高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測（十三）理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

課時(shí)跟蹤檢測（十三）A組——12＋4提速練一、選擇題1．(2017·南昌模擬)某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人進(jìn)行問卷調(diào)查．已知高二被抽取的人數(shù)為30，那么n＝()A．860 B．720C．1020 D．1040解析：選D根據(jù)分層抽樣方法，得eq\f(1200,1000＋1200＋n)×81＝30，解得n＝1040.2．(2018屆高三·西安八校聯(lián)考)某班對(duì)八校聯(lián)考成績進(jìn)行分析，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，先將60個(gè)同學(xué)按01,02,03，…，60進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)表第9行第5列的數(shù)開始向右讀，則選出的第6個(gè)個(gè)體是()(注：下表為隨機(jī)數(shù)表的第8行和第9行)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(63016378591695556719981050,717512867358074439523879))第8行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(33211234297864560782524207,443815510013429966027954))第9行A．07 B．25C．42 D．52解析：選D依題意得，依次選出的個(gè)體分別為12,34,29,56,07,52，…因此選出的第6個(gè)個(gè)體是52，故選D.3．(2017·寶雞質(zhì)檢)對(duì)一批產(chǎn)品的長度(單位：毫米)進(jìn)行抽樣檢測，樣本容量為200，如圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖，根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)，單件產(chǎn)品長度在區(qū)間[25,30)的為一等品，在區(qū)間[20,25)和[30,35)的為二等品，其余均為三等品，則該樣本中三等品的件數(shù)為()A．5 B．7C．10 D．50解析：選D根據(jù)題中的頻率分布直方圖可知，三等品的頻率為1－(0.0500＋0.0625＋0.0375)×5＝0.25，因此該樣本中三等品的件數(shù)為200×0.25＝50，故選D.4．(2016·全國卷Ⅱ)從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()A.eq\f(4n,m)B.eq\f(2n,m)C.eq\f(4m,n)D.eq\f(2m,n)解析：選C因?yàn)閤1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機(jī)抽取，所以構(gòu)成的n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在邊長為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示．若兩數(shù)的平方和小于1，則對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì))，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對(duì)有m個(gè)．用隨機(jī)模擬的方法可得eq\f(S扇形,S正方形)＝eq\f(m,n)，即eq\f(π,4)＝eq\f(m,n)，所以π＝eq\f(4m,n).5．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A．－1 B．0C.eq\f(1,2) D．1解析：選D因?yàn)樗袠颖军c(diǎn)都在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，所以這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為1.6．甲、乙兩位歌手在“中國新歌聲”選拔賽中，5次得分情況如圖所示．記甲、乙兩人的平均得分分別為eq\x\to(x)甲，eq\x\to(x)乙，則下列判斷正確的是()A.eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙，甲比乙成績穩(wěn)定B.eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙，乙比甲成績穩(wěn)定C.eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，甲比乙成績穩(wěn)定D.eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，乙比甲成績穩(wěn)定解析：選Beq\x\to(x)甲＝eq\f(76＋77＋88＋90＋94,5)＝85，eq\x\to(x)乙＝eq\f(75＋88＋86＋88＋93,5)＝86，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(76－85)2＋(77－85)2＋(88－85)2＋(90－85)2＋(94－85)2]＝52，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(75－86)2＋(88－86)2＋(86－86)2＋(88－86)2＋(93－86)2]＝35.6，所以eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，故乙比甲成績穩(wěn)定，故選B.7．(2017·合肥模擬)將三顆骰子各擲一次，記事件A＝“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不同”，B＝“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”，則條件概率P(A|B)，P(B|A)分別為()A.eq\f(60,91)，eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)，eq\f(60,91)C.eq\f(5,18)，eq\f(60,91) D.eq\f(91,216)，eq\f(1,2)解析：選AP(A|B)的含義是在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，即在“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”的條件下，“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”的概率，“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”有6×6×6－5×5×5＝91種情況，“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)，且三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”共有Ceq\o\al(1,3)×5×4＝60種情況，所以P(A|B)＝eq\f(60,91).P(B|A)的含義是在事件A發(fā)生的情況下，事件B發(fā)生的概率，即在“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”的情況下，“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”的概率，因?yàn)椤叭齻€(gè)點(diǎn)數(shù)都不同”有6×5×4＝120種情況，所以P(B|A)＝eq\f(60,120)＝eq\f(1,2).8．(2017·山東高考)從分別標(biāo)有1,2，…，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是()A.eq\f(5,18) B.eq\f(4,9)C.eq\f(5,9) D.eq\f(7,9)解析：選C所求概率為P＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,4)C\o\al(1,5),C\o\al(1,9)C\o\al(1,8))＝eq\f(5,9).9．(2017·沈陽質(zhì)檢)將A，B，C，D這4名同學(xué)從左至右隨機(jī)地排成一排，則“A與B相鄰且A與C之間恰好有1名同學(xué)”的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)解析：選BA，B，C，D這4名同學(xué)排成一排有Aeq\o\al(4,4)＝24種排法．當(dāng)A，C之間是B時(shí)，有2×2＝4種排法，當(dāng)A，C之間是D時(shí)，有2種排法，所以所求概率為eq\f(4＋2,24)＝eq\f(1,4).10．(2018屆高三·西安八校聯(lián)考)在平面區(qū)域{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤4}內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足y≤x2的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：選B不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤4))表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的矩形OABC內(nèi)部(含邊界)，其面積為2×4＝8.不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤4，,y≤x2))表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，其面積為eq\i\in(0,2,)x2dx＝eq\f(1,3)x3eq\o\al(2,0)＝eq\f(8,3)，因此所求概率為eq\f(\f(8,3),8)＝eq\f(1,3)，故選B.11．(2018屆高三·廣東五校聯(lián)考)在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k，使直線y＝k(x＋3)與圓x2＋y2＝1相交的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(2),3)解析：選C若直線y＝k(x＋3)與圓x2＋y2＝1相交，則圓心到直線的距離d＝eq\f(|3k|,\r(1＋k2))<1，解得－eq\f(\r(2),4)<k<eq\f(\r(2),4)，故在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k，使直線y＝k(x＋3)與圓x2＋y2＝1相交的概率為P＝eq\f(\f(\r(2),2),2)＝eq\f(\r(2),4).12．已知樣本(x1，x2，…，xn)的平均數(shù)為eq\x\to(x)，樣本(y1，y2，…，ym)的平均數(shù)為eq\x\to(y)(eq\x\to(x)≠eq\x\to(y))，若樣本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均數(shù)eq\x\to(z)＝aeq\x\to(x)＋(1－a)eq\x\to(y)，其中0<a<eq\f(1,2)，則n，m的大小關(guān)系為()A．n<m B．n>mC．n＝m D．不能確定解析：選A由題意可得，eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，eq\x\to(y)＝eq\f(y1＋y2＋…＋ym,m)，則eq\x\to(z)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn＋y1＋y2＋…＋ym,n＋m)＝eq\f(n,n＋m)·eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＋eq\f(m,n＋m)·eq\f(y1＋y2＋…＋ym,m)＝eq\f(n,n＋m)·eq\x\to(x)＋eq\f(m,n＋m)·eq\x\to(y)＝aeq\x\to(x)＋(1－a)eq\x\to(y)，所以eq\f(n,n＋m)＝a，eq\f(m,n＋m)＝1－a，又0<a<eq\f(1,2)，所以0<eq\f(n,n＋m)<eq\f(1,2)<eq\f(m,n＋m)，故n<m.二、填空題13．(2017·石家莊質(zhì)檢)設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x2017的方差是4，若yi＝2xi－1(i＝1,2，…，2017)，則y1，y2，…，y2017的方差為________．解析：設(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則yi＝2xi－1的平均數(shù)為2eq\o(x,\s\up6(－))－1，則y1，y2，…，y2017的方差為eq\f(1,2017)[(2x1－1－2eq\o(x,\s\up6(－))＋1)2＋(2x2－1－2eq\o(x,\s\up6(－))＋1)2＋…＋(2x2017－1－2eq\o(x,\s\up6(－))＋1)2]＝4×eq\f(1,2017)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(x2017－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝4×4＝16.答案：1614．(2017·云南模擬)某校1000名高三學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)考試，這次考試考生的分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布N(90，σ2)．若分?jǐn)?shù)在(70,110]內(nèi)的概率為0.7，估計(jì)這次考試分?jǐn)?shù)不超過70的人數(shù)為________．解析：記這次考試考生的分?jǐn)?shù)為ξ，則考試分?jǐn)?shù)的正態(tài)曲線關(guān)于直線ξ＝90對(duì)稱．因?yàn)镻(70<ξ≤110)＝0.7，所以P(ξ≤70)＝P(ξ>110)＝eq\f(1,2)×(1－0.7)＝0.15，所以這次考試分?jǐn)?shù)不超過70的人數(shù)為1000×0.15＝150.答案：15015．(2017·張掖模擬)在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)θ，則使eq\r(2)≤eq\r(2)sinθ＋eq\r(2)cosθ≤2成立的概率為________．解析：由eq\r(2)≤eq\r(2)sinθ＋eq\r(2)cosθ≤2，得eq\f(\r(2),2)≤sinθ＋eq\f(π,4)≤1，結(jié)合θ∈[0，π]，得滿足條件的θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴使eq\r(2)≤eq\r(2)sinθ＋eq\r(2)cosθ≤2成立的概率為eq\f(\f(π,2),π)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)16．甲、乙兩人在5次綜合測評(píng)中成績的莖葉圖如圖所示，其中一個(gè)數(shù)字被污損，記甲、乙的平均成績分別為eq\o(x,\s\up6(－))甲，eq\o(x,\s\up6(－))乙，則eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙的概率是________．解析：設(shè)污損處的數(shù)字為m，由eq\f(1,5)(84＋85＋87＋90＋m＋99)＝eq\f(1,5)(86＋87＋91＋92＋94)，得m＝5，即當(dāng)m＝5時(shí)，甲、乙兩人的平均成績相等．m的取值有0,1,2,3，…，9，共10種可能，其中，當(dāng)m＝6,7,8,9時(shí)，eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙，故所求概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)B組——能力小題保分練1．(2017·成都模擬)兩位同學(xué)約定下午5：30～6：00在圖書館見面，且他們5：30～6：00之間到達(dá)的時(shí)刻是等可能的，先到的同學(xué)須等待，若15分鐘后還未見面便離開．則這兩位同學(xué)能夠見面的概率是()A.eq\f(11,36) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)解析：選D如圖所示，以5：30作為原點(diǎn)O，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)兩位同學(xué)到達(dá)的時(shí)刻分別為x，y，設(shè)事件A表示兩位同學(xué)能夠見面，所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锳＝{(x，y)||x－y|≤15}，即圖中陰影部分，根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式得P(A)＝eq\f(30×30－2×\f(1,2)×15×15,30×30)＝eq\f(3,4).2．(2017·廣州模擬)五個(gè)人圍坐在一張圓桌旁，每個(gè)人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時(shí)拋出自己的硬幣．若硬幣正面朝上，則這個(gè)人站起來；若硬幣正面朝下，則這個(gè)人繼續(xù)坐著．那么，沒有相鄰的兩個(gè)人站起來的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(15,32)C.eq\f(11,32) D.eq\f(5,16)解析：選C假設(shè)有甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人按順序圍成一桌，五個(gè)人同時(shí)拋出自己的硬幣，基本事件總數(shù)共有25＝32種．若五個(gè)人同時(shí)坐著，有1種情況；若四個(gè)人同時(shí)坐著，一個(gè)人站著，有Ceq\o\al(1,5)＝5種情況；若三個(gè)人同時(shí)坐著，不相鄰的兩個(gè)人站著，有(甲丙、甲丁、乙丁、乙戊、丙戊)5種情況．沒有相鄰的兩個(gè)人站起來的情況共有1＋5＋5＝11種，故所求的概率為eq\f(11,32).3．一個(gè)樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個(gè)公差不為0的等差數(shù)列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是()A．13,12 B．13,13C．12,13 D．13,14解析：選B設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，a3＝8，a1a7＝aeq\o\al(2,3)＝64，即(8－2d)(8＋4d)＝64，又d≠0，所以d＝2，故樣本數(shù)據(jù)為：4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，平均數(shù)為eq\f(S10,10)＝eq\f(4＋22×5,10)＝13，中位數(shù)為eq\f(12＋14,2)＝13.4．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：x34567y4.0a－5.4－0.50.5b－0.6得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a.若樣本點(diǎn)的中心為(5,0.9)，則當(dāng)x每增加1個(gè)單位時(shí)，y就()A．增加1.4個(gè)單位B．減少1.4個(gè)單位C．增加7.9個(gè)單位D．減少7.9個(gè)單位解析：選B依題意得，eq\f(4.0＋a－5.4－0.5＋0.5＋b－0.6,5)＝0.9，故a＋b＝6.5；①又樣本點(diǎn)的中心為(5,0.9)，故0.9＝5b＋a，②聯(lián)立①②，解得b＝－1.4，a＝7.9，則eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.4x＋7.9，所以當(dāng)x每增加1個(gè)單位時(shí)，y就減少1.4個(gè)單位．5．正六邊形ABCDEF的邊長為1，在正六邊形內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使△MAB的面積大于eq\f(\r(3),4)的概率為________．解析：如圖所示，作出正六邊形ABCDEF，其中心為O，過點(diǎn)O作OG⊥AB，垂足為G，則OG的長為中心O到AB邊的距離．易知∠AOB＝eq\f(360°,6)＝60°