數(shù)學（人教版選修12）課件222反證法

第二章推理與證明2．2直接證明與間接證明反證法1．了解反證法是間接證明的一種基本方法．(重點)2．理解反證法的思考過程，會用反證法證明數(shù)學問題．(難點)1．反證法假設原命題

_________(即在原命題的條件下，結論不成立)，經過正確的推理，最后得出_____，因此說明_________，從而證明了_______________，這樣的證明方法叫做反證法．2．反證法常見的矛盾類型反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個矛盾可以是與____________矛盾，或與_________矛盾，或與_______、_______、_______、事實矛盾等．不成立矛盾假設錯誤原命題成立已知條件假設定義定理公理1．應用反證法推出矛盾的推導過程中要把下列哪些作為條件(

)①結論的假設；②已知條件；③定義、公理、定理等；④原結論．A．①②

B．②③C．①②③ D．①②④答案：C2．用反證法證明命題“三角形的內角中至多有一個鈍角”時，反設正確的是(

)A．三個內角中至少有一個鈍角B．三個內角中至少有兩個鈍角C．三個內角都不是鈍角D．三個內角都不是鈍角或至少有兩個鈍角解析：“至多有一個”即要么一個都沒有，要么有一個，故反設為“至少有兩個”．答案：B3．用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內角和為180°矛盾，故假設錯誤．②所以一個三角形不能有兩個直角．③假設△ABC中有兩個直角，不妨設∠A＝90°，∠B＝90°.上述步驟的正確順序為________．答案：③①②4．有下列敘述：①“a>b”的反設是“a<b”；②“x＝y(tǒng)”的反設是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反設是“三角形的外心在三角形內”．其中正確的敘述有________．解析：①的反設是“a≤b”；②的反設是“x≠y”，也就是“x>y或x<y”；③的反設是“三角形的外心在三角形內或在三角形邊上”．只有②正確．答案：②1．反證法不直接證明命題“若p則q”，而是先肯定命題的條件p，并否定命題的結論q，即從原命題的否定入手，由p與?q合乎邏輯地推出一個矛盾結果；根據(jù)矛盾律，兩個互相矛盾的判斷不能同真，必有一假，斷定命題的否定為假；又兩個互相矛盾的判斷不能同假，必有一真．由此肯定命題“若p則q”為真．反證法2．反證法證明數(shù)學命題的一般步驟第一步：分清命題“p→q”的條件和結論；第二步：作出與命題結論q相矛盾的假定?q(反設)；第三步：由p和?q出發(fā)，應用正確的推理方法，推出矛盾結果(歸謬)；第四步：斷定產生矛盾結果的原因，在于開始所作的假定?q不真，于是原結論q成立，從而間接地證明了命題p→q為真．第三步中所說的矛盾結果，通常是指推出的結果與已知公理、已知定義、已知定理或已知條件矛盾，或與臨時假定矛盾，或自相矛盾等各種情況．【想一想】有人說反證法就是通過證明逆否命題來證明原命題，這種說法對嗎？為什么？提示：這種說法是錯誤的，反證法是先否定命題，然后再證明命題的否定是錯誤的，從而肯定原命題正確，不是通過逆否命題證題．命題的否定與原命題是對立的，原命題正確，其命題的否定一定不對．

設函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)．求證：f(x)＝0無整數(shù)根．[思路探究]此題為否定形式的命題，直接證明很困難，可選用反證法．證題的關鍵是根據(jù)f(0)，f(1)均為奇數(shù)，分析出a，b，c的奇偶情況，并應用．用反證法證明否(肯)定式命題[自主解答]

假設f(x)＝0有整數(shù)根n，則an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均為奇數(shù)，即c為奇數(shù)，a＋b為偶數(shù)，則an2＋bn＝－c①為奇數(shù)當n為偶數(shù)時，顯然與①矛盾.當n為奇數(shù)時，設n＝2k＋1(k∈Z)，則an2＋bn＝a(k＋1)2＋b(2k＋1)＝(2k＋1)(2ak＋a＋b)為偶數(shù)，與①矛盾∴f(x)＝0無整數(shù)根．1．對某些結論為肯定形式或者否定形式的命題的證明，從正面突破較困難時，可用反證法．通過反設將肯定命題轉化為否定命題或將否定命題轉化為肯定命題，然后用轉化后的命題作為條件進行推理，推出矛盾，從而達到證題的目的．2．用反證法證題時，如果欲證明命題的反面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以；若結論的反面情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷結論成立．1．平面內有四個點，任意三點不共線．證明：以任意三點為頂點的三角形不可能都是銳角三角形．證明：假設以任意三點為頂點的四個三角形都是銳角三角形，四個點為A，B，C，D.考慮△ABC，則點D有兩種情況：在△ABC內部和外部．(1)如果點D在△ABC內部(如圖(1))，根據(jù)假設知圍繞點D的三個角∠ADB，∠ADC，∠BDC都小于90°，其和小于270°，這與一個周角等于360°矛盾．(2)如果點D在△ABC外部(如圖(2))，根據(jù)假設知∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC都小于90°，即四邊形ABCD的內角和小于360°，這與四邊形內角和等于360°矛盾．綜上所述，可知假設錯誤，題中結論成立．

已知：一點A和平面α.求證：經過點A只能有一條直線和平面α垂直．[思路探究]本題主要考查用反證法證明“唯一性”型命題，解答本題的關鍵是分兩種情況討論：用反證法證明“唯一性”命題

1．證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性．當證明結論以“有且只有”“只有一個”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時，由于反設結論易于導出矛盾，所以用反證法證其唯一性就較簡單明了．2．用反證法證明數(shù)學命題的步驟：①反設：假設命題的結論不成立，即假定原結論的反面為真．②歸謬：從反設和已知條件出發(fā)，經過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾的結果．③存真：由矛盾的結果斷定反設不真，從而肯定原結論成立．2．已知a與b是異面直線，求證：過a且平行于b的平面只有一個．用反證法證明“至多、至少”問題1．用反證法證明“至少”“至多”型命題，可減少討論情況，目標明確．否定結論時需弄清楚結論的否定是什么，避免出現(xiàn)錯誤．2．用反證法證明“至多、至少”問題時常見的“結論詞”與“反設詞”如下：1．反證法：假設原命題的反面正確，根據(jù)已知條件及公理、定理、定義，按照嚴格的邏輯推理導出矛盾．從而說明假設不正確，得出原命題正確．2．反證法是間接證明的