人教A版高中數(shù)學（選擇性必修三）同步講義第16講 7.5 正態(tài)分布（教師版）

第08講7.5正態(tài)分布課程標準學習目標①通過誤差模型初步了解服從正態(tài)分布的隨機變量的特點。②并能通過具體的實例，借助頻率直方圖的幾何直觀性，了解正態(tài)分布的特征，了解正態(tài)密度函數(shù)的性質(zhì)。③了解正態(tài)分布的均值、方差及含義。④了解3δ原則，能通過具體的實例求會求指定區(qū)間的概率，以及解決簡單的正態(tài)分布問題.。通過本節(jié)課的學習，要求在了解正態(tài)分布的含義基礎上，能解決與正態(tài)分布相關的問題，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性，增減性，求特定區(qū)間的概率，相應的參數(shù)及解決簡單的正態(tài)分布的應用問題。知識點1：正態(tài)曲線（1）連續(xù)型隨機變量除了離散型隨機變量外，還有大量問題中的隨機變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個區(qū)間甚至整個實軸，但取一點的概率為0，我們稱這類隨機變量為連續(xù)型隨機變量.（2）正態(tài)的曲線的定義函數(shù)fx=1σ2π顯然對于任意x∈R，fx>0，它的圖象在x軸的上方，可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1，我們稱①函數(shù)的自變量為x,定義域為R②解析式中含有兩個常數(shù)π和e,這兩個是無理數(shù)，其中π為圓周率，e為自然對數(shù)的底數(shù)③解析式中含兩個參數(shù)μ和σ,其中μ可取任意實數(shù)，σ>0,不同的正態(tài)曲線μ和σ的取值是不同的.④解析式的前面是一個系數(shù)1σ2π，后面是一個以e為底的指數(shù)函數(shù)的形式,指數(shù)為?(x?（3）正態(tài)曲線的幾何意義由正態(tài)曲線，過點(a,0)和點(b,0)的兩條x軸的垂線，及x軸所圍成的平面圖形（圖中陰影部分）的面積，就是X落在區(qū)間[a,b]的概率的近似值.（4）正態(tài)曲線的特點①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關于直線x=μ對稱；③曲線在x=μ時達到峰值1σ④當x<μ時，曲線上升；當x>μ時，曲線下降.并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近.⑤曲線與x軸之間的面積為1；⑥μ決定曲線的位置和對稱性；當σ一定時，曲線的對稱軸位置由μ確定；如下圖所示，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移。⑦σ確定曲線的形狀；當μ一定時，曲線的形狀由σ確定。σ越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散。知識點2：正態(tài)分布（1）正態(tài)分布若隨機變量X的概率密度函數(shù)為fx=1σ2πe?(x?μ)22σ2【即學即練1】（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量X～N4,σ2，若PX>m=0.8A．0.2 B．0.7 C．0.8 D．0.9【答案】A【詳解】由題意知，正態(tài)曲線的對稱軸為x=4，m與8?m關于x=4對稱，所以PX<8?m所以PX>8?m故選：A．（2）標準正態(tài)分布若隨機變量X～N(μ,σ2),則當μ=0,σ=1時，稱隨機變量X【即學即練2】（2024上·江西上饒·高二江西省廣豐中學?？计谀┌Ⅵ紊蠈W有時坐公交車，有時騎自行車.若阿鑫坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，其密度曲線如圖所示，則以下結(jié)論錯誤的是（

）

A．Y的數(shù)據(jù)較X更集中B．若有34min可用，那么坐公交車不遲到的概率大C．若有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大D．P(X>30)+P【答案】D【詳解】觀察圖象知，X~N30,對于A，Y的密度曲線瘦高、X的密度曲線矮胖，即隨機變量Y的標準差小于X的標準差，即σ1因此Y的數(shù)據(jù)較X更集中，A正確；對于B，顯然P(X≤34)>1對于C，顯然P(X≤38)<P(Y≤38)，則當有38min可用時，騎自行車不遲到的概率大，C正確；對于D，顯然P(X>30)=12,P(Y≤30)<P(Y<34)=故選：D知識點3：正態(tài)分布的3σ原則：正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間的概率值假設X～N(μ?，?σ2)，可以證明：對給定的k∈特別地，P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ?3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.上述結(jié)果可用右圖表示.此看到，盡管正態(tài)變量的取值范圍是(?∞,+∞)，但在一次試驗中，X在實際應用中，通常認為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取[μ?3σ,μ+3σ]【即學即練3】（2024上·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）某市高三年級男生的身高X（單位：SKIPIF1<0）近似服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，現(xiàn)在該市隨機選擇一名高三男生，則他的身高位于SKIPIF1<0內(nèi)的概率（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）是（

）參考數(shù)據(jù)：Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.683，Pμ?2σ≤X≤μ+2σ≈0.954，Pμ?3σ≤X≤μ+3σ≈0.997．A．0.477 B．0.478 C．0.479 D．0.480【答案】A【詳解】由題意可知，μ=171，σ=4，所以SKIPIF1<0．故選：A題型01正態(tài)密度函數(shù)【典例1】（2024·全國·高三專題練習）“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術的研究?應用與推廣，發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術體系，為我國糧食安全，農(nóng)業(yè)科學發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻.某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高（單位：SKIPIF1<0）服從正態(tài)分布，其密度曲線函數(shù)為fx=1102πe?(x?100)2200，xA．該地水稻的平均株高為100B．該地水稻株高的方差為100C．隨機測量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小D．隨機測量一株水稻，其株高在90,100和在SKIPIF1<0（單位：cm）的概率一樣大【答案】C【詳解】依題意μ=100,σ=10，所以平均數(shù)為100cm，方差為σ依題意PX≥100+20而PX≤80>PX≤70P100?10<X<100故選：C【典例2】（2024·全國·高二假期作業(yè)）某市組織了一次高二調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計的數(shù)學成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)f(x）=1102πA．該市這次考試的數(shù)學平均成績?yōu)?0分B．分數(shù)在120分以上的人數(shù)與分數(shù)在60分以下的人數(shù)相同C．分數(shù)在110分以上的人數(shù)與分數(shù)在50分以下的人數(shù)相同D．該市這次考試的數(shù)學成績標準差為10【答案】B【詳解】∵密度函數(shù)f(x）=1∴該市這次考試的數(shù)學平均成績?yōu)?0分該市這次考試的數(shù)學標準差為10，從圖形上看，它關于直線x=80對稱，且50與110也關于直線x=80對稱，故分數(shù)在110分以上的人數(shù)與分數(shù)在50分以下的人數(shù)相同.故選B.【典例3】（2024·全國·高三專題練習）如圖，若一個隨機變量X服從某正態(tài)分布X~Nμ,σ2，且已知函數(shù)fx=1σ【答案】51【詳解】由圖可知，當x=5時，fx=1所以μ=5,σ=1，所以X~N5,1，所以EX=μ=5故答案為:5;1.【變式1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)fix=A．μ1=B．μ1<C．μ1<D．μ1=【答案】B【詳解】根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)μ，σ的意義，結(jié)合圖象可知f2x，f3且都在f1x的右側(cè)，即比較f1x和f2又f3x的離散程度比f1x和故選：B【變式2】（多選）（2024·全國·高三專題練習）18世紀30年代，數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機變量X服從二項分布Bn,p，那么當n比較大時，可視為X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其密度函數(shù)φμ,σx=12πσe?x?μ22σ2，x∈A．tB．當x>0時，PC．隨機變量X～Nμ,σ2，當μ減小，σD．隨機變量X～Nμ,σ2，當μ，σ【答案】AC【詳解】對于A，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得：t(?x)=P(Z<?x)=P(Z≥x)=1?P(Z<x)=1?t(x)，故A正確；對于B,當x>0時，tx對于C，D，根據(jù)正態(tài)分布的3σ準則，在正態(tài)分布中σ代表標準差，μ代表均值,x=μ即為圖象的對稱軸，根據(jù)3σ原則可知X數(shù)值分布在μ?σ,μ+σ中的概率為0.6826，是常數(shù)，故由P(|X?μ|<σ)=P(μ?σ<X<μ+σ)可知，C正確，D錯誤，故選：AC【變式3】（多選）（2024·全國·高三專題練習）已知某批零件的長度誤差X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其密度函數(shù)SKIPIF1<0的曲線如圖所示，若從中隨機取一件，則下列結(jié)論正確的是（

）．（附：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P(μ?σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ?2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，A．σ=3B．長度誤差落在(?3,3)內(nèi)的概率為0.6826C．長度誤差落在(3,6)內(nèi)的概率為0.1359D．長度誤差落在(3,9)內(nèi)的概率為0.1599【答案】ABC【詳解】由圖中密度函數(shù)解析式，可得σ=3，A選項正確；又由圖像可知μ=0，則長度誤差落在(?3,3)內(nèi)的概率為P?3<X<3長度誤差落在(3,6)內(nèi)的概率為P3<X<6=12[P(?6<X<6)?P(?3<X<3)]=1長度誤差落在(3,9)內(nèi)的概率為P3<X<9故選：ABC.題型02概率分布曲線的認識【典例1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）設隨機變量ξ服從正態(tài)分布，ξ的分布密度曲線如圖所示，若P(ξ<0)=p，則P(0<ξ<1)與SKIPIF1<0分別為（

）A．12?p,12 B．p,【答案】C【詳解】根據(jù)題意，且P(ξ<0)=p，則P(0<ξ<1)=1?2p由正態(tài)曲線得ξ~N1,12故選：C．【典例2】（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知三個正態(tài)密度函數(shù)φix=12πσiA．μ1=μ3>μC．μ1=μ3>μ【答案】C【詳解】由題圖中y=φixy=φ1x與y=所以σ1故選：C【典例3】（2023下·高二課時練習）甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：kg）分別服從正態(tài)分布Nμ1,σ1（注：正態(tài)曲線的函數(shù)解析式為f(x)=12π?σA．甲類水果的平均質(zhì)量μB．乙類水果的質(zhì)量比甲類水果的質(zhì)量更集中于均值左右C．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量大D．乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)σ【答案】A【詳解】由題圖可知甲圖象關于直線x=0.4對稱，乙圖象關于直線x=0.8對稱，所以μ1=0.4，μ2因為甲圖象比乙圖象更“高瘦”（曲線越“高瘦”，σ越小，表示總體的分布越集中），所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于均值左右，故B錯誤；因為乙圖象的最高點為(0.8,1.99)，即12π?σ故選：A．【變式1】（2024·全國·高三專題練習）李明上學有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，X~Nμ1,62,Y~NμA．D(X)=6 B．SKIPIF1<0C．P(X≤38)<P(Y≤38) D．P(X≤34)<P(Y≤34)【答案】C【詳解】對于A中，隨機變量X服從正態(tài)分布，且X~Nμ可得隨機變量X的方差為σ2=62，即SKIPIF1<0，所以A錯誤；對于B中，根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線圖像，可得隨機變量μ1所以μ1對于C中，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線圖像，可得X≤38時，隨機變量X對應的曲線與x圍成的面積小于Y≤38時隨機變量Y對應的曲線與x圍成的面積，所以P(X≤38)<P(Y≤38)，所以C正確；對于D中，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線圖像，可得P(X≤34)>12，即P(X≤34)>P(Y≤34)，所以D錯誤.故選：C.【變式2】（2024·全國·高二假期作業(yè)）設X~Nμ1,σ1A．SKIPIF1<0 B．σ1>σ2C．PY≥μ【答案】D【詳解】因為X~Nμ1,σ1所以由圖可知，μ1因為X的分布曲線“高瘦”，Y的分布曲線“矮胖”，所以σ1所以PY≥μ2所以C錯誤，D正確，故選：D【變式3】（多選）（2023上·全國·高三專題練習）某市有甲、乙兩個工廠生產(chǎn)同一型號的汽車零件，零件的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態(tài)分布，X～Nμ

A．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值B．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值小于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值C．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性D．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性【答案】AC【詳解】X，Y均服從正態(tài)分布，X～結(jié)合正態(tài)密度函數(shù)的圖象可知，可得μ1=μ故甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值，故A正確，B錯誤；甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性，故C正確，D錯誤．故選：AC題型03標準正態(tài)分布的應用【典例1】（2023下·江蘇淮安·高二?？茧A段練習）我省高考總成績由語文、數(shù)學、外語三門統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8個等級，參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，選考科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績，如果某次高考模擬考試物理科目的原始成績X～N(50,256)，那么附：①若X～N(μ,σ2)，Y=②當Y～N(0,1)時，P(Y≤1.5)≈0.9.A．23 B．29 C．26 D．43【答案】C【詳解】由題意知：從低到高，即E到D等級人數(shù)所占比例為10%，若D等級的原始分最高為X，則P(Y≤X?5016)=0.1所以P(Y≤X?5016)=1?P(Y≤1.5)所以P(Y≤X?5016)=P(Y≤?1.5)，即X?50故選：C【典例2】（多選）（2023下·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N0,1，定義函數(shù)fx為X取值不超過x的概率，即fx=PX≤xA．f?x=1?fC．fx在0,+∞上是減函數(shù) D．【答案】AD【詳解】因為隨機變量X服從正態(tài)分布N0,1所以f?xf2x=PX≤2x,2fx所以f2x因為x>0，所以當x增大時，fxP=1?21?f(x)故選：AD.【典例3】（2024·山西·校聯(lián)考模擬預測）2020年某地在全國志愿服務信息系統(tǒng)注冊登記志愿者8萬多人．2019年7月份以來，共完成1931個志愿服務項目，8900多名志愿者開展志愿服務活動累計超過150萬小時．為了了解此地志愿者對志愿服務的認知和參與度，隨機調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務時長（單位：小時），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這500名志愿者每月志愿服務時長的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2（2）由直方圖可以認為，目前該地志愿者每月服務時長X服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，其中μ近似為樣本平均數(shù)x，σ2近似為樣本方差s2．一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布的概率進行計算：若X~Nμ,σ2，令Y=X?μσ，則Y~N（?。├弥狈綀D得到的正態(tài)分布，求PX≤10（ⅱ）從該地隨機抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務時長超過10小時的人數(shù)，求PZ≥1（結(jié)果精確到0.001）以及Z參考數(shù)據(jù)：1.64≈1.28，0.773420≈0.0059．若【答案】（1）9，1.64；（2）（?。?.7734，（ⅱ）0.994，4.532.【詳解】解：（1）x=6×0.02+7×0.1+8×0.2+9×0.38+10×0.18+11×0.08+12×0.04=9s2（2）（?。┯深}知SKIPIF1<0，σ2=1.64，所以X~N9,1.64，σ=1.64≈1.28所以PX≤10（ⅱ）由（ⅰ）知PX>10=1?PX≤10PZ≥1故Z的數(shù)學期望EZ【變式1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）《山東省高考改革試點方案》規(guī)定：2020年高考總成績由語文、數(shù)學、外語三門統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A、B+，B、C+、C、D+、D、E共8個等級，參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，選考科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到91,100，[81,90]，71,80、61,70、51,60、41,50、31,40、21,30、八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績，如果山東省某次高考模擬考試物理科目的原始成績X～N50,256，那么D等級的原始分最高大約為（

附：①若X～SKIPIF1<0，Y=X?μσ，則Y～N0,1；②當Y～N0,1時，PY≤1.3A．23 B．29 C．36 D．43【答案】B【詳解】由題意知：X～N50,256則有μ=50，設D等級的原始分最高大約為x，對應的等級分為40，而P(等級分≥40)∴有P(原始分SKIPIF1<0x?5016)=0.9而PY≤1.3≈0.9∴有x?5016=?1.3故選：B【變式2】（多選）（2023下·高二課時練習）若隨機變量ξ~N0,1，Φx=Pξ≤x，其中A．Φ?x=1?ΦC．Pξ≤x【答案】ACD【詳解】對于A選項，利用正態(tài)密度曲線的對稱性可知Pξ≤?x所以，Φ?x對于B選項，Φ2x對于C選項，P=Φx對于D選項，Pξ故選：ACD.【變式3】（多選）（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量X~N(0，1)，fx=PX≤x，其中xA．f(-x)=1-f(x) B．fC．f(x)在(0，+∞)上是單調(diào)增函數(shù) D．P【答案】ACD【詳解】因為隨機變量X服從正態(tài)分布N0,1，所以正態(tài)曲線關于直線x=0對于A，因為fx=PX≤x，所以f對于B，當x=1時，f1=PX≤1>0.5,2f1對于C，結(jié)合正態(tài)曲線，易得fx在0,+∞上是單調(diào)增函數(shù)，故C對于D,PX≤x=P故選：ACD題型04特殊區(qū)間的概率【典例1】（2024·全國·模擬預測）某早餐店發(fā)現(xiàn)加入網(wǎng)絡平臺后，每天小籠包的銷售量SKIPIF1<0（單位：個），估計300天內(nèi)小籠包的銷售量約在950到1100個的天數(shù)大約是（

）（若隨機變量X～Nμ,σ2，則Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.6827A．236 B．246 C．270 D．275【答案】B【詳解】由題可知，μ=1000，σ=50，P950≤X≤1100=Pμ?σ≤X≤μ+2σ故選：B．【典例2】（2024上·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標X服從正態(tài)分布N25,0.16，其中X∈24.6,26.2參考數(shù)據(jù)：若X～Nμ,σ2，則P【詳解】由題意知，該產(chǎn)品服從X～N25,0.16，則μ=25,σ=0.4所以P=0.6827即抽到“可用產(chǎn)品”的概率為0.84，故答案為：0.84【典例3】（2024·全國·高三專題練習）某公司定期對流水線上的產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測，以此來判定產(chǎn)品是否合格可用．已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標X服從正態(tài)分布N15,9，其中X∈6,18參考數(shù)據(jù)：若X~Nμ,σ2，則Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.6827【答案】0.84/21【詳解】由題意知，該產(chǎn)品服從X～N(15,9)，則μ=15,σ=3，所以P(6≤X≤18)=P(15?3≤X≤15+3×3)=P(μ?σ≤X≤μ+3σ)=P(μ?σ≤X≤μ+σ)+P(μ+σ≤X≤μ+3σ)，又P(μ+σ≤X≤μ+2σ)=1P(μ+2σ≤X≤μ+3σ)=1所以P(μ+σ≤X≤μ+3σ)=P(μ+σ≤X≤μ+2σ)+P(μ+2σ≤X≤μ+3σ)=0.1573，所以P(μ?σ≤X≤μ+σ)+P(μ+σ≤X≤μ+3σ)=0.1573+0.6827=0.84，即P(6≤X≤18)=0.84.所以抽到“可用產(chǎn)品”的概率為0.84.故答案為：0.84.【變式1】（多選）（2024上·湖南長沙·高三雅禮中學?？茧A段練習）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N100,102，則下列選項正確的是（參考數(shù)值：隨機變量ξ服從正態(tài)分布NPμ?σ≤ξ≤μ+σ≈0.6827，Pμ?2σ≤ξ≤μ+2σA．EX=100C．PX≥90≈0.84135【答案】AC【詳解】∵隨機變量X服從正態(tài)分布N100,1正態(tài)曲線關于直線X=100對稱，且EX=100，根據(jù)題意可得，P90≤X≤110≈0.6827，∴PX≥90X≤120與SKIPIF1<0不關于直線X=100對稱，故D錯誤．故選：AC．【變式2】（2024·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續(xù)航里程的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：根據(jù)大量的測試數(shù)據(jù)，可以認為這款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布Nμ,σ2，用樣本平均數(shù)x和標準差S分別作為μ、σ的近似值，其中樣本標準差S的近似值為50，現(xiàn)任取一輛汽車，則它的單次最大續(xù)航里程X（參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X~Nμ,σ2，則Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.6827【答案】0.8186【詳解】X+405×0.001×50=300，故X～N300,50=1?1故答案為：0.8186【變式3】（2024上·湖南長沙·高三長郡中學校考期末）某市統(tǒng)計高中生身體素質(zhì)的狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標值不小于60就認為身體素質(zhì)合格．現(xiàn)從全市隨機抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標值xi(i=1,2,3,?,100)，經(jīng)計算i=1100xi=7200，參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545【答案】97.7%【詳解】因為100個數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，x方差s2所以μ的估計值為μ=72，σ的估計值為σ=6．設該市高中生的身體素質(zhì)指標值為X，由P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，得P(72?12≤X≤72+12)=P(60≤X≤84)≈0.9545，P所以P(X≥60)=P(60≤X≤84)+P(X>84)≈0.9545+1故答案為：97.7%.題型05指定區(qū)間的概率【典例1】（2024·重慶·統(tǒng)考一模）已知某社區(qū)居民每周運動總時間為隨機變量X（單位：小時），且X～N5.5,σ2，SKIPIF1<0．現(xiàn)從該社區(qū)中隨機抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率為（

A．0.642 B．0.648 C．0.722 D．0.748【答案】B【詳解】由題意得P(x>5.5)=0.5，則P(5.5<x<6)=0.5?0.2=0.3，則P(5<x<6)=0.3×2=0.6，則至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率為C3故選：B.【典例2】（2024上·遼寧·高二盤錦市高級中學校聯(lián)考期末）己知隨機變量X～N3,σ2,PX≤1A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7【答案】C【詳解】由X～N3,σ2，P故P1≤X≤5故選：C.【典例3】（2024·全國·模擬預測）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N1,σ2σ>0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】0.4/2【詳解】由SKIPIF1<0可得PX<0=1?0.9=0.1，則PX>2=PX<0所以P1<X<2故答案為：0.4.【變式1】（2024上·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）已知隨機變量X～N10,σ2，且P(X<11)=0.7，則P(10≤X<11)=A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】B【詳解】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得P(10≤X<11)=P(X<11)?P(X<10)=0.7?0.5=0.2故選：B.【變式2】（多選）（2024上·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）某市對歷年來新生兒體重情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)新生兒體重X~N3.5,0.25，則下列結(jié)論正確的是（

A．該正態(tài)分布的均值為3.5 B．PC．P4<X≤4.5≥【答案】AB【詳解】因為X~N3.5,0.25對于A選項，該正態(tài)分布的均值為μ=3.5，A對；對于B選項，PX>3.5對于C選項，P4<X≤4.5對于D選項，由正態(tài)密度曲線的對稱性可知，PX≤3故選：AB.【變式3】（2024·全國·模擬預測）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N8,σ2，且PX<5【答案】0.2【詳解】隨機變量X服從正態(tài)分布N8,σ2又由PX<5=0.3，則所以P8≤X≤11故答案為：0.2題型06正態(tài)分布的實際應用【典例1】（2024上·江西九江·高二統(tǒng)考期末）某工廠生產(chǎn)一批零件，其直徑X～N10,4，現(xiàn)在抽取10000件進行檢查，則直徑在12,14之間的零件大約有（注：P(μ?σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ?2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ?3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974）【答案】1359【詳解】∵X滿足正態(tài)分布X～P(6<X≤14)≈0.9544,∴∴直徑在12,14之間的零件大約有1359件.故答案為：1359【典例2】（2024·全國·高三專題練習）2023年國家公務員考試筆試于1月8日結(jié)束，公共科目包括行政職業(yè)能力測驗和申論兩科，滿分均為100分，行政職業(yè)能力測驗中，考生成績X服從正態(tài)分N80,σ2．若P【答案】36125/【詳解】由正態(tài)分布可得：考生的成績高于85的概率PX>85所以恰有2名考生的成績高于85的概率P=C故答案為：36125【典例3】（2024上·全國·高三期末）據(jù)相關機構調(diào)查表明我國中小學生身體健康狀況不容忽視，多項身體指標（如肺活量?柔?度?力量?速度?耐力等）自2000年起呈下降趨勢，并且下降趨勢明顯，在國家的積極干預下，這種狀況得到遏制，并向好的方向發(fā)展，到2019年中小學生在肺活量?柔?度?力量?速度?而力等多項指標出現(xiàn)好轉(zhuǎn)，但肥胖?近視等問題依然嚴重，體育事業(yè)任重道遠.某初中學校為提高學生身體素質(zhì)，日常組織學生參加中短跑鍛煉，學校在一次百米短跑測試中，抽取200名女生作為樣本，統(tǒng)計她們的成績（單位：秒），整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（每組區(qū)間包含左端點，不包含右端點）.

(1)估計樣本中女生短跑成績的平均數(shù)；（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）(2)由頻率分布直方圖，可以認為該校女生的短跑成績X～Nμ,σ2，其中μ近似為女生短跑平均成績x,σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計算得s附參考數(shù)據(jù)：5.79≈2.41，隨機變量X服從正態(tài)分布Nμ,σ【答案】(1)16.16(2)0.073【詳解】（1）估計樣本中女生短跑成績的平均數(shù)為：11×0.04+13×0.12+15×0.36+17×0.28+19×0.12+21×0.06+23×0.02=16.16.（2）由題意知X～則μ?2σ=11.34,μ+2σ=20.98，故該校女生短跑成績在11.34,20.98內(nèi)的概率p=P(μ?2σ<X≤μ+2σ)=0.9545，由題意可得Y～所以PY=9PY=10所以PY≤8【變式1】（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考階段練習）某中學開展學生數(shù)學素養(yǎng)測評活動，高一年級測評分值X近似服從正態(tài)分布N(72,25).為了調(diào)查參加測評的學生數(shù)學學習的方法與習慣差異，該中學決定在分數(shù)段67,n內(nèi)抽取學生，且P(67≤X≤n)=0.8186.在某班用簡單隨機抽樣的方法得到20名學生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.則該班抽取學生分數(shù)在分數(shù)段67,n內(nèi)的人數(shù)為人（附：P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ?3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973）【答案】11【詳解】因為P(67≤X≤77)≈0.6827，P(62≤X≤82)≈0.9545，∵P(67≤X≤n)=0.8186=0.9545?∴n=82，即P(67≤X≤82)=0.8186，由已知，該班在[67,82)內(nèi)抽取了11人，他們的分數(shù)為68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81.故答案為：11.【變式2】（2024上·江蘇揚州·高三統(tǒng)考期末）某保險公司有一款保險產(chǎn)品，該產(chǎn)品今年保費為200元/人，賠付金額為5萬元/人.假設該保險產(chǎn)品的客戶為10000名，每人被賠付的概率均為0.25%，記10000名客戶中獲得賠償?shù)娜藬?shù)為X.(1)求EX(2)二項分布是離散型的，而正態(tài)分布是連續(xù)型的，它們是不同的概率分布，但是，隨著二項分布的試驗次數(shù)的增加，二項分布折線圖與正態(tài)分布曲線幾乎一致，所以當試驗次數(shù)較大時，可以利用正態(tài)分布處理二項分布的相關概率計算問題，我們知道若X～Bn,p，則DX=np1?p，當n較大且SKIPIF1<0較小時，我們?yōu)榱撕喕嬎悖Ｓ肊X的值估算D請根據(jù)上述信息，求：①該公司今年這一款保險產(chǎn)品利潤為50~100萬元的概率；②該公司今年這一款保險產(chǎn)品虧損的概率.參考數(shù)據(jù)：若X～Nμ,σ2【答案】(1)EX(2)①0.683；②0.0015【詳解】（1）由題可知X～則EX記該公司今年這一款保險產(chǎn)品利潤為變量Y，則Y=200?5X，所以EY（2）因為X～Bn,p，當n較大且SKIPIF1<0較小時，EX=25，則DX=25由于n較大，X～Nμ,σ2若該公司今年這一款保險產(chǎn)品利潤Y=200?5X∈50,100，則XPY=200?5X若該公司今年這一款保險產(chǎn)品利潤Y=200?5X<0，則X>40，P(Y=200?5X<0)=P(X>40)=P(X>μ+3σ)=1?0.997答：（1）EX（2）①該公司今年這一款保險產(chǎn)品利潤為50～②虧損的概率為0.0015.【變式3】（2024上·海南省直轄縣級單位·高三?？茧A段練習）紅松樹分布在我國東北的小興安嶺到長白山一帶，耐蔭性強.在一森林公園內(nèi)種有一大批紅松樹，為了研究生長了4年的紅松樹的生長狀況，從中隨機選取了12棵生長了4年的紅松樹，并測量了它們的樹干直徑xiSKIPIF1<0123456789101112x28.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5計算得：i=112(1)求這12棵紅松樹的樹干直徑的樣本均值μ與樣本方差s2(2)假設生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態(tài)分布.記事件A：在森林公園內(nèi)再從中隨機選取12棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑都位于區(qū)間[22,38].①用（1）中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態(tài)分布的均值與方差，求PA②護林員在做數(shù)據(jù)統(tǒng)計時，得出了如下結(jié)論：生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態(tài)分布N30,82.在這個條件下，求參考公式：若Y～則PY?μ參考數(shù)據(jù)：0.6827【答案】(1)μ=30，s2(2)①PA≈0.57；②【詳解】（1）樣本均值μ=1樣本方差s=112×10992?2×30×360+12×302（2）①由題意可得，樹干直徑Y(jié)（單位：cm)近似服從正態(tài)分布N在森林公園內(nèi)再隨機選一棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑位于區(qū)間22,38的概率是0.9545，所以PA②若樹干直徑Y(jié)近似服從正態(tài)分布N30,在森林公園內(nèi)再隨機選一棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑位于區(qū)間22,38的概率是0.6827，則PA此時事件A發(fā)生的概率遠小于①中根據(jù)測量結(jié)果得出的概率估計值.事件A是一個小概率事件，但是第一次隨機選取的12棵生長了4年的紅松樹，事件A發(fā)生了，所以認為護林員給出的結(jié)論是錯誤的.題型073δ原則【典例1】（2024下·全國·高三期末）某商場在五一假期間開展了一項有獎闖關活動，并對每一關根據(jù)難度進行賦分，競猜活動共五關，規(guī)定：上一關不通過則不進入下一關，本關第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機會，兩次均未通過，則闖關失敗，且各關能否通過相互獨立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項闖關活動.(1)若甲第一關通過的概率為SKIPIF1<0，第二關通過的概率為56，求甲可以進入第三關的概率；(2)已知該闖關活動累計得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎勵.①假設該闖關活動平均分數(shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎勵，請說明理由；②丙得知他的分數(shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關活動平均分數(shù)為201分，351分以上共有57人”，請結(jié)合統(tǒng)計學知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?附：若隨機變量Z～Nμ,σ2，則Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.6827【答案】(1)70(2)①能，理由見解析②假【詳解】（1）設Ai：第i次通過第一關，Bi：第i次通過第二關，甲可以進入第三關的概率為P=PSKIPIF1<0.（2）設此次闖關活動的分數(shù)記為X～Nμ,σ2.①由題意可知μ=171，因為572500=0.0228，且SKIPIF1<0所以μ+2σ=351，則σ=351?1712=90且SKIPIF1<0，所以前400名參賽者的最低得分高于μ+σ=261，而甲的得分為270分，所以甲能夠獲得獎勵；②假設乙所說為真，則μ=201，PX≥μ+2σ而572500=0.0228，所以σ=351?201而PX≥μ+3σ所以X≥μ+3σ為小概率事件，即丙的分數(shù)為430分是小概率事件，可認為其一般不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認為乙所說為假.【典例2】（2023下·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）電影《流浪地球2》中有許多可行駛、可作業(yè)、可變形的UEG地球聯(lián)合政府機械設備，均出自中國工程機械領導者品牌—徐工集團.電影中有很多硬核的裝備，其實并不是特效，而是用國產(chǎn)尖端裝備設計改造出來的，許多的裝備都能在現(xiàn)實中尋找到原型.現(xiàn)集團某車間新研發(fā)了一臺設備，集團對新設備的具體要求是：零件內(nèi)徑（單位：mm）在199.82,200.18范圍之內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，否則為次品；零件內(nèi)徑X滿足正態(tài)分布X～N200,0.0036(1)若該車間對新設備安裝調(diào)試后，試生產(chǎn)了5個零件，測量其內(nèi)徑（單位：mm）分別為：199.87，199.91，199.99，200.13，200.19，如果你是該車間的負責人，試根據(jù)3σ原則判斷這臺設備是否需要進一步調(diào)試？并說明你的理由．(2)若該設備符合集團的生產(chǎn)要求，現(xiàn)對該設備生產(chǎn)的10000個零件進行跟蹤調(diào)查．①10000個零件中大約有多少個零件的內(nèi)徑可以超過200.12mm？②10000個零件中的次品的個數(shù)最有可能是多少個？參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X~Nμ,σ2，則PPμ?3σ<X<μ+3σ≈0.997，0.997【答案】(1)這臺設備需要進一步調(diào)試，理由見解析(2)①225件；②30【詳解】（1）方法1：因為X~N200,0.0所以P200?3×0.06<X<200+3×0.06即P199.82<X<200.08所以五個零件的內(nèi)徑中恰有1個不在μ?3σ,μ+3σ的概率為C5又因為試產(chǎn)的5個零件中內(nèi)徑出現(xiàn)了1個不在μ?3σ,μ+3σ內(nèi)，所以小概率事件出現(xiàn)了，根據(jù)3σ原則，這臺設備需要進一步調(diào)試．方法2：因為P199.82<X<200.08故至少有1個次品的概率為1?0.997又因為試產(chǎn)的5個零件中內(nèi)徑出現(xiàn)了1個不在μ?3σ,μ+3σ內(nèi)，所以小概率事件出現(xiàn)了，根據(jù)3σ原則，這臺設備需要進一步調(diào)試．（2）①因為μ=200，σ=0.06，所以PX>200.12生產(chǎn)的10000件零件中內(nèi)徑超過200.12mm的件數(shù)Y服從二項分布B（10000，0.0225），則EY答：大約有225件零件的內(nèi)徑可以超過200.12mm．②次品的概率為1?P198.82<X<200.12抽取10000個零件進行檢測，設次品數(shù)為ξ，則ξ~B10000,p，其中p=0.003故Pξ=k=C則C10000即10000!k!即pk解得10001p?1≤k≤10001pk因為p=0.003，所以10001p=30.003，10001p?1=29.003，故k=30．從而10000件零件中的次品數(shù)最可能是30．答：這10000件零件中的次品數(shù)最可能是30．【典例3】（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）某工廠一臺設備生產(chǎn)一種特定零件，工廠為了解該設備的生產(chǎn)情況，隨機抽檢了該設備在一個生產(chǎn)周期中的100件產(chǎn)品的關鍵指標（單位：SKIPIF1<0），經(jīng)統(tǒng)計得到下面的頻率分布直方圖：(1)由頻率分布直方圖估計抽檢樣本關鍵指標的平均數(shù)x和方差s2(2)已知這臺設備正常狀態(tài)下生產(chǎn)零件的關鍵指標服從正態(tài)分布Nμ,σ2，用直方圖的平均數(shù)估計值x作為μ的估計值μ，用直方圖的標準差估計值s作為σ（i）為了監(jiān)控該設備的生產(chǎn)過程，每個生產(chǎn)周期中都要隨機抽測10個零件的關鍵指標，如果關鍵指標出現(xiàn)了μ?3σ,μ+3σ之外的零件，就認為生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常，需停止生產(chǎn)并檢查設備．下面是某個生產(chǎn)周期中抽測的10個零件的關鍵指標：0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83利用μ和σ判斷該生產(chǎn)周期是否需停止生產(chǎn)并檢查設備．（ii）若設備狀態(tài)正常，記X表示一個生產(chǎn)周期內(nèi)抽取的10個零件關鍵指標在μ?3σ,μ+3σ之外的零件個數(shù)，求PX≥1及X參考公式：直方圖的方差s2=i=1nx參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則Pμ?3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973，0.011≈0.105，【答案】(1)1；0.011(2)（i）需停止生產(chǎn)并檢查設備；（ii）PX≥1≈0.0267【詳解】（1）由頻率分布直方圖，得x=0.8×0.1+0.9×0.2+1×0.35+1.1×0.3+1.2×0.05=1s2（2）（i）由（1）可知μ=1，σ所以μ?3σ=1?0.315=0.685顯然抽查中的零件指標1.33>1.315，故需停止生產(chǎn)并檢查設備．（ii）抽測一個零件關鍵指標在μ?3σ,μ+3σ之內(nèi)的概率為0.9973，所以抽測一個零件關鍵指標在μ?3σ,μ+3σ之外的概率為1?0.9973=0.0027，故X～B10,0.0027，所以PX的數(shù)學期望EX【變式1】（2024·全國·高三專題練習）某公司定期對流水線上的產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測，以此來判定產(chǎn)品是否合格可用．已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標X服從正態(tài)分布N15,9，其中X∈6,18參考數(shù)據(jù)：若X~Nμ,σ2，則Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.6827【答案】0.84/21【詳解】由題意知，該產(chǎn)品服從X～N(15,9)，則μ=15,σ=3，所以P(6≤X≤18)=P(15?3≤X≤15+3×3)=P(μ?σ≤X≤μ+3σ)=P(μ?σ≤X≤μ+σ)+P(μ+σ≤X≤μ+3σ)，又P(μ+σ≤X≤μ+2σ)=1P(μ+2σ≤X≤μ+3σ)=1所以P(μ+σ≤X≤μ+3σ)=P(μ+σ≤X≤μ+2σ)+P(μ+2σ≤X≤μ+3σ)=0.1573，所以P(μ?σ≤X≤μ+σ)+P(μ+σ≤X≤μ+3σ)=0.1573+0.6827=0.84，即P(6≤X≤18)=0.84.所以抽到“可用產(chǎn)品”的概率為0.84.故答案為：0.84.【變式2】（2023下·福建泉州·高二校考期中）某車間生產(chǎn)一批零件，現(xiàn)從中隨機抽取10個零件，測量其內(nèi)徑的數(shù)據(jù)如下（單位：SKIPIF1<0）：9797設這10個數(shù)據(jù)的平均值為μ，標準差為σ．(1)求μ與σ；(2)假設這批零件的內(nèi)徑Z（單位：SKIPIF1<0）服從正態(tài)分布Nμ,σ2．從這批零件中隨機抽取5個，設這5個零件中內(nèi)徑小于87cm的個數(shù)為X，求E4X+3參考數(shù)據(jù)：若X~Nμ,σ2，則Pμ?2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545【答案】(1)μ=105，σ=6(2)3.027【詳解】（1）解：μ=1σ2=1（2）解：由（1）可知，X~N105,36，則87=105?3×6=μ?3σ所以，PZ<87由題意可知，X~B5,0.00135，則E由期望的性質(zhì)可得E4X+3【變式3】（2023下·江蘇南京·高二南京外國語學校校考期中）新高考改革后江蘇省采用“SKIPIF1<0”高考模式，“3”指的是語文、數(shù)學、外語，這三門科目是必選的；“1”指的是要在物理、歷史里選一門；“2”指考生要在生物學、化學、思想政治、地理4門中選擇2門.(1)若按照“SKIPIF1<0”模式選科，求甲乙兩個學生恰有四門學科相同的選法種數(shù)；(2)某教育部門為了調(diào)查學生語數(shù)外三科成績，現(xiàn)從當?shù)夭煌瑢哟蔚膶W校中抽取高一學生4000名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡測試、滿分450分，假設該次網(wǎng)絡測試成績服從正態(tài)分布N240,6①估計4000名學生中成績介于180分到360分之間有多少人；②某校對外宣傳“我校200人參與此次網(wǎng)絡測試，有10名同學獲得425分以上的高分”，請結(jié)合統(tǒng)計學知識分析上述宣傳語的可信度.附：Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ?2σ≤X≤μ+2σ【答案】(1)60(2)①3274人；②不可信.【詳解】（1）甲乙兩個學生必選語文、數(shù)學、外語，若另一門相同的選擇物理、歷史中的一門，有C21種，在生物學、化學、思想政治、地理4門中甲乙選擇不同的2門，則C4若另一門相同的選擇生物學、化學、思想政治、地理4門中的一門，則有A2所以甲乙兩個學生恰有四門學科相同的選法種數(shù)共12+48=60種方法.（2）①設此次網(wǎng)絡測試的成績記為X，則X～由題知μ=240，σ=60，μ+2σ=240+120=360，μ?σ=240?60=180，則P180≤X≤360所以4000×0.8186=3274.4，所以估計4000名學生中成績介于180分到360分之間有3274人；②不可信.μ+3σ=240+3×60=420<425，則PX≥μ+3σ4000名學生中成績大于420分的約有4000×0.00135=5.4人，這說明4000名考生中，也會出現(xiàn)約5人的成績高于420分的“極端”樣本，所以說“某校200人參與此次網(wǎng)絡測試，有10名同學獲得425分以上的高分”，說法錯誤，此宣傳語不可信.題型08根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求參數(shù)【典例1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）設隨機變量X服從正態(tài)分布N3,4，若PX>a?2=PX<6?3a，則A．?2 B．SKIPIF1<0 C．12 D．1【答案】B【詳解】由題意隨機變量X服從正態(tài)分布N3,4，即正態(tài)分布曲線關于x=3因為PX>a?2故a?2+(6?3a)2故選：B【典例2】（2024·全國·模擬預測）設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N1,4，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則b=．【答案】3【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因為SKIPIF1<0，則2a+b=2b?a，所以b=3a=3.故答案為：3.【典例3】（2024·全國·高三專題練習）已知隨機變量SKIPIF1<0,且Pξ≤0=Pξ≥a，若x+y=ax>0，y>0,則1x+2【答案】3【詳解】ξ～N1,σ2又Pξ≤0=Pξ≥a，∴則1x當且僅當y=2x，即故答案為：32【變式1】（2024上·廣西北海·高二統(tǒng)考期末）已知隨機變量ξ～N1,4，且Pξ≤m=Pξ>m，則A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【詳解】由隨機變量ξ～N1,4，所以函數(shù)曲線關于直線ξ=1又Pξ≤m=Pξ>m，且P故選：B【變式2】（多選）（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量ξ服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，若P(ξ<2)=P(ξ>4)=a，則下列結(jié)論正確的為（

）A．μ=3 B．PC．Dξ=【答案】AD【詳解】因為P(ξ<2)=P(ξ>4)=a，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，可知，μ=2+4根據(jù)對稱性可知，P3≤ξ≤4因為ξ～N(μ,7)，所以Dξ根據(jù)對稱性可知，P2≤ξ≤3故選：AD【變式3】（2024下·全國·高二隨堂練習）某工廠生產(chǎn)一批零件（單位：SKIPIF1<0），其尺寸X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，且PX≤20=0.2，PX<26=0.8，則【答案】23【詳解】因為X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，且P則PX≥26所以，μ=20+26故答案為：23.A夯實基礎B能力提升A夯實基礎1．（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量X～N4,σ2，若PX>m=0.8A．0.2 B．0.7 C．0.8 D．0.9【答案】A【詳解】由題意知，正態(tài)曲線的對稱軸為x=4，m與8?m關于x=4對稱，所以PX<8?m所以PX>8?m故選：A．2．（2024·全國·高三專題練習）已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N2,σ2，且Pξ≤0=0.2，則SKIPIF1<0等于（

A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.3【答案】D【詳解】因ξ服從正態(tài)分布N2,σ2，且P于是P(2<ξ≤4)=故選：D.3．（2024上·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）某市高三年級男生的身高X（單位：SKIPIF1<0）近似服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，現(xiàn)在該市隨機選擇一名高三男生，則他的身高位于SKIPIF1<0內(nèi)的概率（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）是（

）參考數(shù)據(jù)：Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.683，Pμ?2σ≤X≤μ+2σ≈0.954，Pμ?3σ≤X≤μ+3σ≈0.997．A．0.477 B．0.478 C．0.479 D．0.480【答案】A【詳解】由題意可知，μ=171，σ=4，所以SKIPIF1<0．故選：A4．（2024上·江西上饒·高二江西省廣豐中學?？计谀┌Ⅵ紊蠈W有時坐公交車，有時騎自行車.若阿鑫坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，其密度曲線如圖所示，則以下結(jié)論錯誤的是（

）

A．Y的數(shù)據(jù)較X更集中B．若有34min可用，那么坐公交車不遲到的概率大C．若有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大D．P(X>30)+P【答案】D【詳解】觀察圖象知，X~N30,對于A，Y的密度曲線瘦高、X的密度曲線矮胖，即隨機變量Y的標準差小于X的標準差，即σ1因此Y的數(shù)據(jù)較X更集中，A正確；對于B，顯然P(X≤34)>1對于C，顯然P(X≤38)<P(Y≤38)，則當有38min可用時，騎自行車不遲到的概率大，C正確；對于D，顯然P(X>30)=12,P(Y≤30)<P(Y<34)=故選：D5．（2024·全國·高二假期作業(yè)）據(jù)統(tǒng)計2023年“五一”假期哈爾濱太陽島每天接待的游客人數(shù)X服從正態(tài)分布N2000,1002附：X~Nμ,σ2，SKIPIF1<0，P(μ?2σ<X<μ+2σ)=0.9545，SKIPIF1<0A．0.4987 B．0.8413 C．0.9773 D．0.9987【答案】C【詳解】依題意，μ=2000,P=1?故選：C6．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）已知某社區(qū)居民每周運動總時間為隨機變量X（單位：小時），且X～N5.5,σ2，SKIPIF1<0．現(xiàn)從該社區(qū)中隨機抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率為（

A．0.642 B．0.648 C．0.722 D．0.748【答案】B【詳解】由題意得P(x>5.5)=0.5，則P(5.5<x<6)=0.5?0.2=0.3，則P(5<x<6)=0.3×2=0.6，則至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率為C3故選：B.7．（2024上·廣西北?！じ叨y(tǒng)考期末）已知隨機變量ξ～N1,4，且Pξ≤m=Pξ>m，則A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【詳解】由隨機變量ξ～N1,4，所以函數(shù)曲線關于直線ξ=1又Pξ≤m=Pξ>m，且P故選：B8．（2024·全國·模擬預測）據(jù)統(tǒng)計，某快遞公司的200名快遞員每人每月派送的快遞件數(shù)X服從正態(tài)分布，且X~N3000,σ2A．40 B．60 C．70 D．80【答案】A【詳解】由題意知，每月派送的快遞件數(shù)不低于4000的快遞員所占比例為60200故每月派送的快遞件數(shù)在2000,3000的快遞員所占比例為1?0.3×22故每月派送的快遞件數(shù)在2000,3000的快遞員人數(shù)為200×0.2=40人．故選：A.二、多選題9．（2024上·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）某市對歷年來新生兒體重情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)新生兒體重X~N3.5,0.25，則下列結(jié)論正確的是（

A．該正態(tài)分布的均值為3.5 B．PC．P4<X≤4.5≥【答案】AB【詳解】因為X~N3.5,0.25對于A選項，該正態(tài)分布的均值為μ=3.5，A對；對于B選項，PX>3.5對于C選項，P4<X≤4.5對于D選項，由正態(tài)密度曲線的對稱性可知，PX≤3故選：AB.10．（2024下·全國·高二隨堂練習）某工廠有甲乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一型號的機械零件，產(chǎn)品的尺寸分別記為X,Y，已知X,Y均服從正態(tài)分布，X～NμA．甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性高于乙生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性B．甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性低于乙生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性C．甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值等于乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值D．甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值小于乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值【答案】AC【詳解】由圖可知，甲乙兩條生產(chǎn)線產(chǎn)品尺寸的平均值相等，甲的正態(tài)分布密度曲線瘦高，即甲生產(chǎn)線產(chǎn)品尺寸的方差更小，故甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性高于乙生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性，故選：AC．三、填空題11．（2024上·江西九江·高二統(tǒng)考期末）某工廠生產(chǎn)一批零件，其直徑X～N10,4，現(xiàn)在抽取10000件進行檢查，則直徑在12,14之間的零件大約有（注：P(μ?σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ?2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ?3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974）【答案】1359【詳解】∵X滿足正態(tài)分布X～P(6<X≤14)≈0.9544,∴∴直徑在12,14之間的零件大約有1359件.故答案為：135912．（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考階段練習）某中學開展學生數(shù)學素養(yǎng)測評活動，高一年級測評分值X近似服從正態(tài)分布N(72,25).為了調(diào)查參加測評的學生數(shù)學學習的方法與習慣差異，該中學決定在分數(shù)段67,n內(nèi)抽取學生，且P(67≤X≤n)=0.8186.在某班用簡單隨機抽樣的方法得到20名學生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.則該班抽取學生分數(shù)在分數(shù)段67,n內(nèi)的人數(shù)為人（附：P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ?3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973）【答案】11【詳解】因為P(67≤X≤77)≈0.6827，P(62≤X≤82)≈0.9545，∵P(67≤X≤n)=0.8186=0.9545?∴n=82，即P(67≤X≤82)=0.8186，由已知，該班在[67,82)內(nèi)抽取了11人，他們的分數(shù)為68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81.故答案為：11.四、解答題13．（2024上·全國·高三期末）大氣污染是指大氣中污染物質(zhì)的濃度達到有害程度，以至破壞生態(tài)系統(tǒng)和人類正常生存和發(fā)展的條件，對人和物造成危害的現(xiàn)象．某環(huán)境保護社團組織“大氣污染的危害以及防治措施”講座，并在講座后對參會人員就講座內(nèi)容進行知識測試，從中隨機抽取了100份試卷，將這100份試卷的成績（單位：分，滿分100分）整理得如下頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表）．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖確定a的值，再求出這100份樣本試卷成績的眾數(shù)和75%分位數(shù)（精確到0.1）；(2)根據(jù)頻率分布直方圖可認為此次測試的成績X近似服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中μ參考數(shù)據(jù)：若X~Nμ,σ2，則P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545【答案】(1)0.0480.048；眾數(shù)是82.5，75%分位數(shù)是86.6(2)75.4分【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可得：(0.008+0.018+a+0.064+0.038+0.016+0.008)×5=1，解得a=0.048，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為SKIPIF1<0，由(0.008+0.018+0.048+0.064)×5=0.69，則這100份樣本試卷成績的75%分位數(shù)是85+0.75?0.69（2）由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為1?1所以P(X≥μ?σ)=P(X≥82.15?6.75)=P(X≥SKIPIF1<0，所以測試前預估的平均成績大約為75.4分．14．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）我國一科技公司生產(chǎn)的手機前幾年的零部件嚴重依賴進口，2019年某大國對其實施限制性策略，該公司啟動零部件國產(chǎn)替代計劃，與國內(nèi)產(chǎn)業(yè)鏈上下游企業(yè)開展深度合作，共同推動產(chǎn)業(yè)發(fā)展．2023年9月該公司最新發(fā)布的智能手機零部件本土制造比例達到」90%，以公司與一零部件制造公司合作生產(chǎn)某手機零部件，為提高零部件質(zhì)量，該公司通過資金扶持與技術扶持，幫助制造公司提高產(chǎn)品質(zhì)量和競爭力，同時派本公司技術人員進廠指導，并每天隨機從生產(chǎn)線上抽取一批零件進行質(zhì)量檢測．下面是某天從生產(chǎn)線上抽取的10個零部件的質(zhì)量分數(shù)（總分1000分，分數(shù)越高質(zhì)量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假設該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零部件的質(zhì)量分數(shù)X近似服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，并把這10個樣本質(zhì)量分數(shù)的平均數(shù)x作為μ的值．參考數(shù)據(jù)：若X~Nμ,σ2(1)求μ的值；(2)估計該生產(chǎn)線上生產(chǎn)的1000個零部件中，有多少個零部件的質(zhì)量分數(shù)低于940？(3)若從該生產(chǎn)線上隨機抽取n個零件中恰有ξ個零部件的質(zhì)量分數(shù)在940,980內(nèi)，則n為何值時，Pξ=10【答案】(1)μ=960(2)160(3)n=14【詳解】（1）x=900+所以μ=960．（2）由（1）知，X~N960,2PX<940該生產(chǎn)線上生產(chǎn)的1000個零部件中，質(zhì)量分數(shù)低于940的個數(shù)約為0.16×1000=160．（3）每個零部件的質(zhì)量分數(shù)在940,980內(nèi)的概率為Pμ?σ≤X≤μ+σ由題意可知ξ~Bn,0.68則Pξ=10設fn=C則fn+1令0.32n+0.32n?9>1，得所以當n≤13時，fn+1令0.32n+0.32n?9<1，得所以當n≥14時，fn+1所以n=14時，fn最大，故使Pξ=10最大的B能力提升1．（2024上·江蘇揚州·高三統(tǒng)考期末）某保險公司有一款保險產(chǎn)品，該產(chǎn)品今年保費為200元/人，賠付金額為5萬元/人.假設該保險產(chǎn)品的客戶為10000名，每人被賠付的概率均為0.25%，記10000名客戶中獲得賠償?shù)娜藬?shù)為X.(1)求EX(2)二項分布是離散型的，而正態(tài)分布是連續(xù)型的，它們是不同的概率分布，但是，隨著二項分布的試驗次數(shù)的增加，二項分布折線圖與正態(tài)分布曲線幾乎一致，所以當試驗次數(shù)較大時，可以利用正態(tài)分布處理二項分布的相關概率計算問題，我們知道若X～Bn,p，則DX=np1?p，當n較大且SKIPIF1<0較小時，我們?yōu)榱撕喕嬎?，常用EX的值估算D請根據(jù)上述信息，求：①該公司今年這一款保險產(chǎn)品利潤為50~100萬元的概率；②該公司今年這一款保險產(chǎn)品虧損的概率.參考數(shù)據(jù)：若X～Nμ,σ2【答案】(1)EX(2)①0.683；②0.0015【詳解】（1）由題可知X～則EX記該公司今年這一款保險產(chǎn)品利潤為變量Y，則Y=200?5X，所以EY（2）因為X～Bn,p，當n較大且SKIPIF1<0較小時，EX=25，則DX=25由于n較大，X～Nμ,σ2若該公司今年這一款保險產(chǎn)品利潤Y=200?5X∈50,100，則XPY=200?5X若該公司今年這一款保險產(chǎn)品利潤Y=200?5X<0，則X>40，P(Y=200?5X<0)=P(X>40)=P(X>μ+3σ