2023-2024學(xué)年湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)八年級（上）創(chuàng)新拔尖選拔初賽數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)八年級（上）創(chuàng)新拔尖選拔初賽數(shù)學(xué)試卷一、填空題：（每題5分，16個小題，共80分）1．（5分）如果a2+a﹣2＝0，那么代數(shù)式3a2+3a+2的值為．2．（5分）已知關(guān)于x和y的方程組的解是，則另一關(guān)于x、y的方程組的解是．3．（5分）關(guān)于x，y的二元一次方程組的解也是二元一次方程4x+2y＝9的解，則k的值是．4．（5分）設(shè)P＝2y﹣2，Q＝2y+3，且3P﹣Q＝1，則y的值為．5．（5分）若x，y為實(shí)數(shù)，且滿足，則xy的值是．6．（5分）若不等式組無解，則m應(yīng)滿足．7．（5分）方程|x﹣2y﹣3|+|x+y+1|＝1的整數(shù)解的個數(shù)是．8．（5分）設(shè)T＝|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣15﹣p|，其中0＜p＜15．對于滿足p≤x≤15的x來說，T的最小值是．9．（5分）如果關(guān)于x的不等式3x﹣a≤0只有3個正整數(shù)解，則a的取值范圍．10．（5分）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，若∠B＝50°，∠ACE＝20°，則∠ADC的度數(shù)是．11．（5分）如圖，七邊形ABCDEFG中，AB，ED的延長線交于點(diǎn)O，外角∠1，∠2，∠3，∠4的和等于220°，則∠BOD的度數(shù)是度．12．（5分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，若BD平分∠ABC，AC＝12，AD＝3CD，則點(diǎn)D到AB的距離為．13．（5分）如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D為頂點(diǎn)作一個60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則△AMN的周長為．14．（5分）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD是邊BC上的中線，AD＝2，則△ACB的面積是．15．（5分）已知有甲、乙兩個長方形，它們的邊長如圖所示（m為正整數(shù)），甲、乙的面積分別為S1，S2．（1）S1與S2的大小關(guān)系為：S1S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空）（2）若滿足條件|S1﹣S2|＜n≤2023的整數(shù)n有且只有4個，則m的值為．16．（5分）如圖，CO、BO是△ABC的兩個外角∠PCB、∠QBC的角平分線，OM⊥AP，ON⊥AQ，且OM＝ON．下列結(jié)論中正確的個數(shù)有個．①∠PAO＝∠QAO；②∠AOB＝∠ACB；③2∠COB＝180°+∠CAB；④∠PAQ+2∠COB＝180°．二、解答題：（每題10分，4個小題，共40分）17．（10分）關(guān)于x，y的方程組只有唯一的一組解，那么a的取值為多少？18．（10分）對m、n定義一種新運(yùn)算“※”，規(guī)定：m※n＝am﹣bn+5（a．b均為非零常數(shù)），等式右邊的運(yùn)算是通常的四則運(yùn)算，例如3※4＝3a﹣4b+5．已知2※3＝1，3※（﹣1）＝10．（1）求a、b的值；（2）若關(guān)于x的不等式組有且只有一個整數(shù)解，試求字母t的取值范圍．19．（10分）如圖（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動．它們運(yùn)動的時間為t（s）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，當(dāng)t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，請分別說明理由；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為xcm/s，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請說明理由．20．（10分）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC與△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求證：△AEC≌△ADB；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABC與△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，B、D、E三點(diǎn)在一條直線上，AC與BE交于點(diǎn)F，若點(diǎn)F為AC中點(diǎn)，①求∠BEC的大小；②CE＝2，求△ACE的面積；【拓展提高】（3）如圖3，△ABC與△ADE中，AB＝AC，DA＝DE，∠BAC＝∠ADE＝90°，BE與CA交于點(diǎn)F，DC＝DF，CD⊥DF，△BCF的面積為18，求AF的長．

2023-2024學(xué)年湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)八年級（上）創(chuàng)新拔尖選拔初賽數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題：（每題5分，16個小題，共80分）1．【分析】把a(bǔ)2+a﹣2＝0變形為a2+a＝2，然后直接把a(bǔ)2+a＝2整體代入所求式子中求解即可．【解答】解：∵a2+a﹣2＝0，∴a2+a＝2，∴3a2+3a+2＝3（a2+a）+2＝3×2+2＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評】本題主要考查了代數(shù)式求值，利用整體代入的思想求解是解題的關(guān)鍵．2．【分析】由題意可得，即可求方程組的解．【解答】解：∵方程組的解是，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法，用整體思想解題是關(guān)鍵．3．【分析】直接利用二元一次方程組的解法得出x，y的值，進(jìn)而代入二元一次方程求出答案．【解答】解：∵關(guān)于x，y的二元一次方程組的解也是二元一次方程4x+2y＝9的解，∴解方程組可得：，則4x+2y＝4×k+2×（﹣k）＝10k﹣k＝9，解得：k＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評】此題主要考查了二元一次方程組的解法，正確得出x，y的值是解題關(guān)鍵．4．【分析】將P與Q代入3P﹣Q＝1中計(jì)算即可求出y的值．【解答】解：根據(jù)題意得：3（2y﹣2）﹣（2y+3）＝1，去括號得：6y﹣6﹣2y﹣3＝1，移項(xiàng)合并得：4y＝10，解得：y＝．故答案為：【點(diǎn)評】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項(xiàng)合并，將未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解．5．【分析】利用兩個非負(fù)數(shù)的和為0，這兩個非負(fù)數(shù)分別為0即可求解．【解答】解：∵，∴x﹣2＝0，y+2＝0，解得：x＝2，y＝﹣2，∴xy＝2×（﹣2）＝﹣4．故答案為：﹣4．【點(diǎn)評】此題考查了解方程，非負(fù)數(shù)的和為0的條件，解題的關(guān)鍵是理解幾個非負(fù)數(shù)的和為0的條件是各自為0．6．【分析】根據(jù)大大小小找不到可確定m的取值范圍．【解答】解：∵不等式組無解，∴m≥7．故答案為m≥7．【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．解集的規(guī)律：同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到．7．【分析】要求整數(shù)解，則可得x﹣2y﹣3、x+y+1都為整數(shù)，從而可將原方程化為4個方程組，解出符合題意的即可．【解答】解：由題意得，x、y都是整數(shù)，故可得x﹣2y﹣3、x+y+1都為整數(shù)，從而可得：①，解得：；②，解得：③，解得：；④，解得：；綜上可得解得整數(shù)解為，，故有2組．故答案為：2組．【點(diǎn)評】此題考查了二元一次不定方程的整數(shù)解，解答本題的關(guān)鍵是將原方程化為四個獨(dú)立的方程組，難度一般．8．【分析】|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣15﹣p|表示數(shù)軸上一點(diǎn)到p，15，以及15+p三點(diǎn)的距離的和，而p＜15＜15+p，當(dāng)x＝15時，距離的和最小，即可求解．【解答】解：∵0＜p＜15，∴p＜15＜15+p，又∵|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣15﹣p|表示數(shù)軸上一點(diǎn)到p，15，以及15+p三點(diǎn)的距離的和，∴當(dāng)x＝15時，T＝|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣15﹣p|最小，最小值是p與15+p之間的距離，是15．故答案是15．【點(diǎn)評】本題主要考查了絕對值的意義，|x﹣a|表示數(shù)軸上表示x與表示a的兩點(diǎn)之間的距離，解決的關(guān)鍵是根據(jù)條件確定p，15，15+p之間的大小關(guān)系，把求式子的最值的問題轉(zhuǎn)化為距離的問題．9．【分析】首先利用不等式的基本性質(zhì)解不等式，再從不等式的解集中找出適合條件的正整數(shù)即可．【解答】解：3x﹣a≤0的解集為x≤；其正整數(shù)解為1，2，3，則3≤＜4，所以a的取值范圍9≤a＜12．【點(diǎn)評】本題考查不等式的解法及整數(shù)解的確定．解不等式要用到不等式的性質(zhì)：（1）不等式的兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（3）不等式的兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．10．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝86°，從而得到，再由直角三角形兩銳角互余即可求解．【解答】解：∵∠B＝50°，CE⊥AB，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝40°，∴∠ACB＝∠BCE+∠ACE＝40°+20°＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝70°．∵AD平分∠BAC，∴．∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACB＝85°．故答案為：85°．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．11．【分析】在DO延長線上找一點(diǎn)M，根據(jù)多邊形的外角和為360°可得出∠BOM＝140°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即可得出結(jié)論．【解答】解：在DO延長線上找一點(diǎn)M，如圖所示．∵多邊形的外角和為360°，∴∠BOM＝360°﹣220°＝140°．∵∠BOD+∠BOM＝180°，∴∠BOD＝180°﹣∠BOM＝180°﹣140°＝40°．故答案為：40【點(diǎn)評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角以及鄰補(bǔ)角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)多邊形的外角和為360°找出∠BOM＝140°．12．【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE＝CD，即可得解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝CD，∵AC＝12，AD＝3CD，∴CD＝3，∴DE＝CD＝3．即點(diǎn)D到AB的距離為3．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題主要考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，作出輔助線，找出點(diǎn)D到AB的距離的線段是解題的關(guān)鍵．13．【分析】要求△AMN的周長，根據(jù)題目已知條件無法求出三條邊的長，只能把三條邊長用其它已知邊長來表示，所以需要作輔助線，延長AB至F，使BF＝CN，連接DF，通過證明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，從而得出MN＝MF，△AMN的周長等于AB+AC的長．【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°∴∠BCD＝∠DBC＝30°∵△ABC是邊長為3的等邊三角形∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°∴∠DBA＝∠DCA＝90°延長AB至F，使BF＝CN，連接DF，在Rt△BDF和Rt△CDN中，BF＝CN，DB＝DC∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN∵∠MDN＝60°∴∠BDM+∠CDN＝60°∴∠BDM+∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM為公共邊∴△DMN≌△DMF，∴MN＝MF∴△AMN的周長是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6．【點(diǎn)評】此題主要利用等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)來證明三角形全等，構(gòu)造另一個三角形是解題的關(guān)鍵．14．【分析】延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，證△ADC≌△EDB（SAS），得BE＝AC＝5，∠CAD＝∠E，再由勾股定理的逆定理證∠EAB＝90°，即可解決問題．【解答】解：如圖，延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，∵D為BC的中點(diǎn)，∴CD＝BD，在△ADC與△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝5，∠CAD＝∠E，又∵AE＝2AD＝4，AB＝3，∴BE2＝AE2+AB2，∴△ABE是直角三角形，∠EAB＝90°，則S△ACB＝2S△ABD＝2××2×3＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及三角形面積等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．【分析】（1）先分別計(jì)算出面積，作差與0比較大小即可；（2）先計(jì)算出|S1﹣S2|，根據(jù)整數(shù)n有且只有4個，列出不等式，根據(jù)m為正整數(shù)求得m的值．【解答】解：（1）∵S1＝（m+7）（m+1）＝m2+8m+7，S2＝（m+4）（m+2）＝m2+6m+8，∴S1﹣S2＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）＝m2+8m+7﹣m2﹣6m﹣8＝2m﹣1，∵m為正整數(shù)，∴2m﹣1＞0，∴S1﹣S2＞0，∴S1＞S2，故答案為：＞；（2）|S1﹣S2|＝|2m﹣1|＝2m﹣1，∵2m﹣1＜n≤2023的整數(shù)n有且只有4個，∴這四個整數(shù)解為2023，2022，2021，2020，∴2019≤2m﹣1＜2020，解得：1010≤m＜1010.5，∵m為正整數(shù)，∴m＝1010．故答案為：1010．【點(diǎn)評】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，能夠作差比較大小是解題的關(guān)鍵．16．【分析】由角平分線的性質(zhì)可判斷①；由角平分線的定義及三角形外角的性質(zhì)可判斷②；過O作OE⊥BC于E，利用HL證明三角形全等可得∠MON＝2∠COB，再由四邊形的內(nèi)角和定理可判斷③④．【解答】解：∵OM⊥AP，ON⊥AQ，OM＝ON，∴AO平分∠PAQ，∴∠PAO＝∠QAO＝∠PAQ，故①正確；∵BO平分∠CBQ，∴∠OBQ＝∠CBQ，∵∠CBQ＝∠PAQ+∠ACB，∠OBQ＝∠QOA+∠AOB，∴∠AOB＝∠ACB，故②正確；過O作OE⊥BC于E，∴∠OMC＝∠OEC＝90°，OM＝OE，在Rt△COM和Rt△COE中，∴Rt△COM≌Rt△COE（HL），∴∠COM＝∠COE，即∠COE＝∠MOE，同理：∠BOE＝∠EON，∴∠COB＝∠MON，即∠MON＝2∠COB，∵∠CAB+∠MON+∠AMO+∠ANO＝360°，∠AMO＝∠ANO＝90°，∴∠CAB+∠MON＝180°，即2∠COB+∠CAB＝180°，故③錯誤；∴∠PAQ+2∠COB＝180°，故④正確．即正確的個數(shù)有3個，故答案為：3．【點(diǎn)評】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、解答題：（每題10分，4個小題，共40分）17．【分析】由方程組只有唯一的一組解，得到x＝0，即可求出a的值．【解答】解：∵關(guān)于x，y的方程組只有唯一的一組解，∴|x|＝0，即x＝0，把x＝0代入方程組得：，解得：a＝y(tǒng)＝﹣1，故a的取值為：﹣1【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程組的解，以及絕對值，弄清方程組只有唯一的一組解的條件是解本題的關(guān)鍵．18．【分析】（1）已知等式利用題中的新定義化簡，計(jì)算即可求出a與b的值；（2）已知不等式組利用題中的新定義化簡，把a(bǔ)與b的值代入后，根據(jù)不等式組有且只有一個整數(shù)解，確定出t的范圍即可．【解答】解：（1）∵2※3＝1，3※（﹣1）＝10，∴，解得：；（2）∵不等式組，且a＝1，b＝2，∴ax﹣b（2x﹣3）+5＝﹣3x+11＜9，3ax+6b+5＝3x+17＜t，解得：，∵關(guān)于x的不等式組有且只有一個整數(shù)解，∴1＜≤2，解得：20＜t≤23，∴t的取值范圍是20＜t≤23．【點(diǎn)評】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，解二元一次方程組，以及解一元一次不等式，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．19．【分析】（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，進(jìn)一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出結(jié)論即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程組求得答案即可．【解答】解：（1）當(dāng)t＝1時，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即線段PC與線段PQ垂直．（2）存在，理由：①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，則，解得；②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，則，解得：；綜上所述，存在或，使得△ACP與△BPQ全等．【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．在解題時注意分類討論思想的運(yùn)用．20．【分析】（1）由SAS證△AEC≌△ADB即可；（2）①同（1）得△AEC≌△ADB（SAS），得∠AEC＝∠ADB＝135°，即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)A作AG⊥DE于點(diǎn)G，證△AGF≌△CEF（ASA），得AG＝CE＝2，GF＝EF，再由等腰直角三角形的性質(zhì)得DG＝EG＝AG＝2，則GF＝EF＝1，然后由三角形面積關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）連接CE，同（2）得△CDE≌△FDA（SAS），則CE＝AF，∠DCE＝∠DFA＝135°，得∠ACE＝90°，再證△ACE≌△BAF（SAS），得CE＝AF，S△ACE＝S△BAF，然后證CE∥AB，得S△ABE＝S△ABC＝AC2，進(jìn)而由S△ABC+S△ACE﹣S△ABE﹣S△CEF＝S△BCF，得AC?AF﹣AF?CF＝36，則AF