1.1.3導數(shù)的幾何意義教學設計-2023-2024學年高二下學期數(shù)學湘教版（2019）選擇性必修第二冊

1.1.3導數(shù)的幾何意義教學設計-2023-2024學年高二下學期數(shù)學湘教版（2019）選擇性必修第二冊學校授課教師課時授課班級授課地點教具教學內(nèi)容本節(jié)課的教學內(nèi)容選自湘教版（2019）選擇性必修第二冊第1.1.3節(jié)“導數(shù)的幾何意義”。本節(jié)主要介紹了導數(shù)在幾何上的應用，包括切線的斜率、曲線的凹凸性以及極值點等。具體內(nèi)容如下：

1.切線的斜率：通過導數(shù)與切線斜率的關系，理解導數(shù)在幾何上的應用。

2.曲線的凹凸性：通過導數(shù)的符號變化，判斷曲線在某一點的凹凸性。

3.極值點：通過導數(shù)的零點，確定函數(shù)的極值點。

教學設計以學生為主體，注重啟發(fā)式教學，引導學生通過實例分析和問題解決，深入理解導數(shù)的幾何意義。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標主要圍繞數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模三個維度展開。首先，通過分析導數(shù)在幾何上的應用，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力，使學生能夠從具體問題中抽象出數(shù)學模型。其次，通過探究切線斜率、曲線凹凸性和極值點等概念，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，使學生能夠運用邏輯思維分析問題并得出結(jié)論。最后，通過設計問題引導學生自主探究，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力，使學生能夠運用數(shù)學知識解決實際問題。教學難點與重點1.教學重點

本節(jié)課的核心內(nèi)容是導數(shù)的幾何意義，具體包括切線的斜率、曲線的凹凸性和極值點等。教師需要通過實例分析和問題解決，幫助學生深入理解這些概念，并掌握它們的應用方法。

2.教學難點

（1）切線的斜率

切線的斜率是導數(shù)在幾何上的一個重要應用。學生可能會對導數(shù)與切線斜率之間的關系感到困惑，難以理解為什么導數(shù)可以表示切線的斜率。為了解決這個問題，教師可以舉一些具體的例子，讓學生通過觀察導數(shù)的符號變化來理解切線的斜率。

（2）曲線的凹凸性

曲線的凹凸性是判斷曲線形態(tài)的一個重要指標。學生可能會對如何通過導數(shù)的符號變化來判斷曲線的凹凸性感到困難。教師可以通過一些具體的曲線實例，引導學生觀察導數(shù)的符號變化，從而理解曲線的凹凸性。

（3）極值點

極值點是函數(shù)圖像中的一個重要特征，學生可能會對如何通過導數(shù)的零點來確定極值點感到困惑。教師可以通過一些具體的例子，讓學生通過觀察導數(shù)的零點來確定函數(shù)的極值點。教學方法與手段1.教學方法

（1）講授法：教師通過講解導數(shù)的幾何意義，包括切線的斜率、曲線的凹凸性和極值點等概念，幫助學生理解和掌握這些核心知識點。

（2）討論法：教師組織學生進行小組討論，讓學生通過交流和分享，深入理解導數(shù)的幾何意義，并能夠運用這些概念解決實際問題。

（3）實例分析法：教師通過提供具體的實例，讓學生觀察導數(shù)的符號變化，從而理解切線的斜率、曲線的凹凸性和極值點等概念在實際問題中的應用。

2.教學手段

（1）多媒體教學：教師利用多媒體設備，如PPT、動畫等，展示導數(shù)的幾何意義，使抽象的概念更加直觀和易于理解。

（2）教學軟件：教師使用教學軟件，如幾何畫板、數(shù)學軟件等，幫助學生進行圖形操作和數(shù)據(jù)處理，加深對導數(shù)幾何意義的理解和應用。

（3）在線資源：教師提供在線學習資源，如視頻教程、學習網(wǎng)站等，讓學生在課外自主學習，鞏固課堂所學知識。教學流程1.導入（5分鐘）

通過一個實際問題，引導學生思考如何用導數(shù)來解決問題，從而引出本節(jié)課的主題——導數(shù)的幾何意義。

2.講解（25分鐘）

-切線的斜率（10分鐘）

-講解導數(shù)與切線斜率的關系，并舉例說明。

-曲線的凹凸性（10分鐘）

-講解如何通過導數(shù)的符號變化來判斷曲線的凹凸性，并舉例說明。

-極值點（5分鐘）

-講解如何通過導數(shù)的零點來確定極值點，并舉例說明。

3.實例分析（5分鐘）

提供一些具體的實例，讓學生通過觀察導數(shù)的符號變化來解決實際問題，加深對導數(shù)幾何意義的理解。

4.小組討論（5分鐘）

組織學生進行小組討論，讓學生通過交流和分享，深入理解導數(shù)的幾何意義，并能夠運用這些概念解決實際問題。

5.總結(jié)與作業(yè)布置（5分鐘）

對本節(jié)課的內(nèi)容進行總結(jié)，強調(diào)導數(shù)的幾何意義，并布置相應的作業(yè)，鞏固所學知識。拓展與延伸1.拓展閱讀材料

（1）導數(shù)在實際應用中的例子，如物理學中的加速度、經(jīng)濟學中的邊際成本等。

（2）高階導數(shù)的概念和應用，如二階導數(shù)的物理意義等。

（3）導數(shù)在微分方程中的應用，如伯努利方程等。

（4）導數(shù)在優(yōu)化問題中的應用，如最速下降法等。

2.課后自主學習和探究

（1）讓學生選擇一個實際問題，利用導數(shù)的幾何意義來解決。

（2）讓學生研究導數(shù)的性質(zhì)，如導數(shù)的奇偶性、周期性等。

（3）讓學生探究高階導數(shù)在實際問題中的應用。

（4）讓學生研究導數(shù)在微分方程中的應用，如解微分方程等。

（5）讓學生研究導數(shù)在優(yōu)化問題中的應用，如求解最優(yōu)化問題等。教學反思與改進本節(jié)課結(jié)束后，我將設計一些反思活動來評估教學效果，并識別需要改進的地方。首先，我將通過提問和觀察學生的反應來了解他們對導數(shù)幾何意義的理解和掌握程度。如果發(fā)現(xiàn)學生對某些概念仍然感到困惑，我將考慮使用更多的實例來解釋和鞏固這些概念。其次，我將通過學生的作業(yè)和課堂練習來評估他們的實際應用能力，并針對存在的問題進行個別輔導。

為了在未來的教學中進一步提高教學效果，我將制定以下改進措施：

1.提供更多的實例和練習題，以幫助學生更好地理解和應用導數(shù)的幾何意義。

2.鼓勵學生積極參與課堂討論，以便他們能夠提出問題和分享他們的理解。

3.設計一些小組活動，讓學生在合作中學習和解決問題，以提高他們的團隊合作和溝通能力。

4.利用多媒體教學工具和軟件，以提供更直觀和互動的教學方式，幫助學生更好地理解和掌握導數(shù)的幾何意義。典型例題講解例題1：求函數(shù)f(x)=x^2在點x=2處的切線方程。

解答：首先求出函數(shù)的導數(shù)f'(x)，得到f'(x)=2x。然后在x=2處求導數(shù)的值，即f'(2)=2*2=4。切線的斜率為4，切點坐標為(2,f(2))=(2,4)。使用點斜式方程求切線方程：y-y1=m(x-x1)，代入切點坐標和斜率得到y(tǒng)-4=4(x-2)，整理得到y(tǒng)=4x+4。

例題2：判斷函數(shù)f(x)=x^3的凹凸性。

解答：首先求出函數(shù)的導數(shù)f'(x)，得到f'(x)=3x^2。因為f'(x)>0對所有x>0成立，所以函數(shù)在(0,+∞)上是凹的。因為f'(x)<0對所有x<0成立，所以函數(shù)在(-∞,0)上是凸的。

例題3：求函數(shù)f(x)=x^2-2x+1在x=1處的極值。

解答：首先求出函數(shù)的導數(shù)f'(x)，得到f'(x)=2x-2。然后在x=1處求導數(shù)的值，即f'(1)=2*1-2=0。因為f'(x)=0，所以x=1是函數(shù)的極值點。將x=1代入原函數(shù)得到f(1)=1^2-2*1+1=0，所以函數(shù)在x=1處的極值為0。

例題4：判斷函數(shù)f(x)=x^3-3x的單調(diào)性。

解答：首先求出函數(shù)的導數(shù)f'(x)，得到f'(x)=3x^2-3。因為f'(x)=3x(x-1)>0對所有x>1成立，所以函數(shù)在(1,+∞)上是單調(diào)遞增的。因為f'(x)=3x(x-1)<0對所有x<1成立，所以函數(shù)在(-∞,1)上是單調(diào)遞減的。

例題5：求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+3x+1的單調(diào)遞增區(qū)間。

解答：首先求出函數(shù)的導數(shù)f'(x)，得到f'(x)=3x^2-6x+3。因為f'(x)=3(x-2)(x-1/3)>0，所以函數(shù)在(1/3,2)上是單調(diào)遞增的。板書設計①導數(shù)的幾何意義：切線的斜率、曲線的凹凸性、極值點

②切線的斜率：f'(x)表示切線的斜率，f'(x)=m

③曲線的凹凸性：f'(x)>0時，曲線凹；f'(x)<0時，曲線凸

④極值點：f'(x)=0時，x是極值點

⑤實例分析：通過具體實例，觀察導數(shù)的符號變化，理解切線的斜率、曲線的凹凸性和極值點

⑥小組討論：引導學生進行小組討論，分享對導數(shù)的幾何意義的理解和應用作業(yè)布置與反饋1.作業(yè)布置

（1）求函數(shù)f(x)=x^2在點x=2處的切線方程。

（2）判斷函數(shù)f(x)=x^3的凹凸性。

（3）求函數(shù)f(x)=x^2-2x+1在x=1處的極值。

（4）判斷函數(shù)f(x)=x^3-3x的單調(diào)性。

（5）求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+3x+1的單調(diào)遞增區(qū)間。

2.作業(yè)反饋

（1）對于作業(yè)1，批改學生求切線方程的過程，檢查是否正確求出了導數(shù)和導數(shù)的值，以及是否正確使用了點斜式方程求出了切線方程。對于錯誤的地方，給出正確的解答過程和步驟。

（2）對于作業(yè)2，檢查學生判斷凹凸性的過程，確保他們正確求出了導數(shù)，并正確判斷了導數(shù)的符號。對于錯誤的地方，指出正確的判斷方法。

（3）對于作