信號(hào)與線性系統(tǒng)總復(fù)習(xí)(2014-6-6)

信號(hào)與系統(tǒng)總復(fù)習(xí)考試題型及大綱A卷，六大題判斷信號(hào)的周期性；(10分)信號(hào)的時(shí)間變換；(10分)求解連續(xù)時(shí)間信號(hào)的輸出(響應(yīng))；(20分)用兩種方法求解斐波拉契數(shù)列的通項(xiàng)；(20分)用傅里葉變換法求解連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)；(20分)用拉氏變換法求解連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)；(20分)周期信號(hào)和非周期信號(hào)

定義在(-∞，∞)區(qū)間，每隔一定時(shí)間T(或整數(shù)N），按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)。連續(xù)周期信號(hào)f(t)滿(mǎn)足

f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…離散周期信號(hào)f(k)滿(mǎn)足

f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…滿(mǎn)足上述關(guān)系的最小T(或整數(shù)N)稱(chēng)為該信號(hào)的周期。不具有周期性的信號(hào)稱(chēng)為非周期信號(hào)。連續(xù)周期信號(hào)舉例例

判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t

（2）f2(t)=cos2t+sinπt分析

兩個(gè)周期信號(hào)x(t)，y(t)的周期分別為T(mén)1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號(hào)x(t)+y(t)仍然是周期信號(hào)，其周期為T(mén)1和T2的最小公倍數(shù)。解答解答（1）sin2t是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為

ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πscos3t是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為

ω2=3rad/s，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號(hào)，其周期為T(mén)1和T2的最小公倍數(shù)2π。（2）

cos2t和sinπt的周期分別為T(mén)1=πs，T2=2s，由于T1/T2為無(wú)理數(shù)，故f2(t)為非周期信號(hào)。離散周期信號(hào)舉例1例判斷正弦序列f(k)=sin(βk)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。解

f

(k)=sin(βk)=sin(βk+2mπ)，m=0,±1,±2,…式中β稱(chēng)為數(shù)字角頻率，單位：rad。由上式可見(jiàn)：

僅當(dāng)2π/β為整數(shù)時(shí)，正弦序列才具有周期N=2π/β。當(dāng)2π/β為有理數(shù)時(shí)，正弦序列仍為具有周期性，但其周期為N=M(2π/β)，M取使N為整數(shù)的最小整數(shù)。當(dāng)2π/β為無(wú)理數(shù)時(shí)，正弦序列為非周期序列。離散周期信號(hào)舉例2例：

判斷下列序列是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1）f1(k)=sin(3πk/4)+cos(0.5πk)

（2）f2(k)=sin(2k)解：（1）sin(3πk/4)和cos(0.5πk)的數(shù)字角頻率分別為β1=3π/4rad，β2=0.5πrad由于2π/β1=8/3，2π/β2=4為有理數(shù)，故它們的周期分別為N1=8，N2=4，故f1(k)為周期序列，其周期為N1和N2的最小公倍數(shù)8。（2）sin(2k)的數(shù)字角頻率為β1=2rad；由于2π/β1=π為無(wú)理數(shù)，故f2(k)=sin(2k)為非周期序列。舉例由上面幾例可看出：①連續(xù)正弦信號(hào)一定是周期信號(hào)，而正弦序列不一定是周期序列。②兩連續(xù)周期信號(hào)之和不一定是周期信號(hào)，而兩周期序列之和一定是周期序列。例1例2例3連續(xù)周期信號(hào)示例離散周期信號(hào)示例1離散周期信號(hào)示例2信號(hào)的加法和乘法同一瞬時(shí)兩信號(hào)對(duì)應(yīng)值相加（相乘）。離散序列相加、乘信號(hào)的時(shí)間變換1.信號(hào)的反轉(zhuǎn)；2.信號(hào)的平移；3.信號(hào)的展縮（尺度變換）；.4.混合運(yùn)算舉例。1.信號(hào)反轉(zhuǎn)將

f

(t)→f

(–t)

，

f

(k)→f

(–k)

稱(chēng)為對(duì)信號(hào)f(·)

t→-t

沒(méi)有實(shí)現(xiàn)此功能的實(shí)際器件，數(shù)字信號(hào)處理中可的反轉(zhuǎn)或反折。

從圖形上看是將f(·)以縱坐標(biāo)為軸反轉(zhuǎn)180o。如

以實(shí)現(xiàn)此概念，例如堆棧中的“后進(jìn)先出”。

2.信號(hào)的平移

將f

(t)→f

(t–t0)

，

f

(k)→f

(k

–k0)稱(chēng)為對(duì)信號(hào)f(·)的t→t–1右移t→t+1左移雷達(dá)接收到的目標(biāo)回波信號(hào)就是平移信號(hào)。平移或移位。若t0(或k0)>0，則將f(·)右移；否則左移。如：3.信號(hào)的展縮(尺度變換）將

f

(t)→f

(at)

，稱(chēng)為對(duì)信號(hào)f(t)的尺度變換。t→2t

壓縮t→0.5t

擴(kuò)展離散信號(hào)：由于f

(ak)僅在為ak

為整數(shù)時(shí)才有意義，進(jìn)行尺度如：若a>1，則波形沿橫坐標(biāo)壓縮；若0<a<1，則擴(kuò)展。變換時(shí)可能會(huì)使部分信號(hào)丟失。因此一般不作波形的尺度變換。4.混合運(yùn)算舉例例1例3平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合，正逆運(yùn)算。例2平移與尺度變換相結(jié)合注意：對(duì)正向運(yùn)算，先平移，后反轉(zhuǎn)和展縮不易出錯(cuò)；意一切變換都是相對(duì)t而言；對(duì)逆運(yùn)算，反之?；旌线\(yùn)算時(shí)，三種運(yùn)算的次序可任意。但一定要注平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合舉例例1

已知f(t)如圖所示，畫(huà)出f(2–t)。

解答

法一：①先平移f

(t)→f

(t+2)

②再反轉(zhuǎn)f

(t+2)→f

(–t+2)法二：①先反轉(zhuǎn)f

(t)→f

(–t)②再右移f

(–t)→f

(–t+2)左移右移=f

[–(t–2)]平移與展縮相結(jié)合舉例例2

已知f(t)如圖所示，畫(huà)出f(3t+5)

解答

時(shí)移

尺度變換尺度變換時(shí)移平移、展縮、反折相結(jié)合舉例例3

已知f(t)如圖所示，畫(huà)出f(-2t-4)。

解答壓縮，得f

(2t–4)反轉(zhuǎn)，得f

(–2t–4)右移4，得f

(t–4)也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn)。壓縮，得f

(2t)右移2，得f

(2t–4)反轉(zhuǎn)，得f

(–2t–4)微分方程的經(jīng)典解y(n)(t)+an-1y

(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=bmf(m)(t)+bm-1f

(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)高等數(shù)學(xué)中經(jīng)典解法：完全解=齊次解+特解。

LTI連續(xù)系統(tǒng)：常系數(shù)的n階線性常微分方程。

齊次解：

滿(mǎn)足齊次方程的通解，又叫齊次解。

特解：

滿(mǎn)足非齊次方程的解，叫特解。

1.齊次解齊次方程：特征方程：特征根：后由初始條件定特征根λn個(gè)單實(shí)特征根齊次解r重實(shí)根1對(duì)共軛復(fù)根r重共軛復(fù)根齊次解的形式由特征根定:待定系數(shù)Ci在求得全解齊次解舉例解：系統(tǒng)的特征方程為特征根對(duì)應(yīng)的齊次解為2.特解特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)形式有關(guān)如下表，將特解函數(shù)式→代入原方程，比較定出待定系數(shù)。激勵(lì)f(t)響應(yīng)y(t)的特解yp(t)常數(shù)常數(shù)特征根均不為0α≠特征根α=

特征根α=

r重特征根特征根≠±jβ有r重特征根為0特解舉例如果已知：求此方程的特解。

例：給定微分方程式當(dāng)f(t)=et時(shí)

特解為yp(t)=Pet，這里，P是待定系數(shù)。代入方程后有：例

描述某系統(tǒng)的微分方程為

y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)求（1）當(dāng)f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y'(0)=-1時(shí)的全解（2）當(dāng)f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y'(0)=0時(shí)的全解。解:

(1)

特征方程：λ2+5λ+6=0特解：

yp(t)=e–t其特征根：λ1=–2，λ2=–3齊次解：

yh(t)=C1e–2t+C2e–3t特解：yp(t)=Pe–t特解帶入方程：Pe–t+5(–Pe–t)+6Pe–t=2e–t解得：P=1全解=齊次解+特解

例題全解：

y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t+C2e–3t+e–t其中待定常數(shù)C1,C2由初始條件確定。

y(0)=C1+C2+1=2，y'(0)=–2C1–3C2–1=–1解得C1=3，C2=–2最后得全解y(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥0（2）齊次解同上。當(dāng)激勵(lì)f(t)=e–2t時(shí)，其指數(shù)與特征根之一相重

特解：

yp(t)=(P1t+P0)e–2t

特解代入方程：P1e-2t=e–2t

得：P1=1但P0未定特解：

yp(t)=(t+P0)e–2t

全解全解：y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t+P0e–2t

=(C1+P0)e–2t+C2e–3t+te–2t將初始條件代入：y(0)=(C1+P0)+C2=1y'(0)=–2(C1+P0)–3C2+1=0解得：C1+P0=2,C2=–1最后得微分方程的全解：

y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,t≥0上式第一項(xiàng)的系數(shù)C1+P0=2，不能區(qū)分C1和P0，因而也不能區(qū)分自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)

一般信號(hào)f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)ej

tH(j

)ej

tF(j

)ej

td

F(j

)H(j

)ej

td

齊次性可加性‖f(t)‖y(t)=F

–1[F(j

)H(j

)]Y(j

)=F(j

)H(j

)頻率響應(yīng)例1例：某系統(tǒng)的微分方程為解：微分方程兩邊取傅里葉變換j

Y(j

)+2Y(j

)=F(j

)f(t)=e-tε(t)←→Y(j

)=H(j

)F(j

)y