第15講用相似三角形解決問題（2大考點(diǎn)）（解析版）

第15講用相似三角形解決問題（2大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向相似三角形的應(yīng)用（1）利用影長測量物體的高度．①測量原理：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長的比相等”的原理解決．②測量方法：在同一時(shí)刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計(jì)算出被測量物的長度．（2）利用相似測量河的寬度（測量距離）．①測量原理：測量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形．②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應(yīng)邊成比例可求出河的寬度．（3）借助標(biāo)桿或直尺測量物體的高度．利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．考點(diǎn)考點(diǎn)精講一．相似三角形的應(yīng)用（共12小題）1．（2022?東海縣一模）如圖，小勇在探究課本“綜合與實(shí)踐”中的“制作視力表”時(shí)，根據(jù)測試距離為5m的標(biāo)準(zhǔn)視力表制作了一個(gè)測試距離為3m的視力表如果標(biāo)準(zhǔn)視力表中“E”的高a是72.7mm，那么制作出的視力表中相應(yīng)“E”的高b是43.62mm．【分析】如圖，易得△OAB∽△OCD，利用它們對應(yīng)邊成比例，即可得到題目的結(jié)論．【解答】解：∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴，即，解得：b＝43.62．故答案為：43.62．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵．2．（2021秋?蘇州期末）據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了“小孔成像”實(shí)驗(yàn)，闡釋了光的直線傳播原理．小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過小孔O，物體AB在幕布上形成倒立的實(shí)像CD．若物體AB的高為6cm，小孔O到物體和實(shí)像的水平距離BE，CE分別為8cm，6cm，則實(shí)像CD的高度為（）A．4cm B．4.5cm C．5cm D．6cm【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴＝，∴＝，∴CD＝4.5答：實(shí)像CD的高度為4.5cm，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，利用三角形相似，對應(yīng)邊成比例可求線段的長度．3．（2022秋?靖江市校級(jí)月考）《鐵血紅安》在中央一臺(tái)熱播后，吸引了眾多游客前往影視基地游玩．某天小明站在地面上給站在城樓上的小亮照相時(shí)發(fā)現(xiàn)：他的眼睛、涼亭頂端、小亮頭頂三點(diǎn)恰好在一條直線上（如圖）．已知小明的眼睛離地面1.6米，涼亭頂端離地面2米，小明到?jīng)鐾さ木嚯x為2米，涼亭離城樓底部的距離為40米，小亮身高1.7米．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出城樓的高度．【分析】過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而利用相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【解答】解：過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，由題意可得：AN＝2m，CN＝2﹣1.6＝0.4（m），MN＝40m，∵CN∥EM，∴△ACN∽△AEM，∴，∴，解得：EM＝8.4，∵AB＝MF＝1.6m，故城樓的高度為：8.4+1.6﹣1.7＝8.3（米），答：城樓的高度為8.3m．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形得出相似三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022?鹽城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測距離的方法，步驟：第一步：水平舉起右臂，大拇指緊直向上，大臂與身體垂直；第二步：閉上左眼，調(diào)整位置，使得右眼、大拇指、被測物體在一條直線上；第三步：閉上右眼，睜開左眼，此時(shí)看到被測物體出現(xiàn)在大拇指左側(cè)，與大拇指指向的位置有一段橫向距離，參照被測物體的大小，估算橫向距離的長度；第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長度與眼距的比值一般為10），得到的值約為被測物體離觀測點(diǎn)的距離值．如圖是用“跳眼法”估測前方一輛汽車到觀測點(diǎn)距離的示意圖，該汽車的長度大約為4米，則汽車到觀測點(diǎn)的距離約為（）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米【分析】根據(jù)圖形估計(jì)出橫向距離，再根據(jù)“跳眼法”的步驟得到答案．【解答】解：觀察圖形，橫向距離大約是汽車的長度的2倍，∵汽車的長度大約為4米，∴橫向距離大約是8米，由“跳眼法”的步驟可知，將橫向距離乘以10，得到的值約為被測物體離觀測點(diǎn)的距離值，∴汽車到觀測點(diǎn)的距離約為80米，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圖形的相似以及“跳眼法”，正確估計(jì)出橫向距離是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?蘇州期中）如圖，燃燒的蠟燭AB經(jīng)小孔O在屏幕上成像A′B′，設(shè)AB＝30cm，小孔O到AB、A′B′的距離分別為32cm、20cm，則像A′B′的長是cm．【分析】利用已知得出：△ABO∽△A′B′O，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)求出即可．【解答】解：由題意可得：△ABO∽△A′B′O，則＝＝，解得：A′B′＝．答：像A′B′的長為cm，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2022秋?吳江區(qū)月考）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，則零件的厚度x為0.5cm．【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以求得AB的長，再根據(jù)某零件的外徑為10cm，即可求得x的值．【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD＝3，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝3cm，∴AB＝9cm，∵某零件的外徑為10cm，∴零件的厚度x為：（10﹣9）÷2＝1÷2＝0.5（cm），故答案為：0.5cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是求出AB的值．7．（2022?廣陵區(qū)校級(jí)開學(xué)）為了測量校園水平地面上一棵不可攀爬的樹的高度，小文同學(xué)做了如下的探索：根據(jù)物理學(xué)中光的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設(shè)計(jì)如圖所示的測量方案：把一面很小的鏡子放在合適的位置，剛好能在鏡子里看到樹梢頂點(diǎn)，此時(shí)小文與平面鏡的水平距離為3.0米，樹的底部與平面鏡的水平距離為12.0米，若小文的眼睛與地面的距離為1.7米，則樹的高度約為6.8米（注：反射角等于入射角）【分析】由題意得到△CED與△AEB相似，由相似得比例求出AB的長即可．【解答】解：根據(jù)題意得：△CED∽△AEB，∴＝，∵DE＝3.0米，BE＝12.0米，CD＝1.7米，∴AB＝＝＝6.8（米），則樹的高度約為6.8米，故答案為：6.8．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．8．（2022?姑蘇區(qū)一模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺豎直，瞄準(zhǔn)小尺的兩端E、F，不斷調(diào)整站立的位置，使在點(diǎn)D處時(shí)恰好能看到鐵塔的頂部B和底部A（如圖）．設(shè)小明的手臂長l＝50cm，小尺長a＝20cm，點(diǎn)D到鐵塔底部的距離AD＝20m，則鐵塔的高度為8m．【分析】作CH⊥AB于H，交EF于P，如圖，則CH＝DA＝20m，CP＝50cm＝0.5m，EF＝20cm＝0.2m，證明△CEF∽△CBA，然后利用相似比計(jì)算出AB即可．【解答】解：作CH⊥AB于H，交EF于P，如圖，則CH＝DA＝20m，CP＝50cm＝0.5m，EF＝20cm＝0.2m，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CBA，∴，即，∴AB＝8（m），即鐵塔的高度為8m．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．9．（2022秋?宜興市月考）有一塊三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知BC＝12cm，高AD＝8cm，矩形EFGH的邊EF在BC邊上，G、H分別在AC、AB上，設(shè)HE的長為ycm、EF的長為xcm．（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x取多少時(shí)，EFGH是正方形．【分析】（1）先由BC＝12cm，高AD＝8cm，HE的長為ycm、EF的長為xcm可知，AK＝AD﹣y＝8﹣y，HG＝EF＝x，再根據(jù)HG∥BC可知，△AHG∽△ABC，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可知y＝x，再代入（1）中所求的代數(shù)式即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵BC＝12cm，高AD＝8cm，HE的長為ycm、EF的長為xcm，四邊形EFGH是矩形，∴AK＝AD﹣y＝8﹣y，HG＝EF＝x，HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴＝，即＝，∴y＝8﹣x；（2）由（1）可知，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝8﹣x，∵四邊形EFGH是正方形，∴HE＝EF，即x＝y(tǒng)，∴x＝8﹣x，解得x＝，答：當(dāng)x＝時(shí)，四邊形EFGH是正方形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用．解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．10．（2022?廣陵區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖所示，某測量工作人員頭頂A與標(biāo)桿頂點(diǎn)F、電視塔頂端E在同一直線上，已知此人眼睛距地面AB的長為1.6m，標(biāo)桿FC的長為3.2m，且BC的長為2m，CD的長為5m，求電視塔的高ED．【分析】通過構(gòu)造相似三角形．利用相似三角形對應(yīng)邊成比例解答即可．【解答】解：過A點(diǎn)作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H，由題意可得：△AFG∽△AEH，∴＝，即＝，解得：EH＝5.6．∴ED＝5.6+1.6＝7.2m．故電視塔的高ED為：7.2m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程，通過解方程求解即可．11．（2022?淮安區(qū)模擬）陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)（如圖所示），已知亮區(qū)到窗口下的墻腳距離EC＝8.7m，窗口高AB＝1.8m，求窗口底邊離地面的高BC．【分析】因?yàn)楣饩€AE、BD是一組平行光線，即AE∥BD，所以△ECA∽△DCB，則有＝，從而算出BC的長．【解答】解：∵AE∥BD，∴△ECA∽△DCB，∴＝．∵EC＝8.7m，ED＝2.7m，∴CD＝6m．∵AB＝1.8m，∴AC＝BC+1.8m，∴＝，解得：BC＝4，即窗口底邊離地面的高為4m．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似的三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，利用相似對角線的性質(zhì)，對應(yīng)線段成比例解題．難度不大，12．（2022?工業(yè)園區(qū)校級(jí)二模）《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點(diǎn)E，如果測得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD為（）A．2米 B．3米 C．米 D．米【分析】由題意知：△ABE∽△CDE，得出對應(yīng)邊成比例即可得出CD．【解答】解：由題意知：AB∥CD，則∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴＝，∴＝，∴CD＝3米，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意得出△ABE∽△CDE是解決問題的關(guān)鍵．二．相似形綜合題（共10小題）13．（2022秋?天寧區(qū)校級(jí)月考）矩形ABCD中AB＝8，BC＝6；將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'，使點(diǎn)C'落在AD延長線上（圖1）．（1）若∠ACB＝53°，求∠B'AD的度數(shù)與C'D的長度；（2）如用2將△AB'C'向右平移得△A'B'C'，兩直角邊與矩形相交于點(diǎn)E、F；當(dāng)平移的距離是多少時(shí)，能使△B'EF與△A'B'C'相似．（先填空，再完成解答）解：設(shè)平移的距離為x，則B'E＝8﹣，B'F＝6﹣（用含x的代數(shù)式表示）．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等可得答案；（2）首先利用△A'AE∽△A'B'C'，得，表示出B'E的長，同理表示出B'F的長，再根據(jù)或時(shí)，△B'EF與△A'B'C'相似，代入求解即可．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，由勾股定理得AC＝10，∵∠ACB＝53°，∴∠BAC＝37°，∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'，使點(diǎn)C'落在AD延長線上，∴∠B'AD＝∠BAC＝37°，AC'＝AC＝10，∴C'D＝AC'﹣AD＝10﹣6＝4；（2）∵∠A'＝∠A'，∠A'AE＝∠B'，∴△A'AE∽△A'B'C'，∴，∴，∴A'E＝，∴B'E＝8﹣，同理可得B'F＝6﹣，當(dāng)或時(shí)，△B'EF與△A'B'C'相似，∴或，解得x＝3.4或，∴平移距離為3.4或時(shí)，能使△B'EF與△A'B'C'相似．故答案為：8﹣，6﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例表示線段的長是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋?錫山區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)沿著CB方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)沿著AC方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中一個(gè)點(diǎn)停止時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)亦停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t＝s時(shí)，△PCQ∽△ACB；（2）△PCQ的面積能否為△ABC面積的一半？若能，求出t的值；若不能，說明理由．（3）當(dāng)t為幾秒時(shí)，四邊形ABPQ的面積最?。渴嵌嗌?？【分析】（1）根據(jù)題意得CP＝t，CQ＝8﹣2t，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論；（2）由等量關(guān)系S△PCQ＝S△ABC列方程求出t的值即可；（3）根據(jù)三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則CP＝tcm，CQ＝（8﹣2t）cm，∵∠PCQ＝∠ACB＝90°，∴當(dāng)△PCQ∽△ACB時(shí)，則有＝，即＝，解得t＝．∴當(dāng)t＝s，△PCQ∽△ACB，故答案為：；（2）不能，理由：當(dāng)S△PCQ＝S△ABC時(shí)，t（8﹣2t）＝16×，整理得t2﹣4t+8＝0，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，∴此方程沒有實(shí)數(shù)根，∴△PCQ的面積不可能是△ABC面積的一半；（3）設(shè)四邊形ABPQ的面積為Scm2，根據(jù)題意得S＝S△ABC﹣S△PQC＝8×4﹣×t×（8﹣2t），即S＝t2﹣4t+16＝（t﹣2）2+12，∵1＞0，∴當(dāng)t＝2時(shí)，S有最小值，四邊形ABPQ的面積最小值為12cm2．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．15．（2022秋?姜堰區(qū)校級(jí)月考）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中線，一個(gè)以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，DF與AC交于點(diǎn)M，DE與BC交于點(diǎn)N．（1）如圖1，若CE＝CF，求證：DE＝DF．（2）在∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)過程中：①如圖2，求證：CD2＝CE?CF；②若CE＝6，CF＝3，求DN的長．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ACD＝∠BCD＝45°，證明△DCF≌△DCE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等證明結(jié)論；（2）①證明△FCD∽△DCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，整理即可證明結(jié)論；②作DG⊥BC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出DG，由①的結(jié)論求出CE，證明△ENC∽△DNG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出NG，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中線，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ACF＝∠BCE＝90°，∴∠DCF＝∠DCE＝135°，在△DCF和△DCE中，，∴△DCF≌△DCE（SAS）∴DE＝DF；（2）①證明：∵∠DCF＝135°，∴∠F+∠CDF＝45°，∵∠FDE＝45°，∴∠CDE+∠CDF＝45°，∴∠F＝∠CDE，∵∠DCF＝∠DCE，∠F＝∠CDE，∴△FCD∽△DCE，∴＝，∴CD2＝CE?CF；②解：過點(diǎn)D作DG⊥BC于G，∵∠DCB＝45°，由（2）可知，CD2＝CE?CF，∴CD＝＝3，∴GC＝GD＝CD＝3，∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG，∴△ENC∽△DNG，∴＝，即＝，解得，NG＝1，由勾股定理得，DN＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形的綜合題，考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?清江浦區(qū)月考）【結(jié)論提出】：三角形的角平分線分對邊所成的兩條線段的比等于夾這個(gè)角的兩條邊的比．【思路說明】已知：如圖1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D．試說明：＝．理由：過點(diǎn)C作CE∥AD，交BA延長線于點(diǎn)E，易得＝，由CE∥AD，AD平分∠BAC可得AE＝AC，代入上式得＝．【直接應(yīng)用】（1）如圖2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BD＝10，CD＝6，在不添加輔助線的情況下直接寫出AB＝20．（2）如圖3，若四邊形ABCD為矩形，AB＝8，AD＝6，將△ADE沿AE翻折得到△AFE，延長EF、AF分別交AB，BC于M、H兩點(diǎn)，當(dāng)FH＝BH時(shí)，①求BH的長；②直接寫出＝；【拓展延申】（3）如圖4，若四邊形ABCD是邊長為6的菱形，∠ABC＝60°，當(dāng)點(diǎn)E為CD邊的三等分點(diǎn)時(shí)，將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF與BC所在直線交于點(diǎn)P、與AD所在直線交于點(diǎn)Q，請直接寫出CP的長或．【分析】【思路說明】由CE∥AD，根據(jù)平行線分線段成比例定理得＝，因?yàn)椤螮＝∠BAD，∠ACE＝∠CAD，且∠BAD＝∠CAD，所以∠E＝∠ACE，則AE＝AC，所以＝，于是得到問題的答案；（1）由AD平分∠BAC交BC于D，得＝＝，則AC＝AB，根據(jù)勾股定理得（AB）2+162＝AB2，所以AB＝20；（2）①由由翻折得∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD＝6，根據(jù)勾股定理得82+BH2＝（6+BH）2，所以BH＝；②由AF＝6，F(xiàn)H＝BH＝，得AH＝AF+FH＝，再證明Rt△HFM≌Rt△HBM，得∠AHM＝∠BHM，所以＝＝；（3）分兩種情況，一是DE＝CD＝2，則FE＝DE＝2，CE＝4，設(shè)DQ＝2n，AQ＝6﹣2n，由翻折得∠FAE＝∠DAE，所以＝，則QE＝?AQ＝（6﹣2n），作QI⊥CD于點(diǎn)I，則∠DIQ＝∠EIQ＝90°，∠DQI＝30°，所以DI＝DQ＝n，EI＝2﹣n，IQ2＝DQ2﹣DI2＝3n2，則3n2+（2﹣n）2＝[（6﹣2n）]2，求出符合題意的n值，再證明△DQE∽△CPE，推導(dǎo)出CP＝2DQ＝4n，即可求出此時(shí)CP的長；二是DE＝EF＝CD＝4，則CE＝2，設(shè)DQ＝2m，則AQ＝6+2m，可推導(dǎo)出QE＝?AQ＝（6+2m），作QJ⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)J，則∠J＝90°，∠DQJ＝30°，所以DJ＝DQ＝m，EJ＝4+m，QJ2＝DQ2﹣DJ2＝3m2，則3m2+（4+m）2＝[（6+2m）]2，求出符合題意的m值，再證明△DQE∽△CPE，推導(dǎo)出CP＝DQ，即可求出此時(shí)CP的長．【解答】解：【思路說明】：如圖1，過點(diǎn)C作CE∥AD，交BA延長線于點(diǎn)E，∴＝，∠E＝∠BAD，∠ACE＝∠CAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠E＝∠ACE，∴AE＝AC，∴＝，故答案為：，AC．（1）如圖2，∵AD平分∠BAC交BC于D，BD＝10，CD＝6，∴＝＝＝，BC＝BD+CD＝16，∴AC＝AB，∵∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴（AB）2+162＝AB2，∴AB＝20，故答案為：20．（2）①如圖3，連接MH，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，由翻折得∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD＝6，∵FH＝BH，∴AH＝AF+FH＝6+BH，∵AB2+BH2＝AH2，且AB＝8，∴82+BH2＝（6+BH）2，∴BH＝，∴BH的長是．②∵AF＝6，F(xiàn)H＝BH＝，∴AH＝AF+FH＝6+＝，∵∠HFM＝∠AFE＝90°，HM＝HM，F(xiàn)H＝BH，∴Rt△HFM≌Rt△HBM（HL），∴∠AHM＝∠BHM，∴＝＝＝，故答案為：．（3）∵四邊形ABCD是邊長為6的菱形，∠ABC＝60°，∴CD＝AD＝6，∠D＝∠ABC＝60°，由翻折得AF＝AD＝6，F(xiàn)E＝DE，∠FAE＝∠DAE，如圖4，DE＝CD＝2，則FE＝DE＝2，CE＝4，設(shè)DQ＝2n，AQ＝6﹣2n，∵＝，∴QE＝?AQ＝AQ＝（6﹣2n），作QI⊥CD于點(diǎn)I，則∠DIQ＝∠EIQ＝90°，∴∠DQI＝30°，∴DI＝DQ＝n，EI＝2﹣n，∴IQ2＝DQ2﹣DI2＝（2n）2﹣n2＝3n2，∵IQ2+EI2＝QE2，∴3n2+（2﹣n）2＝[（6﹣2n）]2，解得n1＝，n2＝0（不符合題意，舍去），∵DQ∥CP，∴△DQE∽△CPE，∴＝＝＝，∴CP＝2DQ＝4n＝4×＝；如圖5，DE＝EF＝CD＝4，則CE＝2，設(shè)DQ＝2m，則AQ＝6+2m，∵＝，∴QE＝?AQ＝AQ＝（6+2m），作QJ⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)J，則∠J＝90°，∵∠JDQ＝∠ADC＝60°，∴∠DQJ＝30°，∴DJ＝DQ＝m，EJ＝4+m，∴QJ2＝DQ2﹣DJ2＝（2m）2﹣m2＝3m2，∵QJ2+EJ2＝QE2，∴3m2+（4+m）2＝[（6+2m）]2，解得m1＝，m2＝0（不符合題意，舍去），∵DQ∥CP，∴△DQE∽△CPE，∴＝＝＝2，∴CP＝DQ＝m＝，綜上所述，CP的長為或．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、一元二次方程的解法、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．17．（2022秋?射陽縣月考）從三角形（不是等腰三角形）的一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中，一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線．（1）如圖①，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△ABC的完美分割線；（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)；（3）如圖②，在△ABC中，AC＝3，BC＝，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．【分析】（1）根據(jù)完美分割線的定義，先證明△ABC不是等腰三角形，再證明△ACD為等腰三角形，最后證明△BCD∽△BAC；（2）根據(jù)△ACD為等腰三角形，需要分三種情況討論：①如圖3所示，當(dāng)AD＝CD時(shí)，②如圖4所示，當(dāng)AD＝AC，③如圖5所示，當(dāng)AC＝CD，然后結(jié)合美分割線的定義可得△BDC∽△BCA，可以分別求出∠ACB的度數(shù)；（3）根據(jù)題意求出AD，再根據(jù)△BCD∽△BAC，求出BD，再根據(jù)△BCD∽△BAC，求出CD．【解答】（1）證明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，∵∠A≠∠B≠∠ACB，∴△ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD為等腰三角形．∴∠DCB＝∠A＝40°，∵∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割線．（2）解：①如圖3所示，當(dāng)AD＝CD時(shí)，∠ACD＝∠A＝48°，根據(jù)完美分割線的定義，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，則∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．②如圖4所示，當(dāng)AD＝AC時(shí)，∠ACD＝∠ADC＝＝66°，根據(jù)完美分割線的定義，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝114°．③如圖5所示，當(dāng)AC＝CD時(shí)，∠ADC＝∠A＝48°．∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，根據(jù)完美分割線的定義，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴這與∠ADC＞∠BCD矛盾，所以圖5的情況不符合題意．綜上所述，∠ACB的度數(shù)為96°或114°；（3）解：∵△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，∴AC＝AD，∵AC＝3，∴AD＝3，∵CD是△ABC的完美分割線，∴△BCD∽△BAC，∴＝，∴BC2＝BA?BD，設(shè)BD＝x，則AB＝AD+BD＝2+x，∴（）2＝x（x+3），∴x＝，∵x＞0，∴x＝，∴BD＝，∵△BCD∽△BAC，∴＝，即＝，∴CD＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，考查了新定義、等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用方程思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．18．（2022秋?江陰市校級(jí)月考）（1）模型建立：如圖1，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B，求證：AC2＝AD?AB．（2）類比探究：如圖2，在菱形ABCD中，E、F分別為BC、DC上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，射線AE交DC的延長線于點(diǎn)M，射線AF交BC的延長線于點(diǎn)N，若AF＝4，CF＝2，AM＝10．求：①CM的長；②FN的長．（3）解決問題：如圖3，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，在平面內(nèi)存在點(diǎn)F，且滿足FE＝1，以AF為一邊作△FAP（頂點(diǎn)F、A、P按逆時(shí)針排列），使得AP＝2AF，且∠FAP＝120°，請直接寫出2PD+PC的最小值．【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)角相等可得△ACD∽△ABC，得，即可證明結(jié)論；（2）①連接AC，利用基本模型可得△FAC∽△FMA，得，代入計(jì)算即可；②根據(jù)兩個(gè)角相等得△NAC∽△AMC，得，代入計(jì)算得AN的長，從而解決問題；（3）連接BP，根據(jù)兩邊成比例且夾角相等可得△FAE∽△PAB，得BP＝2EF＝2，在BC上取點(diǎn)M，使BM＝1，利用基本模型得△MBP∽△PBC，則PM＝PC，將2PD+PC的最小值轉(zhuǎn)化為求DM的長，進(jìn)而解決問題．【解答】（1）證明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD?AB；（2）解：①連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠BAD，AB∥CD，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠M，∴∠FAC＝∠M，∵∠AFC＝∠MFA，∴△FAC∽△FMA，∴，∴FA2＝FC?FM，∵AF＝4，CF＝2，∴FM＝8，∴CM＝FM﹣FC＝8﹣2＝6；②由①同理得，∠DAN＝∠CAM，∵AD∥BC，∴∠DAN＝∠N，∴∠CAM＝∠N，∵∠NAC＝∠M，∴△NAC∽△AMC，∴，∴，∴，∴FN＝AN﹣AF＝；（3）解：連接BP，∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，四邊形ABCD為菱形，∴AE＝AD＝，∵∠ABC＝60°，∴∠EAB＝120°，∵∠FAP＝120°，∴∠FAP＝∠EAB，∴∠FAE＝∠PAB，∵＝2，∴△FAE∽△PAB，∴BP＝2EF＝2，在BC上取點(diǎn)M，使BM＝1，∴，∵∠MBP＝∠PBC，∴△MBP∽△PBC，∴PM＝PC，∴2PD+PC＝2（PD+PC）＝2（PD+PM），∴當(dāng)點(diǎn)D、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，PD+PM最小，即2PD+PC最小，連接DM，過點(diǎn)D作DN⊥BC，交BC的延長線于N，∵∠DCN＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝4，∴CN＝2，DN＝2，∴DM＝＝＝，∴2PD+PC最小值為2．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相似的基本模型是解題的關(guān)鍵．19．（2022?吳中區(qū)模擬）如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，連接AF，以AF為斜邊作等腰直角三角形AEF．有下列四個(gè)結(jié)論：①∠CAF＝∠DAE；②FC＝DE；③當(dāng)∠AEC＝135°時(shí)，E為△ADC的內(nèi)心；④若點(diǎn)F在BC上以一定的速度，從B往C運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)E與點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度相等．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以判斷①；根據(jù)△DEF，△ADC是等腰直角三角形，可得AC＝AD，AF＝，所以＝＝，因?yàn)椤螩AF＝∠DAE，所以△CAF∽△DAE，進(jìn)而可以判斷②；證明△ADE≌△CDE（SAS），進(jìn)而可得∠EAC＝∠ECA＝22.5°，可得CE，AE分別平分∠DCA，∠CAD，DE平分∠ADC，得點(diǎn)E是△ADC角平分線的交點(diǎn)，進(jìn)而可以判斷③；根據(jù)正方形的性質(zhì)可得當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)O重合；當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段OD，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段BC，BC＝CD＝OD，且點(diǎn)F與點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，進(jìn)而可以判斷④．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠EAF＝∠DAC＝45°，∴∠EAF﹣∠CAE＝∠DAC﹣∠CAE，∴∠CAF＝∠DAE，故①正確；∵△DEF，△ADC是等腰直角三角形，∴AC＝AD，AF＝，∴＝＝，∵∠CAF＝∠DAE，∴△CAF∽△DAE，∴＝＝，∴FC＝DE，故②正確；∵△CAF∽△DAE，∴∠ACF＝∠ADE＝45°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠AEC＝135°，∴∠EAC＝∠ECA＝22.5°，∵∠DAC＝∠DCA＝45°＝2∠EAC＝2∠ECA，∴CE，AE分別平分∠DCA，∠CAD，∵∠ADE＝∠CDE＝45°，∴DE平分∠ADC，∴點(diǎn)E是△ADC角平分線的交點(diǎn)，∴E為△ADC的內(nèi)心，故③正確；如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，∵∠ADE＝∠CDE＝45°，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)O重合；當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段OD，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段BC，∵BC＝CD＝OD，且點(diǎn)F與點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，∴vF＝vE，∴點(diǎn)F與點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度不相同，故④錯(cuò)誤．綜上所述：正確的結(jié)論是①②③，共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何綜合題，是中考選擇題的壓軸題，考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，正方形的性質(zhì)，勾股定理，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，解決本題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡．20．（2022秋?蘇州期中）如圖1，在直角△ABC中∠C＝90°，D是AC的中點(diǎn)，△ABC∽△DEC，AC＝2，BC＝4．（1）求證：DE∥AB；（2）如圖2，將△DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接AD，BE．①求的值；②若A，D，E三點(diǎn)共線，求∠DEB的度數(shù)．【分析】（1）利用相似三角形的性質(zhì)，平行線的判定證明即可；（2）①證明△ABC∽△DEC，推出＝，可得＝，再證明△ACD∽△BCE，可得結(jié)論；②分兩種情形：如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)D落在線段AE上時(shí)，設(shè)AE交BC于點(diǎn)O．如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)E落在線段AD上時(shí)，設(shè)BE交AC于點(diǎn)O．分別利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】（1）證明：如圖1中，∵△ABC∽△DEC，∴∠B＝∠DEC，∴DE∥AB；（2）①解：∵△ABC∽△DEC，∴＝，∴＝，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠ACE，∴△ACD∽△BCE，∴＝＝＝．②解：如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)D落在線段AE上時(shí)，設(shè)AE交BC于點(diǎn)O．∵△ACD∽△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠AOC＝∠BOE，∴∠BEO＝∠ACO＝90°，∴∠DEB＝90°．如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)E落在線段AD上時(shí)，設(shè)BE交AC于點(diǎn)O．∵△ACD∽△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠AOE＝∠BOC，∴∠AEO＝∠BCO＝90°，∴∠DEB＝90°．綜上所述，∠DEB＝90°．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．21．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于點(diǎn)D，DE∥AC，交BC于點(diǎn)E．①若DE＝2，BD＝3，求BC的長；②試探究﹣是否為定值．如果是，請求出這個(gè)定值；如果不是，請說明理由．（2）如圖2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2個(gè)外角，∠BCE＝2∠CBD，CD平分∠BCF，交AB的延長線于點(diǎn)D，DE∥BC，交AC的延長線于點(diǎn)E．記△ACD的面積為S1，△CDE的面積為S2，△BCD的面積為S1．若S1?（S2﹣S3）＝S22，求cos∠CBD的值．【分析】（1）①證出∠ACD＝∠DCB＝∠B，由等腰三角形的判定得出CD＝BD＝3，求出CE＝DE＝2，證明△CED∽△CDB，由相似三角形的性質(zhì)可求出BC的長；②由平行線分線段成比例定理得出＝，同①可得，CE＝DE，證出＝，則可得出答案；（2）證出＝，由題意可得出＝，設(shè)BC＝16x，則CE＝25x，證明△CDB∽△CED，由相似三角形的性質(zhì)得出＝，求出CD＝20x，過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，則BH＝BC＝8x，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可得出答案．【解答】解：（1）①∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，∴CD＝BD＝3，∵DE∥AC，∴∠ACD＝∠EDC，∴∠EDC＝∠DCB＝∠B，∴CE＝DE＝2，∴△CED∽△CDB，∴＝，∴＝，∴BC＝；②﹣是定值．∵DE∥AC，∴＝，同①可得，CE＝DE，∴＝，∴﹣＝﹣＝＝1，∴﹣是定值，定值為1；（2）∵DE∥AC，∴＝＝，∵＝，∴＝，又∵S1?S3＝S22，∴＝，設(shè)BC＝16x，則CE＝25x，∵CD平分∠BCF，∴∠ECD＝∠FCD＝∠BCF，∵∠BCF＝2∠CBG，∴∠ECD＝∠FCD＝∠CBD，∴BD＝CD，∵DE∥AC，∴∠EDC＝∠FCD，∴∠EDC＝∠CBD＝∠ECD，∴CE＝DE，∵∠DCB＝∠ECD，∴△CDB∽△CED，∴＝，∴CD2＝CB?CE＝400x2，∴CD＝20x，過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，∵BD＝CD＝20x，∴BH＝BC＝8x，∴cos∠CBD＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于相似形綜合題，考查了角平分線的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋?錫山區(qū)期中）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD⊥AB，交邊AC于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合），E是射線DC上一點(diǎn)，且∠EPD＝∠A．設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為x，△BEP的面積為y．（1）求證：AE＝2PE；（2）y關(guān)于x的函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣x2+x（0＜x＜）；（3）當(dāng)△BEP與△ABC相似時(shí)，求△BEP的面積．【分析】（1）先由已知條件判斷出△ADP∽△ABC，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出＝＝，再由∠EPD＝∠A，∠PED＝∠AEP可知△EPD∽△EAP，再根據(jù)其對應(yīng)邊成比例即可求出答案；（2）由△EPD∽△EAP，得＝＝，進(jìn)而可得出AE與DE的關(guān)系，作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，由PD∥HE可得出＝＝，進(jìn)而可得出y與x的關(guān)系式；（3）由△PEH∽△BAC，得＝，當(dāng)△BEP與△ABC相似時(shí)，只有兩種情形：∠BEP＝∠C＝90°或∠EBP＝∠C＝90°，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出答案．【解答】（1）證明：∵∠APD＝∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△ADP∽△ABC，∴＝＝，∵∠EPD＝∠A，∠PED＝∠AEP，∴△EPD∽△EAP．∴＝＝，∴AE＝2PE．（2）解：由△EPD∽△EAP，得＝＝，∴PE＝2DE，∴AE＝2PE＝4DE，作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，∵AP＝x，∴PD＝x，∵PD∥HE，∴＝＝，∴HE＝x，又∵AB＝2，y＝（2﹣x）?x，即y＝﹣x2+x，∵點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，∴AD＜4，AP＝2PD，∴AP＜，定義域是0＜x＜．故答案為：y＝﹣x2+x（0＜x＜）；（3）解：由△PEH∽△BAC，得＝，∴PE＝x?＝x，當(dāng)△BEP與△ABC相似時(shí)，只有兩種情形：∠BEP＝∠C＝90°或∠EBP＝∠C＝90°．（i）當(dāng)∠BEP＝90°時(shí)，＝，∴＝，解得x＝，∴y＝﹣x××5+×＝．（ii）當(dāng)∠EBP＝90°時(shí)，同理可得x＝，y＝．綜上所述，△BPE的面積為或．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．鞏固鞏固提升一．填空題（共4小題）1．（2022春?海門市期中）如圖，為了測量一棟樓的高度，小王在他的腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到他剛好在鏡子中看到樓的頂部．如果小王身高1.55m，他的眼睛距地面1.50m，同時(shí)量得BC＝0.3m，CE＝2m，則樓高DE為10m．【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，△ABC∽△DEC，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，∵∠ABC＝∠DEC＝90°，∠ACB＝∠DCE（反射角等于入射角），∴△ABC∽△DEC，∴＝，即＝，∴DE＝10（m）故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．應(yīng)用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運(yùn)用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可解答．2．（2022?淮安區(qū)模擬）如圖，小明在B時(shí)測得直立于地面的某樹的影長為12米，A時(shí)又測得該樹的影長為3米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為6米．【分析】根據(jù)題意，畫出示意圖，易得：Rt△EDC∽R(shí)t△FDC，進(jìn)而可得EC2＝ED?FE，代入數(shù)據(jù)可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，作△DFC，則樹高為CE，∠DCF＝90°，ED＝3米，F(xiàn)E＝12米，∵∠DCF＝90°，∠DEC＝∠FEC＝90°，∴∠D+∠F＝∠D+∠DCE，∴∠DCE＝∠F，∴Rt△DEC∽R(shí)t△CEF，∴＝，即EC2＝ED?EF，∴EC2＝3×12＝36，∴EC＝6，答：樹的高度為6米．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022?如皋市一模）如圖，利用標(biāo)桿DE測量樓高，點(diǎn)A、D、B在同一條直線上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分別為E、C．若測得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，則樓高BC為9m．【分析】根據(jù)平行線的判定得到DE∥BC，然后，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝9（m），答：樓高BC是9m．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，證得△ADE∽△ABC是解題的關(guān)鍵．4．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)開學(xué)）小明在測量樓高時(shí)，先測出樓房落在地面上的影長BA為15米（如圖），然后在A處樹立一根高2米的標(biāo)桿，測得標(biāo)桿的影長AC為3米，則樓高為10m．【分析】在同一時(shí)刻物高和影長成正比，即在同一時(shí)刻的兩個(gè)物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似．根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求解．【解答】解：∵＝即＝，∴樓高＝10米．故答案為：10m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形在測量高度時(shí)的應(yīng)用，解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．二．解答題（共10小題）5．（2022春?錫山區(qū)校級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AB＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度是2cm/s；點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿BD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度是1cm/s，MN是過點(diǎn)F的直線，分別交AB、BC于點(diǎn)M、N，且在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持MN⊥BD．連接EM、EN、EF，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜3.6），請回答下列問題：（1）求當(dāng)t為何值時(shí)，△EFD∽△ABD？（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，△EFD為等腰三角形；（3）將△EMN沿直線MN進(jìn)行翻折，形成的四邊形能否是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）當(dāng)△ABD∽△EFD時(shí)，則，代入計(jì)算即可；（2）分ED＝EF，DE＝DF，F(xiàn)E＝FD三種情形，分別畫出圖形，利用相似相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案；（3）當(dāng)EM＝EN時(shí)，過點(diǎn)E作EK⊥BC于K，利用勾股定理分別表示出EM和EN的長，從而得出方程解決問題．【解答】解：（1）由題意得：DE＝2tcm，BF＝tcm＜∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，BD＝＝＝10cm，∴DF＝BD＝BF＝（10﹣t）cm，當(dāng)△ABD∽△EFD時(shí)，則，即，解得t＝，即當(dāng)t為時(shí)，△EFD∽△ABD；（2）①當(dāng)ED＝EF時(shí)，過點(diǎn)E作EG⊥BF于G，∵ED＝EF，∴△EFD為等腰三角形，又∴EG⊥DF，∴DG＝DF＝（10﹣t）cm，∵∠EDG＝∠BDA，∠EGD＝∠BAD＝90°，∴△EGD∽△BAD，∴，即＝，∴t＝；②當(dāng)EF＝FD時(shí)，過點(diǎn)F作FH⊥AD，∵EF＝FD，∴△EFD為等腰三角形，又∴FH⊥ED，∴HD＝DE＝t（cm），∵∠ADB＝∠HDF，∠BAD＝∠FHD，∴△DHF∽△DAB，即，∴t＝＞3.6（舍去），當(dāng)DE＝DF時(shí)，即2t＝10﹣t，解得：t＝，綜上，當(dāng)t＝或時(shí)，△EFD為等腰三角形；（4）假設(shè)存在符合題意的t，則EM＝EN，過點(diǎn)E作EK⊥BC于K，則四邊形EKCD為矩形，∴ED＝CK＝2t（cm），EK＝CD＝6cm，NK＝BC﹣BN﹣CK＝8﹣t﹣2t＝（8﹣t）cm，∴EN2＝EK2+NK2＝+100，EM2＝AM2+AE2＝t2﹣52t+100，∴+100＝t2﹣52t+100，解得t1＝t2＝0，∵t≠0，不合題意，∴不存在四邊形是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，化動(dòng)為靜，熟練掌握相似三角形的基本模型是解題的關(guān)鍵．6．（2022春?宿豫區(qū)期中）在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），以AE為直角邊在直線BC上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°．（1）如圖1，若EF與CD交于點(diǎn)G，連接CF．①求證：△ABE∽△ECG；②求的值；③若正方形ABCD的邊長為1，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，則以A、D、F為頂點(diǎn)的三角形周長的最小值為1+；（2）如圖2，若AF與CD交于點(diǎn)P，連接BD分別與AE、AF交于點(diǎn)M、N，連接PM．求證：PM⊥AE．【分析】（1）①根據(jù)同角的余角相等可得∠CEG＝∠BAE，從而證明結(jié)論；②在AB上取點(diǎn)H，使AH＝CE，連接HE，利用SAS證明△HAE≌△CEF，得HE＝CF，再說明△BHE是等腰直角三角形即可；③首先說明點(diǎn)F在射線CF上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對稱點(diǎn)M，則點(diǎn)B、C、M在一條直線上，此時(shí)AF+DF的最小值即為AM的長，即可得出答案；（2）根據(jù)∠EAF＝∠MDP，得點(diǎn)A、M、P、D四點(diǎn)共圓，則∠ADM＝∠APM＝45°，即可證明結(jié)論．【解答】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEG＝90°，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CEG＝∠BAE，∴△ABE∽△ECG；②解：在AB上取點(diǎn)H，使AH＝CE，連接HE，∵AH＝CE，∠HAE＝∠CEF，AE＝EF，∴△HAE≌△CEF（SAS），∴HE＝CF，∵AB＝BC，AH＝CE，∴BH＝BE，∵∠B＝90°，∴HE＝BE，∴；③解：由△HAE≌△CEF得，∠AHE＝∠ECF＝135°，∴∠DCF＝45°，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對稱點(diǎn)M，則點(diǎn)B、C、M在一條直線上，此時(shí)AF+DF的最小值即為AM的長，在Rt△ABM中，由勾股定理得AM＝，∴以A、D、F為頂點(diǎn)的三角形周長的最小值為1+，故答案為：1+；（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BDC＝∠ADB＝45°，∵△AEF是等腰直角三角形，∴∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠MDP，∴點(diǎn)A、M、P、D四點(diǎn)共圓，∴∠ADM＝∠APM＝45°，∴∠AMP＝90°，∴PM⊥AE．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，四點(diǎn)共圓等知識(shí)，確定點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵．7．（2022?姑蘇區(qū)校級(jí)模擬）【發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知等邊△ABC，將直角三角板的60°角頂點(diǎn)D任意放在BC邊上（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），使兩邊分別交線段AB、AC于點(diǎn)E、F．（1）若AB＝8，AE＝6，BD＝2，則CF＝6；（2）求證：△EBD∽△DCF．【思考】若將圖①中的三角板的頂點(diǎn)D在BC邊上移動(dòng)，保持三角板與邊AB、AC的兩個(gè)交點(diǎn)E、F都存在，連接EF，如圖②所示，問：點(diǎn)D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【探索】如圖③，在等腰△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)O為BC邊的中點(diǎn)，將三角形透明紙板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處（其中∠MON＝∠B），使兩條邊分別交邊AB、AC于點(diǎn)E、F（點(diǎn)E、F均不與△ABC的頂點(diǎn)重合），連接EF．設(shè)∠BAC＝2α，則△AEF與△ABC的周長之比為1﹣cosα（用含α的表達(dá)式表示）．【分析】（1）利用等邊三角形的判定與性質(zhì)可知△BDE、△CDF是等邊三角形，從而得出答案；（2）根據(jù)∠CDE＝∠B+∠BED＝∠CDF+∠EDF，得∠CDF＝∠BED，可證明結(jié)論；【思考】作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，DQ⊥AC于Q，利用角平分線的性質(zhì)得DM＝DQ，再利用AAS證明△BMD≌△CQD，可得BD＝CD；【探索】作OM⊥AB于M，ON⊥EF于N，OQ⊥AC于Q，連接AO，證明△EOF∽△OCF，得∠EFO＝∠OFC，∠OEF＝∠COF，則ON＝OQ，∠OEF＝∠OEB，再證明Rt△EOM≌Rt△EON（HL），得EM＝EN，同理得，F(xiàn)N＝FQ，則△AEF的周長為AM+AQ，設(shè)AB＝m，則OB＝m×cosα，BM＝m×cos2α，從而得出答案．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠C＝60°，∵AB＝8，AE＝6，BD＝2，∴BE＝BD，∴△BDE是等邊三角形，∴∠BDE＝60°，∵∠EDF＝60°，∴∠CDF＝60°，∴△CDF是等邊三角形，∴CD＝CF＝BC﹣BD＝8﹣2＝6，故答案為：6；（2）∵∠CDE＝∠B+∠BED＝∠CDF+∠EDF，∴∠CDF＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF；【思考】存在，作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，DQ⊥AC于Q，∵ED平分∠BEF且FD平分∠CFE，∴DM＝DN，DN＝DQ，∴DM＝DQ，∵∠B＝∠C，∠BMD＝∠CQD，∴△BMD≌△CQD（AAS），∴BD＝CD，∴；【探索】作OM⊥AB于M，ON⊥EF于N，OQ⊥AC于Q，連接AO，由（2）同理得，△BOE∽△CFO，∴，∵點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，∴BO＝OC，∴，∵∠EOF＝∠C，∴△EOF∽△OCF，∴∠EFO＝∠OFC，∠OEF＝∠COF，∴ON＝OQ，∠OEF＝∠OEB，∴OM＝ON，∵OE＝OE，∴Rt△EOM≌Rt△EON（HL），∴EM＝EN，同理得，F(xiàn)N＝FQ，∴△AEF的周長為AM+AQ，同理得，AM＝AQ，設(shè)AB＝m，則OB＝m×cosα，BM＝m×cos2α，∴△AEF與△ABC的周長之比為．故答案為：1﹣cosα．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的基本模型﹣﹣一線三等角是解題的關(guān)鍵．8．（2022?儀征市二模）如圖1，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，過點(diǎn)D分別作線段AC，AB的垂線，E垂足為點(diǎn)E、F．如果＝sin∠CAB，那么我們把AD叫做△ABC關(guān)于∠CAB的正DF平分線．（1）如圖2，AB＝AC，∠CAB＝45°，BD＝CD，試說明AD為△ABC關(guān)于∠CAB的正平分線；（2）如圖3，若AD為△ABC關(guān)于∠CAB的正平分線，過點(diǎn)D作DF⊥AB，DM//AB，MN⊥AB．①試說明：四邊形MNFD為正方形；②若AB＝120，邊AB上的高為80，tanB＝，求∠CAB的正平分線AD的長．【分析】（1）證明△CDE∽△BDF，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（2）①證明四邊形DFNM是矩形，證出sin∠CAB＝sin∠CMD，則，證出DF＝DM，由正方形的判定可得出結(jié)論；②過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，交MD于點(diǎn)G，設(shè)DF＝4x，則FB＝3x，DM＝4x，證明△CMD∽△CAB，由相似三角形的性質(zhì)得出，求了DF＝48，由勾股定理可求出答案．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠CED＝∠BFD＝90°，∴△CDE∽△BDF，∴，∵∠CAB＝45°，∴＝sin∠CAB，∴AD為△ABC關(guān)于∠CAB的正平分線；（2）①證明：∵DF⊥AB，DM∥AB，MN⊥AB，∴DM⊥MN，∴∠DMN＝∠MNF＝∠DFN＝90°，∴四邊形DFNM是矩形，∵DM∥AB，∴∠CMD＝∠CAB，∴sin∠CAB＝sin∠CMD，∴，∴DF＝DM，∴四邊形MNFD為正方形；②解：過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，交MD于點(diǎn)G，∵tanB＝，設(shè)DF＝4x，∴FB＝3x，DM＝4x，∵DM∥AB，∴△CMD∽△CAB，∴，∴CG＝x，∴，解得x＝12，∴DF＝48，AF＝AB﹣FB＝84，∴AD＝＝＝12．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，考查了正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022?泰興市一模）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，E是AB上的一點(diǎn)，BE＝5，點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿AD折疊△ACD，點(diǎn)C與C'重合，連接BC'．（1）求證：△AEC'∽△AC'B；（2）若點(diǎn)F是BC上的一點(diǎn)，且BF＝，①若△BC'F與△BC'E的面積比是，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖（2）中作出折疊后的△AC'D（保留作圖痕跡，不寫作法）；②求BC'+FC'的最小值．【分析】（1）由線段的數(shù)量關(guān)系可得，可得結(jié)論；（2）①由題意可得點(diǎn)C'是∠ABC的角平分線與⊙A的交點(diǎn)，作∠CAC'的角平分線交BC于點(diǎn)D，則△AC'D為所求圖形；②由相似三角形的性質(zhì)可得BC'+FC'＝（EC'+FC'），則當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)C'，點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)，EC'+FC'有最小值，即BC'+FC'有最小值，由相似三角形的性質(zhì)和勾股定理可求EF的長，即可求解．【解答】（1）證明：∵BE＝5，AB＝9，∴AE＝4，∵沿AD折疊△ACD，點(diǎn)C與C'重合，∴AC＝AC'＝6，∵＝，，∴，又∵∠BAC'＝∠EAC'，∴△AEC'∽△AC'B；（2）解：①設(shè)點(diǎn)C'到BE的距離為x，點(diǎn)C'到BF的距離為y，∵△BC'F與△BC'E的面積比是，∴＝，∴x＝y(tǒng)，∴點(diǎn)C'在∠ABC的角平分線上，∵沿AD折疊△ACD，∴AC＝AC'，∴點(diǎn)C'在以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑的圓上，∴則點(diǎn)C'是∠ABC的角平分線與⊙A的交點(diǎn)，如圖所示：作∠CAC'的角平分線交BC于點(diǎn)D，則△AC'D為所求圖形；②∵△AEC'∽△AC'B，∴＝，∴BC'＝EC'，∴BC'+FC'＝（EC'+FC'），∴當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)C'，點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)，EC'+FC'有最小值，即BC'+FC'有最小值，如圖4，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，∵∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，∴BC＝＝＝3，∵∠ACB＝∠EHB＝90°，∠ABC＝∠EBH，∴△ABC∽△EBH，∴，∴＝，∴EH＝，BH＝，∴HF＝，∴EF＝＝，∴BC'+FC'的最小值＝×＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似三角形的判定和性質(zhì)，考查了折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．10．（2022?武進(jìn)區(qū)一模）閱讀理解：我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性，容易變形．如圖1，一個(gè)矩形發(fā)生變形后成為一個(gè)平行四邊形，設(shè)這個(gè)平行四邊形相鄰兩個(gè)內(nèi)角中較小的一個(gè)內(nèi)角為α，我們把的值叫做這個(gè)平行四邊形的變形度．（1）若矩形發(fā)生變形后的平行四邊形有一個(gè)內(nèi)角是120°，則這個(gè)平行四邊形的變形度是；（2）若矩形的面積為S1，其變形后的平行四邊形面積為S2，試猜想S1，S2，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖2，在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點(diǎn)，且AB2＝AE?AD，這個(gè)矩形發(fā)生變形后為?A1B1C1D1，E1為E的對應(yīng)點(diǎn)，連接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面積為（m＞0），?A1B1C1D1的面積為（m＞0），求∠A1E1B1+∠A1D1B1的大?。痉治觥浚?）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到α＝60°，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；（2）如圖1，設(shè)矩形的長和寬分別為a，b，變形后的平行四邊形的高為h，根據(jù)平行四邊形和矩形的面積公式即可得到結(jié)論；（3）由已知條件得到△B1A1E1∽△D1A1B1，由相似三角形的性質(zhì)得到∠A1B1E1＝∠A1D1B1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A1E1B1＝∠C1B1E1，求得∠A1E1B1+∠A1D1B1＝∠C1E1B1+∠A1B1E1＝∠A1B1C1，證得∠A1B1C1＝45°，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵平行四邊形有一個(gè)內(nèi)角是120°，∴α＝60°，∴＝；故答案為：；（2），理由：如圖1，設(shè)矩形的長和寬分別為a，b，變形后的平行四邊形的高為h，∴S1＝ab，S2＝ah，sinα＝，∴，∵，∴；（3）如圖2，∵AB2＝AE?AD，∴A1B12＝A1E1?A1D1，即，∵∠B1A1E1＝∠D1A1B1，∴△B1A1E1∽△D1A1B1，∴∠A1B1E1＝∠A1D1B1，∵A1D1∥B1C1，∴∠A1E1B1＝∠C1B1E1，∴∠A1E1B1+∠A1D1B1＝∠C1B1E1+∠A1B1E1＝∠A1B1C1，由（2）知，；可知＝＝，∴sin∠A1B1C1＝，∴∠A1B1C1＝45°，∴∠A1E1B1+∠A1D1B1＝45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似綜合題，需要掌握平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確的理解“變形度”的定義是解題的關(guān)鍵．11．（2022春?崇川區(qū)校級(jí)月考）矩形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，E為射線AD上一點(diǎn)，且AE＝CE，作射線CE交BD所在的直線于F．（1）當(dāng)AD＞AB，①求證：△EAC∽△OBC；②若BD⊥CE，求的值；（2）若，求的值．【分析】（1）①由矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠EAC＝∠OBC＝∠ACE＝∠ACB，可得結(jié)論；②由余角的性質(zhì)可求∠DBC＝∠ACB＝∠ACE＝30°，由直角三角形的性質(zhì)可求BC＝CD，DE＝CD，可得結(jié)論；（2）分兩種情況討論，利用相似三角形的性質(zhì)可求OF，CF的長，即可求解．【解答】（1）①證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD，AD∥BC，∴∠OBC＝∠OCB，∠DAC＝∠ACB，∴∠DAC＝∠ACB＝∠OBC，∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ACE，∴∠EAC＝∠OBC，∠ACE＝∠ACB，∴△EAC∽△OBC；②解：∵BD⊥CE，∴∠DBC+∠BCE＝90°，∴∠DBC＝∠ACB＝∠ACE＝30°，∴BC＝CD，∵∠DCE＝90°﹣∠BCA﹣∠ACE＝30°，∴DE＝CD，∴AE＝AD﹣DE＝CD，∴＝；（2）解：∵，∴設(shè)DE＝3k，BC＝8k＝AD，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，∴AE＝5k＝EC，∴CD＝＝4k，∴BD＝＝＝4k，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BO＝DO＝2k，∴△EFD∽△CFB，∴＝＝，∴BF＝＝k，F(xiàn)C＝×5k＝k，∴OF＝k，∴；當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長線上時(shí)，∴AE＝11k＝EC，∴CD＝＝4k，∴BD＝＝4k，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BO＝DO＝2k，∴△EFD∽△CFB，∴＝＝，∴BF＝k，F(xiàn)C＝×11k＝k，∴OF＝k，∴＝；綜上所述：的值為或．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．12．（2022?常州一模）從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出的一條射線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“優(yōu)美分割線”．（1）如圖，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△ABC的“優(yōu)美分割線”；（2）請構(gòu)造一個(gè)三角形和它的“優(yōu)美分割線”，標(biāo)出相關(guān)角的度數(shù)；（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD為△ABC的“優(yōu)美分割線”，且△ACD是等腰三角形，求線