)C.平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)必垂直于平面βD.過(guò)平面α內(nèi)的任意一點(diǎn)作交線(xiàn)l的垂線(xiàn)，則此垂線(xiàn)必垂直于平面β15.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.以下列選項(xiàng)為條件，一定可以推出的有()A. B.C. D.16.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，記二面角的大小為，二面角的大小為，則()A.異面直線(xiàn)BP與AC所成角的范圍是B.的最小值為C.當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐的體積為D.用平面截正方體，截面的形狀為梯形三、填空題(本大題共4小題，每空3分，共15分.)17.已知函數(shù)，則_______，_________.18.在生活中，我們經(jīng)?？梢钥吹竭@樣的路障，它可以近似地看成由一個(gè)直八棱柱、一個(gè)圓柱與一個(gè)圓臺(tái)組合而成，其中圓臺(tái)的上底面直徑為，下底面直徑為，高為.為了起到夜間行車(chē)的警示作用，現(xiàn)要在圓臺(tái)側(cè)面涂上熒光材料，則涂料部分的面積為_(kāi)_______.19.已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值是_________.20.在銳角中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的取值范圍為_(kāi)________.四、解答題(本大題共3小題，共33分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)21.隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機(jī)軟件層出不窮.現(xiàn)從某市使用款訂餐軟件的商家中隨機(jī)抽取個(gè)商家，對(duì)它們的“平均配送時(shí)間”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，所有數(shù)據(jù)均在范圍內(nèi)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求的值；(2)試估計(jì)該市使用款訂餐軟件的商家的“平均配送時(shí)間”的第百分位數(shù).22.已知函數(shù).其中.若的最小正周期為，且；(1)求的值；(2)若，求在區(qū)間上的值域.23.已知函數(shù)，其中.(1)若，求的值；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)，求證：.第II卷(能力提升共50分)五、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)且沒(méi)錯(cuò)選得2分，不選、錯(cuò)選得0分)24.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，設(shè)事件“第一次正面朝上”，事件“第二次正面朝上”，則()A. B.C.事件A與事件B互斥 D.事件A與事件B相互獨(dú)立25.已知平面向量滿(mǎn)足，則()A.的最大值為3 B.的最大值為3C.的最大值為6 D.的最大值為226.已知函數(shù)，若滿(mǎn)足，對(duì)，都使得成立，則的值可能為()A. B. C. D.27.已知正實(shí)數(shù)、、滿(mǎn)足，，其中，則()A. B. C. D.六、解答題(本大題共2小題，共30分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，)28.如圖，正四棱錐的高為，體積為.(1)求正四棱錐的表面積；(2)若點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求直線(xiàn)AE與平面所成角的正切值；(3)求二面角的余弦值.29.已知定義在R上的函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)若函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；(3)對(duì)于，若存在實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，求的取值范圍.(結(jié)果用a表示)

寧波市2022學(xué)年第二學(xué)期期末試題高二數(shù)學(xué)試卷第I卷(學(xué)考模擬共100分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共12小題，每小題3分，共36分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分.1.已知集合，，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)并集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：D2.復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的虛部是()A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的虛部是.故選：A3.函數(shù)的定義域是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用具體函數(shù)定義域的求法求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，則，所以的定義域?yàn)?故選：B.4.已知，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值判斷即可.【詳解】因?yàn)榍?，所?故選：B5.某制藥廠正在測(cè)試一種減肥藥的療效，有1000名志愿者服用此藥，結(jié)果如下：體重變化體重減輕體重不變體重增加人數(shù)241571188如果另有一人服用此藥，根據(jù)上表數(shù)據(jù)估計(jì)此人體重減輕的概率是()A.0.57 B.0.33 C.0.24 D.0.19【答案】C【解析】【分析】本題主要考查概率的求法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.利用表中數(shù)據(jù)直接計(jì)算即可.【詳解】由已知統(tǒng)計(jì)表可知在1000名志愿者中，服藥后出現(xiàn)體重減輕的人數(shù)為241人，因此服藥后出現(xiàn)體重減輕的頻率為，故選：C.6.已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)()A. B. C.1 D.4【答案】A【解析】【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以，解?故選：A7.已知球的半徑是3，則該球的體積是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)球的體積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榍虻陌霃?，所以球的體積.故選：D8.對(duì)數(shù)與互為相反數(shù)，則有()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題得，化簡(jiǎn)即可得答案.【詳解】解：由已知得，即，則.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.9.取一條長(zhǎng)度為1的直線(xiàn)段，將它三等分，去掉中間一段，留下剩下的兩段；再將剩下的兩段分別分割三等分，各去掉中間一段，留剩下的更短的四段；…；將這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無(wú)窮，由于在不斷分割舍棄過(guò)程中，所形成的線(xiàn)段數(shù)目越來(lái)越多，長(zhǎng)度越來(lái)越小，在極限的情況下，得到一個(gè)離散的點(diǎn)集，稱(chēng)為康托爾三分集.若在第n次操作中去掉的線(xiàn)段長(zhǎng)度之和不小于，則n的最大值為()(參考數(shù)據(jù)：)A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)可得第n次操作去掉的線(xiàn)段長(zhǎng)度之和為，則有，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合參考數(shù)據(jù)求n的最大值.【詳解】第一次操作去掉的線(xiàn)段長(zhǎng)度為，第二次操作去掉的線(xiàn)段長(zhǎng)度之和為，第三次操作去掉的線(xiàn)段長(zhǎng)度之和為，…，第n次操作去掉的線(xiàn)段長(zhǎng)度之和為，由題意知，，則，則，因?yàn)椋灾笖?shù)函數(shù)為增函數(shù)，又，，所以，故選：B.10.已知為非零實(shí)數(shù)，則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以由得不出，若即，若，則，即，所以由得不出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D.11.在中，，，，則直線(xiàn)通過(guò)的()A.垂心 B.外心 C.重心 D.內(nèi)心【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的加法的幾何意義，結(jié)合菱形的對(duì)角線(xiàn)為相應(yīng)角的平分線(xiàn)，得到在的角平分線(xiàn)上，從而作出判定.【詳解】因?yàn)?∴，設(shè),則，又，∴在的角平分線(xiàn)上，由于三角形中,故三角形的邊上的中線(xiàn)，高線(xiàn)，中垂線(xiàn)都不與的角平分線(xiàn)重合，故經(jīng)過(guò)三角形的內(nèi)心，而不經(jīng)過(guò)外心，重心，垂心，故選D.12.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，且對(duì)于任意，都有，則下列結(jié)論中一定成立的是()A. B.C.為偶函數(shù) D.為奇函數(shù)【答案】C【解析】【分析】由是奇函數(shù)，得即可判斷，先證明，得到，從而判斷，證明的周期為，再證明函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，可判斷C，由結(jié)合周期性判斷D.【詳解】由是奇函數(shù)，得，即，選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，得，所以，即，則，B錯(cuò)；由可得可得函數(shù)的周期為，與可得，即函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，根據(jù)周期為2可得函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即，所以為偶函數(shù)，C正確；因?yàn)榍液瘮?shù)的周期為，所以，為偶函數(shù)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)得4分，部分選對(duì)且沒(méi)錯(cuò)選得2分，不選、錯(cuò)選得0分.)13.下列函數(shù)是增函數(shù)的是()A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)的單調(diào)性即可.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，A正確；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，但，D錯(cuò)誤；故選：AC.14.已知平面平面，且，則下列命題不正確的是()A.平面α內(nèi)的直線(xiàn)必垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線(xiàn)B.平面α內(nèi)的已知直線(xiàn)必垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)C.平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)必垂直于平面βD.過(guò)平面α內(nèi)的任意一點(diǎn)作交線(xiàn)l的垂線(xiàn)，則此垂線(xiàn)必垂直于平面β【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)線(xiàn)面、面面關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，平面內(nèi)取平行于交線(xiàn)的直線(xiàn)時(shí)，該直線(xiàn)與平面平行，不垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線(xiàn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取平面內(nèi)無(wú)數(shù)條與交線(xiàn)垂直的直線(xiàn)，平面內(nèi)的已知直線(xiàn)與這無(wú)數(shù)條直線(xiàn)垂直，故B正確；對(duì)于C，平面內(nèi)取與平行的直線(xiàn)，不垂直于平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若內(nèi)的任意一點(diǎn)取在交線(xiàn)上，所作垂線(xiàn)可能不在平面內(nèi)，所以不一定垂直于平面，故D錯(cuò)誤.故選：ACD15.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.以下列選項(xiàng)為條件，一定可以推出的有()A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由余弦定理判斷A，由正弦定理判斷B，舉例判斷C，結(jié)合內(nèi)角和關(guān)系和二倍角公式誘導(dǎo)公式判斷D.【詳解】對(duì)于A，由余弦定理可得，又，所以，A正確；對(duì)于B，由正弦定理可得，又，所以，又，所以或，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取，為銳角，且，可得為銳角，且，此時(shí)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由可得，所以，所以，解得或(舍)，又，所以，D正確；故選：AD.16.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，記二面角的大小為，二面角的大小為，則()A.異面直線(xiàn)BP與AC所成角的范圍是B.的最小值為C.當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐的體積為D.用平面截正方體，截面的形狀為梯形【答案】ABD【解析】【分析】由異面直線(xiàn)夾角定義確定異面直線(xiàn)BP與AC所成角，由此判斷A；由二面角的定義確定，求，利用兩角和的正切公式求，再求其最小值，判斷B；確定周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)的位置，結(jié)合錐體體積公式求的體積，判斷C；根據(jù)平面的性質(zhì)，確定正方體的過(guò)點(diǎn)的截面，判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以異面直線(xiàn)BP與AC所成角為或中的銳角或直角，又，所以為為等邊三角形，因?yàn)辄c(diǎn)P在線(xiàn)段(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)為線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)異面直線(xiàn)BP與AC所成角為，當(dāng)點(diǎn)趨近或時(shí)，異面直線(xiàn)BP與AC所成角趨近，所以異面直線(xiàn)BP與AC所成角的范圍是，A正確；過(guò)點(diǎn)作，，因?yàn)槠矫?，所以平面，過(guò)點(diǎn)作，垂足，所以為二面角的平面角，為二面角的平面角，故，設(shè)，則，，所以，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，B正確；延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)點(diǎn)為線(xiàn)段與的交點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)最小，因，所以，所以，又，所以，所以的面積，又，，，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐的體積為，C錯(cuò)誤；延長(zhǎng)，兩直線(xiàn)交于點(diǎn)，連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，又，所以四邊形為梯形，所以用平面截正方體，截面的形狀為梯形，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查異面直線(xiàn)的夾角，二面角的求法，錐體體積問(wèn)題，正方體的截面，屬于綜合題主要考查學(xué)生的邏輯推理能力和直觀想象能力.三、填空題(本大題共4小題，每空3分，共15分.)17.已知函數(shù)，則_______，_________.【答案】①.##②.##【解析】【分析】利用函數(shù)的解析式可求得的值，計(jì)算出的范圍，根據(jù)函數(shù)的解析式可求得的值.【詳解】因?yàn)?，則；因?yàn)?，所以，，所以?故答案為：；.18.在生活中，我們經(jīng)常可以看到這樣的路障，它可以近似地看成由一個(gè)直八棱柱、一個(gè)圓柱與一個(gè)圓臺(tái)組合而成，其中圓臺(tái)的上底面直徑為，下底面直徑為，高為.為了起到夜間行車(chē)的警示作用，現(xiàn)要在圓臺(tái)側(cè)面涂上熒光材料，則涂料部分的面積為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】作圓臺(tái)的軸截面，利用條件求其母線(xiàn)長(zhǎng)，再由圓臺(tái)側(cè)面積公式求其側(cè)面積即可.【詳解】作圓臺(tái)的軸截面如下：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由已知，，，所以，所以圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為，由已知圓臺(tái)的上底半徑為，下底半徑為，所以圓臺(tái)的側(cè)面積，故答案為：.19.已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值是_________.【答案】##【解析】【分析】由條件可得，結(jié)合基本不等式求的最小值.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是.故答案為：.20.在銳角中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的取值范圍為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】由正弦定理將邊角互化，結(jié)合余弦定理及兩角和差的正弦公式得到，根據(jù)為銳角三角形可得，以及，再由正弦定理可得，利用兩角和的正弦展開(kāi)式和的范圍可得答案.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，由余弦定理，所以，即，由正弦定理可得，所以，即，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，即，所以，由為銳角三角形，所以，，可得，所以，，由正弦定理得，即的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是通過(guò)邊角互化得到，從而得到，最后由正弦定理將式子轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.四、解答題(本大題共3小題，共33分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)21.隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機(jī)軟件層出不窮.現(xiàn)從某市使用款訂餐軟件的商家中隨機(jī)抽取個(gè)商家，對(duì)它們的“平均配送時(shí)間”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，所有數(shù)據(jù)均在范圍內(nèi)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求的值；(2)試估計(jì)該市使用款訂餐軟件的商家的“平均配送時(shí)間”的第百分位數(shù).【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，解得即可.(2)首先判斷第百分位數(shù)位于之間，設(shè)為，則，解得即可.【小問(wèn)1詳解】依題意可得，解得.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以第百分位?shù)位于之間，設(shè)為，則，解得，故第百分位數(shù)為.22.已知函數(shù).其中.若的最小正周期為，且；(1)求的值；(2)若，求在區(qū)間上的值域.【答案】(1)，；(2)在區(qū)間上的值域?yàn)?【解析】【分析】(1)由函數(shù)的周期，結(jié)合周期公式求，由條件化簡(jiǎn)求；(2)結(jié)合條件確定，利用不等式性質(zhì)結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求在區(qū)間上值域.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，【小?wèn)2詳解】由(1)，又，所以，所以，由已知，所以，所以，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?23.已知函數(shù)，其中.(1)若，求的值；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)，求證：.【答案】(1)(2)1個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)詳解(3)證明見(jiàn)詳解【解析】【分析】(1)根據(jù)解析式直接計(jì)算即可；(2)利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷即可；(3)利用單調(diào)性結(jié)合放縮法證明.【小問(wèn)1詳解】若，則，所以.【小問(wèn)2詳解】，因?yàn)?，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，因?yàn)?，所以，所以，又，所以在?nèi)有唯一零點(diǎn).【小問(wèn)3詳解】由(2)可知，，因?yàn)?，所以，所以，令，則，記，因?yàn)?，所以，易知在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋砸C，只需證，即證，令，因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞增，所以，即，即.綜上，，即.第II卷(能力提升共50分)五、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)且沒(méi)錯(cuò)選得2分，不選、錯(cuò)選得0分)24.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，設(shè)事件“第一次正面朝上”，事件“第二次正面朝上”，則()A. B.C.事件A與事件B互斥 D.事件A與事件B相互獨(dú)立【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)立事件，并事件，互斥與相互獨(dú)立事件的概念，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.【詳解】對(duì)于A，試驗(yàn)的樣本空間為:{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},共4個(gè)樣本點(diǎn)，

所以，故，故A正確;

對(duì)于B，試驗(yàn)的樣本空間為:{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},共4個(gè)樣本點(diǎn)，事件含有(正,正),(正,反),(反,正),這三種結(jié)果,故，故B正確；

對(duì)于C，{(正,正),(正,反)},{(正,正),(反,正)}，顯然事件,事件都含有“(正,正)這一結(jié)果,事件,事件能同時(shí)發(fā)生,因此事件與事件不互斥,故C不正確;

對(duì)于D，,,,所以,所以事件與事件為相互獨(dú)立事件，故D正確.故選:ABD.25.已知平面向量滿(mǎn)足，則()A.的最大值為3 B.的最大值為3C.的最大值為6 D.的最大值為2【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)的夾角為，通過(guò)平方轉(zhuǎn)化得，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值，即可判斷A；選項(xiàng)BCD采用同樣的方法求解判斷即可.【詳解】設(shè)的夾角為，，，∵，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值3，故A正確；∵，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值3，故B正確；∵，∴，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，所以的最大值為，故C錯(cuò)誤；∵，要使取最大值，只需考慮的情形，此時(shí)，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD.26.已知函數(shù)，若滿(mǎn)足，對(duì)，都使得成立，則的值可能為()A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由條件可得，的值域包含于函數(shù)，的值域，求函數(shù)，的值域，并對(duì)各選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)，可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)閷?duì)，都使得成立，所以，的值域包含于函數(shù)，的值域，函數(shù)，的值域?yàn)?，所以，的值域包含區(qū)間，由，可得，當(dāng)時(shí)，，所以，的值域?yàn)椴粷M(mǎn)足要求，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，所以，的值域?yàn)闈M(mǎn)足要求，B正確；當(dāng)時(shí)，，，所以，的值域?yàn)闈M(mǎn)足要求，C正確；當(dāng)時(shí)，，，所以，的值域?yàn)椴粷M(mǎn)足要求，D錯(cuò)誤；故選：BC.27.已知正實(shí)數(shù)、、滿(mǎn)足，，其中，則()A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用換底公式可判斷A選項(xiàng)；設(shè)，，利用對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化，以及冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；比較、的大小，利用作商法結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；利用基本不等式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，由，可得，則，所以，故A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，則，，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以，即，設(shè)，則，，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以，即，則，故B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，且，，所以，所以，則，故，所以，即，故C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由基本不等式，可得，所以，，故D對(duì).故選：ACD.六、解答題(本大題共2小題，共30分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，)28.如圖，正四棱錐的高為，體積