高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題一 高頻客觀命題點(diǎn) 1.5 不等式與線性規(guī)劃練習(xí) 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

1.5不等式與線性規(guī)劃高考命題規(guī)律1.每年必考考題,以線性規(guī)劃為主要考點(diǎn).2.填空題或選擇題,5分,難度中高檔.3.全國(guó)高考有6種命題角度,分布如下表.2020年高考必備2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命題角度1不等式的性質(zhì)與解不等式8命題角度2均值不等式命題角度3簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題151414137751414151311命題角度4非線性規(guī)劃問(wèn)題命題角度5含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題命題角度6利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問(wèn)題16命題角度1不等式的性質(zhì)與解不等式高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2016全國(guó)Ⅰ·8)若a>b>0,0<c<1,則()A.logac<logbc B.logca<logcbC.ac<bc D.ca>cb答案B解析對(duì)于A,logac=1logca,log∵0<c<1,∴對(duì)數(shù)函數(shù)y=logcx在(0,+∞)上為減函數(shù),∴若0<b<a<1,則0<logca<logcb,1logca>1lo若0<b<1<a,則logca<0,logcb>0,1logca<1lo若1<b<a,則logca<logcb<0,1logca>1lo故A不正確;由以上解析可知,B正確;對(duì)于C,∵0<c<1,∴冪函數(shù)y=xc在(0,+∞)上為增函數(shù).∵a>b>0,∴ac>bc,故C不正確;對(duì)于D,∵0<c<1,∴指數(shù)函數(shù)y=cx在R上為減函數(shù).∵a>b>0,∴ca<cb,故D不正確.2.(2014四川·5)若a>b>0,c<d<0,則一定有()A.ac>bdC.ad>b答案D解析∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴0<1-即1-d>又∵a>b>0,∴a-d>b典題演練提能·刷高分1.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|y=lgx},則A∩B=()A.[-1,+∞) B.(0,1]C.[-1,0) D.(0,3]答案D解析由題意知A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},B={x|y=lgx}={x|x>0},∴A∩B={x|0<x≤3}=(0,3].故選D.2.已知a<b<0,則下列不等式中恒成立的是()A.1a>1C.2a>2b D.a3>b3答案A解析∵a<b<0,∴1a>1b,故A正確;-a>-b,故B不正確;函數(shù)y=2a是增函數(shù),故2a<2b,故C不正確;函數(shù)y=x3是增函數(shù),故3.實(shí)數(shù)x,y滿足x>y>0,則()A.1x>1C.12x>12答案B解析選項(xiàng)A中,由x>y>0得1x-1y=y-xxy<0,所以1x<1y,故A不正確.選項(xiàng)B中,將不等式兩邊平方得x+y-2xy<x-y,整理得y<xy,所以y<x,由于x>y>0,所以上式成立,故B正確.選項(xiàng)C中,由x>y>0得12x<124.設(shè)全集U=R,集合A=xx+13-x≥0,B=x14≤2x≤8,則(?UA)A.(-1,3) B.[-2,-1]C.[-2,3) D.[-2,-1)∪{3}答案D解析由題意得A=xx+13-x≥0={x|-1≤x<3},B={x|2-2≤2x≤8}∴?UA={x|x<-1或x≥3},∴(?UA)∩B={x|-2≤x<-1}∪{3}.故選D.5.已知c3a<cA.|b|>|a| B.ac>bcC.a-bc>0 D.ln答案D解析因?yàn)閏3a<c3b<0,當(dāng)c<0時(shí),1a>1b>0,即b>a>0,∴|b|>|a|,ac>bc,a-b6.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式(a-2)x2-2(a-2)-4<0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,2) B.(-∞,2]C.(-2,2] D.(-2,2)答案C解析當(dāng)a-2=0,即a=2時(shí),原不等式變?yōu)?4<0,顯然不等式恒成立,此時(shí)符合題意.當(dāng)a-2≠0,即a≠2時(shí),因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式(a-2)x2-2(a-2)-4<0恒成立,所以a解得a<2,-2<a綜上可得-2<a≤2.故選C.命題角度2均值不等式高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2019天津·13)設(shè)x>0,y>0,x+2y=4,則(x+1)(2答案9解析(=2xy+5xy=2∵x+2y=4,∴4≥22xy∴2xy≤4.∴1xy∴2+5xy≥2+52.(2017江蘇·10)某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸,每次購(gòu)買x噸,運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x的值是.

答案30解析一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為4x+600x×6=4x+900x≥4×2900=240,當(dāng)且僅當(dāng)x=900典題演練提能·刷高分1.函數(shù)f(x)=x2+4|A.3 B.4 C.6 D.8答案B解析f(x)=x2+4|x|=|x|+42.若lga+lgb=0且a≠b,則2a+1b的取值范圍為A.22,+∞ B.22,+∞C.22,3∪(3,+∞) D.22,3∪(3,+∞)答案A解析∵lga+lgb=0且a≠b,∴l(xiāng)gab=0,即ab=1.∴2a+1b·ab=2b+a≥22ab=22,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=∴2a+1b的取值范圍為22,+3.已知三點(diǎn)A(1,-2),B(a,-1),C(-b,0)共線,則1+2aa+2+bb(A.11 B.10 C.6 D.4答案A解析由A(1,-2),B(a,-1),C(-b,0)共線得-21+b=-1+2a-1,∴2a+b=1,1+2aa+2+bb=4a+ba4.已知a>0,b>0,3a+b=2ab,則a+b的最小值為.

答案2+3解析由3a+b=2ab得32b+12a=1,故(a+b)32b+15.要制作一個(gè)容積為4m3,高為1m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米200元,側(cè)面造價(jià)是每平方米100元,則該容器的最低總造價(jià)是元.

答案1600解析設(shè)長(zhǎng)方體的底面的長(zhǎng)為xm,則寬為4xm,總造價(jià)為y元,則y=4×200+2×100×x+4x≥800+400×x·4x=1600,當(dāng)且僅當(dāng)x=4x6.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足2a>b,且ab=12,則4a2+答案23解析由題意得2a-b>0,4a2+b2+12a-b=4a命題角度3簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2019全國(guó)Ⅲ·11)記不等式組x+y≥6,2x-y≥0表示的平面區(qū)域?yàn)镈.命題p:?(x,y)∈D,2x+y≥9;命題q:?(x,①p∨q②p∨q③p∧q④p∧q這四個(gè)命題中,所有真命題的編號(hào)是()A.①③ B.①② C.②③ D.③④答案A解析如圖,不等式組表示的平面區(qū)域D為圖中陰影部分.作出直線2x+y=9與直線2x+y=12,可知兩直線均通過(guò)平面區(qū)域D,所以p真,q假,p假,q真,故①③真,②④假.故選A.2.(2019天津·2)設(shè)變量x,y滿足約束條件x+y-2≤0,x-A.2 B.3 C.5 D.6答案C解析畫出可行域如圖,平移目標(biāo)函數(shù)z=-4x+y可知過(guò)點(diǎn)A時(shí)取得最大值,由x=-1,x-∴zmax=-4×(-1)+1=5.故選C.3.(2017全國(guó)Ⅲ·5)設(shè)x,y滿足約束條件3x+2y-6≤0A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3]答案B解析畫出不等式組表示的可行域,如圖.結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A(0·3)處取得最小值z(mì)=0-3=-3,在點(diǎn)B(2,0)處取得最大值z(mì)=2-0=2.故選B.4.(2019北京·10)若x,y滿足x≤2,y≥-1,4解析作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè)z=y-x,則y=x+z.當(dāng)直線l0:y=x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-1)時(shí),z取最小值-3,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,3)時(shí),z取最大值1.答案-315.(2019全國(guó)Ⅱ·13)若變量x,y滿足約束條件2x+3y-6≥0,x+答案9解析畫出可行域?yàn)閳D中陰影部分,z=3x-y表示直線3x-y-z=0的縱截距的相反數(shù),當(dāng)直線3x-y-z=0過(guò)點(diǎn)C(3,0)時(shí),z取得最大值9.6.(2018全國(guó)Ⅰ·14)若x,y滿足約束條件x-2y-2≤0,x-y+1≥0答案6解析作出可行域,如圖陰影部分所示(包括邊界).由z=3x+2y,得y=-32x+12作直線y=-32x顯然l過(guò)點(diǎn)B(2,0)時(shí),z取最大值,zmax=3×2+0=6.7.(2018全國(guó)Ⅱ·14)若x,y滿足約束條件x+2y-5≥0,x答案9解析由題意,作出可行域如圖.要使z=x+y取得最大值,當(dāng)且僅當(dāng)過(guò)點(diǎn)(5,4)時(shí),zmax=9.8.(2018全國(guó)Ⅲ·15)若變量x,y滿足約束條件2x+y+3≥0,x-2答案3解析畫出可行域,如圖中陰影部分所示.又z=x+13y?y=-3x+3z∴當(dāng)過(guò)點(diǎn)B(2,3)時(shí),zmax=2+13×3=3典題演練提能·刷高分1.(2019四川內(nèi)江高三三模)若x,y滿足x+y≤1,x-yA.1 B.-1C.2 D.-2答案C解析畫出可行域(如圖),由z=x-2y,得y=12x-12由圖可知,當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,-1)時(shí),z最大,且最大值為zmax=0-2×(-1)=2.故選C.2.(2019天津和平區(qū)高三模擬)設(shè)x,y滿足約束條件x-y-A.-13,1 B.[-3,1]C.(-∞,-3]∪[1,+∞) D.-37,1答案B解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,目標(biāo)函數(shù)z=y+4x+6表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P(-6,-4)之間連線的斜率,數(shù)形結(jié)合可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)C(-1,1)處取得最大值1+4目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A(-5,-7)處取得最小值-7+4-5+6=-3,故目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是[-3,1]3.若實(shí)數(shù)x,y滿足2x-y+1≥0,A.0 B.1 C.23 D.答案B解析作可行域如圖,則|x-y|=y-x,所以直線z=y-x過(guò)點(diǎn)A(0,1)時(shí),z取最大值1,故選B.4.已知向量a=(1,2),b=(x,y),且實(shí)數(shù)x,y滿足y≥0,y≤x,x+y答案9解析∵a=(1,2),b=(x,y),∴z=a·b=x+2y.所以y=-12x+12z,作出不等式組y由y=x,x+y-3=0得此時(shí)(x+2y)max=32+2×35.若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組y≥0,2x-y+3≥0,答案-3解析畫出不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示.①當(dāng)x≥0時(shí),z=2y-|x|=2y-x,可得y=x2平移直線y=x2+z2,結(jié)合圖形可得當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)此時(shí)z取得最小值,且zmin=-1.②當(dāng)x<0時(shí),z=2y-|x|=2y+x,可得y=-x2+z2,平移直線y=-x2+z2,結(jié)合圖形可得當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A-32,0時(shí),直線在y軸上的截距最小,此時(shí)z取得最小值,且zmin=-3命題角度4非線性規(guī)劃問(wèn)題高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2016山東·4)若變量x,y滿足x+y≤2,2x-3A.4 B.9 C.10 D.12答案C解析如圖,作出不等式組所表示的可行域(陰影部分),設(shè)可行域內(nèi)任一點(diǎn)P(x,y),則x2+y2的幾何意義為|OP|2.顯然,當(dāng)P與A重合時(shí),取得最大值.由x+y=2,2x所以x2+y2的最大值為32+(-1)2=10.故選C.2.(2015全國(guó)Ⅰ·15)若x,y滿足約束條件x-1≥0,x答案3解析畫出約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域(如圖),點(diǎn)A為(1,3),要使yx最大,則y-0x-0最大,即過(guò)點(diǎn)(x,y),(0,0)兩點(diǎn)的直線斜率最大,由圖形知當(dāng)該直線過(guò)點(diǎn)典題演練提能·刷高分1.(2019四川綿陽(yáng)三診)已知變量x,y滿足x≥0,|y|≤1,xA.10 B.5 C.4 D.2答案A解析作出變量x,y滿足x≥0由x+y-2=0,y=-1,解得A由數(shù)形結(jié)合可得最大距離為OA=32+(-1)2=故選A.2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x-y+1≥0,x+yA.-∞,12 B.-∞,14C.(-∞,1] D.(-∞,2]答案A解析作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖,由圖象知x≥0,由不等式kx-y+k≤1恒成立,得k(x+1)≤1+y,即k≤y+1設(shè)z=y+1x+1,則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D(-由圖象知AD的斜率最小,由x+y-此時(shí)z的最小值為z=0+11+1=12,即即實(shí)數(shù)k的取值范圍是-∞,12.故選A.3.已知變量x,y滿足x-y≥2,x+2y+2≥0,2x-yA.45-455C.45+33答案B解析由題意,可作出約束條件的區(qū)域圖,如圖所示,由方程x2+y2+6y-k=0,得x2+(y+3)2=9+k,由此問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求區(qū)域圖內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)C(0,3)的距離最小時(shí)實(shí)數(shù)k的值,結(jié)合圖形,點(diǎn)C到直線x+2y+2=0的距離d=|0-2×3+2|5=45為所求,則有9+k=4.(2019河南鶴壁高中模擬)已知A(2,1),設(shè)P(x,y)為可行域x≥0,3x+2y≤7A.-2 B.2 C.4 D.5答案C解析由題意作出其平面區(qū)域,由3解得M(1,2).OP·OA=z=2x+y,由線性規(guī)劃知識(shí)知經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí),z取得最大值,此時(shí)x=1,y=2時(shí),z=2x+y有最大值2×1+2=5.若x,y滿足約束條件x-1≥0,x答案3解析作出可行域,如圖△ABC內(nèi)部(含邊界),P(-1,0),A(1,1),C(1,3),yx+1表示可行域內(nèi)點(diǎn)(x,y)與P(-1,0)的連線的斜率,kPC=3-01命題角度5含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2015重慶·10)若不等式組x+y-2≤0,x+2A.-3 B.1 C.43 D.答案B解析如圖,要使不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?則不等式x-y+2m≥0表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€x-y+2m=0下方的區(qū)域,且-2m<2,即m>-1.這時(shí)平面區(qū)域?yàn)槿切蜛BC.由x+y-2=0,x由x+y則B(1-m,1+m).同理C2-4m3,2+2m3因?yàn)镾△ABC=S△ABM-S△ACM=12·(2+2m)·(1+m)-2+2m3=(m2.(2014全國(guó)Ⅰ·11)設(shè)x,y滿足約束條件x+y≥a,x-A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3答案B解析當(dāng)a=0時(shí)顯然不滿足題意.當(dāng)a≥1時(shí),畫出可行域(如圖(1)所示的陰影部分),又z=x+ay,所以y=-1ax+1az,因此當(dāng)直線y=-1ax+1az經(jīng)過(guò)可行域中的Aa-12,a+12時(shí),z當(dāng)0<a<1時(shí),畫出可行域(如圖(2)所示的陰影部分),顯然直線y=-1ax+1a當(dāng)a<0時(shí),畫出可行域(如圖(3)所示的陰影部分),圖(1)圖(2)又z=x+ay,所以y=-1ax+1az,顯然直線y=-1ax+1az綜上,a的值為3,故選B.圖(3)典題演練提能·刷高分1.(2019湖南師范大學(xué)附中高三模擬)若x,y滿足約束條件x+2y-2≥0,x-A.-2,12 B.-13,0∪0,12C.0,12 D.-13,1答案A解析如圖,可行域?yàn)椤鰽BC.當(dāng)a=0時(shí),符合題意;當(dāng)a>0時(shí),由z=ax+y變形得y=-ax+z,可知-a>-12,得0<a<12;當(dāng)a<0時(shí),由z=ax+y變形得y=-ax+z,可知-a<2,得-2<a<0.綜上得-2<a<122.實(shí)數(shù)x,y滿足x≤0,y≤0,x+A.c≤-1 B.c≥-1C.c≤-2 D.c≥-2答案A解析作出可行域,如圖所示,令z=x-y,則y=x-z,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)B(0,c)時(shí),z=x-y取到最大值,∴0-c≥1,即c≤-1,故選A.3.已知x,y滿足約束條件x-y+2≥0,x≤1,x+y+答案1解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)C(1,3)處取得最大值,在點(diǎn)B(1,-1-k)處取得最小值,所以zmax=1+3×3=10,zmin=1+3×(-1-k)=-2-3k,根據(jù)題意有10=-2(-2-3k),解得k=1.4.(2019廣東廣州高三模擬)已知關(guān)于x,y的不等式組2x-y+1≥0,x+m≤0,y+2≥0,表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0,y0),滿足答案-∞,43解析作出x,y的不等式組2x-交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-m,-2),直線x-2y=2的斜率為12,斜截式方程為y=12x-要使平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0,y0)滿足x0-2y0=2,則點(diǎn)C(-m,-2)必在直線x-2y=2的下方,即-2≤-12m-1,解得m≤2,并且A在直線的上方,即A(-m,1-2m),可得1-2m≥-12m-1,解得m≤43,故m的取值范圍是-∞,4命題角度6利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問(wèn)題高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2016全國(guó)Ⅰ·16)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí);生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí).生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為元.

答案216000解析設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品Ax件,生產(chǎn)產(chǎn)品By件,由題意得1目標(biāo)函數(shù)z=2100x+900y,畫出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域(如圖陰影部分中的整數(shù)點(diǎn)所示),作直線y=-73x,當(dāng)直線過(guò)5x+3y=600與10x+3y=900的交點(diǎn)時(shí),z由5x+3所以zmax=2100×60+900×100=216000.2.(2017天津·16)電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇,每次播放連續(xù)劇時(shí),需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí),連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)、廣告播放時(shí)長(zhǎng)、收視人次如下表所示:連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)(分鐘)廣告播放時(shí)長(zhǎng)(分鐘)收視人次(萬(wàn))甲70560乙60525已知電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600分鐘,廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘,且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍.分別用x,y表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù).(1)用x,y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;(2)問(wèn)電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次,才能使總收視人次最多?解(1)由已知,x,y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為70該二元一次不等式組所表示的平