【中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)與式的邏輯思維探析6400字（論文）】

中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)與式的邏輯思維分析0前言 11中學(xué)函數(shù)知識分布 11.1中學(xué)函數(shù)知識結(jié)構(gòu)分析 11.2中學(xué)函數(shù)知識類別分析 11.3中學(xué)函數(shù)知識特征分析 22中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)與式的邏輯思維分析 22.1操作階段 32.2過程階段 32.3對象階段 42.4圖式階段 43中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)知識教學(xué)策略 53.1函數(shù)概念的生成策略 53.2函數(shù)知識鞏固的思想方法滲透策略 83.3函數(shù)思想的形成 94．總結(jié) 9參考文獻(xiàn) 11

摘要：依照中學(xué)函數(shù)教學(xué)中建立知識的總體目標(biāo)來看，中學(xué)函數(shù)教學(xué)的總體目標(biāo)不僅要求學(xué)生闡明函數(shù)是變量之間的依存關(guān)系，還需要將函數(shù)解釋為一組和一個對應(yīng)關(guān)系.因為函數(shù)的概念是針對中學(xué)的.因此，在深入研究模塊之間的邏輯與函數(shù)之間的關(guān)系時，考慮到教科書中函數(shù)知識的模塊化表達(dá)的特征，中學(xué)和高中教科書的函數(shù)，如函數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系，這些關(guān)系已成為中學(xué)函數(shù)教育和研究的核心，對于改善學(xué)習(xí)者的思維方式和教師專業(yè)發(fā)展至關(guān)重要.本主題旨在研究最新版本的中學(xué)數(shù)學(xué)教科書和高中教科書.介紹基本技能教學(xué)方法的概念.它基于網(wǎng)絡(luò)分析以及中學(xué)函數(shù)和數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的自身內(nèi)部特征.，試圖通過將學(xué)生與新課程標(biāo)準(zhǔn)概念和相關(guān)函數(shù)邏輯理論相結(jié)合，向?qū)W生揭示內(nèi)部邏輯關(guān)系.學(xué)習(xí)函數(shù)知識，達(dá)到傳授知識的目的，提供更中肯的建議和策略來呈現(xiàn)相應(yīng)的知識.關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；函數(shù)概念；教學(xué)策略中圖分類號：O1190前言初等教育階段的改革正如火如荼的進(jìn)行著，而函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的核心內(nèi)容，自然是人們的重點關(guān)注對象.綜合函數(shù)內(nèi)容的歷史發(fā)展過程，以及其它國家目前研究情況，對海量資料解讀，發(fā)表中學(xué)階段數(shù)學(xué)中函數(shù)知識學(xué)習(xí)的目的和意義，研究方法和思想.在新課程改革的背景下，初中基礎(chǔ)函數(shù)學(xué)科和教學(xué)方法已成為研究熱點.這說明中學(xué)數(shù)學(xué)的函數(shù)狀態(tài)得到了改善，學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)函數(shù)的關(guān)鍵是掌握函數(shù)思維方式.由于函數(shù)知識被分為初中和高中兩個教育階段，因此有關(guān)函數(shù)知識的鏈接的研究正在增加，并且很少進(jìn)行關(guān)于函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)的研究.1中學(xué)函數(shù)知識分布1.1中學(xué)函數(shù)知識結(jié)構(gòu)分析表1.1中學(xué)函數(shù)知識分布階段學(xué)期章節(jié)基本內(nèi)容初中二年級第二學(xué)期第十九章一次函數(shù)函數(shù)變量與函數(shù)圖象三年級第一學(xué)期第二十二章二次函數(shù)二次函數(shù)：概念、表示、圖象、性質(zhì)三年級第二學(xué)期第二十六章反比例函數(shù)反比例函數(shù)：概念、表示、圖象、性質(zhì)1.2中學(xué)函數(shù)知識類別分析縱觀中學(xué)函數(shù)課程的內(nèi)容，將中學(xué)和高中的函數(shù)學(xué)習(xí)內(nèi)容分為四個模塊：函數(shù)定義，圖像，性質(zhì)和應(yīng)用.函數(shù)知識的學(xué)習(xí)方法相似，但是中學(xué)學(xué)習(xí)函數(shù)在教科書中以簡單的形式，簡單的特征，初步的定義，簡單和初步的知識目標(biāo)要求以及直觀的形式呈現(xiàn).學(xué)生對函數(shù)知識有感知上的理解.例如，函數(shù)僅僅是變量和變量概念，所有類型的函數(shù)概念都是最多只有兩個變量，某些特殊點用于繪制函數(shù)圖像，并且可以獲得一些簡單的屬性.通過觀察函數(shù)圖像，例如增減性和最大值.與初中相比，中學(xué)函數(shù)知識的內(nèi)容難度隨著學(xué)習(xí)目標(biāo)的廣度，深度和高度的提高而提高，函數(shù)的概念以集合和映射的方式定義，其中大多數(shù)以抽象的形式出現(xiàn)在教科書中.初中時，數(shù)學(xué)知識體系以平面直角坐標(biāo)系和實數(shù)為基礎(chǔ)，首先引入常數(shù)和變量，函數(shù)概念變量理論的定義及其表示方法；其次，通過對函數(shù)的圖象的研究達(dá)到深入研究函數(shù)本身性質(zhì)的目的，最后研究了拋物線頂點和開口方向等內(nèi)容；高中時，作為學(xué)習(xí)的核心，函數(shù)比初中有更多的類型.而且它們在題目中往往不是單獨存在的，還涉及到方程、不等式、等式等內(nèi)容，這給學(xué)習(xí)和教學(xué)帶來了初中沒有的挑戰(zhàn).1.2.1初中函數(shù)的類別雖然初中學(xué)的函數(shù)不多，但這是第一次接觸函數(shù)的概念，其重要性不言而喻，為之后學(xué)習(xí)其他函數(shù)內(nèi)容清除概念理解障礙，主要是研究了正反比例函數(shù)、二次函數(shù).1.2.2高中函數(shù)的類別雖然這個階段的函數(shù)很多，也有困難，但是有一定的基礎(chǔ)，主要是學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù).1.3中學(xué)函數(shù)知識特征分析在初中，我們學(xué)習(xí)了一些初等函數(shù)和方程，不等式.我們知道，它們看似是相互獨立的數(shù)學(xué)知識模塊，但實際上它們本質(zhì)相互通，在學(xué)習(xí)理解上相互促進(jìn)，從函數(shù)的角度可以統(tǒng)一；在高中階段，用二次函數(shù)、方程和不等式關(guān)系來解決一元二次不等式有關(guān)的問題，使我們可以從函數(shù)的角度進(jìn)一步理解不等式和等式統(tǒng)一的數(shù)學(xué)思想方法.函數(shù)的數(shù)學(xué)概念在初中數(shù)學(xué)課程中起著重要的作用.初中第四個學(xué)期才開始在第19章函數(shù)和相關(guān)概念第一部分介紹函數(shù)的基本概念.在本節(jié)中，首先向?qū)W生介紹函數(shù)的新概念.通過識別變量，常數(shù)等，發(fā)現(xiàn)函數(shù)與現(xiàn)實生活中事物的變化規(guī)律之間的關(guān)系，建立函數(shù)的基本關(guān)系，確定自變量的范圍，將它們與示例結(jié)合起來，然后進(jìn)行“變化和對應(yīng)”的體會，學(xué)習(xí)一些常用的函數(shù)表示，通過組合特定的圖形來分析基本函數(shù)關(guān)系以及確定自變量的范圍.本章不作一般性討論，甚至僅自變量的范圍也不能暗示“函數(shù)域”的概念.但是，通過強調(diào)簡單的單值對應(yīng)關(guān)系，使初學(xué)者易于理解該函數(shù)的概念，從而確保了理解函數(shù)的概念.因為函數(shù)的概念擁有抽象的特性，所以學(xué)生需要充分分析教師教授的具體生活情景，并且在積累一定的經(jīng)驗后，可以使用圖形直觀地表示變量之間的對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生可以更好地了解相應(yīng)函數(shù)的特點.對于簡單函數(shù)圖象的繪制，以“描點法”為主，相連的相鄰點之間通過一條平滑曲線相連.例如，在一次函數(shù)圖像中，彼此相連的平滑曲線是直線，因為在繪制圖像時，相鄰點在同一直線上.這是繪制函數(shù)圖像的最基本方法.如果要研究函數(shù)圖并找出函數(shù)根據(jù)自變量變化的規(guī)律，則可以以更簡單，更直接的方式例如“兩點法”繪制函數(shù)圖，繪制函數(shù)圖象的“三點法”或“五點法”等；雖然受實際情況的限制，通常只能繪制部分圖像，但這不會影響對函數(shù)特性的研究，所以學(xué)會畫函數(shù)的圖象對于研究函數(shù)性質(zhì)非常重要，在教學(xué)中應(yīng)充分重視這些內(nèi)容.2中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)與式的邏輯思維分析2.1操作階段這個階段的學(xué)生可以根據(jù)教材中給定函數(shù)的具體背景和教師的指示，逐步區(qū)分常數(shù)和變量，變量和變量之間的依賴關(guān)系在示例中得到了反映（例如，函數(shù)的概念反映了函數(shù)和自變量之間的關(guān)系）.實際問題的函數(shù)關(guān)系是通過學(xué)習(xí)的函數(shù)模型確定時與自變量相對應(yīng)的函數(shù)值.某些活動可確定與自變量相對應(yīng)的函數(shù)的值，或舉例說明簡單的生活中的函數(shù)（例如，距離，速度，面積，半徑等）.2.2過程階段在此階段，學(xué)生必須根據(jù)變量之間的關(guān)系選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表達(dá)式形式來描述函數(shù)變量之間的關(guān)系（例如，分析并表達(dá)函數(shù)變量中自變量和因變量的相應(yīng)定律）；能夠認(rèn)識到函數(shù)是一種特殊的對應(yīng)關(guān)系；理解函數(shù)的三要素，例如，和不是同一個函數(shù)，它們有相同的定義域.學(xué)習(xí)一個函數(shù)的不同表達(dá)式，識別同一函數(shù)的多個表達(dá)式，理解一個函數(shù)的不同符號表達(dá)式，每個字母的含義.在此階段，主要任務(wù)是確定函數(shù)的范圍以及如何根據(jù)函數(shù)的各種表達(dá)來表達(dá)函數(shù).2.3對象階段當(dāng)學(xué)生的思維水平達(dá)到此階段時，將能夠?qū)⒃摵瘮?shù)視為一個獨立的對象，并且可以靈活地對該函數(shù)執(zhí)行四個操作(如和兩個已知函數(shù)、求函數(shù)、以及復(fù)合函數(shù)等運算)，和分析理解獲取表達(dá)式中每個符號的含義，六種基本函數(shù)類型，屬性和圖像的解析表達(dá)式，以形成函數(shù)更豐富的思維表達(dá).了解新函數(shù)和原始函數(shù)之間的關(guān)系，使用旋轉(zhuǎn)、平移和其他方法得到的原函數(shù)，由簡單函數(shù)轉(zhuǎn)換的特征用于處理抽象函數(shù).2.4圖式階段這個階段主要涉及函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)概念中包含的特定函數(shù)的定義，屬性，符號含義以及各種函數(shù)和方程，曲線，導(dǎo)數(shù)的抽象過程，它們之間存在差異和聯(lián)系.通過充分反映函數(shù)知識系統(tǒng)，它形成了一個相對完整的示意圖結(jié)構(gòu).當(dāng)學(xué)生獲得函數(shù)知識時，如果他們能夠獲得了函數(shù)知識，則可以檢查他們是否可以使用函數(shù)知識來解決函數(shù)模型問題.他們的探索過程是準(zhǔn)確的，并且可以解決問題，無論思路是否清晰.中學(xué)函數(shù)知識最重要的應(yīng)用是對方程的研究，例如使用函數(shù)的方程.指定數(shù)學(xué)式與函數(shù)之間的關(guān)系，用二分法以找到函數(shù)的零點，并確定函數(shù)的零點.3中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)知識教學(xué)策略3.1函數(shù)概念的生成策略本質(zhì)上，函數(shù)概念的形成是對相同類型的對象或事物的共同基本特征的抽象.當(dāng)前，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，函數(shù)概念被抽象化，函數(shù)概念形成的歷史和邏輯過程被普遍采用:圖3-1函數(shù)概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)與途徑確保函數(shù)概念形成的基本步驟與杜賓斯基的APOS理論保持一致并不難.例如，在給定函數(shù)的特定背景信息下，教師分析背景信息，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行活動，通過重復(fù)研究該概念，學(xué)生可以將函數(shù)概念作為對象進(jìn)行內(nèi)部化，并最終在他們的腦海中塑造該概念的應(yīng)用方式.3.1.1概念探究教師應(yīng)仔細(xì)考慮以下問題：首先，如何為學(xué)生提供幫助，其次，應(yīng)該為學(xué)生提供什么樣的幫助.主要的方法是在數(shù)學(xué)中設(shè)置“腳手架”.它的主要目的是雙重的.首先，構(gòu)造“腳手架”使難以理解函數(shù)概念易于理解；其次，可以完成較高級別的任務(wù)而不必完成較低級別的任務(wù).例如，心理學(xué)家伍德等人總結(jié)了六種不同類型的“腳手架”，以幫助學(xué)生.包括指導(dǎo)學(xué)生參與；指出研究主題的相關(guān)特征；提供學(xué)生可以觀察和學(xué)習(xí)的相關(guān)課程的示例；減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)；指導(dǎo)學(xué)習(xí)活動以及控制學(xué)習(xí)過程中可能出現(xiàn)的挫折.考慮到數(shù)學(xué)函數(shù)概念的抽象性質(zhì)，在數(shù)學(xué)函數(shù)概念的教學(xué)中構(gòu)建“腳手架”的基本方法應(yīng)該更加具體，并且在中學(xué)階段，關(guān)于函數(shù)概念有兩種理論：變量論和對應(yīng)論.初中的函數(shù)概念是基于“變量論”的，也就是說，如果變化過程中存在兩個變化量和，那么任意給出的一個存在相應(yīng)唯一確定的，后者與前者是成對存在的.并且說是自變量，是函數(shù)值.若在時，，我們就說是自變量取為時的結(jié)果.為了解釋函數(shù)概念中的各種變量符號，函數(shù)對應(yīng)關(guān)系及其規(guī)律，教科書形成了一個“支架”，與學(xué)生的生活非常接近.例如，學(xué)生在遇到問題的情況下得到指引，教師受到啟發(fā).例如，變量和函數(shù)的概念的引入是基于以下三個示例:介紹生活中的真實對象，使學(xué)生可以對數(shù)學(xué)產(chǎn)生共鳴和興趣.另外，這個問題反映了各種事物的變化過程，因此學(xué)生可以找到常值函數(shù):例如，路程30km，三角形的周長為25m，這些量的值始終不變，即總是恒定的量稱為常數(shù).另一個例子是現(xiàn)在的時間，每天的銷售量等，這些量的值是變化的.從示例中，在課堂上，學(xué)生可以看到兩個相互關(guān)聯(lián)的變量，其中一個取固定值，另一個取唯一值.最后，老師指導(dǎo)學(xué)生導(dǎo)出函數(shù)的相關(guān)概念.通過對生活實例的分析和比較，學(xué)生不斷加深對函數(shù)本質(zhì)的理解，這些腳手架是教授函數(shù)概念的常用方法，是教師教學(xué)和幫助學(xué)生理解的常用方法.“腳手架”是一種負(fù)擔(dān).如果學(xué)生在其功能領(lǐng)域?qū)W到的知識過多，則老師必須引導(dǎo)學(xué)生擺脫它.隨著下一個新的學(xué)習(xí)課程的開始，它需要切換到新的區(qū)域.其不僅對學(xué)生有幫助，而且是建立知識的工具和培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力的手段.一方面，它可以幫助學(xué)生理解，另一方面，它可以使學(xué)生思考方向由老師引導(dǎo)所決定.3.1.2變式教學(xué)顧?quán)忋鋵ψ兪浇逃M(jìn)行了較為全面的研究，主要涉及兩個方面.一種是對傳統(tǒng)教育中的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行全面還原和分類，另一種是將“概念變式”擴展為“過程變式”.進(jìn)行教育轉(zhuǎn)變，不僅適合學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，還適合教師在數(shù)學(xué)活動中積累經(jīng)驗.在教育活動過程中的它的功能是幫助學(xué)生從不同角度理解概念.以下是函數(shù)概念形成的示例：(1)通過直觀的具體變式引入函數(shù)概念理解的難點在于其不如幾何那樣直觀，此特性來自對生活中的具體示例的感知，所以建立函數(shù)概念首先是獲得感性上的認(rèn)識，其次是上升到理性認(rèn)識，最后形成抽象概念.顧?quán)忋浣淌谡f過，與學(xué)生對函數(shù)概念學(xué)習(xí)難易程度相關(guān)的最重要要原因有:1.生活經(jīng)歷；2.概念描述；3.頭腦中對函數(shù)概念學(xué)習(xí)有益的圖象.在講授函數(shù)概念時有兩個主要困難.首先，列出該函數(shù)的解析表達(dá)式；其次，能夠指出該表達(dá)式的實際意義和現(xiàn)實作用.為了幫助學(xué)生克服這兩個挑戰(zhàn)，教師必須采用以下兩種方法：首先是通過使用感性材料和生活實例中的函數(shù)加深對基本函數(shù)概念的理解，其次是使用它們并從理性上認(rèn)識它們.(2)通過比較以下兩種形式，分析各自優(yōu)缺點函數(shù)的表達(dá)式分為標(biāo)準(zhǔn)形式和非標(biāo)準(zhǔn)形式，其具體表現(xiàn)形式如下:標(biāo)準(zhǔn)形：；；.非標(biāo)準(zhǔn)形：；；.兩種形式的分析表達(dá)都有其優(yōu)缺點.標(biāo)準(zhǔn)形可以幫助學(xué)生更直接地認(rèn)識函數(shù)的概念，又可能在一定程度上禁錮住學(xué)生的思維.要解決這個問題，就需要將函數(shù)表達(dá)方式轉(zhuǎn)化為非標(biāo)準(zhǔn)形，其與標(biāo)準(zhǔn)形相比更能夠顯現(xiàn)出函數(shù)的含義.3.1.3數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)函數(shù)概念轉(zhuǎn)化為對象，函數(shù)反復(fù)連接到現(xiàn)實生活中并用作形成架構(gòu)的對象，函數(shù)概念不是單個概念，而是由知識和技能組成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng).概念的學(xué)習(xí)最終是在現(xiàn)有概念和新概念之間建立各種連接以形成概念網(wǎng)絡(luò)的鏈接.函數(shù)知識連接了不同類型的概念，教科書將使用一些練習(xí)來增強學(xué)生對函數(shù)的理解.函數(shù)的應(yīng)用不僅是學(xué)科的組合，而且是多個學(xué)科之間的聯(lián)系，在物理學(xué)中將自由落體運動和二次函數(shù)相結(jié)合，積極尋找答案并幫助學(xué)生建立有效的示意圖結(jié)構(gòu).3.2函數(shù)知識鞏固的思想方法滲透策略方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容.函數(shù)是在中學(xué)學(xué)習(xí)的，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的主要內(nèi)容.可以看到，方程式在中學(xué)階段都很重要.等式的本質(zhì)是建立關(guān)系.函數(shù)本質(zhì)是集合之間的對應(yīng)關(guān)系.方程和函數(shù)的概念被廣泛用于解決實際問題.例如，確定方程解的存在情況:例如判斷方程解的存在.分析判斷方程解的存在性問題，實質(zhì)上是考察二次函數(shù)：，其圖象為拋物線.在腦海中形成開口向上的圖形，并容易計算出：；；.因為函數(shù)的圖象是不間斷的彎曲的線，因此在與之間的這一段必然經(jīng)過軸，即在內(nèi)函數(shù)與橫軸相交點不少于一個，設(shè)點就是其中的一個點，那么；同理，在上函數(shù)與橫軸相交點也不少于一個，設(shè)點就是其中的一個點，那么.又由于的解的個數(shù)不超過2，因此在與上，各存在一個數(shù)滿足.可以通過求解方程式來檢查此問題.方程和函數(shù)的性質(zhì)通常用于查找方程的最大值以簡化問題.分類討論的思想主要在結(jié)合函數(shù)和不等式的教育中有很大的應(yīng)用，由于研究主題無法泛化，因此通常只能基于某些標(biāo)準(zhǔn)對它們進(jìn)行分類討論.3.3函數(shù)思想的形成在我們的周邊，每一種對象之間都形成了多種多樣的連接，其中大部分能夠使用函數(shù)去解釋.從函數(shù)的角度來說，學(xué)習(xí)函數(shù)的目的就是為了能夠解決現(xiàn)實生活中遇到的問題.因此，函數(shù)模型被壓縮為存在于頭腦中的“圖形”.例如，當(dāng)出現(xiàn)問題時，選擇對應(yīng)函數(shù)圖形以解決現(xiàn)實生活中的問題；學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識過程中，老師應(yīng)該提供形成對應(yīng)函數(shù)概念的發(fā)展脈絡(luò)等背景材料，也可以運用其它方式進(jìn)行了解，如Internet，閱讀報紙等.4．總結(jié)首先，中學(xué)函數(shù)概念等相關(guān)的知識在中學(xué)階段數(shù)學(xué)教科書中占據(jù)著核心地位，中學(xué)函數(shù)課程的改革是人們研究和關(guān)注的焦點.中學(xué)函數(shù)知識分為兩個教育級別：初中和高中.目前，對中學(xué)函數(shù)知識的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)方面沒有太多研究，而函數(shù)理解的深度是在中學(xué)函數(shù)知識的學(xué)習(xí)和教育中發(fā)展的.把函數(shù)教學(xué)理論運用于中學(xué)階段函數(shù)內(nèi)容的教與學(xué)的整個過程，并融合其它相關(guān)理論進(jìn)行詳細(xì)分析.根據(jù)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)概念和學(xué)生整體學(xué)習(xí)能力對函數(shù)知識分類，并在此基礎(chǔ)上給出函數(shù)概念的初步解釋和每一類知識的應(yīng)對策略.

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