人教版高中數(shù)學(xué)選修一3.3.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)（一）-B提高練（解析版）

3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（1）-B提高練一、選擇題1．（2020·江蘇省江浦高級中學(xué)月考）過點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．或 B．C．或 D．【答案】C【解析】設(shè)焦點在軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點代入可得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是；設(shè)焦點在軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點代入可得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．綜上可知，過點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是或．故選：C.2．（2020·江蘇省響水中學(xué)高二期中）已知拋物線上一點到其準(zhǔn)線及對稱軸的距離分別為3和，則（）A．2 B．2或4 C．1或2 D．1【答案】B【解析】因為拋物線上一點到其準(zhǔn)線及對稱軸的距離分別為3和，所以，即，代入拋物線方程可得，整理得，解得或.故選：B.3.（2020·廣西南寧二中高二月考）已知是拋物線上的一點，是拋物線的焦點，為坐標(biāo)原點，若，，則拋物線的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】過向軸作垂線，設(shè)垂足為，∵，，∴，，，將點的坐標(biāo)代入，得，故的方程為.4．（2020·河南洛陽高二月考）已知點為拋物線：上一點，且點到軸的距離比它到焦點的距離小3，則（）A．3 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】由題得，拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可知，點到焦點的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，所以點到軸的距離比它到準(zhǔn)線的距離小3，于是得，所以．5．（多選題）（2020·全國高二課時練）點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為2，則a的值可以為（）A． B． C． D．【答案】AB【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，因為點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為2，所以，解得或，故選AB．6.（多選題）（2020·重慶八中高二期中）設(shè)是拋物線上兩點，是坐標(biāo)原點，若，下列結(jié)論正確的為（）A．為定值 B．直線過拋物線的焦點C．最小值為16 D．到直線的距離最大值為4【答案】ACD【解析】對于A，因為，所以，所以，故A正確；對于B，設(shè)直線，代入可得，所以，即，所以直線過點，而拋物線的焦點為，故B錯誤；對于C，因為，當(dāng)時，等號成立，又直線過點，所以，故C正確；對于D，因為直線過點，所以到直線的距離最大值為4，故D正確.故選：ACD.二、填空題7．（2020·重慶市廣益中學(xué)校高二期末）已知拋物線的焦點為，拋物線上一點滿足，則拋物線的方程為__________.【答案】【解析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作直線于點，交軸于由拋物線的定義可得：，結(jié)合可知：，即，據(jù)此可知拋物線的方程為：.8.若拋物線y2=2x上有兩點A,B,且AB垂直于x軸,若|AB|=22,則點A到拋物線的準(zhǔn)線的距離為_________.【答案】3【解析】由拋物線y2=2x,其準(zhǔn)線方程為x=-12,∵AB垂直于x軸,|AB|=22,A到y(tǒng)軸的距離為2,假設(shè)A在y軸上側(cè),即y=2,代入拋物線y2=2x,求得x=1,點A到拋物線的準(zhǔn)線的距離d=1+129．（2020·青海高二期末）已知點(x,y)在拋物線y2=4x上,則z=x2+12y2+3的最小值是【答案】3【解析】因為點(x,y)在拋物線y2=4x上,所以x≥0,因為z=x2+12y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以當(dāng)x=0時,z最小,其值為310.拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F,其準(zhǔn)線與雙曲線x23-y23=1相交于A,B兩點,若【答案】6【解析】拋物線的焦點坐標(biāo)F0,p2,準(zhǔn)線方程為y=-p2.將y=-p2代入x23-y23=1得|x|=3+p24三、解答題11.（2020·全國高二課時練）設(shè)P是拋物線上的一個動點，F(xiàn)為拋物線的焦點.（1）若點P到直線的距離為，求的最小值；（2）若，求的最小值.【解析】（1）依題意，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為.由已知及拋物線的定義，可知，于是問題轉(zhuǎn)化為求的最小值.由平面幾何知識知，當(dāng)F，P，A三點共線時，取得最小值，最小值為，即的最小值為.（2）把點B的橫坐標(biāo)代入中，得，因為，所以點B在拋物線的內(nèi)部.過B作垂直準(zhǔn)線于點Q，交拋物線于點（如圖所示）.由拋物線的定義，可知，則，所以的最小值為4.12.（2020·重慶八中高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，平面上的動點到點的距離與它到直線的距離相等.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點的直線與點的軌跡交于兩個不同點、.若點，且，求直線的方程.【解析】（1）依據(jù)題意動點到的距離等于到直線的距離，由拋物線定義知點的軌跡是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的