第12講等邊三角形（核心考點講與練）-2021-2022學年七年級數學下學期考試滿分全攻略（滬教版）（原卷版）

第12講等邊三角形（核心考點講與練）一．等邊三角形的性質（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．二．等邊三角形的判定（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．說明：在證明一個三角形是等邊三角形時，若已知或能求得三邊相等則用定義來判定；若已知或能求得三個角相等則用判定定理1來證明；若已知等腰三角形且有一個角為60°，則用判定定理2來證明．一．七巧板（共1小題）1．（2019秋?奉賢區(qū)期中）七巧板是我們民間流傳最廣的一種古典智力玩具，由正方形分割而成（如圖），圖中6號部分的面積是正方形面積的（）A． B． C． D．二．等邊三角形的性質（共6小題）2．（2020秋?上海期末）若把一個邊長為2厘米的等邊△ABC向右平移a厘米，則平移后所得三角形的周長為厘米．3．（2021春?靜安區(qū)校級期末）小宋把一張等邊三角形的紙片放在如圖所示的兩條平行線m、n上測得∠AEG＝20°，那么∠ADF的度數是．4．（2020秋?靜安區(qū)期末）如圖，一個邊長是1的等邊三角形ABC，將它沿直線l作順時針方向滾動，求滾動100次，B點所經過的路程（結果保留π）．5．（2021春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知直線l1∥l2，等邊三角形ABC的頂點A、C分別在直線l1、l2上，如果邊AB與直線l1的夾角∠1＝26°，那么邊BC與直線l2的夾角∠2＝度．6．（2020秋?上海期末）邊長為6cm的等邊三角形的面積是．7．（2021春?楊浦區(qū)期末）甲、乙兩人沿邊長為60米的等邊三角形ABC的邊按A→B→C→A的方向行走，甲每分鐘走65米，乙每分鐘走50米，設甲在頂點A時，乙在頂點C，幾分鐘后甲、乙兩人可第一次行走在同一條邊上？（不含甲、乙兩人在三角形相鄰頂點時的情形）三．等邊三角形的判定（共3小題）8．（2021春?閔行區(qū)期末）在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形狀為．9．（2019?金山區(qū)二模）在△ABC中，AB＝AC，請你再添加一個條件使得△ABC成為等邊三角形，這個條件可以是（只要寫出一個即可）．10．（2019春?虹口區(qū)期末）說理填空：如圖，點E是DC的中點，EC＝EB，∠CDA＝120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA，求證：△BEC為等邊三角形．解：因為DF平分∠CDA（已知）所以∠FDC＝∠．因為∠CDA＝120°（已知）所以∠FDC＝°．因為DF∥BE（已知）所以∠FDC＝∠．（）所以∠BEC＝60°，又因為EC＝EB，（已知）所以△BCE為等邊三角形．（）四．等邊三角形的判定與性質（共2小題）11．（2020春?寶山區(qū)期末）如圖，點D、E、F分別在AB、BC、CA上，△DEF是等邊三角形，且∠1＝∠2＝∠3，△ABC是等邊三角形嗎？試說明理由．12．（2019春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知等邊△ABC和等邊△CDE，P、Q分別為AD、BE的中點．（1）試判斷△CPQ的形狀并說明理由．（2）如果將等邊△CDE繞點C旋轉，在旋轉過程中△CPQ的形狀會改變嗎？請你將圖2中的圖形補畫完整并說明理由．分層提分分層提分題組A基礎過關練一．選擇題（共1小題）1．（2016春?閔行區(qū)期末）如圖，△ABC、△DEF和△GMN都是等邊三角形，且點E、M在線段AC上，點G在線段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．90° B．120° C．150° D．180°二．填空題（共6小題）2．（2019秋?閔行區(qū)期末）如圖，將邊長為2cm的等邊△ABC沿邊BC向右平移1.5cm得到△DEF，則四邊形ABFD的周長為．3．（2018秋?浦東新區(qū)期中）等邊三角形的邊長為a，則它的周長為．4．（2021春?普陀區(qū)校級月考）等邊三角形的面積為8，則它邊長是．5．（2020秋?徐匯區(qū)校級月考）如圖，將邊長為6cm的等邊△ABC沿BC邊向右平移得到△DEF．平移后，如果四邊形ABFD的周長是22cm，那么平移的距離應該是cm．6．（2018秋?金山區(qū)期末）將邊長為6cm的等邊三角形ABC向右平移一定的距離后得到三角形DEF，已知EC＝2cm，那么平移的距離為cm．7．（2019?金山區(qū)二模）在△ABC中，AB＝AC，請你再添加一個條件使得△ABC成為等邊三角形，這個條件可以是（只要寫出一個即可）．三．解答題（共2小題）8．（2019春?崇明區(qū)期末）如圖，在等邊△ABC中，邊AB＝6厘米，若動點P從點C開始，按C→B→A→C的路徑運動，且速度為1厘米/秒，設點P的運動時間為t秒．（1）當t＝3時，判斷AP與BC的位置關系，并說明理由；（2）當△PBC的面積為△ABC面積的一半時，求t的值；（3）另有一點Q，從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為1.5厘米/秒，若P、Q兩點同時出發(fā)，當P、Q中有一點到達終點時，另一點也停止運動．當t為何值時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分．9．（2019春?虹口區(qū)期末）說理填空：如圖，點E是DC的中點，EC＝EB，∠CDA＝120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA，求證：△BEC為等邊三角形．解：因為DF平分∠CDA（已知）所以∠FDC＝∠．因為∠CDA＝120°（已知）所以∠FDC＝°．因為DF∥BE（已知）所以∠FDC＝∠．（）所以∠BEC＝60°，又因為EC＝EB，（已知）所以△BCE為等邊三角形．（）題組B能力提升練一．填空題（共3小題）1．（2020秋?徐匯區(qū)校級期中）如果一個三角形的兩條邊的和是第三邊的兩倍，則稱這個三角形是“優(yōu)三角形”，這兩條邊的比稱為“優(yōu)比”（若這兩邊不等，則規(guī)定優(yōu)比是較大邊與較小邊的比）．比如等邊三角形就是一個優(yōu)比為1的優(yōu)三角形．若△ABC是優(yōu)三角形，且∠ABC＝120°，BC＝4．則這個三角形的面積是．2．（2017秋?浦東新區(qū)期末）如果等邊三角形的邊長為m厘米，那么這個三角形的面積等于平方厘米（用含m的代數式表示）．3．（2018春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知O是等邊三角形ABC內一點，D是線段BO延長線上一點，且OD＝OA，∠AOB＝120°，那么∠BDC＝度．二．解答題（共6小題）4．（2019秋?瀘縣期末）等邊△ABC中，點P在△ABC內，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結論．5．（2007春?靜安區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D是AC的中點，連接BD，延長BC至E，使CE＝CD，連接DE．（1）∠E等于多少度？（2）說明DB與DE相等的理由．6．（2008春?閔行區(qū)期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊BC、AC上．（1）如果AD⊥BC，BE⊥AC，試證明∠APE＝60°的理由；（2）如果BD＝EC，那么“∠APE＝60°”是否還能成立？請說明理由．7．（2006秋?楊浦區(qū)期末）已知：在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分線AD、BE交于點P．（1）當△ABC為等邊三角形（如圖1）時，求證：EP＝DP；（2）當△ABC不是等邊三角形，但∠ACB＝60°（如圖2）時，（2）中的結論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．8．（2015秋?諸城市期末）如圖（1），等邊△ABC中，D是AB邊上的動點，以CD為一邊，向上作等邊△EDC，連接AE．（1）△DBC和△EAC會全等嗎？請說說你的理由；（2）試說明AE∥BC的理由；（3）如圖（2），將（1）動點D運動到邊BA的延長線上，所作仍為等邊三角形，請問是否仍有AE∥BC？證明你的猜想．9．