工程圖學(xué)基礎(chǔ)第6講-直線與平面-平面間相對位置

2.5直線與平面、平面與平面的相對位置2.5.12.5.2相交問題（重影點法）2.5.3垂直問題（特殊情況）2.5.4綜合問題分析NEXTHOME2.5.1平行問題1直線與平面平行2平面與平面平行LASTNEXTHOME1直線與平面平行

若一直線平行于平面上的一直線，則該直線與平面平行。反之，若平面上不存在與此直線平行的直線，則可斷定直線與平面不平行。PBDCALASTNEXTHOME

當(dāng)平面為某一投影面垂直面時，只要其有積聚性的投影與直線的同面投影平行，則直線一定平行于該平面。例1過已知點K，作一水平線KM平行于已知平面△ABC。m

d

mdkk

b

a

abc

cXO

分析：△ABC上的水平線有無數(shù)條，但其方向是確定的，因此過K點作平行于△ABC的水平線也是唯一的。作圖步驟先在△ABC內(nèi)任作水平線AD

再過點K作KM∥AD即km∥ad，k

m

∥a

d′，則直線KM為一水平線且平行于已知平面△ABC。LASTNEXTHOME例2過點K作一鉛垂面P(用跡線和幾何元素分別表示)，使之平行于直線AB。XOa′bab′k′kPVPXPH

過k作PH∥ab；過PX作PV⊥OX軸，則P平面為所求。

由于鉛垂面的H投影為一直線，若作鉛垂面平行于直線AB，則PH必平行于ab。LASTNEXTHOME2兩平面平行

若一平面上的兩相交直線對應(yīng)地平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩個平面平行。ACBDFEPQLASTNEXTHOME兩跡線平面平行

兩平行平面和第三個平面相交，其交線一定互相平行。因此，兩平行平面的同面跡線一定平行。VXOHPHQHPXPVQVXOPVPHPXQVQHQXLASTNEXTHOMEef

e

fsr

s

d

dc

a

acb

brPHSHXO

當(dāng)兩平面為同一投影面的垂直面時，若其在該投影面上的積聚性投影平行，則這兩平面平行。LASTNEXTHOMEf

e

d

edfc

a

acb

bm

n

mnr

rss

結(jié)論：兩平面平行XO例3試判斷兩平面是否平行。LASTNEXTHOME例4已知平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rd

dc

a

acb

bk

kXOLASTNEXTHOME2.5.2相交問題1積聚性法2輔助平面法（不要求）LASTNEXTHOME交點與交線的性質(zhì)

直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面相交有交點，交點既在直線上又在平面上，因而交點是直線與平面的共有點。兩平面的交線是直線，它是兩個平面的共有線。求線與面交點、面與面交線的實質(zhì)是求共有點、共有線的投影。PABKDBCALKEFLASTNEXTHOME直線與平面相交只有一個交點，它是直線與平面的共有點。PBKA直線與平面相交LASTNEXTHOMEMBCAFKNL兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有。平面與平面相交LASTNEXTHOME1積聚性法

當(dāng)直線或平面的投影具有積聚性時，可利用積聚性的特性直接做出交點或交線的一個投影，然后再利用在直線或平面上取點的方法求出另一投影。VHPHPACacNMkbBKLASTNEXTHOME1)投影面傾斜線與特殊位置平面相交b

ba

acc

m

mnn

k

kXOVHPHPACacNMkbBK

當(dāng)直線為一般位置，平面的某個投影具有積聚性時，交點的一個投影為直線與平面積聚性投影的交點，另一個投影可在直線的另一個投影上找到。LASTNEXTHOME直線可見性的判別b

ba

acc

m

mn

kk

n

特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能夠直接判別直線的可見性----觀察法，由水平投影可知KM段在平面前，故正面投影上k

m

為可見。XOVHPHPACacNMkbBKLASTNEXTHOME2)投影面垂直線與投影面傾斜面相交XOaa(b)b

c

d

cefdf

kk

分析：直線AB是鉛垂線，H投影有積聚性，故交點的H投影k必和a（b）重合。又因交點K是△CDE上的點，因此可用求面上取點的方法，求出K點的V面投影k′。e

可見性判別----重影點法

點Ⅰ位于AB上在前。點Ⅱ位于平面上在后；故k

1

為可見。1

（2

）21LASTNEXTHOME3)投影面傾斜面與特殊位置平面相交

求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題,由于特殊位置平面的某些投影有積聚性，交線可直接求出。b

bacfdee

a

d

f

lkl

XOVHEdXOefclaLBkKCFDAc

LASTNEXTHOMEk

平面可見性的判別VHMmnlBCackfFKNLb

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

XOLASTNEXTHOME平面可見性的判別VHMmnlBCackfFKNLb

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

XOLASTNEXTHOME直觀法即可判斷4)兩個垂直于同一投影面的平面相交XOa

c

b

d

e

f

abcdef1

(2

)

兩個平面同時垂直于某投影面，其交線為該投影面垂直線。兩正垂面△ABC與△DEF相交，交線ⅠⅡ為正垂線。a′b′c′與d′e′f′的交點1′(2′)即為交線的正面投影，由此在ac上求得2，在df上求得1，12為交線的水平投影。

平面水平投影的重疊部分，其可見性利用重影點進(jìn)行判斷。(3)43

4

12LASTNEXTHOME2.5.3垂直問題1特殊情況的垂直問題2一般情況的垂直問題（不要求）LASTNEXTHOME1特殊情況的垂直問題1)直線與投影面垂直面垂直

當(dāng)直線與投影面垂直面垂直時，直線一定與該平面所垂直的投影面平行，并且直線的投影一定與該平面有積聚性的同面投影垂直。LASTNEXTHOME2)平面與投影面垂直面垂直

左圖投影面傾斜面△ABC與正垂面△EFG垂直。在△ABC內(nèi)與正垂面△EFG垂直的直線AD一定是一條正平線，且a′d′⊥e′f′g′。右圖兩鉛垂面△ABC與EFGH垂直，其水平投影abc⊥ef(g)(h)。LASTNEXTHOME例6求點D到△ABC的距離。

求空間點到某平面的距離，可通過空間點向該平面作垂線，再求出所作垂線與該平面的交點(即垂足)，最后用直角三角法求出距離的實長。f

e

fem

mn

n所求距離作圖步驟

(1)在△ABC平面上先作正平線CE和水平線AF。(2)過點D作△ABC的垂線DI。(3)過DI作鉛垂面(輔助平面)，用PH表示，求出DI與△ABC的交點K(K點為垂足)。(4)用直角三角形法求出距離DK的實長。i

iPHkc

a

b

bd

XaOcdk

LASTNEXTHOME例7過點D作平面垂直于直線AB。

作圖步驟

(1)過D點作水平線CD垂直于直線AB。(2)過D點作正平線ED垂直于直線AB。由兩相交直線ED、CD所確定的平面垂直于直線AB。

直線垂直于平面，直線的水平投影必垂直于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于該平面的正平線的正面投影。LASTNEXTHOMEg

he

ded

h

kk

c

a

b

abcgXO例8過直線KG作平面與已知平面△ABC垂直。LASTNEXTHOMEg

h

a

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kk

b

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fd

d結(jié)論：兩平面不垂直。XO例9

試判斷

ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面是否垂直。LASTNEXTHOME本章小結(jié)1.平行問題（1）熟悉直線、平面平行，平面與平面平行的幾何條件；

（2）熟練掌握直線、平面平行，平面與平面平行