2011年高考試題-數(shù)學(xué)理(山東卷)解析版

PAGE2011年普通高等學(xué)校全國(guó)統(tǒng)一考試（山東卷）理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)項(xiàng)是符合題目要求的。（1）設(shè)集合，，則A.B.C.D.解析：，，答案應(yīng)選A。（2）復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析：對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第四象限，答案應(yīng)選D.（3）若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則的值為A.B.C.D.解析：，，，答案應(yīng)選D.（4）不等式的解集是A.B.C.D.解析：當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，不成立；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得.綜上可知，或，答案應(yīng)選D。另解1：可以作出函數(shù)的圖象，令可得或，觀察圖像可得，或可使成立，答案應(yīng)選D。另解2：利用絕對(duì)值的幾何意義，表示實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之和，要使點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之和等于10，只需或，于是當(dāng)，或可使成立，答案應(yīng)選D。（5）對(duì)于函數(shù)，，“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”是“是奇函數(shù)”的A充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.即不充分也不必要條件解析：若是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；反之不成立，比如偶函數(shù)，滿足的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，但不一定是奇函數(shù)，答案應(yīng)選B。（6）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則A.B.C.D.解析：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即，答案應(yīng)選C。另解1：令得函數(shù)在為增函數(shù)，同理可得函數(shù)在為減函數(shù)，則當(dāng)時(shí)符合題意，即，答案應(yīng)選C。另解2：由題意可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，則，即，即，結(jié)合選擇項(xiàng)即可得答案應(yīng)選C。另解3：由題意可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則，，結(jié)合選擇項(xiàng)即可得答案應(yīng)選C。（7）某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷(xiāo)售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元是銷(xiāo)售額為A.6.6萬(wàn)元B.65.5萬(wàn)元C.67.7萬(wàn)元D.72.0萬(wàn)元解析：由題意可知，則，答案應(yīng)選B。（8）已知雙曲線的兩條漸近線均和圓相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓的圓心，則該雙曲線的方程為A.B.C.D.解析：圓，而，則，答案應(yīng)選A。D.C.B.A.D.C.B.A.解析：函數(shù)為奇函數(shù)，且，令得，由于函數(shù)為周期函數(shù)，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則答案應(yīng)選C。（10）已知是上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的圖象在區(qū)間上與軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A.6B.7C.8D.9正（主）視圖俯視圖解析：當(dāng)時(shí)，則，而是上最小正周期為2的周期函數(shù)，則，，答案應(yīng)選B。正（主）視圖俯視圖(11)右圖是長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形。給定三個(gè)命題：①存在三棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖；②存在四棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖；③存在圓柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖。其中真，命題的個(gè)數(shù)是A.3B.2C解析：①②③均是正確的，只需①底面是等腰直角三角形的直四棱柱，讓其直角三角形直角邊對(duì)應(yīng)的一個(gè)側(cè)面平臥；②直四棱柱的兩個(gè)側(cè)面是正方形或一正四棱柱平躺；③圓柱平躺即可使得三個(gè)命題為真，答案選A。（12）設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若,,且，則稱(chēng)調(diào)和分割，已知平面上的點(diǎn)調(diào)和分割點(diǎn)，則下面說(shuō)法正確的是A.C可能是線段AB的中點(diǎn)B.D可能是線段AB的中點(diǎn)C.C,D可能同時(shí)在線段AB上D.C,D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上解析：根據(jù)題意可知，若C或D是線段AB的中點(diǎn)，則，或，矛盾；開(kāi)始輸入非負(fù)整數(shù)l，m，n輸出y結(jié)束若C,D可能同時(shí)在線段AB上，則則矛盾，若C,D同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上，則，，故C,D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上，答案選D。開(kāi)始輸入非負(fù)整數(shù)l，m，n輸出y結(jié)束二、填空題：本大題共4小題·，每小題4分，共16分。（13）執(zhí)行右圖所示的程序框圖，輸入，則輸出的y的值是。解析：。答案應(yīng)填：68.（14）若展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)的值為。解析：的展開(kāi)式，令，答案應(yīng)填：4.（15）設(shè)函數(shù)，觀察：，，，，……根據(jù)上述事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)，且時(shí)，。解析：，，，以此類(lèi)推可得。答案應(yīng)填：。16.已知函數(shù)且。當(dāng)時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)為，則。解析：根據(jù)，，而函數(shù)在上連續(xù)，單調(diào)遞增，故函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，故。答案應(yīng)填：2.三、解答題：本大題共6小題，共74分。17.（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面積S。解：（Ⅰ）在中，由及正弦定理可得，即則，而，則，即。另解1：在中，由可得由余弦定理可得，整理可得，由正弦定理可得。另解2：利用教材習(xí)題結(jié)論解題，在中有結(jié)論.由可得即，則，由正弦定理可得。（Ⅱ）由及可得則，，S，即。（18）（本題滿分12分）紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A、乙對(duì)B、丙對(duì)C各一盤(pán)。已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立。（Ⅰ）求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；（Ⅱ）用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤(pán)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。解析：（Ⅰ）記甲對(duì)A、乙對(duì)B、丙對(duì)C各一盤(pán)中甲勝A、乙勝B、丙勝C分別為事件,則甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C分別為事件，根據(jù)各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立可得故紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率為.（Ⅱ）依題意可知，；;;.故的分布列為故.19.（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，，平面，，，，．（Ⅰ）若是線段的中點(diǎn)，求證：平面；（Ⅱ）若，求二面角的大?。畮缀畏ǎ鹤C明：（Ⅰ），可知延長(zhǎng)交于點(diǎn)，而，，則平面平面，即平面平面，于是三線共點(diǎn)，，若是線段的中點(diǎn)，而,則，四邊形為平行四邊形，則，又平面，所以平面；（Ⅱ）由平面，作，則平面，作，連接，則，于是為二面角的平面角。若，設(shè)，則，，為的中點(diǎn)，，，，在中,則，即二面角的大小為。坐標(biāo)法：（Ⅰ）證明：由四邊形為平行四邊形，，平面，可得以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,.由可得，由可得,，則，，而平面，所以平面；（Ⅱ）（Ⅱ）若，設(shè)，則，,則,,,設(shè)分別為平面與平面的法向量。則，令，則，；，令，則，。于是，則，即二面角的大小為。20.（本小題滿分12分）等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解析：（Ⅰ）由題意可知，公比，通項(xiàng)公式為；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)故另解：令，即則故.21.（本小題滿分12分）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米，且．假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為（）千元．設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元．（Ⅰ）寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；（Ⅱ）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的．解析：（Ⅰ）由題意可知，即，則.容器的建造費(fèi)用為，即，定義域?yàn)?（Ⅱ），令，得.令即，（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)有最小值；（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，此時(shí)當(dāng)時(shí)有最小值。22.（本小題滿分12分）已知?jiǎng)又本€與橢圓：交于兩不同點(diǎn)，且的面積，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）證明：和均為定值；（Ⅱ）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值；（Ⅲ）橢圓上是否存在三點(diǎn)，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：（Ⅰ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則，由在橢圓上，則，而，則于是，.當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直