隨機事件的獨立性（課件）高二數(shù)學（2020）（完整版）

獨立事件的定義0102CONTANTS目錄獨立事件與互斥事件在概率中的計算獨立事件的定義01我們知道，積事件AB就是事件A與事件B同時發(fā)生.因此，積事件AB發(fā)生的概率一定與事件A，B發(fā)生的概率有關.那么，這種關系會是怎樣的呢？下面我們來討論一類與積事件有關的特殊問題.（一）兩個隨機試驗各定義了一對隨機事件A和B：試驗1：分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上"，B="第二枚硬幣反面朝上”.試驗2：—個袋子中裝有標號分別是1，2，3，4的4個球，除標號外沒有其它差異.采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.A=“第一次摸到球的標號小于3”，B=“第二次摸到球的標號小于3”.問題1：事件A發(fā)生與否會影響事件B發(fā)生的概率嗎？問題2：分別計算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

試驗1：分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上"，B="第二枚硬幣反面朝上”.解：用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，則樣本空間為Ω={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4個等可能的樣本點，A={(1，1)，(1，0)}，B={(1，0)，(0，0)}，所以AB={(1，0)}．由古典概型概率計算公式得，

于是P(AB)=P(A)P(B).積事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)與P(B)的乘積.問題1：事件A發(fā)生與否會影響事件B發(fā)生的概率嗎？因為兩枚硬幣分別拋擲，第一枚硬幣的拋擲結果與第二枚硬幣的拋擲結果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率.

問題2：計算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么發(fā)現(xiàn)？試驗2：—個袋子中裝有標號分別是1，2，3，4的4個球，除標號外沒有其它差異.采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.A=“第一次摸到球的標號小于3”，B=“第二次摸到球的標號小于3”.問題1：事件A發(fā)生與否會影響事件B發(fā)生的概率嗎？因為是有放回摸球，第一次摸球的結果與第二次摸球的結果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否也不影響事件B發(fā)生的概率.積事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)與P(B)的乘積.試驗2：—個袋子中裝有標號分別是1，2，3，4的4個球，除標號外沒有其它差異.

采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.A=“第一次摸到球的標號小于3”，B=“第二次摸到球的標號小于3”.解：樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1，2，3，4}}，包含16個等可能的樣本點，

A={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}，共8個.B={(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，共8個.所以AB={(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}．所以

問題2：計算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么發(fā)現(xiàn)？于是P(AB)=P(A)P(B)．從上述兩個試驗的共性中得到啟發(fā)，我們引入這種事件關系的一般定義：對任意兩個事件A與B,如果

P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立,簡稱為獨立.特別地，因為必然事件

總會發(fā)生，不會受任何事件是否發(fā)生的影響；同樣，不可能事件

總不會發(fā)生，也不受任何事件是否發(fā)生的影響.當然，它們也不影響其他事件是否發(fā)生.因此必然事件

、不可能事件

都與任意事件相互獨立.

（二）如果事件A與事件B相互獨立，那么它們的對立事件是否也相互獨立？

我們先看事件

是否相互獨立，即

是否成立？代入（*）式，得：由事件的獨立性定義，

相互獨立.類似地，可以證明事件

相互獨立.

（*）例1

一個袋子中有標號分別是1，2，3，4的4個球，除標號外沒有其他差異．采用不放回方式從中任意摸球兩次．設事件A=“第一次摸出球的標號小于3”，事件B=“第二次摸出球的標號小于3”，那么事件A與事件B是否相互獨立？

解：樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1，2，3，4}，m≠n}，包含12個等可能樣本點：第二次第一次12341×（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）×（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）×（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）×

解：樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1，2，3，4}，m≠n}，包含12個等可能樣本點，A=“第一次摸出球的標號小于3”A={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}，共6個樣本點.B=“第二次摸出球的標號小于3”B={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}，共6個樣本點.所以AB={(1，2)，(2，1)}．所以

此時P(AB)≠P(A)P(B)，因此事件A與事件B不獨立．第二次第一次12341×（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）×（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）×（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）×判斷事件獨立性的常用方法：(1)定義法：利用定義來判斷，如果事件A，B同時發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件B發(fā)生的概率的積，即P(AB)=P(A)P(B)，則事件A，B為相互獨立事件．(2)直觀法：根據(jù)實際背景直接判斷兩個事件的發(fā)生是否相互影響．如分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”.事件A與B的發(fā)生互不影響.

獨立事件與互斥事件在概率中的計算02事件的相互獨立性思考：如果事件A與事件B相互獨立，那么P（AB）如何計算？事件的相互獨立性定義是：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立。因此P(AB)=P(A)P(B).知識拓展如果事件A1，A2，A3，…，An是相互獨立的，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率之積，即P(A1A2A3…An)=

P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)

.

例題講解例2、甲、乙兩名射擊運動員進行設計比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率：（1）兩人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）兩人都脫靶；（4）至少有一人中靶。方法總結求相互獨立事件同時發(fā)生概率的步驟(1)①首先確定各事件之間是相互獨立的；②確定這些事件可以同時發(fā)生；③求出每個事件的概率，再求積．(2)使用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的，而且它們同時發(fā)生．例題講解例3、甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語比賽，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為。在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響。求“星隊”在兩輪活動中猜對三個成語的概率。例題講解例題講解例題講解例4、三個元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為，，，將它們中的某兩個元件并聯(lián)后再和第三個元件串聯(lián)接入電路，如圖所示，求電路不發(fā)生故障的概率．例題講解求較為復雜事件的概率的方法(1)列出題中涉及的各事件，并且用適當?shù)姆柋硎荆?2)理清事件之間的關系(兩事件是互斥還是對立，或者是相互獨立)，列出關系式；(3)根據(jù)事件之間的關系準確選取概率公式進行計算；(4)當直接計算符合條件的事件的概率較復雜時，可先間接地計算其對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率．知識概括常用的相互獨立事件的概率

方法總結1．袋內(nèi)有3個白球和2個黑球，從中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”記為B，否則記為C，那么事件A與B，A與C的關系是(

)A．A與B，A與C均相互獨立B．A

與B相互獨立，A與C互斥C．A與B，A與C均互斥D．A與B互斥，A與C相互獨立由于摸球過程是有放回的，所以第一次摸球的結果對第二次摸球的結果沒有影響，故事件A與B，A與C均相互獨立，且A與B，A與C均有可能同時發(fā)生，說明A與B，A與C均不互斥.A2．某同學做對某套試卷中每一個選擇題的概率都為0.9，則他連續(xù)做對第1題和第2題的概率是(

)A．0.64B．0.56C．0.81D．0.99Ai表示“第i題做對”，i＝1,2，則P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81.C3．甲袋中有8個白球、4個紅球，乙袋中有6個白球、6個紅球，從每袋中任取一球，則取到相同顏色的球的概率是

．

記“甲氣象臺預報天氣準確”為事件A，“乙氣象臺預報天氣準確”為事件B(i＝1,2,3)．

本