廣東省東莞中學(xué)、惠州一中、深圳實驗、珠海一中、中山紀(jì)念中學(xué)五校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

東莞中學(xué)、惠州一中、深圳實驗、珠海一中、中山紀(jì)念中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期五校聯(lián)考試題數(shù)學(xué)本卷滿分150分，時間120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.并用2B鉛筆將對應(yīng)的信息點涂黑，不按要求填涂的，答卷無效.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑字字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，只需將答題卡交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)函數(shù)，則()A. B. C. D.2.展開式中的系數(shù)為()A B. C. D.3.一種衛(wèi)星接收天線(如圖1)，其曲面與軸截面的交線可視為拋物線的一部分(如圖2)，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑米，深度米，信號處理中心位于焦點處，以頂點為坐標(biāo)原點，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則該拋物線的方程為()A. B. C. D.4.各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項和是，若，則的值為()A. B. C. D.5.一個盒子里裝有大小，材質(zhì)均相同的黑球10個，紅球12個，白球3個，從中任取3個，其中白球的個數(shù)記為，則等于的是()A. B. C. D.6.將詩集《詩經(jīng)》、《唐詩三百首》，戲劇《牡丹亭》，四大名著《紅樓夢》、《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》7本書放在一排，下面結(jié)論成立的是()A.戲劇放在中間的不同放法有種 B.詩集相鄰的不同放法有種C.四大名著互不相鄰不同放法有種 D.四大名著不放在兩端的不同放法有種7.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意都有，，則不等式的解集為()A. B. C. D.8.雙曲線的兩個焦點為，，以的實軸為直徑的圓記為，過作圓的切線與的兩支分別交于，兩點(點、在點的兩側(cè))，且，則的離心率為()A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.9.已知，則下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.10.已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.在上的投影向量的長度為11.有臺車床加工同一型號零件，第臺加工的次品率為，第，臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起．已知第，，臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，，則()A.任取一個零件是第臺生產(chǎn)出來的次品的概率為B.任取一個零件是次品的概率為C.如果取到的零件是次品，且是第臺車床加工的概率為D.如果取到的零件是次品，且是第臺車床加工的概率為12.設(shè)函數(shù)和，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列結(jié)論正確的為()A.的圖象與軸相切B.存在實數(shù)，使得的圖象與軸相切C.若，則方程有唯一實數(shù)解D.若有兩個零點，則的取值范圍為三、填空題：本大題共4小題.每小題5分.13.在等比數(shù)列中，，，則________.14.某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同學(xué)參加，，三個企業(yè)的調(diào)研工作，每個企業(yè)去2人，且甲去企業(yè)，則不同的派遣方案共有________.15.已知，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________.16.若對任意的、，且當(dāng)時，都有，則的最小值是________.四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知對于任意，函數(shù)在點處切線斜率為，是公比大于0的等比數(shù)列，，.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項和.18.已知函數(shù).(1)若，求的極值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍.19.如圖，在三棱柱中，平面，，，為線段上一點.(1)求證：；(2)若直線與平面所成角為，求點到平面距離.20.第25屆冬季奧林匹克運動會將于2026年舉辦.某國運動隊擬派出甲、乙、丙三人參加自由式滑雪比賽，比賽分為初賽和決賽，其中初賽有兩輪，只有兩輪都獲勝才能進(jìn)入決賽.已知甲在每輪比賽中獲勝的概率均為；乙在第一輪和第二輪比賽中獲勝的概率分別為和；丙在第一輪和第二輪比賽中獲勝的概率分別為和，其中.(1)求甲、乙、丙三人中，誰進(jìn)入決賽的可能性大？(2)若甲、乙、丙三人都進(jìn)入決賽概率為，求三人中進(jìn)入決賽的人數(shù)的分布列和期望.21.如圖，已知橢圓，其左?右焦點分別為，過右焦點且垂直于軸的直線交橢圓于第一象限的點，且.(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率為的動直線交橢圓于兩點，在軸上是否存在定點，使以為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.22.已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)記函數(shù)的圖象為曲線，設(shè)點、是曲線上兩個不同點，如果曲線上存在，使得：①；②曲線在點處的切線平行于直線，則稱函數(shù)存在“中值相依切線”.試問：函數(shù)是否存在中值相依切線，說明理由.

東莞中學(xué)、惠州一中、深圳實驗、珠海一中、中山紀(jì)念中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期五校聯(lián)考試題數(shù)學(xué)本卷滿分150分，時間120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.并用2B鉛筆將對應(yīng)的信息點涂黑，不按要求填涂的，答卷無效.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑字字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，只需將答題卡交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)函數(shù)，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得所求極限的值.【詳解】因為，則，因此，.故選：A.2.展開式中的系數(shù)為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】寫出展開式通項，令的指數(shù)為，分別求出求出、參數(shù)的值，代入通項后即可得解.【詳解】的展開式通項為，因為，在中，令，在，令，可得，因此，展開式中的系數(shù)為.故選：D.3.一種衛(wèi)星接收天線(如圖1)，其曲面與軸截面的交線可視為拋物線的一部分(如圖2)，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑米，深度米，信號處理中心位于焦點處，以頂點為坐標(biāo)原點，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則該拋物線的方程為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合圖形知拋物線經(jīng)過，設(shè)出拋物線方程，求出即可.【詳解】由題意，結(jié)合圖形可知，，由于該拋物線開口向右，可設(shè)，即，解得，于是.故選：B4.各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項和是，若，則的值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題干條件中下標(biāo)的特點，結(jié)合等差中項進(jìn)行化簡先算出，然后利用求和公式求解.【詳解】根據(jù)等差中項，，于是，即，而等差數(shù)列每一項均是正數(shù)，則解得，.故選：B5.一個盒子里裝有大小，材質(zhì)均相同的黑球10個，紅球12個，白球3個，從中任取3個，其中白球的個數(shù)記為，則等于的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件分析概率值、對應(yīng)的事件，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，取出3個球中沒有白球的概率為，取出的3個球中有一個白球的概率，所以目標(biāo)式表示.故選：C6.將詩集《詩經(jīng)》、《唐詩三百首》，戲劇《牡丹亭》，四大名著《紅樓夢》、《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》7本書放在一排，下面結(jié)論成立的是()A.戲劇放在中間的不同放法有種 B.詩集相鄰的不同放法有種C.四大名著互不相鄰的不同放法有種 D.四大名著不放在兩端的不同放法有種【答案】D【解析】【分析】A選項，戲劇先排，其余書本全排列即可；B選項，利用捆綁法進(jìn)行處理；C選項，利用插空法處理；D選項，先排四大名著，然后再排剩下書本.【詳解】A選項，戲劇只有一本，放中間，有種放法，其余本書全排列，有種，一共有種放法，A選項錯誤；B選項，將詩集看作一個整體，內(nèi)部排序有種，和剩下的本書共同形成本書，全排列有放法，故一共有種放法，B選項錯誤；C選項，先排列除了四大名著的本書，全排列有種，這本書之間會形成個空，把四大名著插進(jìn)這個空，有，故有種，C選項錯誤；D選項，四大名著不能排在兩端，于是只能排在中間的個位子，有種放法，剩下的本書在剩下的個位置全排列，有種，即，D選項正確.故選：D7.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意都有，，則不等式的解集為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)法判斷其單調(diào)性，再利用其單調(diào)性解不等式.【詳解】解：令，則，所以在R上遞增，又，則不等式等價于，所以，故選：A8.雙曲線的兩個焦點為，，以的實軸為直徑的圓記為，過作圓的切線與的兩支分別交于，兩點(點、在點的兩側(cè))，且，則的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過作，利用特殊三角形，三角形的中位線求出雙曲線焦點三角形的邊長，然后根據(jù)雙曲線的定義進(jìn)行求解.【詳解】如圖，設(shè)圓和相切于，圓的直徑為雙曲線的實軸，即，過作，垂足為，又，則//，又為的中點，則為中位線，則，又，則為等腰直角三角形，即.由，，則，于是，故，根據(jù)雙曲線的定義，，則，故，.故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.9.已知，則下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由通項公式可判斷B，由特值法可判斷ACD【詳解】令得，，故A正確；因為的通項為，所以，故B正確；令，則，又，所以，故C錯誤；令，則，故D正確；故選：ABD10.已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.在上的投影向量的長度為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算，驗證向量的平行垂直，向量的模，向量的投影向量的長度即可解決.【詳解】對于A，由題得，而，故A不正確；對于B，因為，所以，故B正確；對于C，因為，故C不正確；對于D，因為在上的投影向量的長度為，故D正確；故選：BD.11.有臺車床加工同一型號的零件，第臺加工的次品率為，第，臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起．已知第，，臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，，則()A.任取一個零件是第臺生產(chǎn)出來的次品的概率為B.任取一個零件是次品的概率為C.如果取到的零件是次品，且是第臺車床加工的概率為D.如果取到的零件是次品，且是第臺車床加工的概率為【答案】ABD【解析】【分析】運用條件概率公式對每個選項逐一分析即可.【詳解】記為事件“零件為第臺車床加工”，記為事件“任取一個零件為次品”，則，，，對于A，即，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：ABD12.設(shè)函數(shù)和，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列結(jié)論正確的為()A.的圖象與軸相切B.存在實數(shù)，使得的圖象與軸相切C.若，則方程有唯一實數(shù)解D.若有兩個零點，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別判斷函數(shù)，與x軸的相切情況；時，求得的單調(diào)區(qū)間及最值，判斷方程是否有唯一實數(shù)解；對分類討論，求得有兩個零點時應(yīng)滿足的條件，從而判斷選項正誤.【詳解】，若的圖象與軸相切，則，又，則切點坐標(biāo)為，滿足條件，故A正確；，，當(dāng)時，易知恒成立，不存在為0的解，故不存在實數(shù)，使得的圖象與軸相切，B錯誤；由上所述，在上單減，上單增，則；若，，，在上單增，上單減，，故方程有唯一實數(shù)解，故C正確；，，當(dāng)時，恒成立，單增，不存在2個零點，故舍去；當(dāng)時，在上單增，在上單減，且時，，時，，故若有兩個零點，則應(yīng)使最大值，即，令，易知單調(diào)遞減，且，因此的解集為，D正確；故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，把方程的根的問題，零點問題轉(zhuǎn)化為圖像交點問題，利用導(dǎo)數(shù)求得最值，從而得證.三、填空題：本大題共4小題.每小題5分.13.在等比數(shù)列中，，，則________.【答案】【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件求出的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，，因此，.故答案為：.14.某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同學(xué)參加，，三個企業(yè)的調(diào)研工作，每個企業(yè)去2人，且甲去企業(yè)，則不同的派遣方案共有________.【答案】【解析】【分析】先選一個人和甲作伴，然后剩下的個人平均分組進(jìn)行處理.【詳解】由題意，先在除了甲的剩下的人選一個和甲作伴，一起去企業(yè)，有種方法，剩下的人，平均分成兩組，有種方法，將這些分組分配到兩個企業(yè)，有種，于是一共有種.故答案為：15.已知，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】恒成立問題，可以用參變分離求最值的方法，即可得答案.【詳解】因為，所以，令，若不等式恒成立，只需.因為，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：16.若對任意的、，且當(dāng)時，都有，則的最小值是________.【答案】【解析】【分析】由已知不等式變形得出，令，可知函數(shù)在上為增函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的增區(qū)間，即可得出實數(shù)的取值范圍，即可得解.【詳解】由題意可知，、均為正數(shù)，則，所以，，因為，由可得，所以，，令，，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由，可得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以，，則，即實數(shù)的最小值為.故答案為：.四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知對于任意，函數(shù)在點處切線斜率為，是公比大于0的等比數(shù)列，，.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項和.【答案】(1)；；(2).【解析】【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得；設(shè)等比數(shù)列的公比為，由求得，從而可求得；(2)求得，再結(jié)合分組求和法、裂項相消法即可求解.【小問1詳解】因為，所以，所以；設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，化簡整理，得，解得(舍去)或，.小問2詳解】，所以.18.已知函數(shù).(1)若，求的極值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求解極值即可；(2)在上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為在上恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)求解最值即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，；【小問2詳解】因為，所以，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，又，因為，所以，所以，所以，所以，故的取值范圍是.19.如圖，在三棱柱中，平面，，，為線段上一點.(1)求證：；(2)若直線與平面所成角為，求點到平面的距離.【答案】(1)證明過程見解析；(2).【解析】【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式進(jìn)行證明即可；(2)利用空間向量夾角公式，結(jié)合空間點到面距離公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因為平面，平面，所以，而，因此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，，因為，所以，即，【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，，所以有，因為直線與平面所成角為，所以，解得，即，因為，所以點到平面的距離為：.【點睛】20.第25屆冬季奧林匹克運動會將于2026年舉辦.某國運動隊擬派出甲、乙、丙三人參加自由式滑雪比賽，比賽分為初賽和決賽，其中初賽有兩輪，只有兩輪都獲勝才能進(jìn)入決賽.已知甲在每輪比賽中獲勝的概率均為；乙在第一輪和第二輪比賽中獲勝的概率分別為和；丙在第一輪和第二輪比賽中獲勝的概率分別為和，其中.(1)求甲、乙、丙三人中，誰進(jìn)入決賽的可能性大？(2)若甲、乙、丙三人都進(jìn)入決賽的概率為，求三人中進(jìn)入決賽的人數(shù)的分布列和期望.【答案】(1)甲；(2)分布列見解析，.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意求出甲、乙、丙三人初賽的兩輪中均獲勝的概率并比較大小即可；(2)根據(jù)題意先求出與所有的可能取值，然后分別求出每一個值對應(yīng)的概率，列出分布列并計算出期望即可求解.【小問1詳解】甲在初賽的兩輪中均獲勝的概率為，乙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為，丙在初賽兩輪中均獲勝的概率為.因為，所以，所以，即甲進(jìn)入決賽的可能性最大.【小問2詳解】設(shè)甲、乙、丙都進(jìn)入決賽的概率為，則，且，解得.所以丙在初賽的第一輪和第二輪獲勝的概率分別為和，兩輪中均獲勝的概率為.進(jìn)入決賽的人數(shù)的可能取值為0，1，2，3，則，，，.所以的分布列為0123所以.21.如圖，已知橢圓，其左?右焦點分別為，過右焦點且垂直于軸的直線交橢圓于第一象限的點，且.(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率為的動直線