信號(hào)與系統(tǒng)-取樣定理

第四章取樣定理趙明2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理2采樣主要教學(xué)內(nèi)容采樣的物理意義連接連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)的橋梁離散時(shí)間信號(hào)可以由計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理如果連續(xù)時(shí)間信號(hào)可以由離散時(shí)間信號(hào)所表征，則連續(xù)時(shí)間信號(hào)可以由計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理主要教學(xué)內(nèi)容采樣概念和連續(xù)時(shí)間信號(hào)的重建連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣后序列處理離散時(shí)間信號(hào)的采樣，即內(nèi)插和抽取核心思想頻率變換2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的樣本表示方法-采樣定理樣本表示方法的引入的問(wèn)題不同的連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)取樣可以獲得相同的樣本如果取樣間隔無(wú)窮小，理論上不同的信號(hào)必然導(dǎo)致不同的樣本如何根據(jù)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的特點(diǎn)確定取樣信號(hào)?用信號(hào)樣本表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)如果一信號(hào)是帶限的，并且其樣本取得足夠密（相對(duì)于信號(hào)的最高頻率而言），那么這些樣本值就能唯一表征這一信號(hào)，并能把這些信號(hào)完全恢復(fù)出來(lái)。2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的取樣方法-沖擊串取樣沖激串取樣取樣函數(shù)p(t)取樣周期T取樣頻率2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理5取樣定理—沖激串取樣T02Tx(0)x(1)沖激串取樣1原始信號(hào)頻譜采樣信號(hào)頻譜…………沖激串頻譜…………采樣信號(hào)頻譜2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理6關(guān)于沖激串取樣的討論討論對(duì)于xp(t)可以看出，在，取樣信號(hào)的頻譜以為周期，以1/T為比例進(jìn)行重復(fù)若利用低通濾波器僅僅保留最靠近0頻附近的頻譜，該頻譜對(duì)應(yīng)的信號(hào)就是原信號(hào)當(dāng)不同重復(fù)位置的頻譜混疊，無(wú)法剝離原信號(hào)2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理7取樣定理若x(t)是一個(gè)帶限信號(hào)，滿足|ω|>ωM時(shí)，X(jω)=0.則當(dāng)ωs>2ωM，其中ωs=2π/T，則x(t)可以唯一的用樣本x(nT)所確定,n取遍所有的整數(shù)。2ωM稱(chēng)為奈奎斯特頻率構(gòu)造方法：產(chǎn)生一個(gè)周期脈沖串，沖激串幅度為取樣樣本值；將沖激串序列通過(guò)一個(gè)幅度為T(mén),截止頻率大于ωM，小于2ωM低通濾波器，該濾波器輸出就是x(t)11/TT思考問(wèn)題：當(dāng)濾波器不是理想低通濾波器時(shí)，恢復(fù)結(jié)果和原信號(hào)有什么關(guān)系呢？2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理8欠采樣效果：混疊當(dāng)，低通濾波不能將單個(gè)頻譜提取出來(lái)，這一現(xiàn)象稱(chēng)為混疊舉例2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理9欠采樣效果：混疊當(dāng)發(fā)生混疊時(shí)，會(huì)被混疊成一個(gè)較低頻率。可從時(shí)域波形去理解。注意：，不含等于。以正弦信號(hào)為例：

恢復(fù)的是相位不正確欠采樣效果：頻閃效應(yīng)。2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理10零階保持采樣取樣定理說(shuō)明了：一個(gè)帶限信號(hào)可以其樣本確定核心思想利用樣本序列對(duì)沖激串進(jìn)行幅度調(diào)制后利用低通濾波器得到原信號(hào)關(guān)鍵問(wèn)題如何利用實(shí)際電路模擬沖激串的產(chǎn)生一種解決思路利用零階保持電路替代沖激串，即在t=nT取樣后，該幅度一直保持到t=(n+1)T必須解決零階取樣保持電路的恢復(fù)問(wèn)題2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理11零階保持取樣傅立葉變換過(guò)程分析零階保持如何從x0(t)中恢復(fù)x(t)?2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理12信號(hào)的內(nèi)插重建何謂內(nèi)插？利用樣本值重建某一函數(shù)的過(guò)程內(nèi)插種類(lèi)線性?xún)?nèi)插帶限內(nèi)插沖激串取樣的內(nèi)插沖激序列通過(guò)一個(gè)低通濾波器即可重建原信號(hào)2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理13信號(hào)的內(nèi)插重建零階保持可看作是一種粗糙的內(nèi)插信號(hào)不連續(xù)高階保持線性?xún)?nèi)插（一階保持）信號(hào)連續(xù)，導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。

二階保持信號(hào)連續(xù)，一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，二階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理14零階保持內(nèi)插舉例(a)0階保持(b)水平垂直抽樣間隔為前者的一半2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理15線性?xún)?nèi)插舉例線性?xún)?nèi)插的傳遞函數(shù)與理想內(nèi)插的比較2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理16連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間處理輸入信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)處理工具離散時(shí)間系統(tǒng)轉(zhuǎn)換工具模擬數(shù)字變換器、數(shù)字模擬變換器需要解決的問(wèn)題C/D，D/C的信號(hào)關(guān)系問(wèn)題離散時(shí)間系統(tǒng)與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的映射關(guān)系連續(xù)時(shí)間到離散時(shí)間轉(zhuǎn)換離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間到連續(xù)時(shí)間轉(zhuǎn)換2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理17連續(xù)時(shí)間的離散時(shí)間處理關(guān)鍵過(guò)程表達(dá)

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散化等效過(guò)程周期脈沖串和輸入模擬信號(hào)相乘脈沖串轉(zhuǎn)換為序列沖激串到序列2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理18連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散化問(wèn)題T02TT02T2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理19連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散化處理頻譜變換12024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理20連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散化的關(guān)鍵點(diǎn)傅立葉變換提供了聯(lián)系途徑連續(xù)時(shí)間信號(hào)及其取樣得到的離散時(shí)間信號(hào)具有形狀不變性連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻譜在離散時(shí)間信號(hào)頻譜是線性壓擴(kuò)關(guān)系，壓擴(kuò)比例因子為1/T~2π，或者離散時(shí)間信號(hào)的頻譜是以2π為周期進(jìn)行重復(fù)上述分析同樣適用于離散時(shí)間信號(hào)連續(xù)化2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理21連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散化處理過(guò)程沖激串->序列序列->沖激串11/T1/T2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理22連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散化處理（續(xù)）整個(gè)系統(tǒng)可表達(dá)為：

其中可看作傳遞函數(shù)

2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理23連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間處理設(shè)計(jì)一個(gè)連續(xù)時(shí)間帶限微分器的離散時(shí)間實(shí)現(xiàn)微分器頻率響應(yīng)：微分器單位沖激響應(yīng)：2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理24連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間處理輸入信號(hào)是sinc函數(shù)求該信號(hào)在前述微分系統(tǒng)時(shí)的輸出容易有:對(duì)輸入信號(hào)和輸出信號(hào)進(jìn)行取樣，可以發(fā)現(xiàn)2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理25離散時(shí)間信號(hào)的取樣和內(nèi)插取樣的物理過(guò)程思考：離散時(shí)間信號(hào)進(jìn)行抽樣時(shí)，其頻譜將 進(jìn)行如何的變化？2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理26離散時(shí)間信號(hào)的脈沖串取樣脈沖串取樣前后的傅立葉變換關(guān)系2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理27離散時(shí)間信號(hào)的脈沖串取樣的頻率域示意脈沖串取樣等于將離散頻率域以取樣間隔N對(duì)應(yīng)的

為周期進(jìn)行重復(fù)，2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理28用理想低通濾波從離散采樣信號(hào)中恢復(fù)原信號(hào)用低通濾波重建，可看作是帶限內(nèi)插。重建的序列可看作：2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理29離散時(shí)間信號(hào)取樣的等效物理過(guò)程注意：如果沒(méi)有頻域混疊。反之將產(chǎn)生混疊。和將不再相等。只是在采樣周期的整數(shù)倍采樣點(diǎn)上是相等的。2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理30離散時(shí)間信號(hào)的抽取和內(nèi)插離散時(shí)間信號(hào)的抽取脈沖串取樣中間保留了N-1個(gè)0抽取每隔N取1，中間不保留離散時(shí)間信號(hào)的抽取物理過(guò)程連續(xù)時(shí)間信號(hào)的取樣周期擴(kuò)大N倍抽取的頻率域?qū)?yīng)關(guān)系將在

內(nèi)的信號(hào)擴(kuò)張M倍，即為抽取信號(hào)的頻率域變換結(jié)果2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理31關(guān)于離散時(shí)間信號(hào)的抽取問(wèn)題不失真的充分必要條件原離散時(shí)間信號(hào)的離散頻率域結(jié)果頻域拉寬M倍最高頻率小于物理解釋,即抽取后對(duì)原離散時(shí)間信號(hào)對(duì)應(yīng)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)仍然滿足Nyquist取樣定理抽取后信號(hào)如何恢復(fù)原離散時(shí)間信號(hào)抽取后信號(hào)變成連續(xù)時(shí)間信號(hào)對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行周期為T(mén)的取樣得到原離散時(shí)間信號(hào)2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理32過(guò)采樣與減采樣過(guò)采樣采樣頻率遠(yuǎn)高于奈奎斯特頻率，還可以減采樣。減采樣對(duì)過(guò)采樣的信號(hào)進(jìn)行抽取，仍要滿足奈奎斯特頻率。抽取后信號(hào)如何恢復(fù)原離散時(shí)間信號(hào)抽取后信號(hào)變成連續(xù)時(shí)間信號(hào)，再對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行周期為T(mén)的取樣得到原離散時(shí)間信號(hào)或增采樣內(nèi)插0，再過(guò)低通濾波2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理33離散時(shí)間信號(hào)的內(nèi)插問(wèn)題內(nèi)插的物理定義每個(gè)取樣點(diǎn)之間插入N-1個(gè)0取樣值等效物理過(guò)程對(duì)原信號(hào)對(duì)應(yīng)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行T’=T/N的取樣x’(n)對(duì)x’(n)進(jìn)行周期為N的脈沖串取樣頻率變換結(jié)果頻譜寬度壓縮到1/N以進(jìn)行頻譜重復(fù)2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理34離散時(shí)間信號(hào)的內(nèi)插問(wèn)題2024/5/20信號(hào)信息與處理取樣定理35離散時(shí)間信號(hào)內(nèi)插問(wèn)題內(nèi)插與抽取結(jié)合對(duì)序列減采樣而不混疊。例：帶寬的信號(hào)，先減采樣4倍，放大到；也可以先增采樣2倍，縮小到，再減采樣放大到2024/5/20信號(hào)信