07第二章-高中物理競(jìng)賽和高考力學(xué)習(xí)題解答

第二章高中物理競(jìng)賽和高考力學(xué)習(xí)題解答2．1一個(gè)重量為P的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的固定斜面（傾角為α）上以初速度運(yùn)動(dòng)，的方向與斜面底邊的水平約AB平行，如圖所示，求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道．[解答]質(zhì)點(diǎn)在斜上運(yùn)動(dòng)的加速度為a=gsinα，方向與初速度方向垂直．其運(yùn)動(dòng)方程為αABv0P圖αABv0P圖2.1將t=x/v0，代入后一方程得質(zhì)點(diǎn)的軌道方程為，這是拋物線方程．2．2桌上有一質(zhì)量M=1kg的平板，板上放一質(zhì)量m=2kg的另一物體，設(shè)物體與板、板與桌面之間的滑動(dòng)摩擦因素均為μk=0.25，靜摩擦因素為μs=0.30．求：（1）今以水平力拉板，使兩者一起以a=1m·s-2的加速度運(yùn)動(dòng)，試計(jì)算物體與板、與桌面間的相NmfNmfmNMfMa（2）要將板從物體下面抽出，至少需要多大的力？[解答]（1）物體與板之間有正壓力和摩擦力的作用．板對(duì)物體的支持大小等于物體的重力：Nm=mg=19.6(N)，這也是板受物體的壓力的大小，但壓力方向相反．物體受板摩擦力做加速運(yùn)動(dòng)，摩擦力的大小為：fm=ma=2(N)，這也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反．板受桌子的支持力大小等于其重力：NM=(m+M)g=29.4(N)，這也是桌子受板的壓力的大小，但方向相反．板在桌子上滑動(dòng)，所受摩擦力的大小為：fM=μkNM=7.35(N)．這也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．（2）設(shè)物體在最大靜摩擦力作用下和板一起做加速度為a`的運(yùn)動(dòng)，物體的運(yùn)動(dòng)方程為NmfNMf`fFNmfNMf`fFa`可得a`=μsg．板的運(yùn)動(dòng)方程為F–f–μk(m+M)g=Ma`，即F=f+Ma`+μk(m+M)g=(μs+μk)(m+M)g，算得F=16.17(N)．因此要將板從物體下面抽出，至少需要16.17N的力．2．3如圖所示：已知F=4N，m1=0.3kg，m2=0.2kg，兩物體與水平面的的摩擦因素勻?yàn)?.2．求質(zhì)量為m2的物體的加速度及繩子對(duì)它的拉力．（繩子和滑輪質(zhì)量均不計(jì)）[解答]利用幾何關(guān)系得兩物體的加速度之間的關(guān)系為a2=2a1，而力的關(guān)系為T1=2T2m2m2FT1a1m1T2a2f1f2圖2.3T2-μm2g=m2aF–T1–μm1g=m1a可以解得m2的加速度為=4.78(m·s-2)，繩對(duì)它的拉力為=1.35(N)．2．4兩根彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)分別為k1和k2．求證：（1）它們串聯(lián)起來時(shí)，總倔強(qiáng)系數(shù)k與k1和k2．滿足關(guān)系關(guān)系式；k1k2F(a)k1k2k1k2F(a)k1k2F圖2.4(b)[解答]當(dāng)力F將彈簧共拉長x時(shí)，有F=kx，其中k為總倔強(qiáng)系數(shù)．兩個(gè)彈簧分別拉長x1和x2，產(chǎn)生的彈力分別為F1=k1x1，F(xiàn)2=k2x2．（1）由于彈簧串聯(lián)，所以F=F1=F2，x=x1+x2，因此，即：．（2）由于彈簧并聯(lián)，所以F=F1+F2，x=x1=x2，因此kx=k1x1+k2x2，即：k=k1+k2．2．5如圖所示，質(zhì)量為m的擺懸于架上，架固定于小車上，在下述各種情況中，求擺線的方向（即圖2.5擺線與豎直線的夾角θ）及線中的張力T．圖2.5（1）小車沿水平線作勻速運(yùn)動(dòng)；（2）小車以加速度沿水平方向運(yùn)動(dòng)；（3）小車自由地從傾斜平面上滑下，斜面與水平面成φ角；（4）用與斜面平行的加速度把小車沿斜面往上推（設(shè)b1=b）；（5）以同樣大小的加速度（b2=b），將小車從斜面上推下來．[解答]（1）小車沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺在水平方向沒有受到力TmgmaθTmgmaθ（2）（2）小車在水平方向做加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力和拉力的合力就是合外力．由于tanθ=ma/mg，所以θ=arctan(a/g)；繩子張力等于擺所受的拉力：．TmgmaφTmgmaφθ（3）合力沿斜面向下，所以θ=φ；T=mgcosφ．（4）根據(jù)題意作力的矢量圖，將豎直虛線延長，與水平輔助線相交，可得一直角三角形，θ角的對(duì)邊是mbcosφ，鄰邊是mg+mbsinφ，由此可得：TmgmbTmgmbφθφ（4）TmgTmgmbφθ（5）；而張力為．（5）與上一問相比，加速度的方向反向，只要將上一結(jié)果中的b改為-b就行了．2．6如圖所示，一半徑為R的金屬光滑圓環(huán)可繞其豎直直徑轉(zhuǎn)動(dòng)．在環(huán)上套有一珠子．今逐漸增大圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω，試求在不同轉(zhuǎn)動(dòng)速度下珠子能靜止在環(huán)上的位置．以珠子所停處的半徑與豎直mRωθrmg圖2.1mRωθrmg圖2.11[解答]珠子受到重力和環(huán)的壓力，其合力指向豎直直徑，作為珠子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，其大小為：F=mgtgθ．珠子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=Rsinθ．根據(jù)向心力公式得F=mgtgθ=mω2Rsinθ，可得，解得．2.7設(shè)某行星繞中心天體以公轉(zhuǎn)周期T沿圓軌道運(yùn)行.試用開普勒第三定律證明：一個(gè)物體由此軌道自靜止而自由下落至中心天體所需的時(shí)間為.[解答]

2.8土星質(zhì)量為，太陽質(zhì)量為，二者的平均距離是.（1）太陽對(duì)土星的引力有多大？（2）設(shè)土星沿圓軌道運(yùn)行，求它的軌道速度.[解答]（1）（2）2.9（1）一個(gè)球形物體以角速度旋轉(zhuǎn).如果僅有引力阻礙球的離心分解，此物體的最小密度是多少？由此估算巨蟹座中轉(zhuǎn)速為每秒30轉(zhuǎn)的脈沖星的最小密度.這脈沖星是我國在1054年就觀察到的超新星爆的結(jié)果.（2）如果脈沖星的質(zhì)量與太陽的質(zhì)量相當(dāng)（~或~，為地球質(zhì)量），此脈沖星的最大可能半徑是多少？（3）若脈沖星的密度與核物質(zhì)的相當(dāng)，它的半徑是多少?核密度約為.[解答]（1）以最外層任一質(zhì)元計(jì)算：（2）（3）可求。2.10某彗星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)，遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度為10km/s,近日點(diǎn)的速度為80km/s若地球在半徑為的圓周軌道繞日運(yùn)動(dòng)，速度為30km/s.求此彗星的遠(yuǎn)日點(diǎn)距離.[解答]又2.11考慮一轉(zhuǎn)動(dòng)的球形行星，赤道上各點(diǎn)的速度為V，赤道上的加速度是極點(diǎn)上的一半.求此行星極點(diǎn)處的粒子的逃逸速度.[解答]設(shè)粒子在極點(diǎn)處的逃逸速度為，由能量關(guān)系（1）根據(jù)重力的概念：其中為重力，為萬有引力，為慣性離心力在赤道：（2）在極點(diǎn)：(3)(3)式比（2）式得：即：（4）（4）式代入（1）式得：2.12.已知地球表面的重力加速度為9.8m/s2，圍繞地球的大圓周長為，月球與地球的直徑及質(zhì)量之比分別為是和.試計(jì)算從月球表面逃離月球引力場(chǎng)所必需的最小速度.[解答]設(shè)月球的逃逸速度為，無窮遠(yuǎn)處，引力勢(shì)能為零。地球大圓周長為由能量關(guān)系，月球的逃逸速度滿足：（m為逃逸質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量）（1）地球表面的重力加速度滿足：（忽略地球自轉(zhuǎn)影響）（2）（2）式代入（1）式有：（3）又有：（4）（4）式代入(3)式2．13用棒打擊質(zhì)量0.3kg，速率等于20m·s-1的水平飛來的球，球飛到豎直上方10m的高度．求棒給予球的沖量多大？設(shè)球與棒的接觸時(shí)間為0.02s，求球受到的平均沖力？vxΔvvy[解答]球上升初速度為vxΔvvy其速度的增量為=24.4(m·s-1)．棒給球沖量為I=mΔv=7.3(N·s)，對(duì)球的作用力為（不計(jì)重力）：F=I/t=366.2(N)．2．14如圖所示，三個(gè)物體A、B、C，每個(gè)質(zhì)量都為M，B和C靠在一起，放在光滑水平桌面上，兩者連有一段長度為0.4m的細(xì)繩，首先放松．B的另一側(cè)則連有另一細(xì)繩跨過桌邊的定滑輪而與A相連．已知滑輪軸上的摩擦也可忽略，繩子長度一定．問A和B起動(dòng)后，經(jīng)多長時(shí)間C也開始運(yùn)動(dòng)？C開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度是多少？（取g=10m·s-2）CBA圖2.15[CBA圖2.15Mg–T=Ma，物體B在沒有拉物體C之前在拉力T作用下做加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a，可列方程：T=Ma，聯(lián)立方程可得：a=g/2=5(m·s-2)．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：s=v0t+at2/2，可得B拉C之前的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；=0.4(s)．此時(shí)B的速度大小為：v=at=2(m·s-1)．物體A跨過動(dòng)滑輪向下運(yùn)動(dòng)，如同以相同的加速度和速度向右運(yùn)動(dòng)．A和B拉動(dòng)C運(yùn)動(dòng)是一個(gè)碰撞過程，它們的動(dòng)量守恒，可得：2Mv=3Mv`，因此C開始運(yùn)動(dòng)的速度為：v`=2v/3=1.33(m·s-1)．2．15一炮彈以速率v0沿仰角θ的方向發(fā)射出去后，在軌道的最高點(diǎn)爆炸為質(zhì)量相等的兩塊，一塊沿此45°仰角上飛，一塊沿45°俯角下沖，求剛爆炸的這兩塊碎片的速率各為多少？v0θvv`v`v0θvv`v`45°v=v0cosθ，方向沿水平方向．根據(jù)動(dòng)量守恒定律，可知碎片的總動(dòng)量等于炮彈爆炸前的總動(dòng)量，可作矢量三角形，列方程得，所以v`=v/cos45°=．2．16如圖所示，一匹馬拉著雪撬沿著冰雪覆蓋的弧形路面極緩慢地勻速移動(dòng)，這圓弧路面的半徑為R．設(shè)馬對(duì)雪橇的拉力總是平行于路面．雪橇的質(zhì)量為m，它與路面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μk．當(dāng)把雪橇由底端拉上45°圓弧時(shí)，馬對(duì)雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？R45°mgNθFfR45°mgNθFfds圖2.17ds=Rdθ．重力的大小為：G=mg，方向豎直向下，與位移元的夾角為π+θ，所做的功元為，積分得重力所做的功為．摩擦力的大小為：f=μkN=μkmgcosθ，方向與弧位移的方向相反，所做的功元為，積分得摩擦力所做的功為．要使雪橇緩慢地勻速移動(dòng)，雪橇受的重力、摩擦力和馬的拉力就是平衡力，即，或者．拉力的功元為：，拉力所做的功為．由此可見，重力和摩擦力都做負(fù)功，拉力做正功．2．17如圖所示，物體A的質(zhì)量m=0.5kg，靜止于光滑斜面上．它與固定在斜面底B端的彈簧M相距s=3m．彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k=400N·m-1．斜面傾角為45°．求當(dāng)物體A由靜止下滑時(shí)，能使彈簧長度產(chǎn)生的最大壓縮量是多大？[解答]取彈簧自然伸長處為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的零勢(shì)點(diǎn)，由于物體A和彈簧組成的系統(tǒng)只有保守力做功，所以機(jī)械能守恒，當(dāng)彈簧壓縮量最大時(shí)，可得方程，整理和一元二次方程，解得=0.24(m)（取正根）．2．18一個(gè)小球與另一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生彈性碰撞．如果碰撞不是對(duì)心的，試證明：碰撞后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向彼此垂直．[證明]設(shè)一個(gè)小球碰撞前后的速度大小分別為v0和v1，另一小球的在碰撞后的速度大小為v2，根據(jù)機(jī)械能守恒得p1pp1p2θp0即；根據(jù)動(dòng)量守恒得：，其中各動(dòng)量的大小為：p0=mv0、p1=mv1和p2=mv2，對(duì)矢量式兩邊同時(shí)平方并利用得：，即：化簡得：，結(jié)合機(jī)械能守恒公式得：2v1v2cosθ=0，由于v1和v2不為零，所以：θ=π/2，即碰撞后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向彼此垂直．2．19如圖所示，質(zhì)量為1.0kg的鋼球m1系在長為0.8m的繩的一端，繩的另一端O固定．把繩拉到水平位置后，再把它由靜止釋放，球在最低點(diǎn)處與質(zhì)量為5.0kg的鋼塊m2作完全彈性碰撞，求碰撞后鋼球繼續(xù)運(yùn)動(dòng)能達(dá)到的最大高度．[解答]鋼球下落后、碰撞前的速率為：．鋼球與鋼塊碰撞之后的速率分別為v1`和v1`，根據(jù)機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒得方程l=0.8ml=0.8mm2m1O圖2.21．整理得．將上式除以下式得：v1+v1`=v2`，代入整理的下式得，解得．碰撞后鋼球繼續(xù)運(yùn)動(dòng)能達(dá)到的最大高度為=0.36(m)．[討論]如果兩個(gè)物體的初速率都不為零，發(fā)生對(duì)心彈性碰撞時(shí)，同樣可列出機(jī)械能和動(dòng)量守恒方程，．同理可得．從而解得，或者；將下標(biāo)1和2對(duì)調(diào)得，或者．后一公式很好記憶，其中代表質(zhì)心速度．2.20質(zhì)量為m=0.5kg的木塊可在水平光滑直桿上滑動(dòng)。木塊與一不可伸長的輕繩相連。繩跨過一固定的光滑小環(huán)。繩端作用著大小不變的力T=50N.木塊在A點(diǎn)時(shí)具有向右的速率。求力T將木塊自A拉至B點(diǎn)的速度。[解答]

TTABAABo做功為零由動(dòng)能定理：式中利用積分公式：則上式注：關(guān)于T做功還有一種解法:其中T為常量，其受力點(diǎn)的位移可利用三角形求。2.21質(zhì)量為1.2kg的木塊套在光滑鉛直桿上。不可伸長的輕繩跨過固定的光滑小環(huán)，孔的直徑遠(yuǎn)小于它到桿的距離。繩端作用以恒力F，F(xiàn)=60N.木塊在處有向上的速度，求木塊被拉至B時(shí)的速度。[解答]重力做功方向向上

2.22質(zhì)量為m的物體與輕彈簧相連，最初，m處于使彈簧既未壓縮也為伸長的位置，并以速度向右運(yùn)動(dòng)。彈簧的勁度系數(shù)為，物體與支撐面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為。求證物體能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離為。[解答]由：所以：解一元二次方程：由舍去負(fù)號(hào)：

2.23坐標(biāo)系與坐標(biāo)系各對(duì)應(yīng)軸平行。相對(duì)于沿x軸以作勻速直線運(yùn)動(dòng)。對(duì)于系，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理為，,沿x軸。根據(jù)伽利略變換證明：相對(duì)于系，動(dòng)能定理也取這種形式。[解答]∵∴∵∴由動(dòng)能定理得：∴最后可得：說明相對(duì)于系，動(dòng)能定理的形式不變。2.24輕且不可伸長的線懸掛質(zhì)量為500g的圓柱體。圓柱體又套在可沿水平方向移動(dòng)的框架內(nèi)，框架槽沿鉛直方向?？蚣苜|(zhì)量為200g。自懸線靜止于鉛直位置開始，框架在水平力F=20.0N作用下移至圖中位置，球圓柱體的速度，線長20cm，不計(jì)摩擦。[解答]以輕繩，圓柱體和框架組成的質(zhì)點(diǎn)組所受外力有：圓柱體重力，框架重力，輕繩拉力和作用在框架上的水平力。其中輕繩的拉力和不做功。質(zhì)點(diǎn)組所受內(nèi)力：框架槽和小球的相互作用力、，由于光滑，所以、做功之和為零。質(zhì)點(diǎn)組所力情況如圖：根據(jù)質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能定理：（1）為圓柱體的絕對(duì)速度為框架的絕對(duì)速度。由于（見下圖）將此式投影到圖中所示的沿水平方向的ox軸上，得：帶入（1）式中解得：

2.25二僅可壓縮的彈簧組成一可變勁度系數(shù)的彈簧組，彈簧1和2的勁度系數(shù)分別各為和。它們自由伸長的長度相差。坐標(biāo)原點(diǎn)置于彈簧2自由伸展處。求彈簧組在和時(shí)彈性勢(shì)能的表示式。[解答]彈性力外力為當(dāng)時(shí)，無勢(shì)能，只有有勢(shì)能。外界壓縮彈簧做功使勢(shì)能增加。設(shè)原點(diǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)，則：時(shí)：原點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)對(duì)于：外力做功對(duì)于：外力做功2.25滑雪運(yùn)動(dòng)員自A自由下滑，經(jīng)B越過寬為d的橫溝到達(dá)平臺(tái)C時(shí)，其速度剛好在水平方向，已知兩點(diǎn)的垂直高度為25m。坡道在B點(diǎn)的切線方向與水平面成300角，不計(jì)摩擦。求（1）運(yùn)動(dòng)員離開B處的速率為，（2）B,C的垂直高度差h及溝寬d，（[解答]（1）運(yùn)動(dòng)員在A到B的滑動(dòng)過程中，受到了重力和地面支持力作用。（忽略摩擦）。重力為保守力，支持力不做功，所以機(jī)械能守恒。以B點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，得到運(yùn)動(dòng)員離開B處的速率：（2）運(yùn)動(dòng)員從B到C做拋物線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)竭_(dá)C點(diǎn)時(shí)，由題意知：沿水平方向，說明正好到達(dá)拋物線的最高點(diǎn)。所以B、C的垂直高度（3）因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)員做拋物運(yùn)動(dòng)時(shí)在水平方向不受力，所以水平方向的動(dòng)量守恒：

2.26裝置如圖所示：球的質(zhì)量為5kg，桿AB長1cm，AC長0.1m，A點(diǎn)距O點(diǎn)0.5m，彈簧的勁度系數(shù)為800N/m，桿AB在水平位置時(shí)恰為彈簧自由狀態(tài)，此時(shí)釋放小球，小球由靜止開始運(yùn)動(dòng)。球小球到鉛垂位置時(shí)的速度。不及彈簧質(zhì)量及桿的質(zhì)量，不計(jì)摩擦。

[解答]包含球桿彈簧的質(zhì)點(diǎn)組受力如圖所示：不做功。重力和彈性力為保守力（不計(jì)摩擦）系統(tǒng)機(jī)械能守恒設(shè)桿水平時(shí)勢(shì)能為零

（1）∵（水平位置）（2）將（2）式代入（1）式2.27物體Q與一勁度系數(shù)為24N/m的橡皮筋連結(jié)，并在一水平圓環(huán)軌道上運(yùn)動(dòng)，物體Q在A處的速度為1.0m/s，已知圓環(huán)的半徑為0.24m，物體Q的質(zhì)量為5kg，由橡皮筋固定端至B為0.16m，恰等于橡皮筋的自由長度。求（1）物體Q的最大速度；（2）物體Q能否達(dá)到D點(diǎn)，并求出在此點(diǎn)的速度。[解答]（1）取物體Q為隔離體在豎直方向上Q所受的力的矢量和為零。而在水平方向只受到彈力和光滑圓弧的水平方向的作用力作用，為保守力，不做功。所以機(jī)械能守恒。設(shè)彈簧勢(shì)能零點(diǎn)為彈簧原點(diǎn)處：（B點(diǎn)速度最大）（2）在D點(diǎn)彈性勢(shì)能為：因?yàn)樗?.28盧瑟福在一篇文章中寫道：可以預(yù)言，當(dāng)粒子與氫原子相碰時(shí)，可使之迅速運(yùn)動(dòng)起來。按正碰撞考慮很容易證明，氫原子速度可達(dá)粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射粒子能量的64%。試證明此結(jié)論（碰撞是完全彈性的，且粒子質(zhì)量接近氫原子質(zhì)量的四倍）。[解答]設(shè)粒子的質(zhì)量為4，氫原子的質(zhì)量為；粒子的初速度為，氫原子的初速度為；正碰后，粒子的速度為，氫原子的速度為。由公式:將以上數(shù)據(jù)代入：入射粒子的能量：氫原子碰后的能量：則：

2.29m為靜止車廂的質(zhì)量，質(zhì)量為M的機(jī)車在水平軌道上自右方以速率滑行并與m碰撞掛鉤。掛鉤后前進(jìn)了距離s[解答]選取機(jī)車和車廂為質(zhì)點(diǎn)組掛鉤時(shí)為完全非彈性碰撞。因?yàn)闆_擊力大于阻力，可視為動(dòng)量守恒。撞后：由動(dòng)能定理

2.30兩球具有相同的質(zhì)量和半徑，懸掛于同一高度。靜止時(shí)，兩球恰能接觸且懸線平行。碰撞的恢復(fù)系數(shù)為e。若球A自高度釋放，求該球彈回后能達(dá)到的高度。又問若兩球發(fā)生完全彈性碰撞，會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象，試描述之。[解答]（1）A球碰前的速度，由機(jī)械能守恒：（1）A與B發(fā)生非彈性碰撞（2）又知：（3）由（1）（2）（3）式得：（4）A球上升高度：機(jī)械能守恒（2）若兩球發(fā)生完全彈性碰撞由（4）式再由（2）式即A球靜止，B球以A球碰前的速度開始運(yùn)動(dòng)。當(dāng)B球上升后（高度）又落下與A球再次發(fā)生完全彈性碰撞。，A球以速度開始向上運(yùn)動(dòng)。如此往復(fù)。

2.31質(zhì)量為2g的子彈以500m/s的速度射向質(zhì)量為1kg、用1m長的繩子懸掛著的擺。子彈穿過擺后仍然有100m/s的速度。問擺沿鉛直方向升起若干。[解答]第一階段，動(dòng)量守恒第二階段，機(jī)械能守恒

2.31一質(zhì)量為200g的框架，用一彈簧懸掛起來使彈簧伸長10cm。今有一質(zhì)量為200g的鉛塊在高30cm處從靜止開始落入框架。秋此框架向下移動(dòng)的最大距離。彈簧質(zhì)量不計(jì)?？諝庾枇Σ挥?jì)。[解答]鉛塊下落到框底速度為（1）接下來，鉛塊與框架底發(fā)生完全非彈性碰撞。由于沖擊力大于重力、彈性力，可視為動(dòng)量守恒。（2）（由于碰撞時(shí)間短，下降距離為零）以后以共同速度下降：機(jī)械能守恒設(shè)彈簧自由伸長處框架底板的位置為重力、彈性勢(shì)能零點(diǎn)。碰撞前彈簧伸長為，碰撞后質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)的最大距離為。（3）依題意（4）（2）（4）式代入（3）式：舍去負(fù)號(hào)項(xiàng)，

2.32質(zhì)量為=0.790kg和=0.800kg的物體以勁度系數(shù)為10N/m的輕彈簧相連，置于光滑水平桌面上。最初彈簧自由伸張。質(zhì)量為0.01kg的子彈以速率=100m/s沿水平方向射于內(nèi)，問彈簧最多壓縮了多少？[解答]第一階段：完全非彈性碰撞（1）第二階段：彈簧被壓縮最甚，動(dòng)量守恒。（2）（為共同速度）

再由機(jī)械能守恒：（3）有（1）（2）（3）式解出：2.33一10g的子彈沿水平方向以速率110m/s擊中并嵌入質(zhì)量為100g小鳥體內(nèi)。小鳥原來站在離地面4.9m高的樹枝上，求小鳥落地處與樹枝的水平距離。[解答]第一階段是子彈擊中小鳥，兩者發(fā)生完全非彈性碰撞水平方向動(dòng)量守恒：（為子彈、小鳥共同速度）第二階段是子彈和小鳥一起做平拋運(yùn)動(dòng)小鳥落地時(shí)間：水平距離：2.34在一鉛直面內(nèi)有一個(gè)光滑軌道，左面是一個(gè)上升的曲線，右邊是足夠長的水平直線，二者平滑連接，現(xiàn)有A、B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，B在水平軌道上靜止，A在曲線部分高h(yuǎn)處由靜止滑下，與B發(fā)生完全彈性碰撞。碰后仍可返回上升到曲線軌道某處，并再度下滑，已知A、B兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為和。求至少發(fā)生兩次碰撞的條件。[解答]分三個(gè)階段：第一階段，A第一次與B完全彈性碰撞。設(shè)，A撞前速度為，撞后速度為；B撞前速度為零，撞后速度為。由公式：得：要使質(zhì)點(diǎn)返回，必須，即第二階段，A返回上升到軌道某處，并再度下滑到平面軌道。由機(jī)械能守恒：（是再度下滑到平面軌道的速度）得第三階段，A，B再次碰撞。要求，即將上面的，代入此式即這是A，B至少發(fā)生兩次碰撞的條件。

2.35一鋼球靜止地放在鐵箱的光滑底面上，如圖示。CD長。鐵箱與地面間無摩擦。鐵箱被加速至?xí)r開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)。后來，鋼球與箱壁發(fā)生完全彈性碰撞。問碰后再經(jīng)過多長時(shí)間鋼球與BD壁相碰？[解答]選取鐵箱和鋼球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)組，以地面為參考系，坐標(biāo)系。第一階段，鋼球與AC發(fā)生完全彈性碰撞。設(shè)為鐵箱碰撞前后速度，為小球碰撞前后速度。

由完全彈性碰撞：即碰撞前后鋼球相對(duì)鐵箱的速度為。第二階段，是鋼球在箱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，直至與BD相碰。取鋼球?yàn)檠芯繉?duì)象，選取鐵箱為參照系，由于鐵箱表面光滑，所以小球在箱內(nèi)作勻速直線運(yùn)動(dòng)?？傻娩撉蚺龊笤倥c壁相碰的時(shí)間間隔為2.36兩車廂質(zhì)量均為M。左邊車廂與其地板上質(zhì)量為M的貨箱共同向右以運(yùn)動(dòng)。另一車廂以2從相反方向向左運(yùn)動(dòng)并與左車廂碰撞掛鉤，貨箱在地板上滑行的最大距離為。求：（1）貨箱與地板間的摩擦系數(shù)；（2）車廂在掛鉤后走過的距離，不計(jì)車地間摩擦。[解答]（1）第一步：兩車廂完全非彈性碰撞，

第二步：內(nèi)力作功，使體系動(dòng)能改變，由動(dòng)能定理以地面為參照系;（2）碰撞后系統(tǒng)在水平方向的動(dòng)能守恒。系統(tǒng)的動(dòng)量：系統(tǒng)總動(dòng)量為零，質(zhì)心不動(dòng)。(常量)（1）（2）（3）解（2）（3）式得：

2.37質(zhì)量為m的氘核的速率u與靜止的質(zhì)量為2m的粒子發(fā)生完全彈性碰撞，氘核以與原方向成角散射。（1）求粒子的運(yùn)動(dòng)方向，（2）用u表示粒子的末速度，（3）百分之幾的能量由氘核傳給粒子？[解答]（1）由動(dòng)量守恒：

即：由（完全彈性碰撞）在方向上有關(guān)系式：

（3）（1）（2）式代入（3）式得：由（1）式動(dòng)能比：2.38參考3.8.7題圖。桑塔娜空車質(zhì)量為，載質(zhì)量為70kg一人，向北行駛。另一質(zhì)量為的切諾基汽車向東行駛。而車相撞后連成一體，沿東偏北滑出d=16m而停止。路面摩擦系數(shù)為。該地段規(guī)定車速不得超過80km/。問那輛車違背交通規(guī)則？又問因相撞損失多少動(dòng)能？[解答]碰后的共同速度（1）（2）（3）

解得：切諾基超速。碰撞損失的動(dòng)能：2.39一質(zhì)量為m的物體，從質(zhì)量為M的圓弧形槽頂端由靜止滑下，設(shè)圓弧形槽的半徑為R，張角為π/2，如圖所示，所有摩擦都忽略，求：mMABmMABRvV圖2.22（2）在物體從A滑到B的過程中，物體對(duì)槽所做的功W；（3）物體到達(dá)B時(shí)對(duì)槽的壓力．[解答]（1）物體運(yùn)動(dòng)到槽底時(shí)，根據(jù)機(jī)械能定律守恒得，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：0=mv+MV．因此，解得，從而解得：．（2）物體對(duì)槽所做的功等于槽的動(dòng)能的增量．（3）物體在槽底相對(duì)于槽的速度為，物體受槽的支持力為N，則，因此物體對(duì)槽的壓力為．2．40在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)觀察到相距很遠(yuǎn)的一個(gè)質(zhì)子（質(zhì)量為mp）和一個(gè)氦核（質(zhì)量為4mp）沿一直線相向運(yùn)動(dòng)；速率都是v0，求兩者能達(dá)到的最近距離．[解答]當(dāng)兩個(gè)粒子相距最近時(shí)，速度相等，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得4mpv0-mpv0=(4mp+mp)v，因此v=3v0/5．質(zhì)子和氦核都帶正電，帶電量分別為e和2e，它們之間的庫侖力是保守力．根據(jù)能量守恒定律得，lθm圖lθm圖2.24所以最近距離為：．2．41證明行星在軌道上運(yùn)動(dòng)的總能量為．式中M和m分別為太陽和行星的質(zhì)量，r1和r2分別為太陽和行星軌道的近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的距離．r1r2v1v2[證明]r1r2v1v2（1）和．（2）它們所組成的系統(tǒng)不受外力矩作用，所以行星的角動(dòng)量守恒．行星在兩點(diǎn)的位矢方向與速度方向垂直，可得角動(dòng)量守恒方程mv1r1=mv2r2，即v1r1=v2r2．(3)將（1）式各項(xiàng)同乘以r12得：Er12=m(v1r1)2/2-GMmr1，(4)將（2）式各項(xiàng)同乘以r22得：Er22=m(v2r2)2/2-GMmr2，(5)將（5）式減（4）式，利用（3）式，可得：E(r22-r12)=-GMm(r2-r1)，(6)由于r1不等于r2，所以：（r2+r1)E=-GMm，故．證畢．（三）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2．42質(zhì)量為M的空心圓柱體，質(zhì)量均勻分布，其內(nèi)外半徑為R1和R2，求對(duì)通過其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．R1R2OO`HR1R2OO`H圖2.26V=π(R22–R12)h，體密度為ρ=M/V．在圓柱體中取一面積為S=2πRH，厚度為dr的薄圓殼，體積元為dV=Sdr=2πrHdr，其質(zhì)量為dm=ρdV，繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dI=r2dm=2πρHr3dr，總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為．2．43如圖所示，在質(zhì)量為M，半徑為R的勻質(zhì)圓盤上挖出半徑為r的兩個(gè)圓孔．圓孔中心在圓盤半徑的中點(diǎn)．求剩余部分對(duì)大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．OrRr圖2.29[解答]OrRr圖2.29質(zhì)量的面密度為σ=M/S．大圓繞過圓心且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IM=MR2/2．小圓的面積為s=πr2，質(zhì)量為m=σs，繞過自己圓心且垂直圓面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IC=mr2/2，根據(jù)平行軸定理，繞大圓軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Im=IC+m(R/2)2．，剩余部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為．2．44飛輪質(zhì)量m=60kg，半徑R=0.25m，繞水平中心軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為900r·min-1．現(xiàn)利用一制動(dòng)用的輕質(zhì)閘瓦，在剖桿一端加豎直方向的制動(dòng)力，可使飛輪減速．閘桿尺寸如圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦因數(shù)μ=0.4，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可按勻質(zhì)圓盤計(jì)算．（1）設(shè)F=100N，問可使飛輪在多長時(shí)間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動(dòng)？這段時(shí)間飛輪轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？（2）若要在2s內(nèi)使飛輪轉(zhuǎn)速減為一半，需加多大的制動(dòng)力F？[解答]設(shè)飛輪對(duì)閘瓦的支持力為N`，以左端為轉(zhuǎn)動(dòng)軸，在力矩平衡時(shí)有：0.5N`–1.25F=0O0.50F0.75圖2.3O0.50F0.75圖2.30閘瓦對(duì)飛輪的壓力為;N=N`=250(N)，與飛輪之間摩擦力為：f=μN(yùn)=100(N)，摩擦力產(chǎn)生的力矩為：M=fR．飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：I=mR2/2，角加速度大小為：β=-M/I=-2f/mR=-40/3(rad·s-2)負(fù)號(hào)表示其方向與角速度的方向相反．飛輪的初角速度為ω0=30π(rad·s-1)．根據(jù)公式ω=ω0+βt，當(dāng)ω=0時(shí)，t=-ω0/β=7.07(s)．再根據(jù)公式ω2=ω02+2βθ，可得飛輪轉(zhuǎn)過的角度為θ=-ω02/2β=333(rad)，轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為n=θ/2π=53r．[注意]圈數(shù)等于角度的弧度數(shù)除以2π．（2）當(dāng)t=2s，ω=ω0/2時(shí)，角加速度為β=-ω0/2t=-7.5π．力矩為M=-Iβ，摩擦力為f=M/R=-mRβ/2=(7.5)2π．閘瓦對(duì)飛輪的壓力為N=f/μ，需要的制動(dòng)力為F=N/2.5=(7.5)2π=176.7(N)．2．45一輕繩繞于r=0.2m的飛輪邊緣，以恒力F=98N拉繩，如圖（a）所示．已知飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=0.5kg·m2，軸承無摩擦．求（1）飛輪的角加速度．（2）繩子拉下5m時(shí)，飛輪的角速度和動(dòng)能．（3）將重力P=98N的物體掛在繩端，如圖（b）所示，再求上面的結(jié)果．[解答]（1）恒力的力矩為F=98NP=98NF=98NP=98Nm(a)(b)圖2.31對(duì)飛輪產(chǎn)生角加速度為β=M/I=39.2(rad·s-2)．（2）方法一：用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式．飛輪轉(zhuǎn)過的角度為θ=s/r=25(rad)，由于飛輪開始靜止，根據(jù)公式ω2=2βθ，可得角速度為=44.27(rad·s-1)；飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為Ek=Iω2/2=490(J)．方法二：用動(dòng)力學(xué)定理．拉力的功為W=Fs=490(J)，根據(jù)動(dòng)能定理，這就是飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能Ek．根據(jù)公式Ek=Iω2/2，得角速度為=44.27(rad·s-1)．(3)物體的質(zhì)量為m=P/g=10(kg)．設(shè)繩子的張力為T，則P–T=ma，Tr=Iβ．由于a=βr，可得Pr=mr2β+Iβ，解得角加速度為=21.8(rad·s-2)．繩子的張力為=54.4(N)．張力所做的功為W`=Ts=272.2(J)，這就是飛輪此時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能E`k．飛輪的角速度為=33(rad·s-1)．2．46一個(gè)輕質(zhì)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k=2.0N·m-1．它的一端固定，另一端通過一條細(xì)線繞過定滑輪和一個(gè)質(zhì)量為m1=80g的物體相連，如圖所示．定滑輪可看作均勻圓盤，它的半徑為r=0.05m，質(zhì)量為m=100g．先用手托住物體m1，使彈簧處于其自然長度，然后松手．求物體m1下降h=0.5m時(shí)的速度多大？忽略滑輪軸上的摩擦，并認(rèn)為繩在滑輪邊上不打滑．m1m1mm1m1mhr圖2.33，其中I=mr2/2，ω=v/r，可得2m1gh–kh2=m1v2+mv2/2解得=1.48(m·s-1)．2．47一個(gè)質(zhì)量為M，半徑為R并以角速度ω旋轉(zhuǎn)的飛輪（可看作勻質(zhì)圓盤），在某一瞬間突然有一片質(zhì)量為m的碎片從輪的邊緣上飛出，如圖所示．假定碎片脫離飛輪時(shí)的瞬時(shí)速度方向正好豎直向上．（1）問它能上升多高？（2）求余下部分的角速度、角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能．ωR圖2.36[解答]（1）碎片上拋的初速度為ωR圖2.36根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式v2–v02=-2gh，可得碎片上升的高度為h=v02/2g=ω2R2/2（2）余下部分的角速度仍為ω，但是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只有，所以角動(dòng)量為L=Iω=R2(M/2–m)ω．轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為．2．48兩滑冰運(yùn)動(dòng)員，在相距1.5m的兩平行線上相向而行，兩人質(zhì)量分別為mA=60kg，mB=70kg，它們速率分別為vA=7m·s-1，vB=6m·s-1，當(dāng)兩者最接近時(shí)，便函拉起手來，開始繞質(zhì)心作圓周運(yùn)動(dòng)，并保持二者的距離為1.5m．求該瞬時(shí)：vBrvvBrvAmAmBrArB（2）系統(tǒng)的角速度；（3）兩人拉手前、后的總動(dòng)能．這一過程中能量是否守恒？[解答]（1）設(shè)質(zhì)心距A的平行線為rA，距B的平行線為rB，則有rA+rB=r，根據(jù)質(zhì)心的概念可得mArA=mBrB，解方程組得，．兩運(yùn)動(dòng)員繞質(zhì)心的角動(dòng)量的方向相同，他們的總角動(dòng)量為=630(kg·m2·s-1)．（2）根據(jù)角動(dòng)量守恒定律得L=(IA+IB)ω，其中IA和IB分別是兩繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IA=mArA2和IB=mBrB2．角速度為ω=L/(IA+IB)=8.67(rad·s-1)．（3）兩人拉手前的總動(dòng)能就是平動(dòng)動(dòng)能=2730(J)；拉手后的總動(dòng)能是繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：=2730(J)，可見：這一過程能量是守恒的．[討論]（1）角動(dòng)量．根據(jù)上面的推導(dǎo)過程可得兩人繞質(zhì)心的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，角速度為可見：角速度與兩人的質(zhì)量無關(guān)，只與它們的相對(duì)速度和平行線的距離有關(guān)．（2）損失的能量．兩人的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為，因此動(dòng)能的變化量為ΔE=Ek2–Ek1簡化得，負(fù)號(hào)表示能量減少．可見：如果mAvA≠mBvB，則ΔE≠0，即能量不守恒．在本題中，由于mAvA=mBvB，所以能量是守恒的．2．49一均勻細(xì)棒長為l，質(zhì)量為m，以與棒長方向相垂直的速度v0，在光滑水平面v0ll/4Ol/4圖2.38內(nèi)平動(dòng)時(shí)，與前方一固定的光滑支點(diǎn)O發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞點(diǎn)位于離棒中心一方v0ll/4Ol/4圖2.38[解答]以O(shè)點(diǎn)為轉(zhuǎn)動(dòng)軸，棒的質(zhì)心到軸的距離為l/4，在碰撞之前，棒對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量為mv0l/4．在碰撞之后瞬間，棒繞軸的角動(dòng)量為Iω0棒繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ic=ml2/12，根據(jù)平行軸定理，棒繞O點(diǎn)為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為．根據(jù)角動(dòng)量守恒定律得mv0l/4=Iω0所以角速度為2.50現(xiàn)在用阿特伍德機(jī)測(cè)滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.用輕線且盡可能潤滑輪軸.兩端懸掛重物質(zhì)量各為，且.滑輪半徑為.自靜止始，釋放重物后并測(cè)得內(nèi)下降.滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是多少？[解答]分析受力。建立坐標(biāo)系，豎直向下為軸正方向，水平向左為軸正方向。軸垂直紙面向里。根據(jù)牛頓第二定律，轉(zhuǎn)動(dòng)定理，角量與線量關(guān)系可列標(biāo)量方程組：已知求解上列方程組：2.51斜面傾角為，位于斜面頂端的卷揚(yáng)機(jī)鼓輪半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，受到驅(qū)動(dòng)力矩M，通過繩索牽引斜面上質(zhì)量為m的物體，物體與斜面間的摩擦系數(shù)為，求重物上滑的加速度.繩與斜面平行，不計(jì)繩質(zhì)量.[解答]分析受力及坐標(biāo)如圖。軸垂直紙面向外。列標(biāo)量方程組：（1）（2）（3）（4）解得：2.52利用圖中所示裝置測(cè)一輪盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，懸線和軸的距離為r.為減小因不計(jì)軸承摩擦力矩而產(chǎn)生的誤差，先懸掛質(zhì)量較小的重物，從距地面高度處由靜止開始下落，落地時(shí)間為，然后懸掛質(zhì)量較大的重物，同樣由高度下落，所需時(shí)間為，根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定輪盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.近似認(rèn)為兩種情況下摩擦力矩相同.[解答]分析受力及坐標(biāo)如圖。軸垂直紙面向里。列方程：解得即2.53用四根質(zhì)量各為m長度各為的均質(zhì)細(xì)桿制成正方形框架，可繞其一邊的中點(diǎn)在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，支點(diǎn)O是光滑的.最初，