高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專(zhuān)題一 高頻客觀命題點(diǎn) 1.4 平面向量練習(xí) 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

1.4平面向量高考命題規(guī)律1.高考必考考題.選擇題或填空題,5分,中低檔難度,主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算.2.全國(guó)高考有4種命題角度,分布如下表.2020年高考必備2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命題角度1平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算、平面向量基本定理7命題角度2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2413133131313313命題角度3計(jì)算平面向量的數(shù)量積4命題角度4平面向量數(shù)量積的應(yīng)用48命題角度1平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算、平面向量基本定理高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2018全國(guó)Ⅰ·7)在△ABC中,AD為BC邊上的中線(xiàn),E為AD的中點(diǎn),則EB=()A.34B.1C.34D.1答案A解析如圖,EB=-BE=-12=1=12=342.(2014全國(guó)Ⅰ·6)設(shè)D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則EB+FC=(A.AD B.12C.BC D.1答案A解析由于D,E,F分別是BC,CA,AB的中點(diǎn),所以EB+FC=-12(BA+BC)-12(CA+CB)=-3.(2014福建·10)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),則OA+OB+A.OM B.2OM C.3OM D.4OM答案D解析因?yàn)镸是AC和BD的中點(diǎn),由平行四邊形法則,得OA+OC=2OM,OB+OD=2OM,所以O(shè)A典題演練提能·刷高分1.已知兩個(gè)非零向量a,b互相垂直,若向量m=4a+5b與n=2a+λb共線(xiàn),則實(shí)數(shù)λ的值為()A.5 B.3 C.2.5 D.2答案C解析∵向量m=4a+5b與n=2a+λb共線(xiàn),∴存在實(shí)數(shù)t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+λb),又向量a,b互相垂直,故a,b不共線(xiàn).∴2t=4,tλ2.(2019山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)等四校高三聯(lián)考)如圖Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,∠BAC平分線(xiàn)交△ABC的外接圓于點(diǎn)D,設(shè)AB=a,AC=b,則向量AD=(A.a+b B.12a+C.a+12b D.a+2答案C解析設(shè)圓的半徑為r,在Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,所以∠BAC=π3,∠ACB=π6,∠BAC平分線(xiàn)交△ABC的外接圓于點(diǎn)D,所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=π6,則根據(jù)圓的性質(zhì)有BD=CD=AB.又因?yàn)樵赗t△ABC中,AB=12AC=r=OD,所以四邊形ABDO為菱形,所以AD=AB+3.(2019寧夏平羅中學(xué)高三期中)已知數(shù)列{an}是正項(xiàng)等差數(shù)列,在△ABC中,BD=tBC(t∈R),若AD=a3AB+a5AC,則a3a5的最大值為()A.1 B.1C.14 D.答案C解析∵BD=tBC,故B,C,D三點(diǎn)共線(xiàn).∵AD=a3AB+a5AC,∴a3+a5=1,數(shù)列{an}是正項(xiàng)等差數(shù)列,故a3>0,a5>0,∴1=a3+a5≥2a3a5,解得a3a5≤4.(2019山東德州高三模擬)設(shè)向量a,b不平行,向量a+14λb與-a+b平行,則實(shí)數(shù)λ=.答案-4解析由a,b不平行,知-a+b≠0,又a+14λb與-a+b平行,故存在實(shí)數(shù)μ,使a+14λb=μ(-a+b根據(jù)平面向量基本定理得,-∴λ=-4.5.如圖,有5個(gè)全等的小正方形,BD=xAE+yAF,則x+y的值是.

答案1解析由平面向量的運(yùn)算可知BD=AD-AB,而AD=2AE,AB=AH+HB=2AF-AE,所以BD=AD-AB=2AE-(2AF-AE)=3AE-2AF,注意到AE,AF不共線(xiàn),且BD=xAE+y6.在平面向量中有如下定理:設(shè)點(diǎn)O,P,Q,R為同一平面內(nèi)的點(diǎn),則P、Q、R三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是:存在實(shí)數(shù)t,使OP=(1-t)OQ+tOR.試?yán)迷摱ɡ斫獯鹣铝袉?wèn)題:如圖,在△ABC中,點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn),點(diǎn)F在AC邊上,且CF=2FA,BF交CE于點(diǎn)M,設(shè)AM=xAE+yAF,則x+y=.

答案7解析∵B,M,F三點(diǎn)共線(xiàn),∴存在實(shí)數(shù)t,使得AM=(1-t)AB+tAF,又AB=2AE,∴AM=2(1-t)AE+又E,M,C三點(diǎn)共線(xiàn),∴2(1-t)+13t=1,解得t=3∴AM=2(1-t)AE+tAF=∴x=45,y=35,x+y=命題角度2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2019全國(guó)Ⅱ·3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|=()A.2 B.2 C.52 D.50答案A解析由題意,得a-b=(-1,1),則|a-b|=(-1)2.(2019全國(guó)Ⅲ·13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),則cos<a,b>=.

答案-2解析cos<a,b>=a·b|3.(2019北京·9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,則m=.

答案8解析∵a=(-4,3),b=(6,m),a⊥b,∴a·b=0,即-4×6+3m=0,即m=8.4.(2018全國(guó)Ⅲ·13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),則λ=.

答案1解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=125.(2017全國(guó)Ⅲ·13)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,則m=.

答案2解析∵a⊥b,∴a·b=(-2,3)·(3,m)=-2×3+3m=0,解得m=2.典題演練提能·刷高分1.已知向量a=(1,1),b=(-1,2),若(a-b)∥(2a+tb),則t=()A.0 B.12 C.-2 D.-答案C解析因?yàn)閍-b=(2,-1),2a+tb=(2-t,2+2t),又因?yàn)?a-b)∥(2a+tb),所以2(2+2t)=-(2-t),∴t=-2,故選C.2.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b與3a-b平行,則實(shí)數(shù)x的值是.

答案2解析∵a=(1,1),b=(2,x),a+b與3a-b平行,∴a+b=(3,x+1),3a-b=(1,3-x),所以3(3-x)-(x+1)=0,解得x=2.3.已知向量a=(2,-1),b=(6,x),且a∥b,則|a-b|=.

答案25解析由題得2x+6=0,即x=-3.則a-b=(-4,2),∴|a-b|=42+(-24.已知a=(-1,1),b=(2,-1),c=(1,2),若a=λb+μc,則λμ=.答案-3解析由a=λb+μc可知(-1,1)=λ(2,-1)+μ(1,2)=(2λ+μ,-λ+2μ),∴2λ+μ=-1,-λ+2μ=1,解得5.向量BA=(1,2),CA∥BA,且|CA|=25,則BC的坐標(biāo)為答案(3,6)或(-1,-2)解析∵CA∥BA,∴CA=tBA=(t,2t又|CA|=25,∴t2+4t2=5t2=20,解得t=±2.當(dāng)t=2時(shí),BC=BA+AC=(1,2)+(-2,-4)=(當(dāng)t=-2時(shí),BC=BA+AC=(1,2)+命題角度3計(jì)算平面向量的數(shù)量積高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2018全國(guó)Ⅱ·4)已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)=()A.4 B.3 C.2 D.0答案B解析a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.2.(2016天津·7)已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則AF·BC的值為(A.-58 B.18 C.14答案B解析方法1(基向量法):如圖所示,選取AB,AC為基底,則AF=AB故AF·BC=12AB+34AC·(AC-AB)=方法2(坐標(biāo)法):建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A0,32,B-12,0,C12,3.(2017北京·12)已知點(diǎn)P在圓x2+y2=1上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),O為原點(diǎn),則AO·AP的最大值為答案6解析方法1:設(shè)P(cosα,sinα),α∈R,則AO=(2,0),AP=(cosα+2,sinα),AO·AP=2cosα+當(dāng)α=2kπ,k∈Z時(shí),2cosα+4取得最大值,最大值為6.故AO·AP方法2:設(shè)P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,AO=(2,0),AP=(x+2,y),AO·AP=2x+4,故AO4.(2017天津·14))在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-答案3解析∵BD=2DC,∴AD=AB+BD又AE=λAC-AB,∠A=60°,AB=3,AC=2,AD·∴AB·AC=3×2×12=3,23AC+1即2λ3∴2λ3×4-13×9+λ3-23×3=-4,即113λ典題演練提能·刷高分1.點(diǎn)B是以線(xiàn)段AC為直徑的圓上的一點(diǎn),其中|AB|=2,則AC·AB=(A.1 B.2 C.3 D.4答案D解析由圓的性質(zhì)知∠ABC=90°,所以cos∠BAC=BAAC所以AC·AB=|AC|·|AB|·cos∠BAC=|AC|·|AB|·|AB2.在△ABC中,已知|AB+AC|=|AB-AC|,AB=1,AC=3,M,N分別為BC的三等分點(diǎn),則AMA.109 B.209 C.89答案B解析∵|AB+AC|=|AB-AC|,∴∠BAC=90°.又M,AM·AN=AB+13BC·AC+13CB=AB·AC+13AB·CB+13BC·3.(2019山東臨沂高三三模)在△ABC中,|AB+AC|=|AB-AC|,AB=2,AC=1,E,F為AB的三等分點(diǎn),則CEA.89 B.109 C.179答案C解析因?yàn)閨AB+AC|=|AB-AC|,所以|AB+AC|2=|AB-AC|2,整理得AB·AC=0.因?yàn)锳B=2,AC=1,所以AB2=4,AC2=1,又因?yàn)镋,F為AB的三等分點(diǎn),所以CE·CF=(CA+AE)·(CA4.(2019河北棗強(qiáng)中學(xué)高三一模)已知△ABC中,|BC|=2,BA·BC=-2.點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn),則PC·(PA+A.2 B.-34 C.-2 D.-答案D解析以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖的直角坐標(biāo)系.可得B(-1,0),C(1,0),設(shè)P(a,0),A(x,y),由BA·BC=-2,可得(x+1,y)·(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,y≠0,則PC·(PA+PB+PC)=(1-a,0)·(x-a-1-a+1=(1-a)(x-3a)=(1-a)(-2-3a)=3a2-a-2=3a-162-2512,當(dāng)a=16時(shí),PC·(PA+PB+PC)的最小值為5.如圖,在正方形ABCD中,AB=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F為CD的中點(diǎn),則AE·BF的值是答案0解析由題得AE·BF=AB+12BC·BC-12AB=AB·BC+12BC2-6.(2019福建廈門(mén)高三質(zhì)檢)在△ABC中,AB=4,AC=2,A=π3,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心,半徑為1的圓上,則PB·PC的最小值為答案5-27解析如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB邊所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.則A(0,0),B(4,0),C(1,3),設(shè)P(x,y),則PB=(4-x,-y),PC=(1-x,3-y),∴PB·PC=(4-x)(1-x)-y(3-y)=x2-5x+y2-3y+4=(x-52)2+(y-32)2由幾何圖形可得|PM|min=|AM|-1=522+322-1=7-1,∴(PB·PC)min=(命題角度4平面向量數(shù)量積的應(yīng)用高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2019全國(guó)Ⅰ·8)已知非零向量a,b滿(mǎn)足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,則a與b的夾角為()A.π6 B.π3 C.2π答案B解析因?yàn)?a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2.設(shè)a與b的夾角為θ,則cosθ=a·所以a與b的夾角為π3,故選B2.(2014全國(guó)Ⅱ·4)設(shè)向量a,b滿(mǎn)足|a+b|=10,|a-b|=6,則a·b=()A.1 B.2 C.3 D.5答案A解析∵|a+b|=10,∴(a+b)2=10.∴|a|2+|b|2+2a·b=10,①∵|a-b|=6,∴(a-b)2=6,∴|a|2+|b|2-2a·b=6,②由①-②得a·b=1,故選A.典題演練提能·刷高分1.(2019黑龍江哈爾濱第三中學(xué)高三二模)向量a=(2,t),b=(-1,3),若a,b的夾角為鈍角,則t的取值范圍是()A.t<23 B.t>C.t<23且t≠-6 D.t<-答案C解析若a,b的夾角為鈍角,則a·b<0且不反向共線(xiàn),a·b=-2+3t<0,得t<23.向量a=(2,t),b=(-1,3)共線(xiàn)時(shí),2×3=-t,得t=-6,此時(shí)a=-2b.所以t<23且t≠-6.2.已知在△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,若AP=λAB+AC,且AP⊥B